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高中数学立体几何专题(证明题)训练

立体几何专题训练 1.在四棱锥 P-ABCD 中,PA=PB.底面 ABCD 是菱形,
且∠ABC=60°.E 在棱 PD 上,满足 DE=2PE,M 是 AB 的中点. (1)求证:平面 PAB⊥平面 PMC; (2)求证:直线 PB∥平面 EMC.

P E

A M B C

D

2.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都相等,D、E 分别是 CC1 和 AB1 的中点,点 F
在 BC 上且满足 BF∶FC=1∶3. (1)若 M 为 AB 中点,求证:BB1∥平面 EFM; (2)求证:EF⊥BC。

3. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , P 分别是 BC , A1D1 的中点,M、N
AE, CD 的中点, AD ? AA1 ? a, AB ? 2a 1
(1)求证: MN // 面 ADD1 A1 (2)求三棱锥 P ? DEN 的体积

分别是

4

如图 1,等腰梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=AD, ? ABC= 60 ,E 是 BC 的中点,如图 2,将三角
?

形 ABE 沿 AE 折起, 使平面 BAE ? 平面 AECD,F.P 分别是 CD,BC 的中点, (1) 求证: ? BD AE (2)求证:平面 PEF ? 平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC,并说明理由。 A D B

B

E

C

A

P

D F C

E

5,如图,

ABCD 为矩形,CF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,

AB=4a,BC= CF=2a, P 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PCF⊥平面 PDE; (2)求四面体 PCEF 的体积. E F

D A P B

C

6 如图, 等腰梯形 ABEF 中,AB // EF ,AB =2,AD ? AF ? 1 ,
AF ? BF , O 为 AB 的中点,矩形 ABCD 所在的平面和平
面 ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BEF 的体积. C

D O A

B

M E F

7 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ABC ? 90 0 , E 、 F 分别为 A1C1 、 B1C1 的中点, D 为棱
CC1 上任一点.
(Ⅰ)求证:直线 EF ∥平面 ABD ; (Ⅱ)求证:平面 ABD ⊥平面 BCC1 B1

A B

C

D

A1

E F B1

C1

8 已知正六棱柱 ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 的所有棱长均为 2,G 为 AF 的中点。
(1)求证: F1G ∥平面 BB1 E1 E ; (2)求证:平面 F1 AE ⊥平面 DEE1 D1 ; (3)求四面体 EGFF1 的体积。

9 如图①, E , F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点, ?B ? 90? ,沿 EF 将三 角形 ABC 折成如图②所示的锐二面角 A1 ? EF ? B ,若 M 为线段 A C 中点.求证: 1 (1)直线 FM // 平面 A1 EB ; (2)平面 A1 FC ? 平面 A1 BC .

A1





M E B F C
图②


图①



10 如图所示,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BB1, AC1 ? 平面 A1 BD, D 为 AC 的中
点. (Ⅰ)求证: B1C // 平面 A1BD ; (Ⅱ)求证: B1C1 ? 平面 ABB1 A1 ; (Ⅲ)设 E 是 CC1 上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD ? 平面
B1 A1 C1

BDE ,并说明理由.

B A D

C

11 已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点.
(Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1 DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积

D1
A1

C1

B1

E
C

D
A B

12

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD , PA ? 底 面 ABCD, 中

AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,PA ? AB ? BC ,E 是
PC 的中点.
(1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;

P E A B
C

D

13 如图是表示以 AB=4,BC=3 的矩形 ABCD 为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体,
其中四边形 EFGH 为截面.已知 AE=5,BF=8,CG=12. (1)作出截面 EFGH 与底面 ABCD 的交线 l; (2)截面四边形 EFGH 是否为菱形?并证明你的结论; (3)求 DH 的长. E D A B C F H G

14

已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2)求证:AF∥平面 BCE; (3)求四棱锥 C-ABED 的体积.

15 如图,菱形 ABCD 所在平面与矩形 ACEF 所在
平面互相垂直,已知 BD=2AF,且点 M 是线段 EF 的中点. (1)求证:AM∥平面 BDE; (2)求证:平面 DEF⊥平面 BEF. E M C F B

D

A

16 如图: 正四棱柱 AC1 中,E为棱DD1的中点,O是底面正方形ABCD中心 , E ? 且 O A B
(1)求证:该正四棱柱为正方体; (2)若 AB ? a,求四棱锥A - OBB1E 的体积.

1



17 如图:M、N、K 分别是正方体 ABCD — A1B1C1D1 的棱 AB、CD、 C1 D1 的中点,

(1)求证: AN ∥平面 A1MK ;
(2)求证: 平面A1 B1C ? 平面A1MK .

18 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点,
(1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC 1//平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.


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