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2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案


2015 年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.已知函数 f ? x ? ? ln 答案: 2 提示:

?

? 1? 则 f ?l n a ? ?f ? l n 1 ? a2 x2 ? ax ? 1? a ? 0? , ?? ? a?

?



f ? x ? ? f ? ? x ? ? ln

?

1 ? a2 x2 ? ax ? ln

? ?

1 ? a 2 x 2 ? ax ? 2 ? ln ?1 ? a 2 x 2 ? a 2 x 2 ? ? 2 ? 2.
2

?

2 2.设 A 、 B 两点分别在抛物线 y 2 ? 6 x 和圆 C : ? x ? 2 ? ? y ? 1 上,则 AB 的取值范围

是 . 答案: ?1, ?? ? 提示:由于 AB ? AC ?1 ,则只需要考虑 AC 的范围.而

AC ? ? x ? 2 ? ? y 2 ? ? x ? 2 ? ? 6 x
2 2 2

? x 2 ? 2 x ? 4 ? ? x ? 1? ? 3,
2

又 x ? 0 ,故 AC min ? 2 ,故 AB 的取值范围为 ?1, ??? . 3.若 tan ? ? 3tan ? ? 0 ? ? ? ? ? 答案: 提示:

? ?

??

? ,则 ? ? ? 的最大值为 2?



? . 6
tan ? ? tan ? 2 tan ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 tan 2 ? 2 ? 1 ? 3 tan ? tan ?

tan ?? ? ? ? ?

3 ? ? tan . 3 6 ? ? 因为 0 ? ? ? ? ? ,所以 0 ? ? ? ? ? . 2 2 ? ? 所以 ? ? ? ? ,即 ? ? ? 的最大值为 . 6 6 4.已知△ ABC 为等腰直角三角形,其中 ?C 为直角, AC ? BC ? 1 ,过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB ,使得 DB ? 1 ,在 DA 、 DC 上分别取点 E 、 F ,则△ BEF 周长的最小 ?
1

值为



答案; 2 ? 2 . 提示:由题意可知, ?CDB ? 侧面

?
4

, 且 ?BDA 与 ?CDA 之和为

? . 如图,将侧面 BDA 和 2

CDB 分别折起至面 B1DA 和 B2 DC ,且与侧面 ADC 位于同一个平面上.则△ BEF 周长的
最小值即面 AB1DB2C 上两点 B1 、 B2 之间的线段长. 由前面的分析可知,

?B1 DB2 ? ?B1 DA ? ?ADC ? ?CDB2 ?

?
2

?

?
4

?

3? . 4

由余弦定理可得,

B1 B2 ? B1 D 2 ? B2 D 2 ? 2 B1 D ? B2 D ? cos ?B1 DB2 ? 2? ? 1?1? 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 2 ? 2. ? ?
所以,△ BEF 周长的最小值为 2 ? 2 .
x 3 5.已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ,对任意的 m ?? ?2, 2? , f ? mx ? 8 ? ? f 2 ? 0 恒成立,

? ?

则正实数 x 的取值范围为 答案: 0 ? x ? 2.



x 3 提示:由于 f ? x ? ? x ? 3x 为奇函数且为增函数,所以 f ? mx ? 8 ? ? f 2 ? 0 等价于

? ?

2

f ? mx ? 8 ? ? ? f ? 2 x ? ? f ? ?2 x ? ,即 mx ? 8 ? ?2x.
即 mx ? 2 ? 8 ? 0 对任意 m ???2,2? 恒成立.
x

x ? ?0 ? x ? 2, ? 2 x ? 2 ? 8 ? 0, 即? 所以 ? 即 0 ? x ? 2. x ? ?0 ? x ? 4, ? ?2 x ? 2 ? 8 ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a? 2 c? b 6.已知向量 a 、 且b ? b、 c 满足 a : b : c ? 2 : k : 3 ? k ? N * ? ,

?

若? 为 a 、 ?,

?

? c 的夹角,则 cos? 的值为
答案: ? .



