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河北省邢台市2019届高三上学期一轮摸底考试(12月)数学(理)试题(名师解析)

邢台市 2018~2019 学年高三上学期一轮摸底考试 数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1.已知集合 A = {x | x2 < 9} , B = {- 3, - 1,1,3} ,则 A ? B A.

{- 1,1}

B. {x | - 3 < x < 3}

C.

{- 3, - 1,1,3}

D. {x | - 3 # x

3}

【答案】D 【解析】 【分析】 通过不等式的解法求出集合 A,然后求解并集即可. 【详解】A={x|x2<9}=(﹣3,3) ,又 B = {- 3, - 1,1,3} ,所以 A ? B {x | - 3 # x 故选 D. 【点睛】本题考查二次不等式的求法,并集的运算,属于基础题. 2.设 (2 - ai)(3 + i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a = A. -1 B. -2 C. 1 D. 2

3} ,

【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算化简题目所给表达式,根据实部和虚部相等列方程,求得 a 的值. 【 详 解 】依 题 意 2 - a i

(

)( 3+ i)

= 6- 3 a i+ 2i- a 2 i =a + 6( + 2- a )3 ,i 由 于该 复 数 的实 部 和 虚部 相等 , 故

a + 6 = 2 - 3a ,解得 a = - 1 ,故选 A.
【点睛】本小题主要考查复数的运算,考查复数实部和虚部的概念,考查方程的思想,属于基础题. 3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图为

A. 【答案】B 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

根据三视图,对选项逐一进行验证,由此得出正确的选项. 【详解】由于主视图可知,从右上角到左下角有一条线被挡住,主视图中化成了虚线,由此排除 A,C 两个选项, 并且这个虚线是从右上角到左下角,由此排除 D 选项.故选 B. 【点睛】本小题主要考查三视图和直观图的对应,突破口在于主视图的虚线对应原图的情况,属于基础题. 4.若双曲线

x2 - y 2 = 1(a > 0) 的离心率为 2,则其实轴长为 a2
C.

A.

3

B. 2 3

3 3

D.

2 3 3

【答案】D 【解析】 【分析】 由双曲线方程求得 b ,根据离心率和 c2 = a 2 +b2 列方程组,解方程组求得 a , c 的值,由此得到实轴 2 a 的值.

【详解】 双曲线方程知 b = 1 , 由离心率得

c 3 2 3 2 3 . 结合 c2 = a 2 + b2 , 解得 a = , 故实轴长 2a = =2, ,c = a 3 3 3

【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质,包括离心率、实轴等知识,考查了方程的思想.在题目给定的条件 中,双曲线的方程 a 是未知, b 给定;离心率的值给定,相当于给定

c 的值;再结合双曲线中固有的条件 a

c2 = a 2 + b2 ,相当于两个未知数 a , c ,两个方程
实轴长是 2 a 而不是 a . 5.若 sin a -

c 以及 c2 = a 2 + b2 ,解方程可求得 a , c 的值.值得注意的是, a

2 cos a = 3 ,则 tan(p - a ) =

A. -

2 2

B.

2 2

C. - 2

D.

2

【答案】B 【解析】 【分析】 已知等式平方后,左边除以 sin2a + cos 2a 后得到二次齐次式,再将分子分母除以 cos a ,整理后求出 tan a ,再 利用诱导公式计算所求的结果. 【详解】将 sina -

2cosa = 3 两边同时平方,则有 sin2a + 2cos 2a - 2 2sina cosa =3,

则有

sin2a + 2cos 2a - 2 2sina cosa =3,由题意知 cosa ? 0 , sin2a + cos 2a

\

tan2a + 2 - 2 2tana =3 ? 2tan2a 1 + 2 2tana = 0 ? tana 2 tan a +1

-

2 2 ,又所求 tan ( p - a ) = - tana = , 2 2

故选 B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系及诱导公式的应用,属于中档题. 6.函数 f ( x) =

x3 - x 的图像大致为 x 2 +1

A. 【答案】B 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

利用函数的奇偶性以及函数经过的特殊点,对选项进行排除,由此得到正确选项. 【详解】由于 f - x =

( )

- x3 + x = - f ( x) , 故 函 数 为 奇 函 数 , 图 像 关 于 原 点 对 称 , 故 排 除 A,C 两 个 选 x 2 +1

项. f 琪 琪 =本题选 B.

