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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第八章第7课时


第八章

平面解析几何

第7课时

抛物线

第八章

平面解析几何

1.抛物线的定义
抛物线是如何定义的? 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 提示:_______________________________________________

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 __________________________________________________
温馨提醒:当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于

定直线l的一条直线,不是抛物线.

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第八章

平面解析几何

2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程
图形 焦点坐标 F(,0) p x=- ________ 2 x轴 ________ x≥0 F(-,0) p x= ________ 2 x轴 ________ x≤0 ________ O(0,0) ________ e= 1 ________
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y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

准线方程
性 质 对称轴 范围 顶点坐标 离心率

第八章

平面解析几何

标准方程
图形 焦点坐标 准线方程 性 质 对称轴 范围 顶点坐标 离心率

x2=-2py(p>0)

x2=2py(p>0)

F(0,-) p y= ________ 2

F(0,) p y=- ________ 2

y轴 y轴 ________ ________ y≥0 y≤0 ________ ________ O(0,0) ________ e= 1 ________
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平面解析几何

1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=- 2,则抛物 线的方程是 ( C ) A. y2=- 8x C. y2= 8x B. y2=- 4x D. y2= 4x

解析: 由抛物线准线方程为 x=- 2 知 p= 4, 且开口向右, 故抛物线方程为 y2= 8x.

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平面解析几何

2. (2014· 山东济南市模拟考试 )若抛物线 y = 2px(p>0)的 焦点在直线 x- 2y- 2= 0 上,则该抛物线的准线方程为 ( A ) A. x=- 2 C. x=- 8 B. x= 4 D. x= 2

2

解析: 直线 x- 2y- 2= 0 与 x 轴的交点坐标为 (2, 0),即 p p = 2,故抛物线的准线方程为 x=- =- 2. 2 2

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平面解析几何

3.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x = 4y 的焦点, 且与抛物线相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长为 ( D ) A. 4 C. 10 B. 6 D. 16

2

解析:设点 A(x1, y1)、 B(x2, y2 ),则依题意得焦点 F(0,1),

?y= 3x+ 1 准线方程是 y=- 1,直线 l: y= 3x+ 1,由? 2 , ?x = 4y
消去 x 得 y2- 14y+ 1= 0,y1+ y2= 14,|AB|= |AF|+ |BF|=(y1 + 1)+(y2+ 1)= (y1+ y2)+ 2= 16.
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平面解析几何

4.抛物线 y = 4x 上一点 M 到焦点的距离为 2,则 M 到 y

2

1 轴的距离为 ________ .
解析:设 M(x0, y0),因抛物线的准线方程为 x=- 1,则 x0 + 1= 2,∴ x0= 1.

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平面解析几何

1? ? 1 , 5.若抛物线 x = ay 过点 A? ,则点 A 到此抛物线的焦 ? 4
2

5 4 点的距离为 ________ .

1 解析:由题意可知,点 A 在抛物线 x = ay 上,所以 1= a, 4
2

解得 a= 4,得 x2= 4y.由抛物线的定义可知点 A 到焦点的距 离等于点 A 到准线的距离, 所以点 A 到抛物线的焦点的距离 a 1 5 为 yA+ = + 1= . 4 4 4

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平面解析几何

抛物线的定义及其应用
(1)(2014· 四川成都市诊断性检测 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,2),若 P 是抛物线 y2= 2x 上一动点, 则 P 到 y 轴的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为( D ) A. 5 17 B. 2

17+ 1 17- 1 C. D. 2 2 (2)如果 P1,P2,?, P8 是抛物线 y2=4x 上的点,它们的横 坐标依次为 x1,x2,?,x8, F 是抛物线的焦点,若 x1+ x2 18 +?+x8= 10,则 |P1F|+ |P2F|+?+ |P8F|= ________.
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平面解析几何

[解析 ](1)如图所示,根据抛物线的定义有: P 到 y 轴的距离 d 1 与 P 到点 A 的距离之和,即 |PA|+d= |PA|+ |PF|- ,因此求距 2 离之和的最小值可转化为求 |PA|+ |PF|的最小值,即为 FA 连线 1 17 与抛物线相交时取得,因为 |AF|= ( 1- ) 2+ 22= ,所 2 2 17- 1 以 P 到 y 轴的距离与 P 到点 A 的距离之和的最小值为 . 2 p (2)由抛物线的定义,知 |PiF|= xi+ (i=1, 2,?,8), 2 所以 |P1F|+ |P2F|+?+ |P8F|= (x1+x2+?+x8)+ 4p. 又 p= 2, x1+ x2+?+ x8=10,所以 |P1F|+ |P2F|+?+ |P8F|= 18.

