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2013年高考第二轮复习数学浙江理科专题升级训练8 三角恒等变换及解三角形专题升级训练卷(附答案)


专题升级训练 8

三角恒等变换及解三角形

(时间:60 分钟 满分:100 分) 一、选 择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.在△ABC 中,若 sin A∶sin B∶sin C= 3∶4∶ 30,则△ABC 是( ). A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 2.在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=3,c=8,B=60° ,则 sin A 的值是( ). 3 3 3 3 3 3 A. B. C. D. 16 14 16 14 3.若满足条件 C=60° ,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( ). A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.(1,2) m-3 4-2m?π θ <θ<π?,则 tan 等于( 4.已知 sin θ= ,cos θ= ). 2 ? 2 m+5 m+5 ? m-3 1 ?m-3? A. B.? C. D.5 ? 3 9-m ?9-m?
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tan ? 2 1 1 ) 等于( 5.已知 sin (α+β)= ,sin (α-β)= ,则 log 5 ( ). 2 3 tan ? A.2 B.3 C.4 D.6 π π β β π π 1 3 6.若 0<α< ,- <β<0,cos?4+α?= ,cos?4-2?= ,则 cos?α+2?=( ). ? ? 3 ? ? 3 ? ? 2 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 AC 2 7.在△ABC 中,已知 A=120° ,且 = ,则 sin C 等于( ). AB 3 3 57 3 7 3 21 3 19 A. B. C. D. 38 14 14 38 |sin x| 8.方程 =k(k>0)有且仅有两个不同的实数解 θ,φ(θ>φ),则以下有关两根关系的结 x 论正确的是( ). A.sin φ=φcos θ B.sin φ=-φcos θ C.cos φ=θsin θ D.sin θ=-θsin φ 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) AB 3 1 9.在△ABC 中,C 为钝角, = ,sin A= ,则角 C=__________,sin B =__________. BC 2 3 π tan x 10.已知 tan?x+4?=2,则 的值为________. ? ? tan 2x π 1 cos 2α 11.已知 sin α= +cos α,且 α∈?0,2?,则 的值为__________. ? ? 2 π sin?α-4? ? ? 5 6 12.在△ABC 中,A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,其外接圆的半径 R= ,则(a2 36 1 1 +b2)?sin2A+sin2B?的最小值为__________. ? ? 三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) π 13.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=cos?2-2x?+2 3cos2x- 3. ? ? π? (1)若 x∈?0,2?,求函数 f(x)的值域; ?
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(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,其中 a=1,c= 2,且锐角 B 满足 f(B)=1,求 b 的值. 14.(本小题满分 10 分)如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上.

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 15.(本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 m = 2B (2sin(A+C), 3),n=?cos 2B,2cos 2 -1?,且 m∥n. ? ? (1)求角 B 的大小; (2) 若 b=1,求△ABC 面积的最大值. 16.(本小题满分 12 分)把函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐 π 标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,然后再向左平移 个单位后得到一个最小正周期为 2π 的 6 奇函数 g(x). (1)求 ω 和 φ 的值; 5π π (2)求函数 h(x )=f(x)-g2(x),x∈?-24,4?的最大值与最小值. ? ?
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参考答案
一、选择题 1.C 解析:依题意,由正弦定理得 a∶b∶c= 3∶4∶ 30,令 a= 3,则最大角为 C, 3+16-30 cos C= <0,所以△ABC 是钝角三角形,选择 C. 2× 3×4 3 2.D 解析:根据余弦定理得 b= 32+82-2×3×8cos 60° =7,根据正弦定理 = sin A 7 3 3 ,解得 sin A= . sin 60° 14 3.C 解析:由三角形有两解的充 要条件得 asin 60° 3< a,解得 3<a<2.故选 C. < 4.D 解析:由于受条件 sin2θ+cos2θ= 1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sin θ,cos θ θ π π θ π 的值应与 m 的值无关,进而推知 tan 的值与 m 无关,又 <θ<π, < < , 2 2 4 2 2 θ ∴tan >1,故选 D. 2 1 5.C 解析:∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= , 2 1 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= , 3 5 1 ∴sin αcos β= ,cos αsin β= , 12 12 tan α sin αcos β 5 ∴ = = ×12=5. tan β cos αsin β 12
2 ∴原式= log 55 =4 .

π π 3 π β π π 6.C 解析:根据条件可得 α+ ?4,4π?, - ?4,2?, ? 4 2 ? ? 4 ? π? 2 2 所以 sin?α+4?= , ? 3 π β 6 sin?4-2?= , ? ? 3 β 所以 cos?α+2? ? ? π π β =cos??4+α?-?4-2?? ?? ? ? ?? π π β? π π β =cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9 AC 2 7.A 解析:由 = ,可设 AC=2k,AB=3k(k>0), AB 3 1 由余弦定理可得 BC2=4k2+9k2-2×2k×3k×?-2?=19k2, ? ? ∴BC= 19k. AB BC 根据正弦定理可得 = , sin C sin A AB· A 3 57 sin ∴sin C= = . BC 38 8.B 解析:作出 y=|sin x|和 y=kx(x>0)的图象(图略),则两图象有且仅有两个公共点 A(φ,|sin φ|),B(θ,|sin θ|).