骣 1 2 桫

1 1 3 1 > - ,通过观察图像可知,D 选项中 x = 时,函数值小于 - ,故排除 D 选项.综上所述, 2 2 10 2

【点睛】本小题主要考查根据函数的解析式,选择正确的函数图像.此类问题主要的解决方法是根据函数的奇偶

性、单调性等等去判断,特殊点的方法也是常用的手段.属于基础题. 7. (3 x - 2 3 x )11 的展开式中有理项共有 A. 4 项 B. 3 项 C. 2 项 D. 1 项

【答案】C 【解析】 【分析】
r 由题意可得二项展开式共有 12 项, 要求展开式中的有理项, 只要在通项 Tr +1 = (- 2)r ?311- r C11 x 33- 5 r 6

中, 让

33 - 5r 6

为整数,求解符合条件的 r 即可.
r r 【详解】由题意可得二项展开式的通项 Tr +1 = C11 (3 x )11- r (- 2 3 x )r = (- 2)r ?311- r C11 x 33- 5r 6

根据题意可得, 故选 C.

33 - 5r 为整数时,展开式的项为有理项,则 r=3,9 共有 2 项, 6

【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项,找出符合条件的项数是关键.

ì x - y +1 ? 0 ? ? ? 3 x + 2 y - 6 ? 0 ,则 8.若 x , y 满足约束条件 í z = 12 x + 3 y 的最大值为 ? y +2 ? 0 ? ? ? x? Z
A. 15 B. 30 C.

63 2

D. 34

【答案】C 【解析】 【分析】 利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域,然后由 z=12x+3y 得 y=﹣4x + z,根据平移直线确定目标 函数的最大值.

1 3

ì x - y +1 ? 0 ? ? ? 3 x + 2 y - 6 ? 0 ,对应的平面区域内的 x∈Z 点,如图: 【详解】作出 x,y 满足约束条件 í ? y +2 ? 0 ? x? Z ? ?

由 z=12x+3y 得 y=﹣4x + z,平移直线 y=﹣4x + z, 由图象可知当直线经过 x=3 上的点 A 时,直线的截距最大,此时 Z 最大, 由图形可知 A(3,故选:C. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识,以及线性规划的基本应用,利用数形结合是解 决此类问题的关键. 9. D 且 cos B = ABC 的内角 A ,B , C 的对边分别为 a , b, sin B , sin C 成等比数列, c .已知 sin A , a <c ,

1 3

1 3

3 9 63 3﹣ = ) ,代入 z=12x+3y 得最大值为 z=12× . 2 2 2

61 , 72

c = a 16 A. 9
则 【答案】D 【解析】 【分析】

B.

3 2

C.

8 5

D.

9 4

利用等比中项的性质和正弦定理,得到 b 2 = ac ,利用 cos B 列方程,分子分母同时除以 a 2 可将方程变为含有 的式子,解方程求得

c a

c 的值. a

【详解】由于 sinA , sinB , sinC 成等比数列,故 sin 2 B = sin A?sin C ,由正弦定理得 b 2 = ac ,根据余弦定 理 有 c o Bs=

