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高中数学(人教A版)必修2随堂优化训练:2.3.2 平面与平面垂直的判定(含答案)


2.3.2 平面与平面垂直的判定

1.在二面角 αlβ 的棱 l 上任选一点 O,若∠AOB 是二面角 αlβ 的平面角,则必须具 有条件( ) A.AO⊥BO,AO?α,BO?β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO?α,BO?β D.AO⊥l,BO⊥l,且 AO?α,BO?β 2.下列说法正确的是( ) A.二面角的大小范围是大于 0° 且小于 90° B.一个二面角的平面角可以不相等 C.二面角的平面角的顶点可以不在棱上 D.二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直 3.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中,其中正确的命 题是( ) A.m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥β B.α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n C.α⊥β,m⊥α,n∥β?m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β 4.在三棱锥 ABCD 中,如果 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么( ) A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 BCD⊥平面 ADC D.平面 ABC⊥平面 BCD 5.若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β; ②α⊥γ,β∥γ?α⊥β; ③l∥α,l⊥β?α⊥β. 其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6.在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,DC=AD,点 E 是 AC 的中点,则平面 BDE 与 平面 ABC 的位置关系是__________. 7.在三棱柱 ABCA1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中 心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是__________. 8.已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m?β,给出下列命题: ①若 α∥β,则 l⊥m; ②若 l⊥m,则 α∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m; ④若 l∥m,则 α⊥β. 其中正确命题的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.如图 K234,在△ABC 中,∠ABC=90° ,点 P 为△ABC 所在平面外一点,PA=PB =PC,求证:平面 PAC⊥平面 ABC.

图 K234

10.如图 K235,已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1.

图 K235

2.3.2 平面与平面垂直的判定 1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 解析:①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β 不正确;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β 正确;③l∥α,l⊥β ?α⊥β 正确,所以正确的命题有 2 个. 6.垂直 解析:∵AD=DC,点 E 是 AC 的中点,∴DE⊥AC.同理 BE⊥AC.又 BE∩DE =E, ∴AC⊥平面 BED,又 AC?平面 ABC. ∴平面 ABC⊥平面 BDE. 7.60° 8.B 解析:只有①④是正确命题. 9.证明:取 AC 的中点 O,连接 PO,OB. ∵AO=OC,PA=PC,∴PO⊥AO. 又∵∠ABC=90° ,∴OB=OA. 又∵PB=PA,PO=PO, ∴△POB≌△POA,∴PO⊥OB. 又∵OA?平面 ABC,OB?平面 ABC,且 OA∩OB=O, ∴PO⊥平面 ABC. 又∵PO?平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 ABC. 10.证明:(1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. (2)如图 D57,连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD,则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD∥A1B. 因为 OD?平面 ADC1,A1B 平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1.

图 D57


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