3π π 3π 由图象可知 <φ<π,π<θ≤ ,且点 B 是直线 y=kx(x>0)与 y=|sin x|在区间?π, 2 ?内 ? ? 2 2 的切点. 3π 因为在区间?π, 2 ?上,y=|sin x|=-sin x, ? ? 则 y′=-cos x. sin φ 故若点 B 是切点,则切线斜率为 k 切=-cos θ (0,1),此时有 k 切=kOA,即-cos θ= , φ 故选 B. 二、填空题 2 2- 3 AB sin C 3 1 9.150° 解析:由正弦定理知 = = ,故 sin C= . 6 BC sin A 2 2 又 C 为钝角,所以 C=150° . sin B=sin(A+C )=sin Acos C+cos Asin C 1 3 2 2 1 2 2- 3 = ×?- ?+ × = . 3 ? 2? 3 2 6 π 4 10. 解析:∵tan?x+4?=2, ? ? 9 tan x+1 1 ∴ =2,∴tan x= . 3 1-tan x 1-tan2x tan x tan x ∴ = = tan 2x 2tan x 2 2 1-tan x 1 1- 9 4 = = . 2 9 14 1 11.- 解析:∵sin α-cos α= , 2 2 1 ∴(sin α-cos α)2= , 4 3 即 2sin αcos α= . 4 3 7 2 ∴(sin α+cos α) =1+ = . 4 4 π? ∵α ?0,2?,∴sin α+cos α>0, ? 7 ∴sin α+cos α= . 2 7 - 2 cos2α-sin2α -?sin α+cos α? cos 2α 14 则 = = = =- . π? 2 2 2 2 sin?α-4? ?sin α-cos α? ? 2 2 2 1 1 ? 50 a2 b2 b2 a2 12. 解析:由正弦定理得(a2+b2)?sin2A+sin2B?= 2 + 2 + 2 + 2 =8R2+ ? 27 sin A sin B sin A sin B b2 a2 2ab 50 b2 a2 2 =8R2+8R2= ,当且仅当 2 = 2 ,即 a=b 时,取到最小 2 + 2 ≥8R + sin A sin B sin Asin B 27 sin A sin B 50 值 . 27 三、解答题 13.解:(1)f(x)=sin 2x+ 3cos 2x π =2sin?2x+3?. ? ?
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π ∵x∈?0,2?, ? ? π π 4 ∴2x+ ?3,3π?. ? 3 ? π π ∴当 2x+ = , 3 2 π 即 x= 时,f(x)max=2; 12 π 4π 当 2x+ = , 3 3 π 即 x= 时,f(x)min=- 3. 2 ∴函数 f(x)的值域为[- 3,2]. π (2)f(B)=1?2sin?2B+3?=1, ? ? π ∴B= . 4 π 2 ∴b =a2+c2-2accos =1.∴b=1. 4 14.解:(1)依题意,∠BAC=120° ,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos ∠BAC AC· 2 2 =12 +20 -2×12×20×cos 120° =784,解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 14 海 里 /时. (2)方法 1:在△ABC 中, 因为 AB =12,∠BAC=120° ,BC=28,∠BCA=α, AB BC 由正弦定理,得 = , sin α sin 120° 3 12× 2 3 3 ABsin 120° 即 sin α= = = . BC 28 14 方法 2:在△ABC 中,AB=12,∠BAC=120° ,BC=28,∠BCA=α, AC2+BC2-AB2 由余弦定理,得 cos α= , 2AC×BC 202+282-122 13 即 cos α= = . 14 2×20×28 因为 α 为锐角, 所以 sin α= 1-cos2α 13 3 3 = 1-?14?2= ? ? 14 . 1 5.解:(1)∵m∥n, 2B ∴2sin(A+C)?2cos 2 -1? ? ? = 3cos 2B, 2si n Bcos B= 3cos 2B, sin 2B= 3cos 2B,cos 2B≠0, ∴tan 2B= 3. π ∵0<B< ,则 0<2B<π, 2 π π ∴2B= .∴B= . 3 6 2 2 2 (2)∵b =a +c - 3ac,

∴a2+c2=1+ 3ac. ∵a2+c2≥2ac,∴1+ 3ac≥2ac. 2+ 3 1 1 1 ∴ac≤ =2+ 3,当且仅当 a=c 取等号.∴S= acsin B= ac≤ , 2 4 4 2- 3 2+ 3 即△ABC 面积的最大值为 . 4 ωx ωx ωπ 16.解:(1)f(x)=2cos(ωx+φ)?f1(x)=2cos? 2 +φ??g(x)=2cos? 2 + 12 +φ?, ? ? ? ? π ∴ω=2,φ= . 3 π (2)h(x)=2cos?2x+3?-4sin2x ? ? ?2x-π?-2. =-2 3sin? 3? 5π π? 3π π π ∵x ?-24,4??2x- ?- 4 ,6?, ? ? 3 ? ∴h(x)max=2 3-2,h(x)min=- 3-2.

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