a 2 + c 2 - b2 = 2a c

a2 + c2 2 a c

a c = 2

2

+a 1 2c a2 + c2 , 对 分 子 分 母 同 时 除 以 a2 得 a c 2 2ac

骣 c 1+琪 琪 2 2 a +c 1 a - = 桫 c 2ac 2 2× a

2

-

1 61 c 9 c ,由于 a c, 1 ,故解得 = . = a 4 2 72 a

【点睛】本小题主要考查等比中项的性质,考查利用正弦定理进行边角互化,考查余弦定理的应用,还考查了 化归与转化的数学思想方法.解题的思路方面,主要采用“顺序结构”的策略来求解.也就是题目给定三个数成等 比数列,那么利用等比中项的性质列出方程,由于是涉及三角形的问题,故考虑用正弦定理进行转化.然后题目 给了一个角的余弦值,那么考虑用余弦定理表示出来,再转化为题目所要求的形式即可求解出结果,这个是分 层推进,步步为营的方法. 10.已知点 M ( x, y ) 是抛物线 y 2 = 4 x 上的动点,则 x 2 - 6 x + y 2 - 2 y +10 + x 2 - 2 x + y 2 +1 的最小值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B 【解析】 【分析】 由题意: x 2 - 6 x + y 2 - 2 y +10 + x 2 - 2 x + y 2 +1 表示 A(3,1)和 F(1,0)与在抛物线 y 2 = 4 x 上的动点 P 的距离之和,利用抛物线的定义将到 F 的距离转到到准线的距离即可求解. 【详解】由题意知: x 2 - 6 x + y 2 - 2 y +10 + x 2 - 2 x + y 2 +1 =

( x - 3)

2

+ ( y - 1)2 +

( x - 1)

2

+ y 2 表示 A

(3,1)和 F(1,0)与在抛物线 y 2 = 4 x 上的动点 P 的距离之和,又 F(1,0)为抛物线的焦点,所以抛物线 上的动点 P 到 F(1,0)的距离等于到 x=-1 的距离,\ 只需要过 A 作 x=-1 的垂线交抛物线于 P,交准线于 M, 则 AM=4 即为所求. 故选 B. 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用,考查了两点之间的距离公式,属于基础题. 11.将函数 f ( x) = sin 4 x + cos4 x 的图像向左平移

p 个单位长度后,得到 g ( x) 的图像,若函数 y = g (wx) 在 8

p p , ] 上单调递减,则正数 w 的最大值为 12 4 1 3 2 A. B. 1 C. D. 2 2 3 [【答案】A 【解析】

【分析】 先化简 f x 的表达式,平移后得到 g x 的解析式,再求出 g wx 的解析式,然后利用 g wx 的单调减区间 列不等式组,求得 w 的取值范围,进而求得正数 w 的最大值. 【详解】依题意, f x = 琪 琪

()

( )
2

( )

( )

( )

骣 1 - cos 2 x 桫 2

骣 1 + cos 2 x +琪 琪 桫 2

2

π 1 + cos2 2 x 3 + cos 4 x ,向左平移 个单位长度得 = = 8 2 4



轾骣 π 3 1 + cos 犏 4琪 x+ 琪 犏 4 4 臌桫 8

骣 π 3 1 3 1 3 1 = + cos 琪 4 x + = - sin 4 x .故 g ( wx) = - sin ( 4wx) ,下面求函数的减区 琪 4 4 4 4 4 4 桫 2

π 间:由 - + 2kπ # 4wx 2

π kπ π kπ - + + π 8 2 8 2 ,由于函数 g wx 在 + 2kπ ,由于 w > 0 故上式可化为 #x ( ) 2 w w ì π kπ ?- + ì 3 ? 8 2 ? π 6k ? w? ? 轾p p 1 ? ? w 12 2 上单调递减,故 í ,解得 í ,所以当 k = 0 时, w = 为正数 w 的最大值. - , 犏 犏 1 2 ? π kπ ? 臌 12 4 w? 2k ? + ? 2 ? ? 8 2 ? π ? 4 ? w

故选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式,考查三角函数图像变化的知识,考查三角函数的单调区间的求法, 综合性较强,需要较强的运算能力. sin 4 x + cos 4 x 是不能够直接合并起来的,需要通过运用降次公式两次,才能 化简为 Asin wx +j

(

) + B 的形式.求解三角函数单调区间时,要注意 A 是正数还是负数.

ì e x- 1 ? , x >0 12.已知函数 f ( x) = í x ,若函数 g ( x) = f ( f ( x)) - 2 恰有 5 个零点,且最小的零点小于-4,则 a 的取 ? ? ? ax + 3, x ? 0
值范围是( A. (- ? , 1) 【答案】C 【解析】 【分析】 设 t = f x ,则 f t = 2 充分利用函数 f x 的图象,分类讨论a的取值情况,得到 a 的取值范围. ) B. (0, +? ) C. (0,1) D. (1, +? )

( )

()

()

【详解】当 x > 0 时, f x =

( )

e e x- 1 , f ' ( x) = x

x- 1

( x - 1) ,
x2

当 0 < x < 1 时, f ' x < 0 , f x 单调递减;当 x > 1 时, f ' x > 0 , f x 单调递增, 故f x

()

()

()

()

()

min

= f (1) =1 .

