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安徽省宣城市2017届高三下学期第二次调研(模拟)考试数学(理)试题 Word版含答案

宣城市 2017 届高三第二次调研测试 数学(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设 (1 ? i)( x ? yi) ? 2 ,其中 i 为虚数单位, x , y 是实数,则 | 2 x ? yi |? ( A.1 B. 2 C. 3 D. 5 )

2 x ?1 2.已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,集合 B ? x | 2 ? 1 ,则 A ? B ? (

?

?

?

?



A. [?1,3)

B. [0,3)

C. [1,3)

D. (1,3)

3.一支田径队共有运动员 98 人,其中女运动员 42 人,用分层抽样的办法抽取一个样本,每 名运动员被抽到的概率都是 A.12

2 ,则男运动员应抽取( 7
C.16

)人 D.18

B.14

4.已知 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列四个命题,错误的 命题是( )

A.若 m / /? , m / / ? , ? ? ? ? n ,则 m / / n B.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? m ,则 m ? ? D.若 ? / / ? , m / /? ,则 m / / ? 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( )

A.1007

B.3025

C.2017

D.3024

6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: “三百七十八里关,出行健步不为难, 次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还. ”其意思为:有一 个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走了( A.96 里 7.二项式 ( x ? A. ?15 8.已知双曲线 B.192 里 ) C.48 里 ) C. ?20 D. 20 D.24 里

1 6 ) 的展开式中常数项为( x
B. 15

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 两渐近线的夹角 ? 满足 sin ? ? ,焦点到渐进线的距离 d ? 1 , 2 5 a b
) B.

则该双曲线的焦距为( A. 5

5 或 5 2

C. 5 或 2 5

D.

5 或2 5 2

9.设数列 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 S1 ? 13 , S4 ? 10 , S5 ? 15 ,则 a4 的最 大值为( A.3 ) B.4 C. ?7 D. ?5

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的 外接球的表面积是( )

A. 25?

B.

25 ? 4

C. 29?

D.

29 ? 4

11.已知集合 M ? ?( x, y) | y ? f ( x)? ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

1? ? . 给出下列 4 个集合: ① M ? ?( x, y) | y ? ? ; x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合是“好集合” x? ?
x ② M ? ( x, y ) | y ? e ? 2 ;③ M ? ?(x, y)| y ?cos x ? ;④ M ? ?(x, y)| y ?ln x ? .其中

?

?

为“好集合”的序号是( A.①②④
x

) B.②③ C.③④ D.①③④ )

12.若函数 f ( x) ? e (sin x ? a cos x) 在 ( A. (??,1] B. (??,1)

? ? , ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( 4 2
C. [1, ??) D. (1, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.计算

?

2?

0

| sin x | dx ?
? ?



14.已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , | a ? b |? 5 ,则 | 2a ? b |? 15.在 ?ABC 中, sin A ?
2 2

?

?

? ?

? ?

. .

5 3 , cos B ? ,若最大边长为 63,则最小边长为 13 5

16.已知 P 是圆 x ? y ? 4 上一点,且不在坐标轴上, A(2, 0) , B(0, 2) ,直线 PA 与 y 轴 交于点 M ,直线 PB 与 x 轴交于点 N ,则 | AN | ?2 | BM | 的最小值为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.已知向量 m ? (2a cos x,sin x) , 函数 f ( x) ? m ? n ? n ? (cos x, b cos x) ,

??

?

?? ?

3 , 函数 f ( x ) 2

在 y 轴上的截距我

? 3 ,与 y 轴最近的最高点的坐标是 ( ,1) . 12 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位,再将图象上各点的纵坐标不变, 横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y ? sin x 的图象,求 ? 的最小值. 18.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,?ADC ? 90? ,CD / / AB , AB ? 4 , AD ? CD ? 2 ,

M 为线段 AB 的中点,将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体

D ? ABC ,如图 2 所示.

(Ⅰ)求证: BC ? 平面 ACD ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值. 19.某校在高二年级开展了体育分项教学活动, 将体育课分为大球 (包括篮球、 排球、 足球) 、 小球 (包括乒乓球、 羽毛球) 、 田径、 体操四大项 (以下简称四大项, 并且按照这个顺序) . 为 体现公平,学校规定时间让学生在电脑上选课,据初步统计,在全年级 980 名同学中,有意 申报四大项的人数之比为 3:2:1:1,而实际上由于受多方面条件影响,最终确定的四大项人 数必须控制在 2:1:3:1,选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类. (Ⅰ)随机抽取一名同学,求该同学选课成功(未被调剂)的概率; (Ⅱ)某小组有五名同学,有意申报四大项的人数分别为 2、1、1、1,记最终确定到田径 类的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 EX .
x 2 20.已知 f ( x) ? e ? ax , g ( x) 是 f ( x ) 的导函数.

