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数学:1.1.1《变化率与导数》课件(新人教A版选修2-2)


1.1.1 变化率问题

1.变化率
一个变量相对于另一个变量的变化 而变化的快慢程度叫做变化率.

问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可
以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的

半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这
种现象呢?

问题1 气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是

4 3 V(r) = πr 3

如果将半径r表示为体积V的函数, 那么

r(V) =

3

3V 4π

分析一下:
3V r (V ) ? 3 4?
? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)
r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1? 0 ? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm)

显然 r (2) ? r (1) 气球的平均膨胀率为 ? 0.16(dm / L) 0.62>0.1 2 ?1

6

思考?

3V r (V ) ? 3 4?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均

膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如果用运动员在某段 时间内的平均速度粗略地 描述其运动状态,那么

h

o

t

分析一下:
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
? 当t从0增加到0.5时,平均速度为

h(0.5) ? h(0) v? ? 4.05(m / s) 0.5 ? 0
? 当t从1增加到2时,平均速度为

h

h(2) ? h(1) v? ? ?8.2(m / s) 2 ?1

o

t

思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?

h(t2 ) ? h(t1 ) t2 ? t1

f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2.平均变化率的定义

? 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” :x2=x1+Δx ; Δy是f(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy . 则平均变化率为

? y f(x 2 ) - f(x1 ) f( x 1 + ? x) - f( x 1 ) = = ?x x 2 - x1 ?x

3.平均变化率的几何意义

思考?
表示什么?

观察函数f(x)的图象,平均变化率

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1
Y=f(x) y f(x2) B

f(x2)-f(x1)=△y

割线AB 的斜率

f(x1) O

A x2-x1=△x x x1 x2

例、 设函数f(x)=2x, 当x从2变到1.9时, 求△x和 △ y.

解 △x=1.9-2=0.1
△y=f(1.9)-f(2)=-0.2

例 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位 : s )的 关系为: s (t ) ? 3t ? 1, 求t从 2到4的平均速度v.
? s s(4) ? s(2) 解 v? ? ?t 4?2

(3 ? 4 ? 1) ? (3 ? 2 ? 1) ? ?3 2

例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.



f(x 0 ?? x ) ? f(x 0 ) ?y ? ?x ?x
2 2

(x 0 + △ x) ? x 0 ? = 2x 0 ?△ x △x

练 习
1、 过y=x3上两点P(1,1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线,当Δ x=2时, 求

(1) 点Q的坐标;
(2) Δ y的值;

(3) 割线PQ的斜率.

(2) 解 (1) Q(3, 27), ? y ? 26

(3) k PQ ? 13

练 习
2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 当t从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度.



? h h(2 ?? t ) ? h(2) v? ? ?t ?t

[-4.9( +? t)2 + 6.5(2 +?t ) ? 10]--4.9 ? 22 + 6.5 ? 2 + 10] 2 [ = ?t

=-4.9△t-13.1

作 业 P10 1, P11 2
补充题、求y=1/x在x=x0
附近的平均变化率.


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