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西北师大附中2015届高三第五次诊断考试数学(理科A卷)-学生版

西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试
数学 (理科)
?1? i ? ? =( ?1? i ?
3

A卷

命题人:漆林伟

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求.) 1. 已知 i 是虚数单位,则 ? A. 1 ) C. ?i ) C. ? ? D. ?1

B. i

2. sin 3 的取值所在的范围是( A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

? ? ?

2 ? ,0? ? 2 ?

D. ? ?1, ?
2

? ? ?

2? ? 2 ? ?

3.在某次诊断考试中,某班学生数学成绩 ? 服从正态分布 100, ? 概率为 0.8 ,则 ? 落在 ? 0,80? 内的概率为( A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 ) D. 0.2

?

? , ?? ? 0 ? ,若 ? 在 ?80,120? 内的

4.数列{ an }的前 n 项和 Sn ? 2n 2 ? 3n(n ? N ? ) ,若 p-q=5,则 a p ? aq = ( A. 10 B. 15 C. -5 D.20 )



5. 在△ ABC 中, “AB ? AC ? BA ? BC” 是 “ AC ? BC ” 的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6. 根据如下样本数据: B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x
y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

? ? bx ? a ,则 得到了回归方程为 y
A. a ? 0, b ? 0 C. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0

7.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 xoz 、 xoy 、 yoz 三个平面上的正投影,则此四棱锥的体积为 ( ) A.94 B.32 C.64 )
y
1
-1 1

D.16

1 8. 函数 f ? x ? ? ? ln | x | 的图象大致为( x
y y

y

2 -2 -1

1 -2 2

O

x

O

-1

1

x

-1 O

-1

1

x

O

-1

1

x

A.

B.

C.
1

D.

9.设函数 y ? f ? x? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ?? ? x ? , 若 在 区 间 ? a, b ? 上 f ??( x) ? 0 恒 成 立 , 则 称 函 数 f ? x ? 在 区 间 ? a, b ? 上 为 “ 凸 函 数 ” ; 已 知

f ( x) ?

1 4 m 3 3 2 x ? x ? x 在 ?1,3? 上为“凸函数”,则实数 m 的取值范围是( 12 6 2



A. ( ??,

31 ) 9

B. [

31 ,5] 9

C. (??,?2)

D. [2,??) )

10. 已知函数 f ( x) ? x cos x ? sin x ,当 x ?[?3? ,3? ? 时,函数 f(x)的零点个数是( A. 7 11. 已知双曲线 B. 5 C. 3 D. 1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x ( x ? 0) 的图象交于点 P . 若函数 y ? x 在点 a 2 b2


P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是(
A.

5 ?1 2

B.

5?2 2

C.

3 ?1 2

D.

3 2

12. 对于函数 f ( x) ,若 ?a, b, c ? R , f (a), f (b), f (c) 为某一三角形的边长,则称 f ( x) 为“可构

ex ? t 造三角形函数” 。已知函数 f ( x) ? x 是“可构造三角形函数” ,则实数 t 的取值范围是 e ?1
( )

A.[0, ??)

B.[0,1]

C.[1, 2]

1 D.[ , 2] 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a , b 的夹角是

? ,若 | a |? 1 , | b |? 2 ,则 | 2a ? b |? 3
3 5



14. 已知 sin(? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? ,? 是第三象限角,则 tan( ? ? 15.在等腰 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 离心率 e ? .

π ) =_____. 4

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的 18

16.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为

3 , 3

M ,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN 所成角的余弦值等于



2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 sin 得到数列 ?a n ?, n ? N .
?

?
2

x . 把方程 f ( x) ? 2 的正数解从小到大依次排成一列,

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)记 bn ?

1 1 ,设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 2 4 an ?1

18.(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 AA1C1C 是边长为 2 的菱形,平面 ABC ⊥平面 AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900. (I)求证:A1B⊥AC1 (II)已知点 E 是 AB 的中点,BC=AC,求直线 EC1 与 平面 ABB1A1 所成的角的正弦值。

19.(本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零 件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出 500 件,量其内径尺寸,结果如下表: 甲厂:
分组 频数 [29.86,29.90) 15 [29.90,29.94) 30 [29.94,29.98) 125 [29.98,30.02) 198 [30.02,30.06) 77 [30.06,30.10) 35 [30.10,30.14) 20

乙厂:
分组 频数 [29.86,29.90) 40 [29.90,29.94) 70 [29.94,29.98) 79 [29.98,30.02) 162 [30.02,30.06) 59 [30.06,30.10) 55 [30.10,30.14) 35

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 ? 2 列联表,并问是否有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品 与不同的分厂有关”.
甲厂 优质品 非优质品 合计 乙厂 合计

(Ⅱ)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分二层)从两厂中各抽取五件零件,然后从每个厂 的五件产品中各抽取两件,将这四件产品中的优质品数记为 X ,求 X 的分布列.

