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高中数学 2.4平面向量的数量积(2)学案 苏教版必修4

课题:2.4 平面向量的数量积(2)
班级: 姓名: 学号: 【学习目标】 掌握平面向量数量积的坐标表示; 掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。 【课前预习】 第 学习小组

? 1、 ( 1 )已知向量 a 和 b 的夹角是 3 , | a |=2 , | b |=1 ,则 ( a + b )2=
| a + b |= 。



( 2 )已知: | a |=2 , | b |=5 , a · b = - 3 ,则 | a + b |=

,| a -

b |=



(3)已知| a |=1,| b |=2,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为 2、设 x 轴上的单位向量 i , y 轴上的单位向量 j ,则 i ·j =

i= , j· i+



i· i= b=

, j ·j =

,若 a =

( x1 , y1 ) ,b = ( x2 , y2 ) ,则 a =

j.

i+

j。


b= 3、推导坐标公式: a ·

(x , y ) A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 4、 ( 1 ) a = 1 1 , 则 | a |=___________ ;
| AB |= 。

cos ? = (2)

a ⊥b ? ; (3)

; (4) a // b ? , | b |=

。 ,

5 、 已 知 a = (4, ?1) , b = (?3,5) , 则 | a |=

a ·b =
cos ? =
【课堂研讨】

, ;? = 。

例 1、已知 a = (2, ?1) , b = (3,1) ,求(3 a - b )·( a -2 b ), a 与 b 的夹角 ? 。

1

例 2、已知| a |=1,| b |= 3 , a + b = ( 3,1) ,试求: (1)| a - b | (2) a + b 与 a - b 的夹角

例 3、在 ?ABC 中,设 AB = (2,3) , AC = (1, k ) ,且 ?ABC 是直角三角形,求

k 的值。

【学后反思】 1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应 用。

2

课题:2.4 平面向量的数量积检测案(2) 班级: 姓名: 学号: 【课堂检测】 1、求下列各组中两个向量 a 与 b 的夹角: (1)a = ( 3,1) ,b = (?2 3, 2)



学习小组

(2)a = (1,1) ,b = (1 ? 3,1 ? 3)

2、设 A(?2,1) , B(6, ?3) , C (0,5) ,求证: ?ABC 是直角三角形。

3、若 a = (6, 2) , b = (?3, k ) ,当 k 为何值时: (1) a // b 角

? ?

(2) a ? b

?

?

(3) a 与 b 的夹角为锐

【课后巩固】 1、设 a , b , c 是任意的非零向量,且相互不共线,则下列命题正确的 有 : ② | a |-| b |<| a - b ④ (3 a +4 b ) · (3 a - 4 b )=9| a |2 -

a )b =0 ① ( a · b ) c -( c · c ) a -( a · c ) b 不与 c 垂直 |③ ( b ·

3

16| b |2 ⑤ 若 a 为非零向量, a · b = a · c ,且 b ≠ c ,则 a ⊥( b - c ) 2 、 若 a = (? , 2) , b = (?3,5) 且 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 ? 的 取 值 范 围 是 。 。

?

?

?

3、已知 a = (2, ?3) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为 4、已知若 a =

( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b 与 a - b 垂直的条件是

5、 ?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5, 2) , B(3, 4) , C (?1, 4) ,判断三角形 的形状。

6、已知向量 a = ( 3, 5) ,| b |=2,求满足下列条件的 b 的坐标。 (1) a ⊥ b

? ? a (2) // b

7、已知向量 a = (1, 2) , b = (?3, 2) 。 (1)求| a + b |和| a - b |; (2) k 为何值时,向量 k a + b 与 a -3 b 垂直? (3) k 为何值时,向量 k a + b 与 a -3 b 平行?

