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# 基本数列通项公式的求法总结

a3 = a 2 + 2 2 1 a 4 = a3 + 2 3 1
………

an = an1 + 2 (n 1) 1

= 2 + n(n 1) (n 1) = n 2 2n + 3

{an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1(n ∈ N * ). 求数列 {an } 的通项公式.

{ an α }

{an } 满足 a1 = 1, an +1 = 2an + 1(n ∈ N * ). 求数列 {an } 的通项公式.
（说明：这个关系式可以直接凑，但这种处理方式是有目

α、 交换得： a n +1 βa n = (a 2 βa1 ) α n 1 β
（1）-（2）得： a n = 令 c1 =

a αa1 a 2 βa1 n 1 a 2 αa1 n 1 a 2 βa1 α β = α n 2 β n α (α β ) β (α β ) α β α β

a 2 βa1 a αa1 , c2 = 2 ，则 an = c1α n + c2 β n α (α β ) β (α β )

2、 若方程有两等根 α = β ≠ 0, 则 an = (c1 + nc2 )α n 等根 α = β = 0, 则 a n = 0 （ n ≥ 3) 证明：由上述结论可知 当α

= β 时有 a n+1 αa n = (a 2 αa1 ) α n1 ，

a n +1

α

n +1

=

an

α

n

+

a 2 αa1

α

2

an

α

n

=

a1

α

+ (n 1) α n + n

a 2 αa1

n 1

+ (n 1)(a 2 αa1 )α n 2 =

a1

α2 a 2 αa1 α
2

α

α n

a 2 αa1

α
) α n

α n

=(

a1 a 2 + αa1

α

+ n

a 2 αa1

α

2

a1 a 2 + αa1

α

, c2 =

a 2 αa1

α

2

2

an =

a 2 βa1 n 1 a 2 αa1 α β n 1 （*） 由 α、β = r (cos θ ± i sin θ ) , α β α β
a 2 βa1 n1 a 2 αa1 n 1 α β α β α β

an =

a 2 (α n 1 β n 1 ) 2r n 2 i sin( n 2)θ α n 2 β n 2 a 2 2r n 1 i sin( n 1)θ a1 αβ = a1 q α β α β 2r i sin θ 2r i sin θ r n sin( n 2)θ r 3 sin θ a1 q r n (sin nθ cos 2θ cos nθ sin 2θ )

= =

a 2 r n sin( n 1)θ r 2 sin θ

a1 q

a 2 r n (sin nθ cos θ cos nθ sin θ )

r 2 sin θ r 3 sin θ a 2 sin θ a1 q sin 2θ a cos θ a1 q cos 2θ = r n [ ( 2 + 3 ) cos nθ + ( 2 3 ) cos nθ ] r sin θ r sin θ r 2 sin θ r sin θ

a 2 sin θ r sin θ
2

+

a1 q sin 2θ r sin θ
3

) ， c2 =

a 2 cos θ r sin θ
2

a1 q cos 2θ r 3 sin θ

(α + β ) 2 4αβ = 5

（1） （2）

= αβ (α n 2 β n 2 ) f1 + (α n 1 β n 1 ) f 2

(α β ) f n = α n 1 β n 1 ， 结合 α β = 5 有： f n = 1 [ (1 + 5 ) n1 (1 5 ) n 1 ]
5 2 2

1+ 5 1 5 ，β = 2 2

3

f n = c1α n + c2 β n =

β α β
+

=
=

β
5
n 1

c2 =

α α β
[(

=

α
5

α β
n

αβ

n

α

β

n 1

5

5

5

5

=

1 5

1 + 5 n1 1 5 n1 ) ( ) ] 2 2

f n + 2 αf n +1 = β ( f n +1 αf n ) 知： f n + 2 2 f n +1 = 2( f n +1 2 f n )

f n +1 f n 1 = + 2 n +1 2 n 4

fn f n 1 n 1 = 1+ = ，所以 f n = (n 1) 2 n 2 n 2 4 4 2

(c1 + 2c 2 ) × 4 = 1

1 1 1 n ， c2 = 。所以 f n = ( + ) × 2 n = ( n 1) × 2 n2 4 4 4 4

π
6

± i sin

π
6

nπ nπ + c2 sin 6 6 c1 cos

π
6

+ c2 sin

π
6

=0，

π
3

+ c2 sin

π
3

=1

nπ nπ + 3 sin 6 6

p 、 q 、 r 为常数，且 p + q ≠ 1 ， r ≠ 0

r 此时 bn + 2 = pbn +1 + qbn 就转化为类型 3， ， p + q 1 r 即可求出 an 。 p + q 1

p 、 q 为非零常数，

1 an +1

=

1 p + qan q

an +1 =

qan ， an p

2 2 1 ， a n +1a n = an +1 + an ，求数列的通项公式 3 3 3

2 2 1 代入 a n +1a n = an +1 + an 得 a1 = 0 ，与已知矛盾，故数列不存在 3 3 3 2 1 an +1 + an ，求数列的通项公式 3 3

