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与名师对话二轮理科数学1-5-2


与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

第 一 篇

知识方法篇

第1页

第一篇

知识方法篇

与名师对话· 系列丛书

二轮专题复习·课标版·数学(理)

专 题 五

解析几何

第2页

第一篇

知识方法篇

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

第二讲

椭圆、双曲线、抛物线

课 时 作 业

第3页

专题五

第二讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

2014 考纲解读 1.掌握椭圆的定义、标准方
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

核心考点 椭圆 双曲线

2015 年高考预测 1.椭圆的定义、 标准方程的 求法、定义的应用、离心 率的计算. 2.双曲线的定义、 性质、 方 程等基础知识,以及求其 离心率、渐近线方程. 3.抛物线的定义、 方程、 准 线、几何性质或与抛物线 相关的轨迹问题. 4.曲线方程的探求方法, 求 曲线的轨迹问题.
课 时 作 业

程及简单的几何性质. 2.了解双曲线的定义、几何 图形和标准方程, 知道它的 简单几何性质. 3.理解抛物线的定义、几何 图形和标准方程, 知道它的 简单几何性质. 抛物线

第4页

专题五

第二讲

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二轮专题复习·课标版·数学(理)

重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

课 时 作 业

第5页

专题五

第二讲

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课 时 作 业

第6页

专题五

第二讲

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考点一
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椭圆的标准方程及几何性质

【自主回顾】 (1)求椭圆的标准方程或离心率要注意 a,b,c 三者之间关系 的应用. (2)G 为椭圆上的任意一点,F1,F2 为左,右焦点,当 G 点 是椭圆短轴的一个端点时,∠F1GF2 取得最大值. (3)椭圆上的点到焦点的最小距离为 a-c,最大距离为 a+c. (4)要根据题意画出草图,借助数形结合的思想来解.
课 时 作 业

第7页

专题五

第二讲

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重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

椭圆的定义是解决与焦点三角形有关问题的重要依据.

课 时 作 业

第8页

专题五

第二讲

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x2 y2 1.(2014· 广东广州二模)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2= a b
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1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF1 的中点在 y 轴上,若∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为( 1 1 3 3 A.6 B.3 C. 6 D. 3 )
课 时 作 业

第9页

专题五

第二讲

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解析:设 PF1 的中点为 M,连接 PF2,由于 O 为 F1F2 的中 点,则 OM 为△PF1F2 的中位线,所以 OM∥PF2, 所以∠PF2F1=∠MOF1=90° . 由于∠PF1F2=30° ,所以|PF1|=2|PF2|,

课 时 作 业

第10页

专题五

第二讲

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由勾股定理得|F1F2|= |PF1|2-|PF2|2= 3|PF2|,
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3|PF2| 由椭圆定义得 2a = |PF1| + |PF2| = 3|PF2| ? a = 2 , 2c = 3|PF2| c |F1F2| = 3 |PF2| ? c = 2 , 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 e = a = 3|PF2| 2 3 2 · 3|PF2|= 3 .故选 D.
答案:D

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专题五

第二讲

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2.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点
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2 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点, 且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________.
课 时 作 业

第12页

专题五

第二讲

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解析:由△ABF2 的周长=4a=16,得 a=4,
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

2 c 2 又知离心率为 2 ,即a= 2 ,得 c=2 2, ∴a2=16,b2=a2-c2=16-8=8, x2 y2 ∴C 的方程为16+ 8 =1.
x2 y2 答案:16+ 8 =1
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第13页

专题五

第二讲

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【典例剖析】
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(2014· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分 x2 y2 别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0, a b b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆 于另一点 C,连接 F1C.
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第14页

专题五

第二讲

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课 时 作 业

(1)若点 C

?4 1? 的坐标为?3,3?,且 ? ?

BF2= 2,求椭圆的方程;

(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值.

第15页

专题五

第二讲

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【思路启迪】 (1)根据条件列出关于 a,b,c 的方程求解; (2)用 a,b,c 表示点 A,B,C,F1,F2 的坐标和直线 AB,F1C
重 难 点 透 析 名 师 微 课 堂

的斜率,利用垂直得关于 a,b,c 的方程,再变形求出 e 的值.
课 时 作 业

第16页

专题五

第二讲

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【解】 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2=
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b2+c2=a.