(Ⅰ)求 g ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) ? x ? 1 在 x ? 0 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.如图,已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , A 、 B 为椭圆的左右顶 2 a b 2

点,焦点到短轴端点的距离为 2, P 、 Q 为椭圆 E 上异于 A 、 B 的两点,且直线 BQ 的斜 率等于直线 AP 斜率的 2 倍.

(Ⅰ)求证:直线 BP 与直线 BQ 的斜率乘积为定值; (Ⅱ)求三角形 APQ 的面积 S 的最大值.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,圆 C 的极坐标

3 ? x?? t?2 ? ? 5 方程为 ? ? a sin ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 4 ?y ? t ? 5 ?
(Ⅰ)若 a ? 2 , M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是圆 C 上一动点,求 | MN | 的最大值; (Ⅱ)若直线 l 被圆 C 截得的弦长等于圆 C 的半径 3 倍,求 a 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| ax ? 1| ,不等式 f ( x) ? 3 的解集是 ?x | ?1 ? x ? 2? . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若

f ( x) ? f (? x) ?| k | 存在实数解,求实数 k 的取值范围. 3

宣城市 2017 届高三第二次调研测试数学(理科)答案 一、选择题
1-5: DCCDB 6-10: ABCBD 11、12: BA

二、填空题
13.4 14. 2 2 15.25 16.8

三、解答题
17.解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ?

?? ?

3 3 , ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ? 2 2

由 f (0) ? 2a ?

3 3 3 ,得 a ? , ? 2 2 2 3 b cos 2 x ? sin 2 x , 2 2

此时, f ( x) ?

由 f ( x) ?

3 b2 ? ? 1 ,得 b ? 1 或 b ? ?1 , 4 4

当 b ? 1 时, f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,经检验 (

?
12

,1) 为最高点;

当 b ? ?1 时, f ( x) ? sin(2 x ?

? 2? ) ,经检验 ( ,1) 不是最高点. 12 3

故函数的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ?

?

3

).

(Ⅱ)函数 f ( x ) 的图象向左平移 ? 个单位后得到函数 y ? sin(2 x ? 2? ? 标伸长到原来的 2 倍后得到函数 y ? sin( x ? 2? ? 所以 2? ?

?
3

) 的图象,横坐

?
3

) 的图象,

?
3

? 2 k? ( k ? Z ) ,? ? ?
5? . 6

?
6

? k? ( k ? Z ) ,

因为 ? ? 0 ,所以 ? 的最小值为

2 2 2 18.解: (Ⅰ)在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC ? BC ? AB ,故 AC ? BC ,

取 AC 中点 O 连接 DO ,则 DO ? AC ,又面 ADE ? 面 ABC , 面 ADE ? 面 ABC ? AC , DO ? 面 ACD ,从而 OD ? 平面 ABC ,

∴ OD ? BC , 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ BC ? 平面 ACD , (Ⅱ)以 O 为原点, OA 、 OM 、 OD 所在直线分别为 x , y , z 轴,如图所示,建立空 间直角坐标系 O ? xyz , 则 M( 0 , 2 ,0 ) ,C (? 2,0,0) ,D(0,0, 2) ,CM ? ( 2, 2,0) ,

???? ?

??? ? CD ? ( 2,0, 2) ,
设 n1 ? ( x, y, z) 为面 CDM 的法向量,

??

?? ???? ? ? ? y ? ? x, ?n1 ? CM ? 0, ? ? 2 x ? 2 y ? 0, 则 ? ?? ??? 即? 解得 ? ? ? z ? ? x, ? ? 2 x ? 2 z ? 0, ?n1 ? CD ? 0, ? ?? 令 x ? ?1 ,可得 n1 ? (?1,1,1) ,
又 n2 ? (0,1,0) 为面 ACD 的一个法向量,

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 3 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? , ? 3 | n1 | ? | n2 | 3
∴二面角 A ? CD ? M 的余弦值为

3 . 3

19.解: (Ⅰ) P ?

3 2 2 1 1 1 5 ? ? ? ? ? ? . 7 3 7 2 7 7 7

(Ⅱ) X 的所有可能取值为 1,2,3,4.

2 2 1 4 2 1 1 2 2 1 8 P( X ? 1) ? ? ? ? ; P( X ? 2) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 2 18 3 3 2 3 3 2 18

2 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 P( X ? 3) ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ; P( X ? 4) ? ? ? ? . 3 3 2 3 3 2 18 3 3 2 18
分布列为:

X
P

1

2

3

4

4 18

8 18

5 18

1 18

EX ? 1?