1 6

提示:由 b ? a ? 2 c ? b 得 b ?

? ?

?

? ?

?

?

?2 1 ? 2 4 ?2 4 ? ? b ? a ? c ? a ? c. 9 9 9 ? ? ? 又 a : b : c ? 2 : k : 3 ,所以

1? 2? a ? c ,所以 3 3

k2 ?

40 24 ?16 64 ? ? cos ? ? ? , ? . 9 9 ?9 9?
1 6

* 又 k ? N ,所以 k ? 2 ,所以 cos ? 的值为 ? .

7.现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭正四面体容器,则该容器棱长最小值 为 . 答案: 4 ? 2 6. 提示:这 10 个小球成棱锥形来放,第一层 1 个,第 2 层 3 个,第 3 层 6 个,即每一条 棱是 3 的小球, 于是正四面体的一条棱长就应该是 4 倍的小球的半径加上 2 倍的球心到四面 体顶点的距离到棱长上射影的长度,又球心到顶点的距离为 3,正四面体的高和棱所成角的 余弦值为

6 6 ? 4 ? 2 6. ,故容器棱长的最小值为 4 ? 2 ? 3 ? 3 3

8.将 10 个小球 (5 个黑球和 5 个白球) 排成一行, 从左边第一个小球开始向右数小球. 无 论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为 . 答案: . 提示:方法一 如果只有 2 个小球(1 黑 1 白) ,那么黑球的个数总不少于白球个数的概

1 6

1 1 ;如果只有 4 个小球(2 黑 2 白) ,那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ; 2 3 1 如果只有 6 个小球(3 黑 3 白) ,那么黑球的个数总数不少于白球个数的概率为 ;以此类 4
率为 推,可知将 10 个小球(5 黑 5 白)排成一行,从左边一个小球开始向右数小球,无论数几
3

个小球,黑球的个数不少于白球个数的概率为 . 方法二 直接从 10 个小球入手分类讨论. 二、解答题(第 9、10、11、12 题各 14 分,第 13、14 题各 15 分) 9.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 对边的边长分别是 a 、 b 、 c ,向量

1 6

? ? ? p ? ? sin A ? sin C,sin B ? , q ? ? a ? c, b ? a ? ,
且满足 p ? q . (1)求△ ABC 的内角 C 的值;

? ?

?

(2)若 c ? 2,2sin 2 A ? sin ?2 B ? C ? ? sin C ,求△ ABC 的面积. 解 (1)由题意 p ? q ,所以

? ?

?

? a ? c??sin A ? sin C ? ? ?b ? a? sin B ? 0.
由正弦定理,可得 ? a ? c ?? a ? c ? ? ?b ? a ? b ? 0. 整理得 a ? c ? b ? ab .
2 2 2

由余弦定理可得, cos C ?

? a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 又 C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? . 3 2ab 2

(2)由 2sin 2 A ? sin ? 2B ? C ? ? sin C 可得,

4sin A cos A ? sin ? B ? ? ? A? ? sin ? B ? A?.
整理得, 4sin A cos A ? sin ? B ? A? ? sin ? B ? A? ? 2sin B cos A. 当 cos A ? 0 时 , A ?

?
2

, 此 时 , b ? 2cot

?
3

?

2 3 , 所 以 △ ABC 的 面 积 3

1 2 3 S?ABC ? bc ? . 2 3
当 cos A ? 0 时, 上式即为 sin B ? 2sin A , 由正弦定理可得 b ? 2a, 又 a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

解之得, a ?

1 2 3 2 3 4 3 . ,b ? . 所以△ ABC 的面积 S?ABC ? ab sin C ? 2 3 3 3

综上所述,△ ABC 的面积

1 2 3 S?ABC ? ab sin C ? . 2 3
4

10.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an?1 ? an 2 ? 2an . (1)求证:数列 lg ? an ? 1? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

?

?

1 1 ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1. ? an an ? 2
2

2 证 (1)由已知得 an ?1 ? an ? 2an , an ?1 ? 1 ? ? an ? 1? .

