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3.1.1变化率问题


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问题1:气球膨胀率
很多人都吹过气球,回忆一下吹气球 的过程。

发现:
随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加的越来越慢。

从数学的角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是:

4 3 3V V (r ) ? ? r ? r (V ) ? 3 3 4?
当空气容量V从0增加1L时,半径增加了 r(1)-r(0)≈ 0.62 (dm) 气球的平均膨胀率为: r ?1? ? r ? 0 ? ? 0.62 ? dm / L ? 1? 0

类似地: 当空气容量V从1加2L时,半径增加了 r(2)-r(1) ≈ 0.16(dm)

气球的平均膨胀率为:
r ? 2 ? ? r ?1? ? 0.16 ? dm / L ? 2 ?1

可以看出: 随着气球体积逐渐变大,它的
平均膨胀率逐渐变小。

思 考 ?
当空气容量从V1增加到V2时,气球 的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2:高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:s)存在 函数关系h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10.

如果我们用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态,那么:

田亮在0秒到0.5秒时间段内的平均速度是多少?

h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05( m / s ) 0.5 ? 0
在1秒到2秒时间段内呢?

h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m / s ) 2 ?1

探 究 ?

65 计算:运动员在 0 ? t ? 49
这段时间内的平均速度, 并思考下面的问题:

(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗? 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述运动状态。

探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况, 我们把这一思路延伸到函数上,归纳一下得 出函数的平均变化率

r (V2 ) ? r (V1 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? V2 ? V1 x2 ? x1

从以上的二个例子中,我们可以了解到, 平均变化率是指在某个区间内数值的平均变 化量.
如果上述两个问题中的函数关系用 f ( x) 表示, 那么问题中的变化率可用式子:f ? x2 ? ? f ? x1 ?
表示。

x2 ? x1

函数f ( x)从x1到x2的平均变化率
平均变化率: f ? x2 ? ? f ? x1 ?

x2 ? x1

? 习惯上:用? x表示x2 -x1,即: x ? x2 ? x1
注意:x是一个整体符号,而不是?与x相乘。 ?

可把?x看作是相对于x1的一个增量, 可用x1 ?? x代替x2 ;
“增量”: ?x

? x2 ? x1

令“增量” ?x ? x2 ? x1

? ?f ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? f ? x1 ? ?x ? ? f ? x1 ? ?f ? ? ? ?x x2 ? x1 ?x

?f 于是:平均变化率可以表示为: ?x

天才就是百分之一的灵感,百分之九十九的汗水!

y

思 考 ?
观察函数f(x)的图象:

y ? f ( x)

f ( x2 )
y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 )
?

x 2 ? x1

o x 1

x2

x

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?f 平均变化率: ? ?x x2 ? x1
表示什么?

平均变化率的几何意义就是两点间的斜率。


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