4 8 5 1 13 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 18 18 18 18 6

20.解: (Ⅰ) f ( x) ? e x ? ax2 , g ( x) ? f '( x) ? e x ? 2ax , g '( x) ? e x ? 2a , 当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 无极值; 当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 ,即 x ? ln(2a) , 由 g '( x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) ;由 g '( x) ? 0 ,得 x ? ln(2a) , 所以当 x ? ln(2a) 时,有极小值 2a ? 2a ln(2a) . (Ⅱ)令 h( x) ? e x ? ax2 ? x ? 1,则 h '( x) ? e x ?1 ? 2ax ,注意到 h(0) ? h '(0) ? 0 , 令 k ( x) ? e x ? 1 ? x ,则 k '( x) ? ex ?1 ,且 k '( x) ? 0 ,得 x ? 0 ; k '( x) ? 0 ,得 x ? 0 , ∴ k ( x) ? k (0) ? 0 ,即 e ? 1 ? x 恒成立,故 h '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
x

当a ?

1 时, 1 ? 2a ? 0 , h '( x) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? x ? 1 成立. 当a ?

1 x ?x 时,由 e ? 1 ? x ( x ? 0 )可得 e ? 1 ? x ( x ? 0 ). 2

h '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln(2a)) 时, h '( x) ? 0 , 于是当 x ? (0, ln(2a)) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , f ( x) ? x ? 1 不成立. 综上, a 的取值范围为 (??, ] .

1 2

21.解: (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

1 k AP ? k BP ? ? ,故 kBP ? kBQ ? ?1 . 2

(Ⅱ)当直线 PQ 的斜率存在时,设 lPQ : y ? kx ? b 与 x 轴的交点为 M , 代入椭圆方程得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 4 ? 0 , 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

?4kb 2b 2 ? 4 x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

由 BP ? BQ ? 0 ,得 y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , 得 (k 2 ?1) x1x2 ? (kb ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4 ? b2 ? 0 ,

??? ? ??? ?

2 4k 2 ? 8kb ? 3b2 ? 0 ,得 b ? ?2k 或 b ? ? k . 3 2 2 y ? kx ? 2k 或 y ? kx ? k ,所以过定点 (2, 0) 或 ( , 0) , 3 3
点 (2, 0) 为右端点,舍去,

1 S?APQ ? S?APM ? S?AQM ? ? | OM | ? | y1 ? y2 | 2
?


? 8 k 2 (8k 2 ? 2b 2 ? 4) 16 k 2 (16k 2 ? 9) 16 7? 1 1 ? ? 4? ? 2 ? , 2 2 2 2 2 2? 3 (2k ? 1) 9 (2k ? 1) 9 2 ? 2k ? 1 2(2k ? 1) ?
1 2k 2 ? 1 ? t (0 ? t ?1) ,

S?APQ ?

32 16 7 1 4 ? (t ? t 2 ) , 0 ? t ? t 2 ? 1 , S ?APQ ? , 9 9 2 2

当直线 lPQ 的斜率 k 不存在时, P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) ,

k AP ?

2 4 1 2 y1 ? y1 k BQ ,即 ,解得 x1 ? , y1 ? , ? 3 3 2 x1 ? 2 x1 ? 2

1 8 8 32 S?APQ ? ? ? ? , 2 3 3 9 32 所以 S?APQ 的最大值为 . 9
2 22.解: (Ⅰ)当 a ? 2 时,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,可化为 ? ? 2? sin ? ,

化为直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,即 x ? ( y ?1) ? 1 .
2 2 2 2

直线 l 的普通方程为 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,与 x 轴的交点 M 的坐标为 (2, 0) , ∵圆心 (0,1) 与点 M (2,0) 的距离为 5 ,

∴ | MN | 的最大值为 5 ? 1 . (Ⅱ)由 ? ? a sin ? ,可化为 ? 2 ? a? sin ? , ∴圆 C 的普通方程为 x ? ( y ? ) ?
2 2

a 2

a2 . 4

∵直线 l 被圆 C 截得的弦长等于圆 C 的半径的 3 倍, ∴由垂径定理及勾股定理得:圆心到直线 l 的距离为圆 C 半径的一半,

3 | a ?8| 1 |a| 32 ? ? ∴ 2 ,解得 a ? 32 或 a ? . 2 2 11 2 2 4 ?3
23.解: (Ⅰ)由 | ax ? 1|? 3 ,得 ?3 ? ax ? 1 ? 3 ,即 ?2 ? ax ? 4 ,

? 2 ? ? ?1, ? 2 4 ? a 当 a ? 0 时, ? ? x ? ,所以 ? 解得 a ? 2 ; 4 a a ? ? 2, ? ?a ? 1 ? ? 2, ? 4 2 ? a 当 a ? 0 时, ? x ? ? ,所以 ? 无解. a a ? 4 ? ?1 ? ?a
所以 a ? 2 .

f ( x) ? f (? x) | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1| | 2 x ? 1| ?(2 x ? 1) 2 ? ? ? , 3 3 3 3 2 f ( x) ? f (? x) ?| k | 存在实数解,只需 | k |? , 所以要使 3 3 2 2 解得 k ? 或 k ? ? , 3 3 2 2 所以实数 k 的取值范围是 ( ??, ? ) ? ( , ?? ) . 3 3
(Ⅱ)因为


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