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2013年天津理科数学试题及全解析

2013 年天津卷理科数学试题 一、选择题 【1】 (A,天津,文理 1)已知集合 A ? x ? R x ? 2 , B ? x ? R x ? 1 , 则 A ? B ? 错误!未找到引用源。 A.

?

?

?

?

? ??, 2?

B. ?1, 2?

C.

??2, 2?

D.

??2,1?

考点名称: 【1】集合 【1】 (A,天津,文理 1)D 集合 A ? ??2,2? , B ? ? ??,1? ,所以 A ? B ? ? ?2,1?

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 【2】 (A,天津,文理 2)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z=y-2x 的最小值为错误!未 ? y ? 3 ? 0, ?
找到引用源。 A. -7 B. -4 C.1 D. 2

考点名称:简单的线性规划 【2】 (A,天津,文理 2)A 如图,当目标函数经过可行域内点 A(5,3)时,z 的最小值为-7.

【3】 (B,天津,理 3)阅读右边的程序框图,运行相应程序,若输入 x 的值为 1,则输出的 S 的值为错误!未找到引用源。 A. 64 B. 73 C.512 D. 585

考点名称: 【24】算法初步与框图

【3】 (B,天津,理 3)B

根据程序框图,列表如下
变 量 s x 初始值 0 1 第1次 1 2 第2次 9 4 第3次 73 跳出循环, 输出 s=73

错误!未找到引用源。

【4】 (B,天津,理 4)已知下列三个命题:

①若一个球的半径缩小到原来的

1 1 ,则其体积缩小到原来的 ; 2 8

②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1 相切, 2

其中真命题的序号是 A. ① ② ③ C. ① ③ B. ① ② D. ② ③

考点名称: 【2】常用逻辑用语——命题

R 4? ( )3 R 4? R 3 2 ? 1V , 【4】 (B, 天津, 4) ①设球的半径为 R , 理 C 则体积 V ? ; 若球的半径为 , 体积为 2 3 3 8
所以①为真命题 ②A 组数据:1,2,3 ,平均数 2,标准差为 1;B 组数据:2,2,2,平均数 2,标准差 0. 所以②为假命题 ③圆心 (0, 0) 半径 r ?

2 2 ,圆心到直线的距离 d ? ? r ,直线与圆相切.所以③为真命题 2 2

x2 y 2 【5】 (B,天津,理 5)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线 a b
分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? 错误!未找到 引用源。 A. 1 C. 2 B.

3 2

D. 3

考点名称: 【15】圆锥曲线及其标准方程 【5】 (B,天津,理 5)C 双曲线的离心率为 2,知 b ? 3a ,所以双曲线的渐近线方程为 y ? 3x 和

y ? ? 3x , 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x ? ?
AB ? 3P,? s ?

? P 3 ? ? P p 3 ? , 所 以 , 交 点 坐 标 为 A? ? , ? 2 2 P?, B? ? 2 ,? 2 P? , ? ? ? 2 ? ? ? ?

1 p ? 3 p ? ? 3 ,得 p2 ? 4( p ? 0) ,所以 p ? 2 2 2

【6】 (B,天津,理 6)在 ?ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin ?BAC ? 错误!未找到引用源。

A.

10 10 10 5

B.

10 5 5 5

C.

D.

考点名称: 【10】解三角形 【6】 (B,天津,理 6)C 在 ?ABC 中,由余弦定理,得

6

AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC ? 9 ? 2 ? 6 ? 5

所 以

4

AC ? 5 ,
3 由正弦定理,得 ? sin ?BAC
15

3 10 5 , 所以 sin ?BAC ? . 10 2 2
10 5

2

y= log0.5x

y=2-x

【7】 (B,天津,理 7)函数 f ( x) ? 2x log 0.5 x ?1 的零点个数为错 误!未找到引用源。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

O

5

2

考点名称: 【4】指对幂函数
4

【7】B, ( 天津, 7) 函数 f ( x) ? 2 log 0.5 x ?1 的零点个数等价于函数 y ? log0.5 x 与函数 y ? 2? x 理 B
x

图象的交点的个数.由图象知,有两个交点,所以函数 f ( x) ? 2x log0.5 x ?1 有两个零点. 6

【8】 (C,天津,理 8)已知函数 f ( x) ? x(1? a x ).设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? 8f ( x) 的解集为 A .若

? 1 1? ? ? 2 , 2 ? ? A, 则实数 a 的取值范围是错误!未找到引用源。 ? ?
A.