又 BF2= 2,故 a= 2. 因为点
?4 1? C?3,3?在椭圆上, ? ?
课 时 作 业

16 1 9 9 所以 a2 +b2=1,解得 b2=1. x2 2 故所求椭圆的方程为 2 +y =1.

第17页

专题五

第二讲

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(2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上,
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x y 所以直线 AB 的方程为c+b=1. ?x y ?c+b=1, 解方程组? 2 2 x y ? 2+ 2=1 ?a b 所以点 A
2 2 a ? ?x1= 2 c 2, a +c ? 得? 2 2 b ? c - a ? ?y = 2 2 , 1 ? a + c ?

? ?x2=0, ? ? ?y2=b.

课 时 作 业

2 2 ? ? 2a2c b ? c - a ?? ? 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ?a +c

第18页

专题五

第二讲

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又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为
2 2 ? ? 2a2c b ? a - c ?? ? ?a2+c2, a2+c2 ?. ? ?

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b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2a2c = 2 ,直线 AB 3a c+c3 -?-c? a2+c2 b?a2-c2? ? b? b ?- ?=-1.又 b2=a2 的斜率为- ,且 F1C⊥AB,所以 2 3· c 3a c+c ? c? -c2,整理得 a2=5c2. 1 5 故 e =5,因此 e= 5 .
2
第19页

课 时 作 业

专题五

第二讲

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解决椭圆的方程问题一般应用待定系数法, 常结合椭圆的定
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义.解决椭圆的离心率问题的关键是确立一个关于 a,b,c 的方 程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式.
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第20页

专题五

第二讲

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【举一反三】
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x2 y2 (2014· 山东威海一模)过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 作 a b 斜率为 2 的直线, 与椭圆的另一个交点为 B, 与 y 轴的交点为 C, → 6→ 已知AB= BC. 13 (1)求椭圆的离心率; (2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与 直线 x=4 相交于点 Q,若 x 轴上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥ QM,求椭圆的方程.
第21页

课 时 作 业

专题五

第二讲

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解:(1)∵A(-a,0),设直线方程为 y=2(x+a),B(x1,y1). 令 x=0,则 y=2a,∴C(0,2a),
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→ → ∴AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1). → 6→ ∵AB=13BC, 6 6 ∴x1+a= (-x1),y1= (2a-y1), 13 13 13 12 整理,得 x1=- a,y1= a. 19 19
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第22页

专题五

第二讲

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∵B 点在椭圆上,
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?13? ?12? a2 ∴?19?2+?19?2·2=1, ? ? ? ? b

b2 3 ∴a2=4, a2-c2 3 3 1 2 ∴ a2 =4,即 1-e =4,∴e=2. b2 3 (2)∵a2=4,可设 b2=3t,a2=4t, ∴椭圆的方程为 3x2+4y2-12t=0.

课 时 作 业

第23页

专题五

第二讲

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2 2 ? ?3x +4y -12t=0, 由? ? ?y=kx+m,

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得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0.

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∵动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P, ∴Δ=0,即 64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12t)=0,整理得 m2= 3t+4k2t. 8km 4km 设 P(x1,y1),则有 x1=- =- , 2?3+4k2? 3+4k2 3m y1=kx1+m= , 3+4k2
课 时 作 业

第24页

专题五

第二讲

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? 4km 3m ? ? ∴P?-3+4k2,3+4k2? ?. ? ?
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又 M(1,0),Q(4,4k+m),若 x 轴上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM,
? 4km 3m ? ? ∴?1+3+4k2,-3+4k2? (-3,-(4k+m))=0 ?· ? ?
课 时 作 业

恒成立.

整理,得 3+4k2=m2, ∴3+4k2=3t+4k2t 恒成立. x2 y2 故 t=1,所求椭圆方程为 4 + 3 =1.