1 2 2 ，故数列通项公式存在。将递推关系两边取倒数得 = +3 3 an +1 an 1 2 1 1 = ( + 3) 1 = 2( 1) ， an +1 an an

1 1 1 1 1 = ( 1) (2) n 1 ，因为 a1 = 2 ，所以 1 = (2) n 2 ，所以 an = an a1 an 1 + (2) n 2 2 1 an +1 + an ，求数列的通项公式 3 3

1 2 2 ，故数列通项公式存在。将递推关系两边取倒数得 = +3 3 an +1 an 1 an +1 1 = ( 2 1 + 3) 1 = 2( 1) ， an an

1 1 1 1 = ( 1) (2) n 1 ，因为 a1 = 1 ，所以 1 = 0 ，所以 an = 1 an a1 an 1 2 1 ， a n +1a n = an +1 + an ，求数列的通项公式 3 3 3

（其实 a1 = 1 正是特征根，因此有 a n = 1 ；方程的另一特征根为 0 ，所以当 a1 = 0 是也有 a n = a1 = 0 ） 例 5.4 已知 a1 = 解：把 a1 = 0 ≠

2 ，故数列通项公式存在。且由结论可知 a n = 0 3 p 、 q 、 r 为常数,且 r ≠ 0

5

2 即： bn +1 bn = ( p x)bn +1 + (q x)bn + [ x + ( p + q ) x + r ]

2 ， an +1 an = an +1 + an + 1 ，求通项公式

2 即： bn +1 bn = (1 x)bn +1 + (1 x)bn + ( x + 2 x + 1)

2bn +1 + 2bn ，取倒数得： 取倒数得：

1 bn +1

=

1 2 + bn 2

1 bn +1

2 1 2 2 1 2 = + = ( ) ， 所以 4 2 4 4 bn bn

1 2 1 2 (4 + 2 ) (1) n 4 =( ) (1) n 1 = +1+ 2 ，所以 bn = bn 4 b1 4 4 (4 + 2 ) (1) n + 2

17 ， an an 1 = 6n 3 ，求通项公式 a n 。 2 2 1 3 an 1 + 3n （1） 2 2

1 [an 1 + λ1 (n 1) + λ2 ] 2
（2）

1 λ λ + λ2 an 1 1 n 1 2 2 2

1 [an 1 6(n 1) + 9] 2 1 2n

1 2

1 + 6n 9 2n

n 递推关系式形如. 类型 8 递推关系式形如 a n +1 = Aa n + B C （A、B、C 为常数）型递推式，

6

（2）亦可变形为

a n +1 c
n +1

=

A an B × + c cn c

an c
n

A B × bn + c c

an ，求通项公式 an。 2 n an 3

1 3 an 取倒数得 = + 2n ， 2 n an 3 a n +1 an

1 3 1 1 = n + ， 2 2 an 2 2 n +1 an +1

1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 为整体的数列有 n +1 = n + = ( n ) 2 2 an 2 5 2 2 an 5 2 an +1 5 2 an
n

（其实

1 1 1 3 1 3 1 1 为特征根） 所以： n =( ) ( ) n 1 = ( ) n 5 2a1 5 2 5 2 2 an 5 5 2 (3) n
n

② 已知数列 {a n } 满足 a1 = 2a ，且 a n +1 = 2a

a2 a n 1

（n ≥ 2） ，其中 a 是不为 0 的常数，

1 。求证： 1）数列 {bn } 是等差数列。 2）求数列 {a n } 通项公式 （ （ an a
n

∑ (ak + b) c q
k =1

k 1

7

Aan Ban + C

( A 、 、C为非零常数） B

an ，求数列的通项公式 3an 2

1 2 = + 3 ，其特征方程的特征根为 1，有 a1 ≠ 1 an+1 an

1 1 1 1 1 1 = 2( 1) ，所以： 1 = ( 1) (2) n1 = × (2) n1 = (2) n2 ， 2 an+1 an an a1 1 1 + (2) n2
an ，求数列的通项公式 3an 2

ak =0或1 3ak 2

1 an ， an+1 = ，求数列的通项公式 3 3an 2

1 1 2 1 ≠ 0， 两边取倒数得： = +3， 其关于 的特征方程的特征根为 1， a1 ≠ 1 有 3 an+1 an an

1 1 1 1 1 1 = 2( 1) ，所以： 1 = ( 1) (2) n1 = ( 1) × (2) n1 = (2) n+1 ， 1 an+1 an an a1 3 1 1 (2) n+1 Aa n + B Da n + E
（B ≠ 0 ） ( AE BD ≠ 0)