当 x ? 0 时, f x = ax +3 的图像恒过点 0,3 , 当a# 0, x

()

( )

0 时, f ( x) ? f ( 0)

3 ;当 a > 0, x ? 0 时, f ( x) ? f ( 0) 3 .

g ( x) = f

( f ( x) ) - 2 有 5 个零点,即方程 f ( f ( x) ) = 2 有 5 个解,设 t = f ( x) ,
e2 >2, 3

则 f t = 2.

()

结合图像可知,当 a > 0 时,方程 f t = 2 有三个根 t1 ?

()

(

? ,0) ,t2 ? ( 0,1) ,t3 ? (1,3) (∵ f ( 3) =

∴ 1 < t3 < 3 ) ,于是 f x = t1 有 1 个解, f x = t2 有 1 个解, f x = t3 有 3 个解,共有 5 个解. 由 ax + 3 = 2 ,得 x = -

()

()

()

1 1 3 1 ,再由 ax + 3 = - ,得 x = - - 2 < - 4 ,∵ a > 0 ,∴ 0 < a < 1 . a a a a

而当 a ? 0 时,结合图像可知,方程 f

( f ( x) ) = 2 不可能有 5 个解.

故选:C 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 a , b 满足 a =1 , b = 2 , a - 2b = 10 ,则 a ?b 【答案】 __________.

7 4

【解析】 【分析】 将 a - 2b = 10 两边平方,化简后可求得 a ×b 的值. 【详解】对 a - 2b = 10 两边平方得 a - 2b

(

)

2

= 10 , a 2 - 4a ?b 4b 2 = 10 ,即 1 - 4 a ?b 4 ? 2 2 10 ,解得

a ?b

7 . 4

【点睛】本小题主要考查向量模的运算,考查向量数量积的求解,属于基础题.解决方法是对已知条件两边平方 后,代入已知向量模的条件,解方程组可求得 a ×b 的值. 14.小周公司的班车早上 7 点到达 A 地,停留 15 分钟.小周在 6:50 至 7:45 之间到达 A 地搭乘班车,且到达 A 地 的时刻是随机的,则他能赶上公司班车的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 时间总长度为 55 分钟,其中能赶上班车的时间有 25 分钟,利用几何概型求得相应的概率. 【详解】依题意,从 6:50 至 7:45 之间一共有 55 分钟,其中 7 点 15 之前能赶上班车,故能赶上班车的时间有 25 分钟,由几何概型的概率计算公式得

5 11

25 5 5 = ,即他能赶上公司班车的概率为 . 55 11 11

【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查实际生活中的概率问题,属于基础题. 15.已知 ln 2 ? 0.6931 , ln 3 ? 1.0986 ,则 ln 72 的近似数为__________. (结果精确到 0.001) 【答案】4.277 【解析】 【分析】 利用对数的运算将 ln72 化简为 3ln2 + 2ln3 ,将 ln2、ln3 的值代入即可得出. 【详解】 ln72 = ln8 + ln9 = 3ln2 + 2ln3 = 3? 0.6931 2 ? 1.0986 4.2765? 4.277, 故答案为 4.277. 【点睛】本题考查了对数的加减运算,考查了计算能力,属于基础题. 16.已知正四棱锥 S - ABCD 的底面边长和高均为 3, K , P 分别是棱 SC , SA 上一点,且满足 SK =