? 1? 5 ? ? ? 2 ,0? ? ? ?

B. ? ?

? 1? 3 ? ,0? ? ? 2 ?

C. ?

? 1? 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 , 0 ? ? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

D. ? ??, ?

? ?

1? 5 ? ? 2 ? ?

考点名称: 【11】不等式 【8】 (C,天津,理 8) 、A 解法 1 (1) a ? 0 时, f ( x) ? x ? f ( x ? a) 满足条件.

? ax 2 ? x x ? 0 (2) f ( x) ? ? , 2 ? ?ax ? x x ? 0
① a ? 0 时 f ( x ) 的图象如图 1 所示, y ? f ( x ? a) 的图象是将 y ? f ( x) 的图象向左平移 a 个单位,

? f ( x ? a) ? f ( x)恒成立(舍).

② a ? 0 时 f ( x ) 的图象如图 2 所示.

<i> ? a ? ?

1 时,即 ?1 ? a ? 0 时 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A= ( x1 , x2 ) 且 x1 ? x2 , a

?ax2 ? x ? a( x ? a)2 ? ( x ? a) 的根为 x2 , x2 ? ?

a2 ? 1 . 2a ?a 2 ? 1 , 2a

又 ?ax2 ? x ? ?a( x ? a)2 ? ( x ? a) 的根为 x1 , x1 ?

? 1 1? ? ? ? , ? ? ( x1 , x2 ) 又 x1 ? x2 , ? 2 2?
? x1 ? ?a 2 ? 1 1 1? 5 ? ? ,? a 2 ? a ? 1 ? 0 又 a ? (?1, 0) ,? a ? ( ,0) . 2a 2 2
1 ? 1 1? 即 a ? ?1 时,易得 x1 ? 0 ,? ? ? , ? ? ( x1 , x2 ) (舍). a ? 2 2?

<ii> ? a ? ?

综上:? a ? ( 二、填空题

1? 5 ,0) . 2


【9】 (A, 天津,理 9)已知 a, b ? R, i 是虚数单位.若 (a ? i)(1 ? i) ? bi, .则 a ? bi ? 考点名称: 【34】复数 【9】 (A,天津,理 9) 1 ? 2i

? ? , ? (a ? i) ( 1 i ) b i (a ? 1) ? (a ? 1)i ? bi ,

? a ?1 , b ? 2 ?a ?b i ? ? i 1 2 .
6

1 ? ? 【10】 (A, 天津,理 10) ? x ? ? 的二项展开式中的常数项为 x? ?
考点名称: 【25】计数原理(排列组合,二项式定理) 【10】 (A,天津,理 10)15 常数项为 15.
6?r



? 1 ? ? Tr ?1 ? C x ? ? ? x? ?
r 6? r 6

r ? C(? 1 ) r x2 ,当 6 ? 6

6?

3r

3r ? 0 时, r ? 4 ,此时 2

? 【 11 】 A, 天 津 , 理 11 ) 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 4 cos ,圆 心 为 C , 点 P 的 极 坐 标 为 ( 4, (
CP ?


?
3

) ,则

考点名称: 【36】坐标系与参数方程 【11】 (A,天津,理 11) 2 3

? 圆的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 圆心 C (2, 0) ,点 P 的直角坐标为

(2, 2 3) ,? CP ? 2 3 .
D E C

【12】 (B, 天津, 文理 12) 在平行四边形 ABCD 中,AD ? 1, ?BAD ? 60o , E 为 CD 的中点. AC ? BE ? 1, 若 则 AB 的长为 .

??? ??? ? ?

考点名称: 【7】平面向量的概念及其运算 【12】 (A,天津,文理 12) 解法 1 设 AB ? x .

1 2

??? ?