1 带入递推关系，消去分子中的 bn x

an 4 。求 a n an 3

8

2bn 2 + bn

1 1 1 1 = ，特征根为 bn +1 bn 2 4

1 1 1 1 + = ( + ) bn +1 4 bn 4 1 1 1 1 1 3 + = ( + ) (1) n 1 = (1 + ) (1) n 1 = × (1) n bn 4 b1 4 4 4

4 6 (1) n + 2 1 3 (1) n 1 ， bn = ，所以 a n = bn + 2 = = bn 4 3 (1) n 1 3 (1) n 1 an 4 1 并带入 a n +1 = 去分母整理得： ，去分母整理得： bn x an 3

K>1）为特征根，设特征根为 α ，则 { a n ）为特征根，

Ax + B 进行转化 Dx + E

} 为常数列 {α } ， n ∈ N +

Ax + B Aα + B 的特征根， ∴ α = ， Dx + E Dα + E Aa k + B Aα + B = =α Da k + E Dα + E

Aa n + B Ean B 得： a n 1 = A Dan Da n + E

Q α=

Aα + B Dα + E

∴ Dα 2 + Eα = Aα + B , Ea k B A Da k Eα B =α 。 A Dα

=

（2）若首项 a1 不是特征根，则 a1 ≠ α ， 若首项 不是特征根， ① 若特征方程只有一个 只有一个特征根 α 只有一个 可构造以

1 为整体的等差数列，然后求其通项公式 an α

9

Ax + B ， 所以 Dx + E

Dx 2 ( A E ) x B = 0 ，因为 α 为它的唯一特征根

A E ，且 Dα 2 ( A E )α B = 0 2D

A E Dα + E 得 A Dα = Dα + E ，即 =1 2D A Dα

Da n + E Da n + E 1 1 = = = Aa n + B a n +1 α ( A Dα )a n ( Eα B) ( A Dα )a n ( A Dα )α α Da n + E = Da n + E ( A Dα )(a n α )

1 a n +1 α

=

Dα + E 1 D 1 D + = + A Dα an α A Dα an α A Dα

D(n 1) 1 1 = + 。 an α a1 α A Dα 1 D (n0 1) + = 0 存在一个正整数解 n0 ，由 a1 ≠ α 知 n0 > 1 ，此时数列 {an } 为有穷数列 a1 ， a1 α A Dα 1 1 D(n 1) = + 确定，注意： n = 1 , 2 , L , L , n0 1 。 an α a1 α A Dα

a2 ， K ， an0 1 。其通项公式由

1 D (n0 1) + = 0 不 存 在 正 整 数 解 ， 则 数 列 {an } 为 无 穷 数 列 ， 其 通 项 公 式 由 a1 α A Dα

1 1 D(n 1) = + 确定，注意： n ∈ N * 。 an α a1 α A Dα

an 4 。求 a n an 3 an 4 。求 a n an 3

②若特征方程有两个相异特征复数根 α ， β 则
an β 为等比数列 an α

Ax + B B xE = x , ， 得 A xD Dx + E

B αE = α A αD

B βE = β A βD

Aan + B β a β Dan + E Aan + B β ( Dan + E ) ( A βD)an + ( B β E ) 所以 n+1 = = = Aan + B an+1 α Aan + B α ( Dan + E ) ( A αD)an + ( B αE ) α Dan + E
B βE ) ( A β D)(an β ) A β D an β A βD = = = × B αE ( A αD)(an α ) A αD a n α ( A αD)(an + ) A αD ( A β D)(an +
10

an β an α

} 构成首项为 a1 β ，且公比为 A βD 的等比数列
a1 α

A αD

{an } 满足 a1 = 4 ， an = 4 a3n {an } 满足 a1 = 1 ， an = 4 a3n
3 1 an

,

{an } 满足 a1 = 4 ， an = {an } 满足 a
1

, 求 an 求 an .

