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2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 1.3.1 第2课时 函数的最大值、最小值

数学 第 2 课时 学习目标 函数的最大值、最小值 1.理解函数的最大 (小 )值的概念及其几何意义 (难点 ).2.会借助单调性求最值 (重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点). 预习教材 P30,完成下面问题: 知识点 函数的最大值与最小值 最大值 最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: 条件 对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 几何 意义 【预习评价】 称 M 是函数 y=f(x)的最大值 称 M 是函数 y=f(x)的最 小值 f(x)图象上最低点的纵坐 标 f(x)≥M f(x)图象上最高点的纵坐标 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) (1)任何函数 f(x)都有最大值和最小值.( (2)若存在实数 m,使 f(x)≥m,则 m 是函数 f(x)的最小值.( ) (3)若函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,则 f(x)在区间[a,b]上的最小值是 f(a),最大值 是 f(b).( 提示 (2)× (3)√ ) (1)× 反例:f(x)=x 既无最大值,也无最小值. 若使 m 是 f(x)的最小值,还需在 f(x)的定义域内存在 x0,使 f(x0)=m. 由于 f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以 f(a)≤f(x)≤f(b).故 f(x)的最小值是 f(a), 最大值是 f(b). 题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值 x ,-1≤x≤1, ? ? (1) 已知函数 f(x) = ?1 则 f(x) 的最大值、最小值分别为 , x >1. ? ?x 2 【例 1 】 ________,________. (2)求函数 f(x)= (1)解析 x 在区间[2,5]上的最大值与最小值. x-1 作出函数 f(x)的图象(如图).由图象可知,当 x=± 1 时,f(x)取最大值为 f(± 1)= 1.当 x=0 时,f(x)取最小值 f(0)=0, 数学 故 f(x)的最大值为 1,最小值为 0. 答案 (2)解 1 0 任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 ,f(x2)= , x1-1 x2-1 x1-x2 x2 x1 - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1? 则 f(x1)= f(x2)-f(x1)= ∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1). x ∴f(x)= 在区间[2,5]上是单调减函数. x-1 ∴f(x)max=f(2)= 2 5 5 =2,f(x)min=f(5)= = . 2-1 5-1 4 规律方法 1.图象法求最值的步骤 2.利用函数的单调性求最值的两个易错点 (1)求函数的最值时应首先求函数的定义域,在定义域内进行. (2)求函数在闭区间上的最值,易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代 入,认为是函数的最值. 1 【训练 1】 已知函数 f(x)=x+x. (1)求证 f(x)在[1,+∞)上是增函数; (2)求 f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. (1)证明 设 1≤x1<x2, x1x2-1 1 1 则 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ )=(x1-x2)· . x1 x2 x1x2 ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(

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