附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

3

20. (本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px 和⊙ M : ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 1 ,过抛物线 C 上一点 H ( x0 , y0 ) ( y0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、 B 两点,分别交抛物线为 E , F 两点, 圆心 M 到抛物线准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率. o
E F

17 . 4

y
H A B

x

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? 1) , g ( x) ? e .
x

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,过原点分别作曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的切线 l1 , l2 ,已知两切线的 斜率互为倒数,证明:

e ?1 e2 ? 1 ; ?a? e e

(3)设 h( x) ? f ( x ?1) ? g ( x) ,当 x ? 0 , h( x) ? 1 时,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写 清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙O 的直径, CB 与⊙O 相切于点 B , E 为 线段 BC 上一点,连接 AC ,连接 AE ,分别交⊙O 于 D, G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F . (Ⅰ )求证: C , D, G, E 四点共圆.; C D G E F B O A

(Ⅱ )若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E , GA ? 3GE ,求证: CE ? EB . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 长为 3 的线段两端点 A, B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动, BP ? 2 PA ,点 P 的轨迹为 曲线 C . (Ⅰ )以直线 AB 的倾斜角 ? 为参数,写出曲线 C 的参数方程; (Ⅱ )求点 P 到点 D(0, ?1) 距离 d 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知 a ? 0 , b ? 0 .
(Ⅰ)若 a ? b ? 2 ,求
2 2 2

1 4 ? 的最小值; 1? a 1? b
2

(Ⅱ)求证: a b ? a ? b ? ab(a ? b ? 1) .
4

西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试 数学(理科)A 卷
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答题卡

13. 三、解答题

14.

15.

16.

17. (12 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

18. (12 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

5

19. (12 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效 甲厂 优质品 非优质品 合计 乙厂 合计

6

20. (12 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效 y
H A B

o
E F

x

21. (12 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

7

选做题(本题满分 10 分,请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分) 我选做的是第 题,解答过程如下: A

D G C E F 22 题图

O

B

8

西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试 数学(理科)A 卷
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 C 6 C 7 B 8 B 9 D 10 B 11 A 12 D

参考答案

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 2 14. 7 15.

3 8

16.

1 6

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (1)? f ( x) ? 2 ?

?
2

x ? k? ?

?
2
?

x ? 2k ? 1 k ? Z -----------------------3 分

又? x ? 0 ? an ? 2n ? 1 (n ? N ) -------------------------------------------------6 分 (2)? bn ?

1 1 ? (n ? N ? ) --------------------------------------------7 分 2 an ?1 (2n ? 1) 2

bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ( ? ) ……(10 分) 2 4 n ? 4 n ? 1 4n ? 4n 4 n n ? 1 (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )? ? ? ? Tn ? b1 ? ? ? ? ? bn ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 2 3 n n ?1 4 4(n ? 1) 4 1 ? Tn ? 得证 ------------------------------------------------12 分 4 18. (1)证明:取 AC 中点 O ,连接 A1O ,
因为平面 ABC ? 平面 AA1C1C , A1O ? AC , 所以 A1O ? 平面 ABC ,所以 A1O ? BC . 又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AA 1C1C , 所以 AC1 ? BC .……… 4 分 在菱形 AA1C1C 中, AC1 ? A1C . . 所以 AC ? 平面 A 1BC ,所以 A 1B ? AC 1 (2)以点 O 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz , 则 A(0,?1,0) , B(2,1,0) , C (0,1,0) , C1 (0,2, 3) , --------------------------------------------------- 6 分

AB ? (2,2,0) , BB1 ? CC1 ? ? 0,1, 3 ? ,
设 m ? ( x, y, z) 是面 ABB 1A 1 的一个法向量, 则 m ? AB ? 0, m ? BB ,即 ? 1 ?0

? ?2 x ? 2 y ? 0, ? ? y ? 3 z ? 0,

取 z ? ?1 可得 m ? (? 3, 3, ?1). ------------------------- 10 分
9

又 E (1,0,0) ,所以 EC1 ? (?1,2, 3) , 所以直线 EC1 与平面 ABB 1A 1 所成的角的正弦值

sin ? ?| cos ? EC,m ?|?