= 2, an +1 =

2 an , an + 2

5an + 4 , 求 an 2an + 7

7t + 4 (2t + 5)an + 7t + 4 = (2t + 5) an + 2t + 5 , 令t = 7t + 4 , 解之可得 t = 1 ， 2 ， 5a n + 4 an +1 + t = +t = 2an + 7 2an + 7 2an + 7 2t + 5

an + t ， 2a n + 7

a 1 1 an 1 an 1 a +2 = , an +1 + 2 = 9 n , 两式相除得 n +1 , 2an + 7 2a n + 7 a n+2 + 2 3 a n + 2

an 1 a1 1 1 1 = , 公比为 的等比数列， 是首项为 a1 + 2 4 3 an + 2

a n 1 1 1 n 4 3 n 1 + 2 = 3 , 解得a n = 。 an + 2 4 4 3 n 1 1

{an } 满足 a

1

= 2, a2 = 3, an + 2 = 3an +1 2an ,求 an .

a n +1 an = +2① (n + 2)(n + 1) (n + 1)n

an ② (n + 1)n a1 3 = ，公差是 bn +1 bn = 2 的等 (1 + 1)×1 2

3 1 1 + 2(n 1) = 2n ，代入②式中得 a n = n(n + 1)(4n 1) 。 2 2 2
11

an = 1 n(n + 1)(4n 1) 2

2．构造等比数列法 例.设在数列{an}中， a1 = 2，a n +1 = 解：将原递推式变形为
(a n + 2 ) 2 ① 2a n
2 an + 2 ，求{an}的通项公式。 2a n

a n +1 + 2 =

a n +1 2 =

(a n 2 ) 2 ② 2a n

①/②得：

a n +1 + 2 a n +1 2

=[

an + 2 an 2

]2 ，

a n +1 + 2 a n +1 2

= 2 lg[

an + 2 an 2

]③

an + 2 an 2

]④

③式可化为

a n +1 a + 2 2+ 2 = 2 ，则数列{bn}是以 b1＝ lg[ 1 ] = lg = 2 lg( 2 + 1) 为首项， an a1 2 2 2

an + 2 an 2
2[( 2 + 1) 2 + 1] ( 2 + 1) 2 n 1
n

＝ ( 2 + 1) ，解得 a n =
2n

3．函数构造法 对于某些比较复杂的递推式， 通过分析结构， 联想到与该递推式结构相同或相近的公式、 函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。
3 例.在数列 {a n } 中， a1 = 1，a n +1 = a n 3a n ，求通项公式 an。

12

1 3 ，则 a 2 = a1 3a1 = ( x + x 1 ) 3 3( x + x 1 ) = x 3 + x 3

0 0 1 1 2 2 3 3

n 1

+ x 3

n 1

。下面用数学归纳法加以证明（证明略） 。
3± 5 ， 2

3± 5 3n 1 3± 5 3n 1 ) +( ) 为所求。 2 2

= 1 ， a n +1 = 2s n + 1 ， （n>=1）

⑵若数列

{bn }满足 9
2k

b1 1

9 b2 1 L 9 bn 1 = (a n +1 ) bn

n∈ N*， 证明： 数列 {bn }

sn ， 且

a n +1 = (a 1) s n + 2
⑴求证：数列
2

（n=1,2,3,4,…2k-1）,其中常数 a > 1

{a n }是等比数列 {bn }满足 b
n

⑵若 a = 2 2 k 1 ，数列

=

1 log (2a1 a2 L an ) ， （n=1,2,3,4,…2k） ，求数列 {bn } 的通项公式 n

⑶若⑵的数列 {bn } 满足不等式 b1 3、 （05 重庆）数列 {a n } 满足 a1 记b = n
1 an 1 2

3 3 3 3 + b2 + L + b2 k 1 + b2 k ≤ 4 ，求 k 的值 2 2 2 2

= 1 ，且 8a n +1 a n 16a n +1 + 2a n + 5 = 0 ， n ∈ N * ，

（n∈ N*）

⑴求 b1 ， b2 ， b3 ， b4 的值 ⑵求

{bn }的通项公式及数列 {a n bn }的前 n 项和 s n
3 a n 1 2
n = 2,3,4...

4、设数列 {a n } 的首项 a1 ∈ (0,1) ， a n =

13

⑴求数列 {a n } 的通项公式 ⑵设 bn = a n 3 2a n ，求证 {bn } 为单调递减数列 5、 （07 山东） ．设数列 {a n } 满足 a1 + 3a 2 + 3 2 a 3 + L + 3 n 1 a n = ⑴求数列 {a n } 的通项公式 ⑵设 b n =

n ，a∈ N* 3

n ，求数列 {bn } 的前 n 项和 s n an

1 1 1 5 + +L+ < a1 + b1 a2 + b2 an + bn 12

2、 （08 全国）等差数列 {a n } 中， a 4 = 10, 且 a 5 , a 6 , a10 成等比数列，求数列 {a n } 前 20 项的和 S 20 3、(08 山东)(本小题满分 12 分) 将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a7 a5 a8 a6 a9 a10

