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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示课件 新人教A版选修2-1_图文

第三章 空间向量与立 体几何
3.1.5 空间向量运算的坐标表示

本节课主要学习空间直角坐标系,空间向量运算的坐标表示 . 本 课件以复习平面向量运算的坐标表示入手,提出了新问题:空间向 量运算的坐标表示,引入新课。以学生自我探究为主,运用类比的 思想学习空间向量运算的坐标表示,教会学生准确的建立坐标系, 用空间向量坐标解决空间几何的线面关系 .通过用空间向量解决简单 的立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题, 培养学生的观 察能力和探索能力,总结一般性方法.提高学生运用坐标法解决几何问 题的能力,懂得欣赏数学的“简洁美”,并渗透数形结合和等价转 化的数学思想方法. 通过平面向量运算的有关方法 ,引出空间向量的运算 ,进一步体会 “二维”与“三维”的关系.如何建立坐标系,求解坐标才更简单.例1 是空间向量的坐标运算;例2是利用空间向量求角;例3求角,例4是 证明两条直线的垂直。

复习平面向量运算的坐标表示:

? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则
? ? ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 )
? ?a ?
;

(?a1 , ?a2 )

? ? ; a ?b ?

a1b1 ? a2 b2
2 1 2

;

? a ?

? ? a ?a

?

a ? a2

;

? ? cos a , b ?

? ? a ?b ? ? a b

a1b1 ? a2 b2

?

a12 ? a2 2 b12 ? b2 2

;

? ? ? ? a // b ? a ? ?b (? ? R) ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ;

? ? a ?b ?

? ? a ?b ? 0

?

a1b1 ? a2 b2 ? 0

? ? 设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则 ? ? a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) ; ? ? a ? b ? ( a 1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) ;

向量的直角坐标运算

? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? a 1 ? ? b1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b3 ( ? ? R ) ; ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b3 ? 0 ;

? ?a ? ( ? a 1 , ? a 2 , ? a 3 ), ( ? ? R ) ; ? ? a ? b ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ;

距离与夹角

1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式

?2 ? ? 2 2 2 | a | ? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 ?2 ? ? 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3
注意:此公式的几何意义是表示长方体的 对角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式

在空间直角坐标系中,已知 A ( x 1 , y1 , z1 )、
B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

???? AB ?

( x 2 ? x 1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 )

???? ???? ???? 2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) ?| AB |? AB?AB ? 2 1 2 1 2 1

d AB

???? 2 2 2 ?| AB |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )

2.两个向量夹角公式 ? ? ? ? a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3 a ?b ; cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?| b | a12 ? a 2 2 ? a 3 2 ? b12 ? b2 2 ? b3 2 注意: ? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1时,a 与 b 同向; ? ? ? ? (2)当 cos ? a , b ?? ?1时,a 与 b 反向; ? ? ? ? (3)当 cos ? a , b ?? 0时, a ? b 。
? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1



? ? ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?

? ? 例1. 已知a ? (2, ?3, 5), b ? (?3,1, ?4) ? ? ? ? ? ? ? ? 求a ? b, a ? b,| a |,8a, a ? b
解:

典例展示

? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) ? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9)
? | a |? 22 ? (?3) 2 ? 52 ? 38 ? 8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40)

? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? 2 ? (?3) ? (?3) ?1 ? 5 ? (?4) ? ?29

例2

已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ,求:
M

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; A 解:设 M ( x , y , z )是 AB 的中点,则
???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB ) ? ? (3 , 3 , 1) ? ?1 , 0 , 5 ? ? ? ? 2 , , 3? , ? ? 2 2 ? 2 ? O

B

? 3 ? ∴点M 的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

d A, B ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1)2 ? 29 .

(2)到 A 、B两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? ( z ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 0)2 ? ( z ? 5)2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 即到 A 、B两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满

足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

变式:在直三棱柱ABO-A’B’O’中,∠AOB=90。
|AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点,如图建立

???? ???? ' 直角坐标系,则 DO , A B的坐标是多少? z

O’

B’

A’
O x

D
B y

A

例3

如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1 E1 ?

A1 B1 ? D1 F1 ? ,求 BE1 与 4

解:设正方体的棱长为1,如图建立空间 直角坐标系 O ? xyz ,则

DF1 所成的角的余弦值. z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

? 3 ? B(1 , 1 , 0) , E1 ? 1 , , 1 ? , ? 4 ?
? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1 ? . ? 4 ?

D

O
B

C

y

A

???? ? ? 3 ? 1 ? ? BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , 4 ? ? 4 ? ?

x

???? ? ? 1 ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1 ?? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . ? 4 ? ? 4 ?
???? ? ???? ? 15 ? 1? 1 BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , 16 ? 4? 4

???? ? 17 ???? ? 17 | BE1 |? , | DF1 |? . 4 4 15 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? BE1 ?DF1 15 16 ???? ? ???? ? ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4

例 4 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ??? ? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1 , 0 , 1) ??? ? ???? ? 1 1 1 EF ? DA ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 所以 1 2 2 2 ??? ? ???? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

1.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则: (1)a· (b+c)=__________; (2)(a+2b)· (a-2b)=__________.

[解析]

(1)b+c=(2,0,5),a· (b+c)

=(2,-3,1)· (2,0,5)=9. (2)|a|= 14,|b|= 13, (a+2b)· (a-2b) =|a|2-4|b|2=-38.
[答案] 9 -38

2.设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),若(ka+b)∥(a-3b) ,则k=__________.
[解析] ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(7,-4, -16). 因为(ka+b)∥(a-3b), k-2 5k+3 -k+5 1 所以 7 = = ,解得 k=-3. -4 -16
[答案] 1 -3

3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别 1 是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG= CD,H 为 C1G 4 的中点,应用空间向量方法求解下列问题. (1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值.

[解析]

如图所示,建立空间直角坐

1 1 1 标系 D-xyz,则有 E(0,0,2)、F(2,2, 0)、 C(0,1,0)、 C1(0,1,1)、 B1(1,1,1, )、 G(0, 3 4,0).
1 1 1 1 1 1 → (1)EF=(2,2,0)-(0,0,2)=(2,2,-2), → B1C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1). 1 1 1 → → → ∴ EF · B1C = 2 ×( - 1) + 2 ×0 + ( - 2 )×( - 1) = 0 ,∴ EF ⊥ → B1C,即 EF⊥B1C.

3 1 → (2)∵C1G=(0,4,0)-(0,1,1)=(0,-4,-1). 17 → ∴|C1G|= 4 . 1 1 1 3 → 3 → → 1 又EF· C1G=2×0+2×(-4)+(-2)×(-1)=8,|EF|= 2 , → → EF· C1G 51 → → ∴cos<EF,C1G>= = 17 . → → |EF|· |C1G| 51 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 17 .

今天你学到了什么呢?

1.基本知识:
(1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示;

(2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标 表示。
2.思想方法: 用向量坐标法计算或证明几何问题 (1) 建立直角坐标系, (2)把点、向量坐标化,

(3)对向量计算或证明。


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