??? ???? ??? ? ? ? AC ? AD ? AB ??? ??? ??? ???? 1 ??? ??? ???? 1 ??? ? ? ? ? ? ? BE ? AE ? AB ? AD ? AB ? AB ? AD ? AB 2 2 ???? ??? ???? 2 1 ??? 2 1 ???? ??? ? ? ? AC ? BE ? AD ? AB ? AD ? AB 2 2
? 1? 1 2 1 x ? x ?1 2 4

? x2 ?

1 1 x, x ? 0,? x ? 2 2

解法 2 以 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴,建系如图 则 D( ,

1 3 1 1 3 1 3 ) ,设 B( x, 0) 则 E ( ? x, )C ( ? x, ) 2 2 2 2 2 2 2

???? ??? ? 1 3 1 1 3 AC ? BE ? ( ? x, ) ? ( ? x, ) 2 2 2 2 2
? 1 1 1 3 ? x ? x2 ? ? 1 4 4 2 4

y D

E

C

? x2 ?

1 1 x, x ? 0 ? x ? 2 2

A

B

x

【13】 (B, 天津,理 13)如图, ?ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦,且 BD / / AC .过点 A 作圆的切 线与 DB 的延长线交于点 E , AD 与 BC 交于点 F .若 AB ? AC, AE ? 6, BD ? 5, 则线段 CF 的长为 . 考点名称: 【37】几何证明选讲 【13】 (B,天津,理 13)

8 3

? EA 为圆的切线,

? EA2 ? EB ? ED ? EA ? 6 ? EB ? 4 ? BD / / AC ??ABE ? ?BAC ? ?EAB ? ?ACB ??ABE ? ?CAB ? EB ? AB ? AC ? 4 AC CF 4 ? ? ? BD BF 5 4 8 ? CF ? BC ? 9 3 BC ? AE ? 6 BD ? 5

【14】 (C, 天津,理 14)设 a ? b ? 2, b ? 0, 则当 a ? 考点名称: 【11】不等式性质 【14】 (C,天津,理 14)-2 (见文 14)

时,

a 1 ? 取得最小值. 2a b

a ? b ? 2 ,则 t ?

a a?b a 1 ? ? ? , 2a b 4a b

①当 a ? 0 时,即 a ? (0, 2) 时,

t?

1 b a 1 b a 1 5 ? ? ? ?2 ? ? ?1 ? , 4 4a b 4 4a b 4 4
b a 2 ? ,即 b ? 2a ,且 a ? b ? 2 ,? a ? 时等号成立. 4a b 3

当且仅当

②当 a ? 0 时, t ? ? 当且仅当 ?

1 ? b ? ? a? 1 1 3 ? b ? ? a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ??? ? ? ? ? ?1 ? , 4 ? 4a ? ? b ? 4 4 4 ? 4a ? ? b ?

b a ? ? ,即 b ? ?2a ,且 a ? b ? 2 ,? a ? ?2 时等号成立. 4a b

综上所述,当 a ? ?2 时, 三、解答题

a 3 1 ? 的最小值为 . 4 2a b

【15】 (A, 天津,理 15)已知函数 f ( x) ? ? 2 sin(2 x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 0,

?
4

) ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R .

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

考点名称 【6】三角函数的最值及其应用

【15】 (B,天津,理 15) (Ⅰ) f ( x) ? ? 2 sin 2 x ? cos

?
4

? 2 cos 2 x ? sin

?
4

? 3sin 2 x ? cos 2 x

?? ? ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
所以, f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ?? . 2

(Ⅱ)因为 f ( x ) 在区间 ?0, 又 f (0) ? ?2, f (

? 3? ? ? 3? ? ? ? 上是增函数,在区间 ? 8 , 2 ? 上是减函数. ? 8 ? ? ?

3? ? ? ?? ) ? 2 2, f ( ) ? 2, 故函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2. 8 2 ? 2?

【16】 (B, 天津,理 16)一个盒子理装有 7 张卡片,其中红色卡片有 4 张,编号分别为 1,2,3,4;白色卡片有 3 张,编号分别为 2,3,4,从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (Ⅱ)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 考点名称: 【27】概率 【 16 】 B , 天 津 , 理 16 ) Ⅰ ) 设 “ 取 出 的 4 张 卡 片 中 , 含 有 编 号 为 3 的 卡 片 ” 为 事 件 A , 则 ( (

P( A) ?

