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福建省2015年高职招考质检二试卷(数学) (1)


福建省 2015 年高职招考(面向普高)第二次质量检查

数 学 试 卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的。 1.复数 z 满足 z ? 1 ? i ,则 z ? ( A. 2 B. ) C.

共 70 分)

一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。在每小题给出的四个选项中,只有

1 2

2
N ?(

D. )

2 2

2 2 2.设集合 M ? {x x ? ? x} , N ? x | x ? x ,则 M

?

?

A.

?0?

B.

?0,1?


C. (?1,1)

D. (0,1)

3.函数 y ? ln(1 ? x) 的定义域是( A. (??,1) B. (??,1]

C. (1, ??)

D. [1, ??) )

4.等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 {an } 的公差为( A. 1
2

B. 2 )

C. 3

D. 4

5.命题 "?x ? R, x ? x " 的否定是( A. "?x ? R, x ? x "
2

B. "?x ? R, x ? x "
2

C. " ?x ? R, x2 ? x "

D. " ?x ? R, x2 ? x "

?x ? y ? 1 ? 6. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ? 1 ?
A. 3
?



B. 1
?

C. ?5
? ?

D. ?6 ) D. x ? 0

7.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ( 2,1) ,则 a ? b 的充要条件是( A. x ? ?

1 2

B. x ? ?1

C. x ? 5

8.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于 A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 3 D. 6

9.函数 f ( x) ? 2 x ?1 的零点个数为( A. 0 B. 1 C. 2

1

10.直线 y ? x 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,则弦长 AB ? ( A. 2 5 11.已知 cos(? ? ? ) ? A. ?1 B. 2 3 C. 2 ) D. 4



2 , ? ? (0, ? ) ,则 sin 2? ? ( 2
B. ?

2 2

C.

2 2

D. 1

12.平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 ,球心 O 到平面 ? 的距离为 2,则此球的表面 积为( A. 4? ) (注:球的表面积 S ? 4? R2 ,( R 为球的半径) ) B. 8? C. 12? D. 16?

13.如图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 在区间 [-

? 5?
6

, ] 上的 6

图象,为了得到这个函数的图象,只要将 y ? A sin x( x ? R) 的图象上所有的点

? 1 个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 ? B. 向左平移 个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? 1 C. 向左平移 个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? D. 向左平移 个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
A. 向左平移

x2 y 2 14. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线为 y ? ? 2 x , 且一个焦点是抛物线 a b

y 2 ? 12 x 的焦点,则该双曲线的方程为(
A.



y 2 x2 ? ?1 3 6

B.

x2 y 2 ? ?1 3 6

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

D.

y 2 x2 ? ?1 6 3

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 80 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。 y 15.如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC , A C 4 3 则 f ( f (0)) ? 。 2 16.如图所示,在边长为 1 的正方形中随机撒 1000 粒豆子, 1 B O 2 3 4 5 6 x 1 有 180 粒豆子落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积 为________。 17.当函数 y ? 3sin x cos x ? cos2 x 的最大值为 。

i n ,x ;③ y ? ln x ; 18. 给出下列函数: ① y ? x3 ? x ; ② y ?s
④ y ? tan x ; 其中是奇函数且在 (0, ??) 单调递增的函数 序号为 。 (将所有满足条件的都填上)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 19. (本小题满分 8 分) 已知等比数列 {an } 中, a1 ? 1, a4 ? 8 。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b2 ? a2 ,求数列 {bn } 的前 10 项和。

20. (本小题满分 10 分) 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯, 在全校一年级学生中进行了抽样调查, 调查结 果如下表所示: 南方学生 北方学生 合计 喜欢甜品 60 10 70 不喜欢甜品 20 10 30 合计 80 20 100

(Ⅰ)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的 饮食习惯方面有差异”; (Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机抽取 2 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 附: ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n1 )2 , n1? n2? n?1n?2

P( ? 2 ? k )
k

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

3

21. (本小题满分 10 分) 如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC 。小区的两个 出入口设置在点 A 及点 C 处。 小区里有两条笔直的小 路 AD 、 DC ,且拐弯处的转角为 120 。 已知某人从

C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了
6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的 半径 OA 的长(精确到 1 米) 。

22. (本小题满分 10 分) 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AA 1 , ?CAB ? (Ⅰ)证明 CB1 ? BA1 ;

?; 2

(Ⅱ)已知 AB ? 2 , BC ? 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA 1 的体积。

23. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 直于直线 y ?

x a 3 ? ? ln x ? , x ? R ,且曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线垂 4 x 2

1 x; 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。

24. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (0, 3),离心率为 ,左、右焦点分别为 2 2 a b

F1 (?c,0), F2 (c,0) 。
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? ?

1 x ? m 与椭圆交于 A, B 2

两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C , D 两点,且满足:

AB CD

?

5 3 ,求直线 l 的方程。 4

4


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