1 SC , 3

SP =

2 SA ,过 PK 做平面与线段 SB , SD 分别交于 M , N ,则四棱锥 S - PMKN 的体积的最小值为 3

__________.

【答案】 【解析】 【分析】 设

8 9

SM SN 2 =x, =y,借用三棱锥体积比例的性质得到 xy= (x+y),再将 VS - PMKN 中的 x、y 统一用 x 来表示,求 SB SD 9

导求得最值. 【详解】引用三棱锥体积比例的性质:当 D、E、F 分别在侧棱 SA、SB、SC 上时,有

VS - DEF SD SE SF = 成 VS - ABC SA SB SC

立, 设

SM SN 1 =x, =y,又 S-ABCD 的体积 创 3 3? 3 9 , SB SD 3 SP SM SK SP SN SK SP SM SN VS - PMKN VS - PMK VS - PNK VS - PMN VS - MKN = + = + + ? = \ 1 SA SB SC SA SD SC SA SB SD VS - ABC VS - ADC VS - ABD VS - BCD VS - ABCD 2 SM SK SN 2 1 2 1 2 1 2 ? x + y = xy + xy ,\ xy= (x+y), SB SC SD 3 3 3 3 3 3 9 2 2 2x VS - PMKN V 2x ), \ y= , \ = S - PMKN = (x+y)= (x+ 9 9 9 9x - 2 9x - 2 1 V S - ABCD 2 2

即 VS - PMKN = 故答案为 .

9 x(9x - 4) 9 2 2x 2x 4 8 (x+ )= x+ ,求导得 ,所以当 x= 时 VS - PMKN 最小为 . 2 2 9 9x - 2 9x - 2 9 9 (9 x - 2)

8 9

【点睛】本题考查四棱锥的体积的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间体积比问题为平面 中线段的比例问题,属于难题.

三、 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知数列 {an } 是等差数列,且 a2n+1 = 6n + a1 , a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 85 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn - an =

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . n(n +1)
n(3n +1) n + 2 n +1

【答案】 (1) an = 3n - 1 ; (2)

【解析】 【分析】 (1)利用等差数列通项公式将已知条件用 a1,d 来表示,求出 a1=2,d=3,由此能求出数列{ an }的通项 an. (2)由 bn = 3n - 1 +

1 1 ,利用分组求和及裂项求和法能求出数列{bn}的前 n 项和. n n +1

【详解】 (1)设{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵ a2n+1 = 6n + a1 ,∴ a3 = a1 + 6 ,又 a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 5a6 = 85 , ∴í

ì ? 2d = 6, 解得 ì ? a1 = 2, í ? ? a1 + 5d = 17, ? d = 3, ?

∴ an = 2 +3 n - 1 = 3n - 1 .

(

)

1 1 , n n +1 1 1 ∴ bn = 3n - 1 + , n n +1
(2)∵ bn - an = ∴ Tn =

( 2 + 3n - 1) n +- 1 + 1 - 1
2 +1 -

2 2 3

+

1 1 + n n +1

=

n ( 3n +1) 2

n 3n +1) 1 n = ( + n +1 2 n +1

【点睛】本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,解题时要认真审题,注意分组求和及裂项求和法的合 理运用. 18.如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ^ 平面 ABC ,且 PA = AB = BC = 2 , AC = 2 2 .

(1)证明:三棱锥 P - ABC 为鳖臑; (2)若 D 为棱 PB 的中点,求二面角 D - AC - P 的余弦值. 注:在《九章算术》中鳖臑(nào)是指四面皆为直角三角形的三棱锥.

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】 【分析】

6 3

(1)由条件已经知道 D ABC、D PAB , D PAC 均为直角三角形,只需证 D PBC 为直角三角形即可得证. (2)利用空间向量求得两个面的法向量,求得 cosm, n 即可. 【详解】 (1)∵ AB = BC = 2 , AC = 2 2 ,∴ AB2 + BC 2 = AC 2 , ∴ AB ^ BC , D ABC 为直角三角形. ∵ PA ^ 平面 ABC ,∴ PA ^ BC , PA ^ AB , D PAB , D PAC 均为直角三角形. ∵ AB ? PA

A ,∴ BC ^ 平面 PAB .

又 PB ? 平面 PAB ,∴ BC ^ PB , D PBC 为直角三角形. 故三棱锥 P - ABC 为鳖臑. (2)解:以 B 为坐标原点,建立空间直角坐标系 B - xyz , 如图所示,则 A 2,0,0 , C 0, 2,0 , D 1,0,1 , 则 AD = - 1,0,1 , AC = - 2, 2,0 . 设平面 ACD 的法向量为 n = x, y, z ,

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

则í

ì ? n ? AD - x + z = 0, ? ? n ?AC - 2 x + 2 y = 0,

令 x = 1 ,则 n = 1,1,1 . 易知平面 PAC 的一个法向量为 m = 1,1,0 ,

(

)