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第八章

平面解析几何

利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地运用抛物线上的

点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦
点,看到焦点想到准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题 的有效途径.

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第八章

平面解析几何

1. (1)在抛物线 C: y= 2x2 上有一点 P,若它到点 A(1, 3) 的距离与它到抛物线 C 的焦点的距离之和最小,则点 P 的 坐标是 ( B ) A. (- 2, 1) C. (2,1) B.(1, 2) D. (- 1, 2)

(2)(2013· 高考江西卷)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2= 4y 的 焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交 于点 N,则 |FM|∶ |MN|= ( C ) A. 2∶ 5 C. 1∶ 5 B. 1∶2 D. 1 ∶ 3
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第八章

平面解析几何

解析: (1)由题知点 A 在抛物线内部,根据抛物线定义,问 题等价于求抛物线上一点 P, 使得该点到点 A 与到抛物线的 准线的距离之和最小,显然点 P 是直线 x= 1 与抛物线的交 点.故所求 P 点的坐标是 (1,2). (2)如图所示, 由抛物线定义知 |MF|= |MH|, 所以 |MF|∶ |MN| |MH| |OF| 1 = |MH|∶ |MN|.由于△ MHN∽△ FOA,则 = = , |HN| |OA| 2 则 |MH|∶ |MN|= 1∶ 5, 即 |MF|∶ |MN|= 1∶ 5.

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平面解析几何

抛物线的标准方程及性质
(1)(2013· 高考江西卷)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, x 2 y2 其准线与双曲线 - = 1 相交于 A, B 两点,若△ ABF 为 3 3 6 等边三角形,则 p= ________. (2)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C: y2= 2px(p>0)的焦 点为 F, 点 M 在 C 上, |MF|= 5.若以 MF 为直径的圆过点(0, 2),则 C 的方程为 ( C ) A. y2= 4x 或 y2= 8x B. y2=2x 或 y2=8x C. y2= 4x 或 y2= 16x D. y2= 2x 或 y2= 16x
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平面解析几何

3 [解析 ](1) 如图,在正三角形 ABF 中, DF= p, BD= p, 3 1 2 p2 p 3 4 3 p? ? ∴ B 点坐标为 .又点 B 在双曲线上, 故 - = 1, 3 3 ? 3 p,-2 ? 解得 p=6.

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平面解析几何

(2)设 M(x0, y0), A(0, 2), MF 的中点为 N. p 2 由 y =2px, F( , 0), 2 p x0+ 2 y0 ∴ N 点的坐标为 ( , ). 2 2 p 由抛物线的定义知, x0+ = 5, 2 p ∴ x0=5- . 2 p ∴ y0= 2p( 5- ). 2 |MF| 5 25 2 ∵ |AN|= = ,∴ |AN| = . 2 2 4
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第八章

平面解析几何

p x0+ 2 2 y0 25 2 ∴( ) +( - 2) = . 2 2 4 p p ( 5- + ) 2 ? p ?2 25 2 2 2p( 5- ) ?= . 即 +? 2 4 4 ? - 2? ? 2 ? p 2p( 5- ) 2 ∴ - 2= 0. 2 整理得 p2-10p+16= 0. 解得 p= 2 或 p= 8. ∴抛物线方程为 y2= 4x 或 y2= 16x.
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第八章

平面解析几何

(1)求抛物线的标准方程的方法: ①求抛物线的标准方程常用待定系数法, 因为未知数只有 p, 所以只需一个条件确定 p 值即可. ②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时, 需先定位,再定量. (2)确定及应用抛物线性质的技巧: ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键 是将抛物线方程化成标准方程. ②要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解.

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第八章

平面解析几何

2.抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+ y2=9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5,求该抛物线的方程,并写出 它的焦点坐标与准线方程.