…………………………… 记表中的第一列数 a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn 为数列｛bn｝的前 n 项和， 且满足

2bn =1（n≥2）. 2 bn S n S n
1 ｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； Sn 4 时，求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

(Ⅰ)证明数列｛

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列， 且公比为同一个正数.当 a 81 =

4、 （08 四川理）设数列 {an } 的前项为 s n ，已知 ban 2n = (b 1) S n ． （Ⅰ）证明：当 b = 2 时， {a n n 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 S
n 1

} 是等比数列； （Ⅱ）求 {an } 的通项公式．

5、 （08 四川文） （本小题满分 12 分） (Ⅰ)求 a 、a ； (Ⅱ)证明：数列 {an +1 2 an } 是一个等比数列。(Ⅲ)求 {an } 的通项公式。 3 4
6、 （08 天津理）在数列 {a n } 与 {bn } 中， a1 = 1, b1 = 4 ，数列
n

= 2an 2n ,

{a n }的前 n 项和 S

n

nS n +1 (n + 3)S n = 0 , 2a n +1 为 bn 与 bn +1 的等比中项， n ∈ N * .
（Ⅰ）求 a 2 , b2 的值； （Ⅱ）求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式；

14

（Ⅲ）设 Tn

= (1) a1 b1 + (1)a2 b2 + +(1)an bn , n ∈ N * . 证明： | Tn |< 2n2 , n ≥ 3 .
3

7、 （08 重庆理）设各项均为正数的数列{an}满足 a1 = 2 ， a n = a n2+1 a n + 2 (n ∈ N * ) . （Ⅰ）若 a 2 =

1 ，求 a3，a4，并猜想 a 2008 的值（不需证明） ； 4

（Ⅱ）记 b n = a1 a 2 L a n (n ∈ N * ) ，若 2 2 ≤ bn < 4 对 n≥2 恒成立，求 a2 的值及数列{bn}的通项公式.

1 3

1 3 x 2, 则x0 = . 3 2 3 11 1 当 a1 = 4 时， a1 ≠ x 0 , b1 = a1 + = . 数列 {bn } 是以 为公比的等比数列.于是 2 2 3 1 11 1 3 3 11 1 bn = b1 ( ) n 1 = ( ) n 1 , a n = + bn = + ( ) n 1 , n ∈ N. 3 2 3 2 2 2 3

6 + 3i . 5 6 + 3i 要使 a n 为常数，即则必须 a1 = x 0 = . 5

an + 4 , 且 a1 = 3, 求 {a n } 的通项公 2a n + 3

(5) n 4 , n ∈ N. 2 + (5) n

13a n 25 . an + 3

（1）若 a1 = 5, 求 a n ; （2）若 a1 = 3, 求 a n ; （3）若 a1 = 6, 求 a n ; （4）当 a1 取哪些值 时，无穷数列 {a n } 不存在？ 解：作特征方程 x =

13 x 25 . x+3

15

（1）∵ a1 = 5,∴ a1 = λ . ∴ 对于 n ∈ N, 都有 an = λ = 5 ; （2）∵ a1 = 3,∴ a1 ≠ λ . ∴ bn =

1 r + (n 1) a1 λ p rλ

=

1 1 + (n 1) 35 13 1 5 1 n 1 = + , 2 8

1 5n 17 +λ = . bn n5

（3）∵ a1 = 6, λ = 5, ∴ a1 ≠ λ . ∴ bn =

1 r n 1 + (n 1) = 1+ , n ∈ N. a1 λ p λr 8

1 +λ = bn

1 5n + 43 +5 = , n ∈ N. n 1 n+7 1+ 8

（4）显然当 a1 = 3 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程 知 ， a1 = 5 时 ， 数 列 {a n } 是 存 在 的 ， 当 a1 ≠

λ =5 时 ， 则 有

bn =

1 r 1 n 1 5n 13 + (n 1) = + , n ∈ N. 令 bn = 0, 则 得 a1 = ,n ∈ N a1 λ p λr a1 5 8 n 1

5n 13 （其中 n ∈ N 且 N≥2）时，数列 {a n } 从第 n 项开始便不存在. n 1 5n 13 于是知：当 a1 在集合 {3 或 : n ∈ N , 且 n ≥2}上取值时，无穷数列 {a n } 都不存 n 1
∴当 a1 = 在.

16

### 求数列通项公式方法经典总结.doc

26, 求 an ; 2.数列通项公式方法总结一.观察法 二.公式法(定义法) 根据...1 ? qan ? f (n) 解题基本步骤: 1、确定 f ( n) 2、设等比数列 ?an...