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数学文卷·2014届上海市十三校高三12月联考(2013.12)


上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(文科)
2013.12
一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) 1.函数 f ( x ) =

4 ? x2 的定义域是___________. | x+2|

2.幂函数 y = f ( x) 的图像经过点 ( 4, ) ,则 f ( ) 的值为 3.方程 tan x = 2 cos( 4.计算: lim ? n ?

π + x) 在区间 ( 0, π ) 内的解为 2

1 2

1 4

. .

? ?2 1 ?? ? ? ? =_________. n →∞ ? ? n n + 1 ?? ? m 4 m + 2? ? ,若该方程组无解,则实数 m 的值 m ? ?1 m
. (填

5.已知二元一次方程组的增广矩阵是 ?

为___________. 6.已知流程图如图所示,为使输出的 b 值为 16,则判断框内①处可以填数字 入一个满足要求的数字即可)

7.等差数列 {an } 中, a1 = 2, S10 = 15 ,记 Bn = a2 + a4 + a6 L + a2 n ,则当 n =____时, Bn 取得最大值. 8.已知 x、y ∈ R ,且 4 x + y = 1 ,求
+

1 9 + 的最小值.某同学做如下解答: x y 1 9 9 + ≥2 ┄②, x y xy

因为 x、y ∈ R + ,所以 1 = 4 x + y ≥ 2 4 xy ┄①,

① × ②得

1 9 9 1 9 + ≥ 2 4 xy ? 2 = 24 ,所以 + 的最小值为 24。 x y xy x y

判断该同学解答是否正确,若不正确,请在以下空格内填写正确的最小值;若正确,请在 以下空格内填写取得最小值时 x 、 y 的值. . 9.若 x +

m ≥ 4 在 x ∈ [3, 4] 内恒成立,则实数 m 的取值范围是 x
.

.

10.函数 y = arcsin(1 ? x ) + arccos(2 x ) 的值域是

第 1 页 共 8 页

2 ? ? x ? 3tx + 18, x < 3 11.已知函数 f ( x ) = ? 在 R 递减,则实数 t 的取值范围是_________. t x x ? 4 ? 3, ≥ 3 ( ) ? ?

12.设正数数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ,若 {a n } 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,则

a1 + d = __

_.

13.函数 g ( x ) ( x ∈ R ) 的图像如图所示,关于 x 的方程

[g ( x)]2 + m ? g ( x ) + 2m + 3 = 0 有三个不同的实数解,
则 m 的取值范围是_______________. 14.已知无穷数列 {an } 具有如下性质:① a1 为正整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数 时, an +1 =

a +1 an ;当 an 为奇数时, an +1 = n .在数列 {an } 中,若当 n ≥ k 时, an = 1 ,当 2 2
(用 k 表

1 ≤ n < k 时, an > 1 ( k ≥ 2 , k ∈ N * ) ,则首项 a1 可取数值的个数为
示) 二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 5 分) 15.函数 y = 2 + log 2 x 的零点在区间(
x

)内.

(A) ( , )

1 1 1 2 2 1 1 2 (B) ( , ) (C) ( , ) (D) ( , ) 4 3 3 5 5 2 2 3 16.如果 a、b、c 满足 c < b < a ,且 ac < 0 ,那么下列选项不恒成立的是( ) .
(A) ab > ac (B) cb < ab
2 2

(C) c ( b ? a ) > 0

(D) ac ( a ? c ) < 0

17.如图,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动, M 是 CD 的中点,

D

M

C P B

y 的函数 y = f ( x ) 的图像的形状大致是下图中的(
y

则当 P 沿 A ? B ? C ? M 运动时,点 P 经过的路程 x 与 ?APM 的面积 ) .

y

A
y

y

O

1

2 2.5

x

O

1

2 2.5

x

O

2 2.5

x

O

1

2 2.5

x

(A)

(B)

(C)

(D)

18.已知 x、y ∈ R ,命题 p 为 x > y ,命题 q 为 x + sin y cos x > y + sin x cos y .则命题 p 成立是命题 q 成立的 ( (A)充分非必要条件 (C)充要条件 ). (B)必要非充分条件 (D)非充分非必要条件

第 2 页 共 8 页

三、解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 8 分) 已知集合 A = ? x | (1)求集合 A ; (2)若 B I ?R A = B ,求实数 a 的取值范围.

? ?

2x ?1 ? ≤ 1, x ∈ R ? ,集合 B = { x x ? a ≤ 1, x ∈ R} . x +1 ?