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第八章

平面解析几何

解:由题意,设抛物线方程为 x2= 2ay(a≠ 0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则 |MA|= |AN|,且 AN= 5. ∵ |ON|= 3,∴ |OA|= 32-( 5) 2= 2, ∴ N( 5,±2). 5 ∵ N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a= ± , 2 5 5 2 2 故抛物线的方程为 x = y 或 x =- y. 2 2 5? 5 5 2 ? 抛物线 x = y 的焦点坐标为 0,8 ,准线方程为 y=- . 2 ? ? 8 5? 5 5 2 ? 0 ,- 抛物线 x =- y 的焦点坐标为 8?,准线方程为 y=8. 2 ?
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第八章

平面解析几何

直线与抛物线的位置关系

(2013· 高考浙江卷) 已知抛物线C的顶点为O(0,0),

焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程; (2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别 交直线l:y=x-2于M,N两点, 求|MN|的最小值.
p [解](1)由题意可设抛物线 C 的方程为 x =2py(p>0), 则 = 1, 2 所以抛物线 C 的方程为 x2=4y.
2

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第八章

平面解析几何

(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),直线 AB 的方程为 y= kx+1. ? ?y= kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2- 4kx- 4= 0, ? ?x =4y, 所以 x1+ x2= 4k, x1x2=-4. 从而 |x1-x2|=4 k2+1. y1 ? ?y=x x, 1 由?

? ?y=x- 2,

2x1 2x1 8 解得点 M 的横坐标 xM= = = . x2 x1- y1 4 - x 1 1 x1- 4 8 同理,点 N 的横坐标 xN= . 4-x2
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第八章

平面解析几何

8 8 所以 |MN|= 2|xM- xN|= 2| - | 4-x1 4-x2 x1-x2 8 2 k2+1 = 8 2| |= . x1x2-4(x1+ x2)+ 16 |4k-3| t+ 3 令 4k- 3= t, t≠0,则 k= . 4 25 6 当 t>0 时, |MN|=2 2 + + 1>2 2. t2 t 5 3 2 16 8 当 t<0 时, |MN|=2 2 ( + ) + ≥ 2. 25 5 t 5 25 4 8 综上所述,当 t=- ,即 k=- 时,|MN|的最小值是 2. 3 3 5
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第八章

平面解析几何

(1)求抛物线方程,一般是先设出抛物线方程 (注意抛物线的 开口方向,焦点的位置),用待定系数法求解. (2)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、 双曲线 的位置关系的方法类似,一般是联立两曲线方程,但涉及抛 物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、 “整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.

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第八章

平面解析几何

3.已知抛物线 C:y2= 2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点 )的直线 l,使得直线 l 5 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 ?若存 5 在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

解:(1)将(1,-2)代入 y2=2px, 得(-2)2=2p?1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2= 4x,其准线方程为 x=-1.
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平面解析几何

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+ t, ? ?y=- 2x+ t, 由? 2 得 y2+2y-2t=0. ? ?y = 4x, 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ= 4+ 8t≥ 0,解得 t≥- . 2 5 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= , 5 |- t| 5 可得 = , 5 5 解得 t= ± 1. 1 1 ? ? ? 因为-1? -2,+∞ , 1∈ -2,+∞?, ? ? ? ? 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+ y- 1= 0.
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平面解析几何

抛物线方程的应用
(2012· 高考陕西卷) 如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽 2 6 ________m.

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平面解析几何

[解析 ] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 A(2,-2),将其坐标代入 x2=-2py 得 p=1.

∴ x2=- 2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,- 3)(x0>0),将其坐标代入 x2= - 2y 得 x2 0= 6, ∴ x0= 6.∴水面宽 |CD|= 2 6 m.
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平面解析几何

本考题就是教材人教 A 版选修 2-1 P74 习题 A 组 T8 原题.

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平面解析几何

某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线 形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,现有

一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线
上部分中央船体高5米,宽16米,且该货船在现在状况下还可 多装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上 升0.04米,若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能 否直接或设法通过该桥孔,为什么?

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平面解析几何

解:建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax2, 由题意知点 A(10,- 2)在抛物线上,代入方程求解,得 a= 1 1 2 - ,方程即为 y=- x . 50 50 1 让船沿正中央航行,船宽 16 米,而当 x=8 时,y=- ?82 50 =- 1.28 ,此 时抛物线上的点 B 距离水 面- 1.28 + 6 = 4.72(米),又船体水面以上高度为 5 米,所以无法通过;又 5 -4.72=0.28(米),0.28÷0.04= 7,150?7= 1 050 吨,故至 少应再装 1 050 吨货物才能通过, 而现在只能多装 1 000 吨, 故无法通过,只能等到水位下降.

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