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金版学案2016


第一章

集合与函数概念

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性

[学习目标] 1.记住函数的单调性及其几何意义,会 证明简单函数的单调性(重点). 2.会用函数的单调性解 答有关问题(难点). 3.记住常见函数的单调性(重点).

[知识提炼· 梳理] 1.增函数与减函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内的某 个区间 D 中的任意两个自变量的值 x1,x2. (1)条件:x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2). 结论:函数 f(x)在区间 D 上是增函数. (2)条件:x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2). 结论:函数 f(x)在区间 D 上是减函数.

温馨提示 定义中 x1,x2 是 f(x)定义域某一个子区间 M 上的任意两个变量,不能利用特殊值代替.

2.单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那 么就说函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫作 f(x)的单调区间. 温馨提示 函数的单调性是对函数定义域内的某个 子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.

[思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于函数 y=f(x), 在其定义域内某区间上存在 x1, x2 使得当 x1<x2 时,有 f(x1)<f(x2),则 f(x)在该区间上是增 函数.( ) )

(2)函数 y=x2 在定义域上不具备单调性.(

1 (3) 函数 f(x) = x 的单调减区间是 ( -∞, 0)∪(0 ,+ ∞ ). ( )

解析:(1)错,函数单调性定义中,强调 x1,x2 是区 间上的任意两个自变量. (2)对,y=x2 在定义域上不具备单调性,但在(-∞, 0)和(0,+∞)具有单调性.

1 (3)错,函数 f(x)=x的单调减区间是(-∞,0),(0, +∞). 答案:(1)× (2)√ (3)×

2.已知[0,3]是函数 f(x)定义域内的一个区间,若 f(1)<f(2),则函数 f(x)在区间[0,3]上( A.是增函数 C.既是增函数又是减函数 )

B.是减函数 D.单调性不确定

解析:由于仅知道 f(1)<f(2)不明确其他数值间的关 系,故不具备单调性的判断条件. 答案:D

? ?x,x≥0, 3.函数 f(x)=? 在 R 上是( ? ?-1,x<0

)

A.减函数 C.先减后增

B.增函数 D.无单调性

解析:函数 f(x)的图象如图所示, 由图象结合单调性定义可知, 该函数在 R 上无单调性. 答案:D

4.函数 y=x2-6x 的单调递减区间是________. 解析:函数 y=x2-6x 的对称轴为 x=3,所以函数的 单调递减区间是(-∞,3]. 答案:(-∞,3]

5.函数 f(x)=1-|x|的单调递减区间是________. ? ?1-x,x≥0, 解析:f(x)=? 的图象如图所示,单调递 ? ?1+x,x<0 减区间为[0,+∞).

答案:[0,+∞)

类型 1 由函数图象确定单调区间(自主研析) [典例 1] (1)如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y =f(x),则函数的单调递减区间是______________,在区 间__________上是增函数.

1 (2)函数 y= 的单调递减区间是____________. x-1

解析:(1)观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5, -2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中 y=f(x)在区间[-5, -2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增 函数.

1 1 (2)y= 的图象可由函数 y=x的图象向右平移一 x-1 个单位得到, 如图所示, 其单调递减区间是(-∞, 1)和(1, +∞).

答案:(1)[-5,-2),[1,3) [-2,1),[3,5] (2)(-∞,1),(1,+∞)

归纳升华 1.利用函数图象确定函数的单调区间,具体做法是: 先化简函数解析式,然后画出它的草图,最后根据函数定 义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间. 2 .注意:当单调性相同的区间多于一个时,用 “和”“, ”连接,不能用“∪”“或”连接.

[变式训练] 画出函数 y=x2-2|x|+2 的图象,并讨 论函数的单调性.
2 ? x -2x+2,x≥0, ? 解: y=x2-2|x|+2=? 2 的图象如图 ? ?x +2x+2,x<0

所示,

由图可知,函数在(-∞,-1)和(0,1)上都是减函数, 在(-1,0]和[1,+∞)上都是增函数.

类型 2 函数单调性的证明 16 [典例 2] 证明函数 y=x+ 在(0,4]上单调递减. x 证明:设 0<x1<x2≤4,则有
? 16? ? 16? y1-y2=?x1+ x ?-?x2+ x ?= ? 1? ? 2?

