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2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值

数学 第 2 课时 学习目标 函数的最大值、最小值 1.理解函数的最大 (小 )值的概念及其几何意义 (难点 ).2.会借助单调性求最值 (重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点). 预习教材 P30,完成下面问题: 知识点 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: 条件 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 几何 意义 【预习评价】 称 M 是函数 y=f(x)的最大值 称 M 是函数 y=f(x)的最 小值 f(x)图象上最低点的纵坐 标 f(x)≥M f(x)图象上最高点的纵坐标 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) (1)任何函数 f(x)都有最大值和最小值.( (2)若存在实数 m,使 f(x)≥m,则 m 是函数 f(x)的最小值.( ) (3)若函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,则 f(x)在区间[a,b]上的最小值是 f(a),最大值 是 f(b).( 提示 (2)× (3)√ ) (1)× 反例:f(x)=x 既无最大值,也无最小值. 若使 m 是 f(x)的最小值,还需在 f(x)的定义域内存在 x0,使 f(x0)=m. 由于 f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以 f(a)≤f(x)≤f(b).故 f(x)的最小值是 f(a), 最大值是 f(b). 题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值 x ,-1≤x≤1, ? ? (1) 已知函数 f(x) = ?1 则 f(x) 的最大值、最小值分别为 , x >1. ? ?x 2 【例 1 】 ________,________. (2)求函数 f(x)= (1)解析 x 在区间[2,5]上的最大值与最小值. x-1 作出函数 f(x)的图象(如图).由图象可知,当 x=± 1 时,f(x)取最大值为 f(± 1)= 1.当 x=0 时,f(x)取最小值 f(0)=0, 数学 故 f(x)的最大值为 1,最小值为 0. 答案 (2)解 1 0 任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 ,f(x2)= , x1-1 x2-1 x1-x2 x2 x1 - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? 则 f(x1)= f(x2)-f(x1)= ∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1). x ∴f(x)= 在区间[2,5]上是单调减函数. x-1 ∴f(x)max=f(2)= 2 5 5 =2,f(x)min=f(5)= = . 2-1 5-1 4 规律方法 1.图象法求最值的步骤 2.利用函数的单调性求最值的两个易错点 (1)求函数的最值时应首先求函数的定义域,在定义域内进行. (2)求函数在闭区间上的最值,易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代 入,认为是函数的最值. 1 【训练 1】 已知函数 f(x)=x+x. (1)求证 f(x)在[1,+∞)上是增函数; (2)求 f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. (1)证明 设 1≤x1<x2, x1x2-1 1 1 则 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ )=(x1-x2)· . x1 x2 x1x2 ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数. 数学 (2)解 由(1)可知,f(x)在[1,4]上递增, ∴当 x=1 时, f(x)min=f(1)=2, 当 x=4 时, f(x)max=f(4)= 17 . 4 17 综上所述,f(x)在[1,4]上的最大值是 ,最小值是 2. 4 题型二 【例 2】 函数最值的实际应用 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投 1 ? ?400x-2x2?0≤x≤400?, 入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)=? 其中 x 是仪器的月产量. ? ?x>400?. ?80 000 (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时, 公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 解 (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x, 1 ? ?-2x2+300x-20 000?0≤x≤400?, 从而 f(x)=? ? ?60 000-100x?x>400?. 1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25 000; 2 ∴当 x=300 时,f(x)max=25 000, 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时 ,f(x)max=25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大,最大利润为 25 000 元. 规律方法 求解实际问题的四个步骤 (1)读题:分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主 要关系(目标与条件的关系). (2)建模:把问题中的关系转化成函数关系,建立函数解析式,把实际问题转化成函数问 题. (3)求解:选择合适的数学方法求解函数. (4)评价:对结果进行验证或评估,对错误加以改正,最后将结果应用于现实,作出解释 或预测. 特别提醒:求解实际问题的步骤也可认为分成 “设元——列式——求解——作答”四个 步骤. 数学 【训练 2】 某水厂蓄水池有水 450 吨,水厂每小时向蓄水池注水 80 吨,同时蓄水池又 向居民小区供水,t 小时内供水量为 80 20t吨.现在开始向池中注水并同时向居民供水,多少 小时后蓄水池中水量最少? 解 设 t

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