(

)

则 cosm, n =

2 6 . = 3 3? 2
6 . 3

由图可知二面角 D - AC - P 为锐角,则二面角 D - AC - P 的余弦值为

【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查四面体是否为鳖臑的判断与求法,考 查二面角的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查空间向量的应用,是中档题. 19.2018 年中秋季到来之际,某超市为了解中秋节期间月饼的销售量,对其所在销售范围内的 1000 名消费者在 中秋节期间的月饼购买量(单位: g )进行了问卷调查,得到如下频率分布直方图:

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)已知该超市所在销售范围内有 20 万人,并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的 5% ,请根据人均月 饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求? (3)由频率分布直方图可以认为,该销售范围内消费者的月饼购买量 Z 服从正态分布 N ( m ,s 2 ) ,其中样本平 均数 x 作为 m 的估计值,样本标准差 s 作为 s 的估计值,设 X 表示从该销售范围内的消费者中随机抽取 10 名, 其月饼购买量位于 (781g ,1635 g ) 的人数,求 X 的数学期望. 附:经计算得 s = 182336 ? 427 ,若随机变量 Z 服从正态分布 N ( m ,s 2 ) ,则 P( m- s < Z < m+s ) =0.6827 ,

P( m- 2s < Z < m+ 2s ) = 0.9545 .
【答案】 (1) a = 0.001 ; (2)12.08; (3)6.827 【解析】 【分析】 (1)由频率分布直方图中的面积和为 1,直接求解. (2)由频率分布直方图直接计算人均月饼购买量.

(3)利用二项分布的性质求解. 【详解】 (1)由 (0.0002 + 0.00055 + a +0.0005 + 0.00025)? 400 1,得 a = 0.001 . (2)由频率分布直方图可得人均月饼购买量为 (400? 0.0002 800? 0.00055 +1200? 0.001 1600 ? 0.0005

+2000创 0.00025) 400 = 1208g ,
所以 20创 1208 5% = 1208 万克= 12.08 吨. 即该超市应准备 12.08 吨月饼恰好能满足市场需求. (3)由(2)知 m = 1208 , s = 427 ,计算得 m- s = 1208 - 427 = 781 , m+s = 1208 + 427 = 1635 , 所以 P(781 < Z < 1635) = 0.6827 . 由题知 X ~ B 10,0.6827 ,所以 EX = 10? 0.6826

(

)

6.827 .

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,考查平均数的计算,考查二项分布中期望的求法,是中档题. 20.在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,且过点 2, 3 ,若 C 的两焦点与其中一个顶 点能构成一个等边三角形.

(

)

(1)求 C 的方程. (2)已知过 O 的两条直线 l1 ,l2(斜率都存在) 与 C 的右半部分( y 轴右侧)分别相交于 A ,B 两点,且 D AOB 的面积为 2 3 ,试判断 OA , OB 的斜率之积是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.

【答案】 (1) 【解析】 【分析】

x2 y 2 3 (2) + =1 ; 4 8 6

(1)利用已知条件列出方程组,求出 a,b,即可得到椭圆方程. (2)设 OA , OB 的斜率分别为 k1 , k2 .联立直线 OA 与椭圆方程,求得 OA 及点 B 到直线 OA 的距离,表示出

D AOB 的面积,平方化简后得到关于 k1 , k2 的二次方程,解得 k1k2 .
【详解】 (1)由题意可知

b = tan60? c

3 ,即 b = 3c ,

又 a 2 = b2 + c 2 ,得 a 2 = 4c 2 . 把 2, 3 代入 C 的方程得

(

)

4 3 + = 1,又 a 2 = 4c 2 ,解得 c 2 = 2 , a 2 b2

从而 a 2 = 8 , b2 = 6 ,故 C 的方程为

x2 y 2 + =1 . 8 6

(2)设 A x1, y1 , B x2 , y2 , OA , OB 的斜率分别为 k1 , k2 .

(

)

(

)

ì y = k1 x, ? 24 联立方程组 í x 2 y 2 ,得 x12 = , 3 + 4k12 ? + = 1, ? ? 8 6
2 同理得 x2 =

24 , 2 3 + 4k 2

则 OA = 1 + k12 ? x1

24 1 + k12 3 + 4k
2 1

(

).


