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2018高中数学人教a版选修4-4创新应用教学案: 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程 含答案


第 2 课时 圆的参数方程 [核心必知] 如图,设圆 O 的半径是 r,点 M 从初始位置 M0(t=0 时的位置)出发,按逆 时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω,以圆心 O 为原点,OM0 所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系. (1)在 t 时刻,M 转过的角度是 θ,点 M 的坐标是(x,y),那么 θ=ωt(ω 为角 x y 速度).设|OM|=r,那么由三角函数定义,有 cos ωt= ,sin ωt= ,即圆心在 r r ? ?x=rcos ωt, 原点 O, 半径为 r 的圆的参数方程为? (t 为参数). 其中参数 t 的物理 ? y = rsin ω t ? 意义是:质点做匀速圆周运动的时刻. (2)若取 θ 为参数,因为 θ=ωt,于是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方 ? ?x=rcos θ, 程为? (θ 为参数).其中参数 θ 的几何意义是:OM0(M0 为 t=0 时的 ? ?y=rsin θ 位置)绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度. [问题思考] ? ?x=Rcos θ, 1.方程? (θ 为参数,0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心,以 R 为半 ? ?y=Rsin θ 径的圆的参数方程,能否直接由圆的普通方程转化得出? 提示:以坐标原点为圆心,以 R 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=R2,即 x ? ?R=cos θ, ? x y ?x=Rcos θ, ( ) +( ) =1,令? 则? R R ? y ?y=Rsin θ. = sin θ, ? ?R 2 2 2.若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程是什么? ? ?x=x0+Rcos θ, 提示:圆的参数方程为? (0≤θ<2π) ? ?y=y0+Rsin θ. 点 M 在圆(x-r)2+y2=r2(r>0)上,O 为原点,x 轴的正半轴绕原 点旋转到 OM 形成的角为 φ,以 φ 为参数.求圆的参数方程. [精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法,解答此题需要借助图形分析圆 上点 M(x,y)的坐标与 φ 之间的关系,然后写出参数方程. 如图所示,设圆心为 O′,连接 O′M ①当 M 在 x 轴上方时,∠MO′x=2φ. ? ?x=r+rcos 2φ, ∴? ? ?y=rsin 2φ. ②当 M 在 x 轴下方时,∠MO′x=-2φ, ? ?x=r+rcos (-2φ), ∴? ? ?y=-rsin (-2φ). ? ?x=r+rcos 2φ, 即? ? ?y=rsin 2φ. π ③当 M 在 x 轴上时,对应 φ=0 或 φ=± . 2 综上得圆的参数方程为 ? π π ?x=r+rcos 2φ, ? (φ 为参数且- ≤φ≤ ) 2 2 ? ?y=rsin 2φ. ————— ————————————— (1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.一般地,同一条曲线,可 以选取不同的变数为参数, 因此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同 的参数方程表示的曲线却可以是相同的,另外在建立曲线的参数方程时,要注明 参数及参数的取值范围. (2)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如 ? ?x=r+rcos φ, 本题如果把参数方程写成? φ的意义就改变了. ? y = rsin φ . ? 1.设 y=tx(t 为参数),则圆 x2+y2-4y=0 的参数方程是________. 解析:把 y=tx 代入 x2

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