1 3 2 6 C2C5 ? C2 C52 6 ? ,所以,取出 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为 . 4 7 C7 7

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 1, 2,3, 4.

P( X ? 1) ?

3 C3 1 ? 4 C7 35 3 5 4 7

P( X ? 2) ?

3 C4 4 ? 4 C7 35

P( X ? 3) ?
所以随机变量 X 的分布列是 X P 1 2 3 4

C 2 ? C 7

3 4 P( X ? 4) ? 6 ? 4 C7 7 C

1 35

4 35

2 7

4 7

所以随机变量 X 的数学期望 EX ? 1?

1 4 2 4 17 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 35 35 7 7 5

【 17 】 B, 天 津 , 理 17 ) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 A B C D ( ,

AB / / DC, AB ? AD, AD ? CD ? 1, AA1 ? AB ? 2, E 为棱 AA1 的中点.
(Ⅰ)证明: B1C1 ? CE ; (Ⅱ)求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值; (Ⅲ)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1 A1 所成的角的正弦值为

2 ,求线段 AM 的长. 6

考点名称: 【23】空间向量与立体几何

B

B1

C A E D

C1 A1 D1

第 17 题 【17】 (B,天津,理 17)方法 1 如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意 z
B B1

A(0,0,0), B(0,0, 2), C (1,0,1) B1 (0, 2, 2), C1 (1, 2,1), E (0,1, 0) .
(Ⅰ)证明:易得 B1C1 ? (1,0, ?1), CE ? (?1,1, ?1), 于是 B1C1 ? CE ? 0, 所以 B1C1 ? CE. (Ⅱ) B1C ? (1, ?2, ?1).

???? ?

??? ?

???? ??? ? ? ????

C A E

C1 A1

???? x D D1 ?m ? B1C ? 0, ? x ? 2 y ? z ? 0, ? 设平面 B1CE 的法向量 m ? ( x, y, z ) , ? 则 即? 消去 x, 得 y ? 2 z ? 0, 不妨令 z ? 1 , ??? ? ? m ? CE ? 0, ?? x ? y ? z ? 0. ?
可得一个法向量 m ? (?3, ?2,1) . 由(Ⅰ) B1C1 ? CE ,又 CC1 ? BC1 ,可得 B1C1 ? 平面 CEC1 ,故 B1C1 ? (1,0, ?1) 为平面 CEC1 的一个法 , 1 向量.

y

???? ?

???? ? ???? ? ???? ? m ? B1C1 ?4 2 7 21 于是 cos m, B1C1 ? ,从而 sin m, B1C1 ? , ?? ???? ? ? 7 7 14 ? 2 m ? B1C1
21 . 7 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? (Ⅲ) AE ? (0,1,0), EC1 ? (1,1,1), 设 EM ? ? EC1 ? (?, ?, ? ) , 0 ? ? ? 1, ???? ??? ???? ? ? ? ??? ? 有 AM ? AE ? EM ? (?, ? ? 1, ? ). 可取 AB ? (0,0, 2) 为平面 ADD1 A1 的一个法向量.
所以二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值为 设 ? 为直线 AM 与平面 ADD1 A1 所成的角,则

???? ??? ? ? AM ? AB ???? ??? ? ? 2? ? , sin ? ? cos AM , AB ? ???? ??? ? ? ? ? 2 2 2 2 AM ? AB ? ? (? ? 1) ? ? ? 2 3? ? 2? ? 1

于是

?
3? 2 ? 2? ? 1

?

1 2 , 解得 ? ? , 所以 AM ? 2. 3 6

方 法 2 ( Ⅰ ) 因 为 侧 棱 CC1 ? 底 面 A1 B1 C1 D1, B1C1 ? 平 面 A1 B1 C1 D1, 所 以 CC ? B C. 经 计 算 可 得 1 1 1

