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2018高中数学人教a版选修4-4创新应用教学案: 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程 含答案

第 2 课时 圆的参数方程 [核心必知] 如图,设圆 O 的半径是 r,点 M 从初始位置 M0(t=0 时的位置)出发,按逆 时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω,以圆心 O 为原点,OM0 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系. (1)在 t 时刻,M 转过的角度是 θ,点 M 的坐标是(x,y),那么 θ=ωt(ω 为角 x y 速度).设|OM|=r,那么由三角函数定义,有 cos ωt= ,sin ωt= ,即圆心在 r r ? ?x=rcos ωt, 原点 O, 半径为 r 的圆的参数方程为? (t 为参数). 其中参数 t 的物理 ? y = rsin ω t ? 意义是:质点做匀速圆周运动的时刻. (2)若取 θ 为参数,因为 θ=ωt,于是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方 ? ?x=rcos θ, 程为? (θ 为参数).其中参数 θ 的几何意义是:OM0(M0 为 t=0 时的 ? ?y=rsin θ 位置)绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度. [问题思考] ? ?x=Rcos θ, 1.方程? (θ 为参数,0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心,以 R 为半 ? ?y=Rsin θ 径的圆的参数方程,能否直接由圆的普通方程转化得出? 提示:以坐标原点为圆心,以 R 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=R2,即 x ? ?R=cos θ, ? x y ?x=Rcos θ, ( ) +( ) =1,令? 则? R R ? y ?y=Rsin θ. = sin θ, ? ?R 2 2 2.若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程是什么? ? ?x=x0+Rcos θ, 提示:圆的参数方程为? (0≤θ<2π) ? ?y=y0+Rsin θ. 点 M 在圆(x-r)2+y2=r2(r>0)上,O 为原点,x 轴的正半轴绕原 点旋转到 OM 形成的角为 φ,以 φ 为参数.求圆的参数方程. [精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法,解答此题需要借助图形分析圆 上点 M(x,y)的坐标与 φ 之间的关系,然后写出参数方程. 如图所示,设圆心为 O′,连接 O′M ①当 M 在 x 轴上方时,∠MO′x=2φ. ? ?x=r+rcos 2φ, ∴? ? ?y=rsin 2φ. ②当 M 在 x 轴下方时,∠MO′x=-2φ, ? ?x=r+rcos (-2φ), ∴? ? ?y=-rsin (-2φ). ? ?x=r+rcos 2φ, 即? ? ?y=rsin 2φ. π ③当 M 在 x 轴上时,对应 φ=0 或 φ=± . 2 综上得圆的参数方程为 ? π π ?x=r+rcos 2φ, ? (φ 为参数且- ≤φ≤ ) 2 2 ? ?y=rsin 2φ. ————— ————————————— (1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.一般地,同一条曲线,可 以选取不同的变数为参数, 因此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同 的参数方程表示的曲线却可以是相同的,另外在建立曲线的参数方程时,要注明 参数及参数的取值范围. (2)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如 ? ?x=r+rcos φ, 本题如果把参数方程写成? φ的意义就改变了. ? y = rsin φ . ? 1.设 y=tx(t 为参数),则圆 x2+y2-4y=0 的参数方程是________. 解析:把 y=tx 代入 x2+y2-4y=0 得 x= 4t2 , y = , 1+t2 1+t2 4t 4t ? x= ? 1+t , ∴参数方程为? 4t y= ? ? 1+t . 2 2 2 4t ? x= ? 1 +t , 答案:? (t 为参数) 4t ? ?y=1+t 2 2 2 ? ?x=cos θ, 已知点 P(2,0),点 Q 是圆? (θ 为参数)上一动点,求 ? y = sin θ ? PQ 中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线? [精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法.解答本题需 设出 PQ 的中点 M 的坐标为(x,y),然后利用已知条件中的参数分别表示 x,y, 从而求出轨迹方程,根据方程说明轨迹的形状. 2+cos θ 1 ? x= , ?x=1+ cos θ, ? ? 2 2 设中点为 M(x,y),? 即? 0+sin θ 1 y= , ?y= sin θ. ? 2 ? ? 2 1 它是圆的参数方程,表示以(1,0)为圆心,以 为半径的圆. 2 ————— ————————————— 解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点 的坐标,求得参数方程,然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线. 2.设点 M(x,y)在圆 x2+y2=1 上移动,求点 Q(x(x+y),y(x+y))的轨迹 的参数方程. 解:设 M(cos θ,sin θ)(0≤θ<2π),点 Q(x1,y1), ? ?x1=cos θ(cos θ+sin θ), 则? (θ 为参数) ? ?y1=sin θ(cos θ+sin θ), 即为所求的参数方程. ? ?x=cos θ, 已知点 P(x,y)是圆? (θ 为参数)上的动点, ? ?y=1+sin θ (1)求 3x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围. [精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题,解决本 题需要正确求出圆 x2+y2=2y 的参数方程, 然后利用参数方程求解问题(1)、 (2). ? ?x=cos θ, (1)∵P 在圆? 上, ? ?y=1+sin θ ∴ 3x+y= π 3cos θ+sin θ+1=2sin (θ+ )+1 3 3x+y≤2+1.即 3x+y 的取值范围为[-1,3]. ∴-2+1

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