| EC1 ? m | 42 . = | EC1 | ? | m | 14
甲厂 优质品 400 100 500

-------------------------------------------------------12 分

19.解: (Ⅰ)列联表如下
乙厂 300 200 500 合计 700 300 1000

非优质品 合计

?2 ?

n(ad ? bc)2 1000 ? (400 ? 200 ? 300 ?100) 2 ? ? 47.619 ? 10.828 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 500 ? 500 ? 700 ? 300

所以有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”. -------------6 分 (Ⅱ)甲厂有 4 件优质品,1 件非优质品,乙厂有 3 件优质品,2 件非优质品. 从两个厂各抽取 2 件产品,优质品数 X 的取值为 1, 2,3, 4
1 1 1 2 2 1 2 C4 C2C3 ? C4 C2 C4 C2 1 3 ; ? P ( X ? 2) ? ? ; 2 2 2 2 C5 C5 25 C5 C5 10

P( X ? 1) ?

2 2 1 3 9 12 C4 C 9 P( X ? 4) ? 2 32 ? ,所以 P( X ? 3) ? 1 ? ? ? ? 25 10 50 25 C5 C5 50

--------------10 分

所以 X 的分布列为

X P

1 1 25

2 3 10

3 12 25

4

9 50
p 17 , ? 2 4

---------------------------------------------------------------------------12 分 20. 解: (Ⅰ)∵ 点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ∴p ?

1 ,即抛物线 C 的方程为 y 2 ? x .-----------------------------------------------------4 分 2 (Ⅱ)法一:∵ 当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴k HE ? ? k HF ,
设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,∴

yH ? y1 y ? y2 yH ? y1 y ? y2 ∴ 2 , ?? H ?? H 2 2 2 xH ? x1 xH ? x2 yH ? y1 yH ? y2

∴ y1 ? y2 ? ?2 yH ? ?4 . ------------------------------------------------------------------------------6 分

k EF ?

y2 ? y1 y2 ? y1 1 1 ? 2 ? ? ? .-----------------------------------------------------12 分 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 4
3,

法二:∵当 ?AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H (4,2) ,∴?AHB ? 60 ? ,可得 k HA ? 直线 HA 的方程为 y ? 3 x ? 4 3 ? 2 , k HB ? ? 3 ,∴ 联立方程组 ? ∵ yE ? 2 ?

? y ? 3x ? 4 3 ? 2 ,得 3 y 2 ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 , 2 y ?x ?

3 3?6 13 ? 4 3 ∴y E ? , xE ? .----------------------------10 分 3 3 3
10

同理可得 y F ? ∴k EF ? ?

? 3?6 13 ? 4 3 , xF ? , 3 3

1 .-----------------------------------------------------------------------------12 分 4
1 1 ? ax ?a ? . x x

21.【解析】 (1)依题意,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,对 f ( x ) 求导,得 f ?( x) ? ①若 a ? 0 ,对一切 x ? 0 有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . ②若 a ? 0 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 .

1 a

1 a

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) ,单调递减区间是 ( , ??) -----------------4 分 (2)设切线 l2 的方程为 y ? k2 x ,切点为 ( x2 , y2 ) ,则 y2 ? ex2 ,

1 a

1 a

k2 ? g ?( x2 ) ? e x2 ?

y2 ,所以 x2 ? 1 , y2 ? e ,则 k2 ? ex2 ? e . x2
1 1 1 ? , l1 的方程为 y ? k1 x ? x . e k2 e

由题意知,切线 l1 的斜率为 k1 ?

设 l1 与曲线 y ? f ( x) 的切点为 ( x1 , y1 ) ,则 k1 ? f ?( x1 ) ? 所以 y1 ?

1 1 y ?a ? ? 1 , x1 e x1

x1 1 1 ? 1 ? ax1 , a ? ? . e x1 e

又因为 y1 ? ln x1 ? a( x1 ? 1) ,消去 y1 和 a 后,整理得 ln x1 ? 1 ? 令 m( x) ? ln x ? 1 ?