??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? OC ? (5 ? m ) i ? (3 ? m ) j OA ? 3 i ? 4 j OB ? 6 i ? 3 j 8、已知向量 , , ,其中 i, j
分别为直角坐标系内 x 轴与

y 轴正方向上的单位向量。

(1)若 A, B, C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2) ?ABC 是直角三角形,求实数 m 的值。

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课题:2.4 平面向量的数量积(2) 班级: 姓名: 学号: 【学习目标】 掌握平面向量数量积的坐标表示; 掌握向量垂直的坐标表示的等价条件。 【课前预习】



学习小组

? 1、 ( 1 )已知向量 a 和 b 的夹角是 3 , | a |=2 , | b |=1 ,则 ( a + b )2=
| a + b |= 。 , | a - b |=



(2) 已知: | a |=2, | b |=5,a ·b =-3, 则| a + b |=



(3)已知| a |=1,| b |=2,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为 2 、设 x 轴上的单位向量 i , y 轴上的单位向量 j ,则 i ·j =

i= , j· i+



i· i= i+

, j ·j =

,若 a =

( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a =

j. b=

j。
。 。 。 ,

b= 3、推导坐标公式: a · a= 4、 (1)

( x1 , y1 ) , A( x , y ) B( x , y ) 则| a |=___________; 1 1 , 2 2 则| AB |=
; (3) a ⊥ b ? , | b |= 。 ; (4) a // b ?

(2) cos ? =

b = (?3,5) , 5、 已知 a = (4, ?1) , 则| a |=
cos ? =
【课堂研讨】 ;? =

a· b= ,

例 1、已知 a = (2, ?1) , b = (3,1) ,求(3 a - b )·( a -2 b ), a 与 b 的夹角 ? 。

例 2、已知| a |=1,| b |= 3 , a + b = ( 3,1) ,试求: (1)| a - b | (2) a + b 与 a - b 的夹角

5

例 3、在 ?ABC 中,设 AB = (2,3) , AC = (1, k ) ,且 ?ABC 是直角三角形,求 k 的 值。

【学后反思】 1、平面向量数量积的概念及其几何意义;2、数量积的性质及其性质的简单应用。

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课题:2.4 平面向量的数量积检测案(2) 班级: 姓名: 学号: 【课堂检测】 1、求下列各组中两个向量 a 与 b 的夹角: (1) a = ( 3,1) , b = (?2 3, 2)



学习小组

(2) a = (1,1) , b = (1 ? 3,1 ? 3)

2、设 A(?2,1) , B(6, ?3) , C (0,5) ,求证: ?ABC 是直角三角形。

3、若 a = (6, 2) , b = (?3, k ) ,当 k 为何值时: (1) a // b

? ?

(2) a ? b

?

?

(3) a 与 b 的夹角为锐角

【课后巩固】 1、 设 a ,b ,c 是任意的非零向量, 且相互不共线, 则下列命题正确的有 :

a )b =0 ① ( a · b ) c -( c · c ) a -( a · c ) b 不与 c 垂直 |③ ( b ·
?

② | a |-| b |<| a - b ④ (3 a +4 b )·(3 a -4 b )=9| a |2-16| b |2

⑤ 若 a 为非零向量, a · b = a · c ,且 b ≠ c ,则 a ⊥( b - c )

?

?

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2、若 a = (? , 2) ,b = (?3,5) 且 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是 3、已知 a = (2, ?3) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为 4、已知若 a = 。



( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b 与 a - b 垂直的条件是

5、?ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5, 2) , B(3, 4) ,C (?1, 4) ,判断三角形的形状。

6、已知向量 a = ( 3, 5) ,| b |=2,求满足下列条件的 b 的坐标。 (1) a ⊥ b (2) a // b

? ?

7、已知向量 a = (1, 2) , b = (?3, 2) 。 (1)求| a + b |和| a - b |; (2) k 为何值时,向量 k a + b 与 a -3 b 垂直? (3) k 为何值时,向量 k a + b 与 a -3 b 平行?

??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? OC ? (5 ? m ) i ? (3 ? m ) j OA ? 3 i ? 4 j OB ? 6 i ? 3 j 8、已知向量 , , ,其中 i, j 分别
为直角坐标系内 x 轴与

y 轴正方向上的单位向量。

(1)若 A, B, C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2) ?ABC 是直角三角形,求实数 m 的值。

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