第25页

专题五

第二讲

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考点二
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双曲线的方程及几何性质

【自主回顾】 x2 y2 (1)焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0, b b>0),其渐近线方程是 y=± ax; y2 x2 焦点在 y 轴上时, 双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0, b>0), a 其渐近线方程是 y=± x. b
课 时 作 业

第26页

专题五

第二讲

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b x2 y2 (2) 渐近线方程为 y = ± x 的双曲线方程可设为 2 - 2 = a a b
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λ(λ≠0). (3)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两 个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴、 两条渐近线)、 “两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形, 双曲线上一点和两焦点构成的三角形),研究它们之间的相互联 系.
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第27页

专题五

第二讲

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熟悉双曲线的渐近线方程,掌握其倾斜角、斜率的求法.

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专题五

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x2 y2 1.(2014· 广东卷)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 25 9-k
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x2 y2 与曲线 - =1 的( 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等

) B.实半轴长相等 D.离心率相等
课 时 作 业

第29页

专题五

第二讲

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x2 y2 x2 y2 解析:因为 0<k<9,所以方程 - =1 与 - =1 25 9-k 25-k 9
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x2 y2 均表示焦点在 x 轴上的双曲线.双曲线 - =1 中,其实轴 25 9-k 长为 10,虚轴长为 2 9-k,焦距为 2 25+9-k=2 34-k;双 x2 y2 曲线 - =1 中,其实轴长为 2 25-k,虚轴长为 6,焦距 25-k 9 为 2 25-k+9=2 34-k.因此两曲线的焦距相等,故选 A.
答案:A
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第30页

专题五

第二讲

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x2 y2 2.(2014· 忻州联考)已知双曲线 - =1 的离心率为 2, n 4-n
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则 n 的值为( A.2 C .1

) 4 B. 3 5 D.2
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第31页

专题五

第二讲

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x2 y2 解析:由双曲线的方程 - =1 知,双曲线的焦点在 x n 4-n
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n+4-n 2 轴上,∴ = ( 2) =2,∴n=2. n

答案:A

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第32页

专题五

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【典例剖析】
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y2 2 (2014· 北京卷)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x =1 具有 4 相同渐近线,则 C 的方程为________;渐近线方程为________. 【思路启迪】 待定系数法求双曲线方程.
课 时 作 业

第33页

专题五

第二讲

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y2 2 【解析】 设双曲线 C 的方程为 -x =λ,将点(2,2)代入上 4
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x2 y2 式, 得 λ=-3, ∴C 的方程为 - =1, 其渐近线方程为 y=± 2x. 3 12
x2 y2 【答案】 - =1 y=± 2x 3 12
课 时 作 业

第34页

专题五

第二讲

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x2 y2 x2 y2 与 a2 - b2 = 1 渐 近 线 相 同 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 - b2 = λ(λ≠0).
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第35页

专题五

第二讲

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【举一反三】 1.(2014· 大庆质检)双曲线的一个顶点为(2,0),一条渐近线
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方程为 y= 2x,则该双曲线的方程是( x2 y2 A. - =1 4 2 y2 x2 C. 8 - 4 =1 x2 y2 B. - =1 4 8 x2 y2 D. 2 - 4 =1

)
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第36页

专题五

第二讲

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x2 y2 解析: 由双曲线的一个顶点为(2,0), 可知双曲线方程为 - 2 4 b
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b =1(b>0),渐近线方程为 y=± x,由双曲线的一条渐近线方程为 2 x2 y2 y= 2x,知该双曲线的方程是 - =1,选 B. 4 8
答案:B
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第37页

专题五

第二讲

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x2 y2 2.(2014· 郑州第一次质量预测)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b
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的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30° 的直线交双曲 线右支于 M 点,若 MF2⊥x 轴,则双曲线的离心率为( 3 A. 6 B. 3 C. 4 D. 3 )
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第38页

专题五

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b2 ? a b2? b2 3 解析:∵MF2⊥x 轴,∴M?c, a ?,∴tan 30° =2c=2ac= 3 , ? ? 即 3c2-2 3ac-3a2=0,∴e= 3.
课 时 作 业

答案:B

第39页

专题五

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x2 y2 3. 已知点 F(c,0)是双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的右焦点, a b
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1 2 若双曲线 C 的渐近线与圆 F:(x-c) +y = c 相切,则双曲线 C 2
2 2

的离心率为________.