因为点 B 到直线 OA 的距离 d =

k2 x2 - k1 x2 1 + k12

2 6 k2 x2 - k1 x2 k x -kx 1 1 24 1 + k1 所以 D AOB 的面积为 S = OA ?d = =2 3 , ? 2 2 1 2 = 2 2 2 3 + 4k1 3 + 4k12 1 + k12
2 6 x2 | k2 - k1 |2 6 | k2 - k1 |2 24 = ? 2 2 2 3 + 4k1 3 + 4k1 3 + 4k2

(

)

则 S2 =

12 ,

2 整理得 16k12 k2 + 24k1k2 + 9 = 4k1k2 + 3

(

)

2

=0,

即 k1k2 = -

3 3 ,故 l1 , l2 的斜率之积为定值,且定值为 - . 4 4

【点睛】本题考查椭圆方程的求法,以及三角形面积问题,考查了椭圆中的定值问题,考查计算能力,属于中 档题. 21.设函数 f ( x) = ax3 - ax - 2x ln x . (1)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的值;

(2)若 f ( x) > 1 -

x e
x- 1

对 x ? (1, ? ) 恒成立,求 a 的取值范围.

【答案】 (1) a = 1 ; (2) [1, +? ] 【解析】 【分析】 (1) g x = ax2 - a - 2lnx ,对 a 分类求得 g x 的单调性,进而求得最小值,让最小值 ? 0 ,解得 a 的值. (2)原不等式等价于 f(x) - 1 +

()

( )

x e
x- 1

> 0 在 x ? (1, ?

) 上恒成立,又因为 m(1) = 0 ,所以只需 m?( x) 在 x = 1
()

处大于等于 0,求得 a 的范围,再去证明 a ? 1 时不等式成立即可. 【详解】 (1)由题意, f x ? 0 等价于 ax 2 - a - 2lnx ? 0 ,令 g x = ax2 - a - 2lnx ,

()

g ?( x) = 2ax -

2 2ax 2 - 2 ,x >0. = x x

①当 a ? 0 时, 2ax 2 - 2 < 0 , g? x < 0 , g x 在 0, +?

()

( ) (

) 上单调递减,

而 g 1 = 0 ,所以不符合题意.

()

骣 1 骣 琪 2a 琪 x + x琪 琪 a 桫 桫 ②当 a > 0 时, g ? ( x) = x
当 x? 琪 0,

1 a



骣 琪 桫

1 时, g? ( x) < 0 ;当 x ? a 骣 琪 桫

骣1 琪 , ? 琪a 桫

时, g? x > 0 .

()

故 g x 在琪 0,

( )

骣1 1 上单调递减,在 琪 , +? 琪a a 桫

上单调递增,

所以 g x

( )

min

骣1 , = g琪 琪 a = 1 - a + lna 桫

令 h a = 1 - a + lna , h? a = - 1 +

()
(

( )

1 1- a ,当 a ? ( 0,1) 时, h? = ( a) > 0 ; a a
max

当 a ? 1, ?

) 时, h?( a) < 0 ,所以 h( a) ()
min

= h (1) = 0 ,即 h ( a) ? 0 ,

因为 g x ? 0 ,所以 g x

()

= h ( a) ? 0 ,而 h ( a) ? 0 ,所以 a = 1 .
x e
x- 1

(2)原不等式等价于 ax 3 - ax - 2 xlnx - 1 +

> 0 在 x ? (1, ?

) 上恒成立,

1 1 + > 0 在 x ? (1, ? x e x- 1 1 1 令 m ( x) = ax 2 - a - 2lnx - + x - 1 , x e
即 ax 2 - a - 2lnx 只需 m x > 0 在 x ? 1, ?

) 上恒成立,

()

(

) 上恒成立即可.

又因为 m 1 = 0 ,所以 m? x 在 x = 1 处必大于等于 0.

()

()

令 F x = m? x = 2ax -

( )

( )

2 1 + - e1- x ,由 m? (1) ? 0 ,可得 a ? 1 . x x2
3 2 2 2 2 1- x 2 x + x - 1 1- x - 3 +e ? 2 2 - 3 +e = + e1- x . 2 3 x x x x x

当 a ? 1 时, F ? x = 2a +

( )

(

)

因为 x ? 1, ?