20. (本题满分 14 分,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分)

3
行 列 式 ?2

A cos x A sin x 1

1

A 2 0 ( A > 0 ) 按 第一列 展开 得 3M 11 ? 2 M 21 + M 31 ,记函数 cos x

f ( x ) = M 11 + M 21 ,且 f ( x ) 的最大值是 4 .
(1)求 A ; (2)将函数 y = f ( x) 的图像向左平移

π 个单位,再将所得图像上各点的横坐标扩大为原 12 ? π 11π ? , ? 上的值域. ? 12 12 ?

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 ? ?

21. (本题满分 14 分,第一小题满分 6 分,第二小题满分 8 分) 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄 尾屿,点 C 在点 A 的北偏东 47°方向,点 B 在点 C 的南偏西 36°方向,点 B 在点 A 的南偏 东 79°方向,且 A、B 两点的距离约为 3 海里。 (1)求 A、C 两点间的距离; (精确到 0.01) (2)某一时刻,我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救信号。一艘 R 国舰艇正从点 C 正 东 10 海里的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船,其航线为 P → C → A(直线行进) , 而我东海某渔政船正位于点 A 南偏西 60°方向 20 海里 的点 Q 处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北 航行 8 海里至点 M 处,再折向点 A 直线航行,航速为 22 海里/小时。渔政船能否先于 R 国舰艇赶到进行救 助?说明理由.
第 3 页 共 8 页
北 北

C A M Q B

P

22. (本大题满分 16 分,第一小题满分 5 分,第二小题满分 5 分,第三小题满分 6 分) 已知函数 f ( x ) = log 2 ( x + a ) . (1)若 0 < f (1 ? 2 x ) ? f ( x ) <

1 ,当 a = 1 时,求 x 的取值范围; 2

(2)若定义在 R 上奇函数 g ( x) 满足 g ( x + 2 ) = ? g ( x ) ,且当 0 ≤ x ≤ 1 时, g ( x) = f ( x) , 求 g ( x ) 在 [ ?3, ?2] 上的反函数 h ( x ) ; (3) 若关于 x 的不等式 f tx ? a + 1 + f (
2

(

)

1 1 ? a) > 0 在区间 [ , 2] 上有解, 求实数 t 的 5 ? 2x 2

取值范围;

23.(本大题满分 18 分,第一小题满分 5 分,第二小题满分 5 分,第三小题满分 8 分) 已知无穷数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S n = Aan + Ban + C ,其中 A 、 B 、C 是
2

常数. (1)若 A = 0 , B = 3 , C = ?2 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 A = 1 , B =

1 1 ,C = ,且 an > 0 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; 2 16

(3)试探究 A 、 B 、 C 满足什么条件时,数列 {an } 是公比不为 ?1 的等比数列.

第 4 页 共 8 页

2013 年高三调研考数学(文科)参考答案
2013.12
题号 得分 一 二 19 20 21 22 23 总分

一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 题 1.

( ?2, 2]

2.

2

3 .

x=

2π 3



准考证号

4. 可

1

5.

?2

6.3 注:[3, 4 ) 内任意值皆



7.

9

8.

25

9 .

[3, +∞ )

姓名



10.

?π ? ,π ? ?6 ? ?

_

11.

[ 2,3]

12 .

3 4

13.

? 3 4? ?? ,? ? ? 2 3?

14.

2k ? 2

内 线

二、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 15. C 16. B 17. A 18. C

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)

班级

19.解: (1)由 封

2x ?1 x?2 ≤ 1 ,得 ≤0 x +1 x +1

………… 2 分 …………2 分

所以 A = ( ?1, 2 ] (2) ?R A = ( ?∞, ?1] U ( 2, +∞ )

………… 2 分 ………… 2 分 ………… 2 分

B = [ a ? 1, a + 1]
由 B I ?R A = B ,得 B ? ?R A

学校



第 5 页 共 8 页

所以 a + 1 ≤ ?1 或 a ? 1 > 2 所以 a 的范围为 ( ?∞, ?2] U ( 3, +∞ ) ………… 2 分

20.解(1) M 11 =

A sin x 0 = A sin x cos x 1 cos x A cos x 1 A A 2 2 = ? A cos x + 2 cos x

………1 分

M 21 = ?