因为 a1 ? 2 ,所以 an ? 1 ? 1 ,两边取对数得 lg ?1 ? an?1 ? ? 2lg ?1 ? an ? , 即

lg ?1 ? an?1 ? ? 2 ,故 ?lg ? an ?1?? 为以 lg 3 为首项, 2 为公比的等比数列,即 lg ?1 ? an ?

lg ? an ?1? ? 2n?1 lg3, 即 an ? 32 ? 1.
n?1

(2)方法一 由 an?1 ? an 2 ? 2an ,两边取倒数得

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ,所以 an ?1 2 ? an an ? 2 ?

? 1 1 ? 1 1 2 1 ? ?1 ? ,即 bn ? 2 ? ? ? ? ,故 Sn ? 2 ? ? 2n ? , 故 Sn ? 1. an ? 2 an an? 2 ? 2 3 ?1 ? ? an an ?1 ?
方法二 由于

bn ?

? 2n 2n?1 3 ? 1 3 ?1 3 ?1 1 ? ? 1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n?1 ?, ? 3 ?1 3 ?1 ?
2n?1

1

?

1

2 ? 32

n?1



1 ? ?1 S n ? 2 ? ? 2n ? ? 1. ? 2 3 ?1 ?
11.设 f ? x ? ? e ? ax ? a.
x

(1)若 f ? x ? ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立,求 a 的取值范围;

? 2015 ? (2)求证: ? ? ? 2016 ?

1008

? e 2.

?

1

ex 解 (1)由 f ? x ? ? 0 得 ? x ? 1? a ? e ,即 a ? ? x ? ?1? . x ?1
x

5

xe x ex ? . 令 h ? x? ? ,则 h ? x ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?
由 h? ? x ? ?

xe x

? x ? 1?

2

? 0 得 x ? 0.

所以 h ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, h ? x ? 在 ? ?1,0? 单调递减. 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 1? x ? ?1? , 由此得 a ? 1. 又 x ? ?1 时, ? x ? 1? a ? e x 即为 0 ? a ? e ,此时 a 取任意值都成立.
?1

综上可得 a ? 1. (2) ?

? 2015 ? ? ? 2016 ?

1008

? e 2 等价于

?

1

1 1 1015 1 ? e 2015 等价于 1 ? ? e 2016 . 2016 2016

x 由 (1) 知, 当 a ? 1 时 f ? x ? ? 0 对一切 x ? ?1 恒成立, 即 e ? x ? 1( x ? 0 时取等号) .

1 1 1 2016 ?e . 取x?? ,得 1 ? 2016 2016

即证得: ?

? 2015 ? ? ? 2016 ?

1008

? e 2.

?

1

12. 已知:如图,两圆交于 A 、 B 两点, CD 为一条外公切线,切点分别为 C 、 D .过 A 任意作一条直线分别交两圆于 E 、 F , EC 交 FD 于点 P . 求证: PB 平分 ?EBF .

证 如图,连结 BA 、 BC 、 BD, 延长 CD .由 A 、 B 、 E 、C 共圆有 ?1 ? ?CBA ,同理,

?2 ? ?DBA.

6

又 ?1 ? ?2 ? ?EPF ? 180 ,所以
?

?CBD ? ?CPD ? ?1 ? ?2 ? ?EPF ? 180?.
故 P 、 C 、 B 、 D 四点共圆. 则 ?CBP ? ?3 ? ?4 ? ?DBF (弦切角等于圆周角) . 同理 ?CBE ? ?5 ? ?DBP. 所以

?EBP ? ?EBC ? ?PBC ? ?DBP ? ?FBD ? ?FBP,
此即为 PB 平分 ?EBF . 13.设正数 x 、 y 满足 x ? y ? x ? y ,求使 x ? ? y ? 1恒成立的实数 ? 的最大值.
3 3 2 2 3 3 解 由正数 x 、 y 满足 x ? y ? x ? y ,知 x ? y ? 0.