1 1 ? ? 0 .------------6 分 x1 e

1 1 1 1 x ?1 ? ? 0 ,则 m' ( x) ? ? 2 ? 2 , x e x x x m( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 1 e 1 1 1 ? 0 , m(1) ? ? ? 0 ,所以 x1 ? ( ,1) , e e e

若 x1 ? (0,1) ,因为 m( ) ? ?2 ? e ?

e ?1 e2 ? 1 1 1 1 x ? ( ,1) 而a ? ? 在 1 上单调递减,所以 . ?a? e e e x1 e
若 x1 ? (1, ??) ,因为 m( x) 在 (1, ??) 上单调递增,且 m(e) ? 0 ,则 x1 ? e , 所以 a ?

e ?1 e2 ? 1 1 1 .综上可知, . -----------------------8 分 ?a? ? ? 0 (舍去) e e x1 e
x

1 ?a . x ?1 1 1 x ? a ? x ?1? ?a ? 2?a ? 0, ①当 a ? 2 时,因为 e x ? x ? 1 ,所以 h?( x) ? e ? x ?1 x ?1
x (3) h( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ? e , h?( x) ? e ?

h( x) 在 ?0, ??? 上递增, h( x) ? h(0) ? 1 恒成立,符合题意.

11

1 ( x ? 1)2 e x ? 1 ? ? 0 ,所以 h?( x) 在 ?0, ??? 上递增,且 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 h?(0) ? 2 ? a ? 0 ,则存在 x0 ? (0, ??) ,使得 h?(0) ? 0 .
x ②当 a ? 2 时,因为 h??( x) ? e ?

所以 h( x) 在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 , ??) 上递增,又 h( x0 ) ? h(0) ? 1,所以 h( x) ? 1 不恒成立, 不合题意. 综合①②可知,所求实数 a 的取值范围是 ? ??,2 . 22.解:
? (Ⅰ)连接 BD ,则 ?AGD ? ?ABD , ?ABD ? ?DAB ? 90 ,
? ? 因为 ?C ? ?CAB ? 90 ,所以 ?C ? ?AGD , ?C ? ?DGE ? 180 ,

?

----------------------------12 分

因此 C , E , G, D 四点共圆; (Ⅱ)设 EG ? x , GA ? 3 x ,

---------------------------------------------------------5 分

2 由切割线定理 EG ? EA ? EB ,则 EB ? 2 x ,又 F 为 EB 三等分,所以 EF ?

2x 4x , FB ? , 3 3

2 又 FE ? FC ? FG ? FD , FG ? FD ? FB , 所以 FC ?

8x , CE ? 2 x ,即 CE ? EB .----10 分 3

23.解: (Ⅰ)设 P( x, y) ,则根据题设画图知

2 1 | AB | cos(? ? ? ) ? ?2 cos ? , y ? | AB | sin(? ? ? ) ? sin ? , 3 3 ? ? x ? ?2cos ? 曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数,且 ? ? ? ? ) ; 2 ? y ? sin ? x?
(Ⅱ) D(0, ?1) ,设 P(?2cos ? ,sin ? ) ,则

????(5 分)

1 16 | PD |? (?2 cos ? ) 2 ? (sin ? ? 1) 2 ? ?3sin2 ? ? 2sin ? ? 5 ? ?3(sin ? ? )2 ? , 3 3
因为

?
2

? ? ? ? ,所以 sin ? ? (0,1) , 2 ?| PD |?

4 3 4 3 ,故 d 的取值范围是 (2, ] ?(10 分) 3 3

24. 解: (Ⅰ)

1 4 1 1 4 ? ? ( ? )(1 ? a ? 1 ? b) 1? a 1? b 4 1? a 1? b

1 1 ? b 4 ? 4a 1 1 ? b 4 ? 4a 9 (5 ? ? ) ? (5 ? 2 ? )? , 4 1? a 1? b 4 1? a 1? b 4 1 ? b 4 ? 4a 1 5 ? 等号成立条件为 ,而 a ? b ? 2 ,所以 a ? , b ? , 1? a 1? b 3 3 1 5 1 4 9 ? 因此当 a ? , b ? 时, 取最小值 ; 3 3 1? a 1? b 4 ?
(Ⅱ)由均值不等式得

???(5 分)

a 2b 2 ? a 2 ? 2a 2b , a 2b 2 ? b 2 ? 2b 2 a , a 2 ? b2 ? 2ab , 2 2 2 2 2 2 三式相加得 2a b ? 2a ? 2b ? 2a b ? 2ab ? 2ab = 2ab(a ? b ? 1) ,
而 2a b ? 2ab ? 2ab = 2ab(a ? b ? 1) ,所以 a b ? a ? b ? ab(a ? b ? 1) .?(10 分)
2 2

2 2

2

2

12


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