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第40页

专题五

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解析:依题意得,圆心 F(c,0)到双曲线 C 的渐近线的距离等
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2 2 c 2 2 2 2 2 2 于 2 c,即有 b= 2 c,c =2b =2(c -a ),c =2a ,a= 2,即 双曲线 C 的离心率为 2.
答案: 2
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考点三
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抛物线的方程及几何性质

【自主回顾】 (1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法. 利用题中已知条 件确定抛物线的焦点到准线的距离 p 的值. (2)对于和抛物线有两个交点的直线问题, “点差法”是常用 方法.
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第42页

专题五

第二讲

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(3)直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则有:
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①通径的长为 2p. ②焦点弦长公式:|AB|=x1+x2+p. p2 ③x1x2= 4 ,y1y2=-p2. ④以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
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第43页

专题五

第二讲

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要准确记忆焦点坐标、准线方程、通径与参数 p 的关系.

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第44页

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1 1.(2014· 广东七校联考)抛物线 y= x2 的焦点坐标是( 4
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)

A.(0,1)

? 1? B.?0,16? ? ?

? 1? C.?0,4? ? ?

D.(0,4)
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第45页

专题五

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1 解析:由 x2=y?x2=4y,于是焦点坐标为(0,1).故选 A. 4
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答案:A
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专题五

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2.(2014· 河北石家庄调研)若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0) 到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为(
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)

A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x
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第47页

专题五

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p 解析:∵抛物线 y2=2px,∴准线为 x=- .∵点 P(2,y0)到 2
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其准线的距离为 程为 y2=8x.
答案:C

? p ? 4,∴?-2-2?=4,∴p=4,∴抛物线的标准方 ? ?
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专题五

第二讲

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【典例剖析】
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(2014· 湖南卷)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长 分别为 a,b(a<b),原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y2=2px(p>0) b 经过 C,F 两点,则 =________. a
课 时 作 业

第49页

专题五

第二讲

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【思路启迪】 根据两正方形的边长及 O 为 AD 的中点,求 出点 C,F 的坐标,将两点坐标代入抛物线方程列式求解.
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第50页

专题五

第二讲

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【解析】 ∵正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a, b,O 为 AD 的中点,
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?a ? ?a ? ∴C?2,-a?,F?2+b,b?. ? ? ? ?

又∵点 C,F 在抛物线 y =2px(p>0)上, a2=pa, ? ? b ?a ? ∴? 2 解得a= 2+1. b =2p?2+b?, ? ? ? ?
【答案】 2+1

2

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第51页

专题五

第二讲

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用 a,b 表示出点 C,F 的坐标是解题的关键.

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专题五

第二讲

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【举一反三】 1.(2014· 郑州第一次质量预测)已知抛物线 y2=2px(p>0),过
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其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 )
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专题五

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解析: 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 直线 AB 的方程为
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? p? y=-?x-2?, ? ?

? p? ? ?y=-?x- ?, 2? ? 与抛物线方程联立得,? 消去 y 整理得:x2-3px 2 ? ?y =2px

p2 3p + 4 =0,可得 x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有 2 =3,p=2, 因此抛物线的准线方程为 x=-1.
答案:C

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2.(2014· 云南统一检测)设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与 抛物线 C 交于 A、B 两点,那么抛物线 C 的准线与以 AB 为直径
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的圆的位置关系为( A.相离

) B.相切
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C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心

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解析:设圆心为 M,过点 A、B、M 作准线 l 的垂线,垂足
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1 分别为 A1、B1、M1,则|MM1|=2(|AA1|+|BB1|).由抛物线定义可 1 知|BF|=|BB1|, |AF|=|AA1|, 所以|AB|=|BB1|+|AA1|, |MM1|=2|AB|, 即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径, 故以 AB 为直径的圆与抛 物线的准线相切.
答案:B
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3.(2014· 陕西质检)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点, 若抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 点 Q 是该抛物线上的一动点, 则|MQ|
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-|QF|的最小值是(

)
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7 5 A. B.3 C. D.2 2 2

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1 解析:抛物线的准线方程为 x=- ,当 MQ∥x 轴时,|MQ| 2
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? 1? 5 -|QF|取得最小值,此时|QM|-|QF|=|2+3|-?2+2?= ,选 ? ? 2