令t ?

x ? 1. y
2 2
2 2

不等式 x ? ? y ? 1等价于 x ? ? y ?

x3 ? y 3 , x? y

等价于 ? y ?
2

x3 ? y 3 x2 y ? y3 ? x2 ? , x? y x? y

等价于 ? ?

x2 y ? y3 , ? x ? y ? y2
x2 ? y 2 t 2 ? 1 ? . xy ? y 2 t ? 1
7

等价于 ? ?

因为

f ?t ? ?

t2 ?1 2 ? 2 ? ? t ? 1? ? t ?1 t ?1 2 ? 2 ? 2 ? t ? 1? ? t ?1
2 ,即 t ? 1 ? 2 时成立,所以实数 ? 的最大值为 2 ? 2 2. t ?1

? 2 ? 2 2,
等号仅当 t ? 1 ?

14.已知椭圆 C :

x2 ? 1? ? y 2 ? 1 及点 P ?1, ? ,过点 P 作直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点, 2 ? 2?

过 A 、 B 两点分别作 C 的切线交于 Q . (1)求 Q 的轨迹方程: (2)求△ ABQ 的面积的最小值. 解 (1)设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 、 Q ? x0 , y0 ? ,则 QA :

x1 x ? y1 y ? 1 过 Q ,有 2

x1 x0 ? y1 y0 ? 1 ; 2 xx QB : 2 ? y2 y ? 1过 Q ,有 2 x2 x0 ? y2 y0 ? 1 , 2
故直线 AB 为





x y x0 x ? 1? ? y0 y ? 1 ,由于直线 AB 过点 P ?1, ? ,则有 0 ? 0 ? 1 ,即 2 2 2 ? 2?


x0 ? y0 ? 2.
故 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2.

(2) 当直线 AB 斜率不存在时, 即直线 AB 的方程为 x ? 1 , 此时 A ? 1,

? ? ?

? 2? 2? B 1, ? 、 ? ? ?、 ? 2 ? 2 ? ? ? ?

C ? 2,0? . 所以
1 2 S?ABQ ? ? 2 ?1 ? . 2 2
当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB : y ?

1 ? k ? x ? 1? ,即 2

8

y ? kx ?

1 ? k. 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? 联立 ? 消去 y 得 1 ? y ? kx ? ? k , ? 2

? 2k

2

3? ? ? 1? x 2 ? 2k ?1 ? 2k ? x ? ? 2k 2 ? 2k ? ? ? 0. 2? ?

于是有

2k ? 2k ? 1? ? , ? x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 ? ? 3 2k 2 ? 2k ? ? 2. ? x1 x2 ? 2 2k ? 1 ?
又① ? ②,得到

x0 2 ? ? 4k ? ky0 ? 0 与③联立,可解得 Q ? , ? ,则 2 ? 2k ? 1 1 ? 2k ?

S?AQB ?

1 AB d 2 1 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 4k 2 ? 2 1 ? ?k 2k ? 1 2 1? k 2
3

?

2 2 ? 4k ? 4k ? 3 ? 2 ? ? , 4 ? 2k 2 ? 1? 2k ? 1
2 1 ? 4k ? 4k ? 3 ? ? ? . 8 ? 2k 2 ? 1?2 ? 2k ? 1?2 3

可得 S

2 ?AQB

令 f ?k ? ?

? 2k

? 4k
2

2

? 1? ? 2k ? 1?
2 2

? 4k ? 3 ?

3 2

,则

f ??k ? ?

?8 ? 4k 2 ? 4k ? 3? ? k ? 1? ?8k 2 ? 4k ? 3?

? 2k

2

? 1? ? 2k ? 1?
3

3

,

故 f ? k ? 在区间 ? ??, ?1? 上单调递减, ? ?1, ? 上单调递增, ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 上单调递减,又 ?2 ?

k ???

lim f ? k ? ? 4, 所以
9

1 f ? k ?min ? f ? ?1? ? . 3
于是,当 k ? ?1 时,△ AQB 面积的最小值为 Smin ?

6 . 12

10


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