(

) ,所以 x () ()

3

+ x - 1 > 0 ,又 e1- x > 0 ,故 F ? ( x) 在 a ? 1 时恒大于 0.

所以当 a ? 1 时, F x 在 x ? 1, ?

(

) 上单调递增. () ( ( ) 上单调递增. ) 上恒大于 0.

所以 F x > F 1 = 2a - 2 ? 0 ,故 m x 也在 x ? 1, ? 所以 m x > m 1 = 0 ,即 m x 在 x ? 1, ? 综上, a 的取值范围为 1, +?

()

()

()

()

[

].

【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值及其函数的最值问题,考查了等价转化方法,考查了推理能力 与计算能力,属于难题. 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 í
2

ì ? x = 2t +1 ( t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 y = 2 t 1 ? ?

极轴建立极坐标系,曲线 M 的极坐标方程为 r (1) 求 C 和 M 的直角坐标方程;

= 4r cosq + 2mr sinq - m2 .

(2)若 C 与 M 恰有 4 个公共点,求 m 的取值范围. 【答案】 (1) y = x - 2 , ( x - 2)2 + ( y - m)2 = 4 ; (2) (2, 2 2) 【解析】 【分析】 (1)利用代入消元法消去 t ,得到 C 的直角坐标方程.利用直角坐标和极坐标相互转化的公式求得曲线 M 的直 角坐标方程.(2) 先利用点到直线的距离公式, 求得 C , M 相切时 m 的值,再求得 C , M 有三个公共点时 m 的值,

进而求得 C , M 有 4 个公共点时 m 的取值范围. 【详解】 (1)由 y = 2t - 1 = 2t +1 - 2 ,得 y = x - 2 , 故 C 的直角坐标方程为 y = x - 2 . 由r
2

= 4r cosq + 2mr sinq - m2 ,得 x2 + y 2 = 4 x + 2my - m2 ,

故 M 的直角坐标方程为 x - 2

(

) +( y - m)

2

2

=4.

(2)当 C 和 M 相切时,圆 M 的圆心到直线 y = x - 2 的距离 d =

m 2

=2,

且 m > 0 ,则 m = 2 2 . 当 C 与 M 恰有 3 个公共点时, m = 2 . 故当 C 与 M 恰有 4 个公共点时, m 的取值范围为 2, 2 2 . 【点睛】本小题主要考查参数方程化为直角坐标方程,考查极坐标方程化为直角坐标方程,考查直线和圆的位 置关系,属于中档题. 23.设函数 f ( x) = 3 x - a 2 + 3x - 3 + a . (1)当 a = - 2 时,求不等式 f ( x) < 0 的解集; (2)若 f ( x) >17 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) ( , ) ; (2) (- ? , 5) ? (4, ? ) 【解析】 【分析】 (1)当 a = - 2 时,利用零点分段法去绝对值,将 f x 表示成分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2) 利用绝对值不等式求得 f x 的最小值,令这个最小值大于 17 ,解不等式求得 a 的取值范围.

(

)

5 3 6 2

()

()

ì ? 5 - 6 x, x ? 1 ? ? 4 ? 【详解】 (1)当 a = - 2 时, f ( x) = 3 x - 4 + 3 x - 3 - 2 = í - 1,1 < x < , 3 ? ? ? 6 x - 9, x ? 4 ? 3 ?

故不等式 f x < 0 的解集为 琪 琪,

()

骣 5 3 . 6 2 桫

(2)∵f x = 3 x - a 2 + 3 x - 3 + a ? ∴ | a2 - 3 +a 17 ,

( )

( 3x a ) - ( 3x - 3) +a = a
2

2

- 3 +a .

则 a 2 - 3 > 17 - a 或 a 2 - 3 < - 17 + a ,解得 a < - 5 或 a > 4 , 故 a 的取值范围为 - ? , 5 ? 4, ?

(

) (

).

【点睛】本小题主要考查不含参数的绝对值不等式的解法,也考查了含有参数的绝对值不等式的解法.属于中档 题.


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