16(x1-x2) ? 16 ? (x1-x2)- =(x1-x2)?1-x x ?. x1x2 ? 1 2?

16 因为 0<x1<x2≤4,所以 x1-x2<0, >1, x1x2 16 即 1- <0, x1x2 所以 y1-y2>0,即 y1>y2. 16 所以函数 y=x+ 在(0,4]上单调递减. x

归纳升华 证明函数 f(x)在区间 D 上的单调性的步骤 1.设元:设 x1,x2∈D,且 x1<x2. 2.作差:将函数值 f(x1),f(x2)作差,为 f(x1)-f(x2) 或 f(x2)-f(x1). 3.变形:将上述差值变形(因式分解、配方等).

4.判号:对上述变形结果的正负加以判定. 5.定论:根据定义对 f(x)的单调性作出结论.

[变式训练] 证明:函数 f(x)=3x2-2x 在(-∞,- 1]上是减函数. 证明:设 x1<x2≤-1,则 x2-x1>0,
2 2 2 f(x2)-f(x1)=3x2 2-2x2-(3x1-2x1)=3(x2-x1)-

2(x2-x1)=(x2-x1)[3(x2+x1)-2].

因为 x1<x2≤-1,所以 x2-x1>0,x1+x2+2<0, 所以 f(x2)-f(x1)<0, 所以 f(x)在(-∞,-1]上是减函数.

类型 3 研究函数的单调性易忽视定义域(误区警示) [典例 3] 已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函 数,且 f(x-2)<f(1-x),则 x 的取值范围为________.

? ?-1≤x-2≤1, 解析: 由题意, 得? 解得 1≤x≤2. ① ? ?-1≤1-x≤1, 因为 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,

且 f(x-2)<f(1-x), 3 所以 x-2<1-x,解得 x< . ② 2 3 由①②得 1≤x< . 2
? 3? 答案:?1,2? ? ?

易错警示:上题易忽视函数的定义域为[-1,1],直 3 接利用单调性得到不等式 x-2<1-x,从而得出 x< 的错 2 误答案.

防范措施:解决此类问题的关键是利用单调性“脱 去”函数符号“f”, 从而转化为熟悉的不等式(组). 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1<x2;若函数 y=f(x)在区间 D 上是减函 数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1>x2.需要注 意的是,不要忘记函数的定义域.

[变式训练] 已知 y=f(x)在定义域(-2,3)上是减函 数,且 f(1-a)<f(2a+1),则 a 的取值范围是________. ? ?-2<1-a<3, 解析:由题意可知? ? ?-2<2a+1<3, 3 解得- <a<1.① 2 又 f(x)在(-2,3)上是减函数,

且 f(1-a)<f(2a+1), 所以 1-a>2a+1,即 a<0.② 3 由①②可知,- <a<0, 2
? 3 ? 即所求 a 的取值范围是?-2,0?. ? ? ? 3 ? 答案:?-2,0? ? ?

1.对函数单调性的理解 (1)单调性是与区间紧密相关的概念,一个函数在定 义域的不同区间上可以有不同单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的整体性质,因此定 义中的 x1,x2,有以下几个特征:一是任意性,即任意取 x1,x2, “任意”二字绝不能去掉,证明单调性时更不可 随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定 x1<x2; 三是属于同一个单调区间.

(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值 的不等关系正逆互推, 即由 f(x)是增(减)函数且 f(x1)<f(x2) ?x1<x2(x1>x2). (4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定 义区间上既有增区间又有减区间,则此函数在这个区间 上不存在单调性.

2.函数单调性定义的等价形式 (1)如果 f(x)满足下列条件中的任一个,则函数 f(x)是 M 上的增函数: ①对任意 x1,x2∈M,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0; f(x1)-f(x2) ②对任意 x1,x2∈M,都有 >0. x1-x2

(2)如果 f(x)满足下列条件中的任一个,则函数 f(x)是 M 上的减函数: ①对任意 x1,x2∈M,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0; f(x1)-f(x2) ②对任意 x1,x2∈M,都有 <0. x1-x2


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