………2 分

f ( x) = f max =

A A 2A π sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 2 4 2A = 4 ,所以 A = 4 2 2

………3 分

………1 分

π π 得 y = 4sin(2 x ? ) ,………2 分 12 12 π 横坐标变为原来 2 倍得 g ( x ) = 4sin( x ? ) ………1 分 12 π 11π π π 5π 因为 x ∈ ( ? , ) ,所以 x ? ∈ (? , ) ………1 分 12 12 12 6 6 π 所以 g ( x ) = 4sin( x ? ) ∈ ( ?2, 4] ………3 分 12
(2)向左移 21.解: (1)求得 ∠CAB = 11°, ∠ABC = 115° ,……2 分

AB AC = ? AC ≈ 14.25 海里。 ……4 分 sin11° sin115° 14.25 + 10 (2)R 国舰艇的到达时间为: ≈ 1.35 小时。……1 分 18
由 在 V AQM 中, cos 60° = 得 AM ≈ 17.44 海里, 所以渔政船的到达时间为:

AQ 2 + MQ 2 ? AM 2 400 + 64 ? AM 2 = 2 ? AQ ? MQ 320
……4 分

因为 1.16 < 1.35 ,所以渔政船先到。 ……1 分 答:渔政船能先于 R 国舰艇赶到进行救助。 ……1 分

17.44 + 8 ≈ 1.16 小时。……1 分 22

22.解: (1)原不等式可化为 0 < log 2 ( 2 ? 2 x ) ? log 2 ( x + 1) <

1 ………1 分 2

第 6 页 共 8 页

所以 1 <

2 ? 2x < 2 , 2 ? 2x > 0 , x +1 > 0 x +1 1 ………2 分 得3? 2 2 < x < 3

………2 分

(2)因为 g ( x ) 是奇函数,所以 g ( 0 ) = 0 ,得 a = 1 当 x ∈ [ ?3, ?2] 时, ? x ? 2 ∈ [ 0,1]

……1 分

g ( x ) = ? g ( x + 2 ) = g ( ? x ? 2 ) = log 2 ( ? x ? 1)
此时 g ( x ) ∈ [ 0,1] , x = ?2
g( x)

……2 分 ……2 分

? 1 ,所以 h ( x ) = ?2 x ? 1 ( x ∈ [ 0,1]) 1 >0, 5 ? 2x
……1 分 ……1 分

(3)由题意 log 2 tx + 1 + log 2
2

(

)

即 log 2 tx 2 + 1 > log 2 ( 5 ? 2 x ) 所以不等式 tx > 4 ? 2 x 在区间 [ , 2] 上有解,
2

(

)

1 2

即t > (

4 2 ? ) min = 0 x2 x

……3 分 ……1 分

所以实数 t 的取值范围为 ( 0, +∞ )

23.解: (1)由 S n = 3an ? 2 ,得 a1 = 1 ; 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = 3an ? 3an ?1 ,即 所以 an = ( )

…………1 分

an 3 = …………2 分 an?1 2

3 2

n ?1



…………2 分

1 1 1 1 1 an + ,得 a1 = a12 + a1 + ,进而 a1 = ,……1 分 2 16 2 16 4 1 1 2 2 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = an ? an ?1 + an ? an ?1 2 2 1 得 ( an + an ?1 ) ( an ? an ?1 ? ) = 0 , 2 1 因为 an > 0 ,所以 an ? an ?1 = , …………2 分 2
(2)由 S n = an +
2

进而 S n =

n n ( n ? 1) n 2 + = 4 4 4

…………2 分

(3)若数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, ①当 q = 1 时, an = a1 , S n = na1
第 7 页 共 8 页

由 S n = Aan + Ban + C ,得 na1 = Aa1 + Ba1 + C 恒成立
2 2

所以 a1 = 0 ,与数列 {an } 是等比数列矛盾; ②当 q ≠ ±1 , q ≠ 0 时, an = a1q 由 S n = Aan + Ban + C 恒成立,
2 n ?1

…………1 分

, Sn =

a1 n a q ? 1 ,…………1 分 q ?1 q ?1

得 A×

a12 a a a × q 2 n + ( B × 1 ? 1 ) × q n + C + 1 = 0 对于一切正整数 n 都成立 2 q q q ?1 q ?1 q 1 ≠ 1或 或 0 , C ≠ 0 q ?1 2
…………4 分

所以 A = 0 , B =

事实上,当 A = 0 , B ≠ 1 或

1 或 0 , C ≠ 0 时, S n = Ban + C 2

a1 =

a B C ≠ 0 , n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = Ban ? Ban ?1 ,得 n = ≠ 0 或 ?1 1? B an?1 B ? 1 C B 为首项,以 为公比的等比数列 1? B B ?1
…………2 分

所以数列 {an } 是以

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