C.
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答案:C

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正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这 两个问题.在复习过程中要做到 (1)搞清概念(对概念定义应“咬文嚼字”); (2)熟悉曲线(会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线); (3)熟练运用代数、三角、几何、向量的知识;
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(4)处理问题时要在“大处着眼”(即在整体上把握问题的综 合信息和处理问题的数学思想)、“小处着手”(即在细节上能熟
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练运用各种数学知识和方法).
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1.忽略圆锥曲线的焦点位置致误
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x2 y2 4 已知双曲线m- n =1 的一条渐近线方程为 y=3x,则该双 曲线的离心率为________.
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b 4 【错解】 据已知得a=3,故双曲线的离心率 e=
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?b? 1+?a?2 ? ?

5 = . 3 x2 y2 【错因分析】 只要 mn>0, 方程 - =1 就表示双曲线. 错 m n 解中错将双曲线误认为焦点在 x 轴上.事实上只要 m<0,n<0 时 a 4 焦点在 y 轴上,此时应有b=3.
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【正确解答】
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分两种情况讨论: n 4 n b2 16 m=3,m=a2= 9 , 16 5 1+ 9 =3. m 4 m a2 16 n =3, n =b2= 9 , 9 5 1+ = . 16 4
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①m>0,n>0; e=
?b? 1+?a?2= ? ?

②m<0,n<0; e=
?b? 1+?a?2= ? ?

5 5 所以双曲线的离心率为 或 . 3 4

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求与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时,一定要关注焦
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点的位置对离心率的影响,必要时进行分类讨论.
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x2 y2 10 已知椭圆 5 + k =1 的离心率 e= 5 ,则实数 k 的值为 ( ) A.3 C. 5 25 B.3 或 3 15 D. 15或 3
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解析:①当焦点在 x 轴上时,由上述解答可知 k=3;②当焦
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2 k-5 c 2 2 2 2 2 2 点在 y 轴上时,a =k,b =5,c =a -b =k-5,e =a2= k =

? ? ? ?

25 25 10? ?2 ,解之得 k= 3 .综合①②知,适合条件的实数 k=3, 3 . 5 ? ?

故选 B.
答案:B

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2.利用几何性质解决解析几何中的范围问题
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x2 y2 已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是 a b 该双曲线的右顶点, 过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范 围是( ) B.(1,2) D.(2,1+ 2)
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A.(1,+∞) C.(1,1+ 2)

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【思维导图】
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【规范解答】 由 AB⊥x 轴,可知△ABE 为等腰三角形,
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1 又△ABE 是锐角三角形,所以∠ AEB 为锐角,即∠ AEF= 2 ∠ b2 AEB<45° ,则|AF|<|EF|.由题意,可求得|AF|= a ,|EF|=a+c,所 b2 以 a <a+c,即 c2-a2<a2+ac,即 e2-e-2<0,解得-1<e<2.又 双曲线的离心率 e>1,从而 1<e<2.故选 B.
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【答题模板】
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根据题设条件,画出对应的几何图形;

分析几何图形的形状,从中发现不等关系; 将目标参数变换到上述不等关系中,并求解此不等式; 根据不等式的解集,并结合圆锥曲线中几何量的限制 条件,得到所求参数的取值范围; 根据圆锥曲线隐含的几何性质建立不等式是圆锥曲线 问题中最常见的一类题型, 解题时要能够根据求解目标和圆锥曲 线的几何性质找到问题的突破口.
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如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1, B2,焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为( )
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? A.? ?0, ?
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5+1? ? 4 ? ? 5-1? ? 2 ? ?

? B.? ? ? ? D.? ? ?

5+1 ? ? , 1 ? 4 ? 5-1 ? ? ,1? 2 ?
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? C.? ?0, ?

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x2 y2 解析:设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),∠B1PA2 为钝角可 a b
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→ → 转化为B2A2,F2B1所夹的角为钝角,则(a,-b)· (-c,-b)<0, 得 b <ac, 即 a -c
2 2 2

?c? c 2 ? ? <ac, 故 a + -1>0, 即 e2+e-1>0, e> a ? ?

5-1 2

- 5- 1 5-1 或 e< ,又 0<e<1,∴ 2 <e<1. 2

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答案:D

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请做:课时作业(十五)

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