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高中数学 第二章 2.2.2 第一课时 对数函数的图像及性质课件 新人教A版必修1


第 二 章
2.2

2.2. 2

第 一 课 时
对 数 函 数 的 图 像 及 性 质

读教材·填要点
课前预习·巧设计

基 本 初 等 函 数
(I )

对 数 函 数

对 数 函 数 及 其 性 质

小问题·大思维 考点一
名师课堂·一点通

考点二
考点三 解题高手 NO.1课堂强化

创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点] 1.对数函数的概念 函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是 自变量. 2.对数函数的图像与性质

a>1


0<a<1



定义域
值域

(0,+ ∞)
R




过定点 (1,0) ,即x=1时,y=0 函数值 当0<x<1时,y<0 当0<x<1时, y>0 的变化 当x>1时, y>0 当x>1时, y<0 过定点

是(0,+∞)上的 单调性 增函数 3.反函数

是(0+∞)上的 减函数

对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数 y=ax(a>0,且a≠1) 互为反函数.

[小问题·大思维]
1.对数函数中为什么定义域为(0,+∞)?

提示:因为负数和0没有对数.
2.函数y=loga(x+1)与y=2logax都是对数函数吗?判断对 数函数的标准是什么? 提示:都不是,依据对数函数的定义判断,必须底数为 常数a,且a>0且a≠1,真数是自变量x,系数必须是1.

3.若函数 f(x)=log 1 x,且 a>b>1,则 f(a),f(b)与 0 的大小关
3

系是什么? 1 提示:∵0< <1,∴函数 f(x)=log 1 x 在(0,+∞)上为减函数. 3
3

又∵a>b>1, ∴log 1 a<log 1 b<log 1 1=0.
3 3 3

即 f(a)<f(b)<0.

4.函数y=ax和y=logax的定义域与值域之间有什么关系?

提示:y=ax的定义域为R,值域为(0,+∞),
y=logax的定义域为(0,+∞),值域为R,即它们的定义 域和值域互换. 5.对数函数具有奇偶性吗? 提示:定义域不关于原点对称,不具有奇偶性.

[研一题] [例 1] 求下列函数的定义域:
lg?4-x? (1)f(x)= x-3 (2)y= log0.1?4x-3?.

[自主解答]

? ?4-x>0 (1)由? ? ? x- 3 ≠ 0

得 x<4 且 x≠3.

∴所求定义域为(-∞,3)∪(3,4).
? ?4x-3>0 (2)由? ? ?log0.1?4x-3?≥0 ? ?4x-3>0 得? ? ?4x-3≤1

3 ,∴4<x≤1.

3 ∴所求定义域为(4,1].

[悟一法] 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习 过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要
求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意底数;三是按 底数的取值应用单调性.

[通一类]
1.求下列函数定义域. (1)y=log(x-1)(3-x); (2)y= log2?x+1?-1.

?3-x>0 ? 解:(1)由?x-1>0 ?x-1≠1 ?

得 1<x<3 且 x≠2.

∴定义域为{x|1<x<3 且 x≠2}.
? ?x+1>0 (2)由? ? ?log2?x+1?-1≥0 ? ?x+1>0 得? ? ?x+1≥2

得 x≥1.

∴定义域为[1,+∞).

[研一题]
[例 2] 如图是对数函数 y=logax 的图像, 已知 a 取值 3, )

4 3 1 3,5,10,则图像 C1,C2,C3,C4 相应的 a 值依次是(

4 3 1 A. 3、3、5、10 4 3 1 C.3、 3、5、10

4 1 3 B. 3、3、10、5 4 1 3 D.3、 3、10、5

[自主解答]

过(0,1)作平行于x轴的直线,与C1,

C2,C3,C4的交点的坐标为(a1,1),(a2,1),(a3,1), (a4,1),其中a1,a2,a3,a4分别为各对数的底,显

然a1>a2>a3>a4,所以C1,C2,C3,C4的底数依次由
大到小.

[答案] A

[悟一法] (1)y=logax(a>0,且 a≠1)图像无限地靠近于 y 轴,但永
远不会与 y 轴相交. (2)设 y1=logax,y2=logbx,其中 a>1,b>1(或 0<a<1, 0<b<1),则当 x>1 时,“底大图低”,即若 a>b,则 y1<y2. 当 0<x<1 时,“底大图高”,即若 a>b,则 y1>y2. (3)在同一坐标系内,y=logax(a>0,且 a≠1)的图像与 y =log 1 x(a>0,且 a≠1)的图像关于 x 轴(即 y=0)对称.
a

[通一类]

2.当a>1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图像只能是
( )

解析:∵a>1,∴函数y=logax为增函数,且图像过定点 (1,0),故C、D均不正确. 又∵1-a<0,∴函数y=(1-a)x的图像应过坐标原点且 经过第二、四象限.

答案:B

[研一题]
[例 3] 1 已知 f(x)=|lgx|, 且 c>a>b>1, 试比较 f(a)、 f(b)、

f(c)的大小.

[自主解答]

先作出函数y=lgx的图

像,再将图像位于x轴下方的部分折到x 轴上方,于是得f(x)=|lgx|图像,(如图) 由图像可知,f(x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调 递增.

1 1 由 c>a>b>1 得:f(c)>f(a)>f(b), 1 1 而 f(c)=|lgc|=|-lgc|=|lgc|=f(c). ∴f(c)>f(a)>f(b).

若依据例3条件求解“f(x)<1”满足的x的取值范围.
解:由例 3 图可知 f(x)<1 即-1<lgx<1. 1 ∴x 的取值范围为(10,10).

[悟一法] (1)作对数函数图像,注意图像无限靠近于y轴,过(1,0)

点及其单调性.
(2)y=|f(x)|图像可以由y=f(x)图像得到,具体过程:保 留y=f(x)在x轴上方的图像,再将y=f(x)图像在x轴下方的部 分折到x轴上方.

[通一类] 3.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a

的最小值为________.
解析:数形结合|log3x|=0,则 x=1, 1 |log3x|=1,则 x=3或 3.作图由图可知 1 2 (b-a)min=1-3=3.

2 答案:3

函数y=logax(a>0,且a≠1)在[2,4]上的最大值与最 小值的差是1,求a的值.
[错解] 因为函数 y=logax(a>0 且 a≠1),在[2,4]最

大值为 loga4,最小值为 loga2.所以 loga4-loga2=1,即 4 loga2=1,a=2.

[错因]

错解中误以为函数y=logax(a>0,且a≠1)在

[2,4]上是增函数.

[正解]

(1)当 a>1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是增函

4 数,所以 loga4-loga2=1,即 loga2=1, 所以 a=2. (2)当 0<a<1 时,函数 y=logax 在[2,4]上是减函数,所 2 1 以 loga2-loga4=1,即 loga4=1,所以 a=2. 1 综上 a=2 或 a=2.


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