B B1E ? 5, B1C1 ? 2, EC1 ? 3, 从而 B1E 2 ? B1C12 ? EC12 , 所以在 ?B1EC1 中, 1C1 ? C1E , 又 CC1 , C1E ?
平面 CC1E, CC1 ? C1E ? C1 , 所以 B1C1 ? 平面 CC1E ,又 CE ? 平面 CC1E ,故 B1C1 ? CE . (Ⅱ)过 B1 作 B1G ? CE 于点 G ,连接 C1G .由(Ⅰ) B1C1 ? CE ,故 CE ? 平面 B1C1G ,得 CE ? C1G ,所以 ,

?B1GC1 为二面角 B1 ? CE ? C1 的平面角.在 ?CC1 E 中,由 CE ? C1E ? 3, CC1 ? 2, 可得 C1G ? Rt ?B1C1G 中, B1G ?
21 42 21 . , 所以 sin ?B1GC1 ? , 即二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值为 7 3 7

2 6 .在 3

(Ⅲ)连接 D1E ,过点 M 作 MH ? ED1 于点 H , 可得 MH ? 平面 ADD1 A1 ,连接 AH , AM , 则 ?MAH 为直线
B B1

C A D G E M H

C1 A1 D1

AM 与平面 ADD1 A1 所成的角.

设 AM ? x , 从而在 Rt ?AHM 中, MH ? 有 得 EH ?

2 34 x, AH ? x. 在 Rt ?C1D1E 中,C1D1 ? 1, ED1 ? 2, 使 6 6

2 MH ?

1 x. 在 ?AEH 中, ?AEH ? 135o , AE ? 1, 由 AH 2 ? AE 2 ? EH 2 ? 2 AE ? EH cos135o , 3



17 2 1 2 x ? 1 ? x2 ? x. 18 9 3

整理得 5x2 ? 2 2x6 ? 0, 解得 x ? 2. 所以线段 AM 的长为 2 。 【18】 (C, 天津,文理 18)设椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴 2 a b 3

垂直的直线被椭圆截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆方程;

4 3 . 3

( Ⅱ ) 设 A, B 分 别 为 椭 圆 的 左 、 右 顶 点 , 过 点 F 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 椭 圆 交 于 C , D 两 点 , 若

??? ??? ???? ??? ? ? ? AC ? DB ? AD ? CB ? 8, 求 k 的值.
考点名称: 【16】直线与圆锥曲线

【18】 (B,天津,理 18) 解析: (I)解:设 F (?c, 0) ,由

c 3 ,知 a ? 3c .过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x ? ?c ,代入椭圆方 ? a 3

( ?c ) 2 y 2 6b 2 6b 4 3 2 2 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? 程有 ,于是 ,解得 b ? 2 ,又 a ? c ? b ,从而 a ? 3 , ? 2 a b 3 3 3
c ? 1 ,所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

(II)解:设点 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,由 F (?1, 0) 得直线 CD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 由方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,整理得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 . ?1 ? ? ?3 2
求解可得 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 ? .因为 A(? 3,0) , B( 3,0) , 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 AC ? DB ? AD ? CB ? ( x1 ? 3, y1 ) ? ( 3 ? x2 , ? y2 ) ? ( x2 ? 3, y2 ) ? ( 3 ? x1, ? y1 )

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

? 6 ? 2x1x2 ? 2 y1 y2 ? 6 ? 2x1x2 ? 2k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2k 2 ? 12 ? 6 ? (2 ? 2k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 6 ? , 2 ? 3k 2
2 2 2

由已知得 6 ?

2k 2 ? 12 ? 8 ,解得 k ? ? 2 . 2 ? 3k 2
3 * 的等比数列 ?an ? 不是递减数列,其前 n 项和 Sn (n ? N ) ,且 2

【19】 (C, 天津,理 19)已知首项为

S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 Tn ? S n ?

1 (n ? N * ), 求数列 ?Tn ? 的最大项的值与最小项的值. Sn

考点名称: 【20】数列的综合应用 【19】 (C,天津,理 19) (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,因为 S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列, 所以 S5 ? a5 ? S3 ? a3 ? S4 ? a4 ? S5 ? a5 , 即 4a5 ? a3 , 于是 q ?
2

3 a5 1 ? , 又 ?an ? 不是递减数列且 a1 ? , 2 a3 4

所以 q ? ?

1 3 ? 1? .故等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ? ? 2 2 ? 2?

n ?1

? (?1)n?1 ?

3 . 2n

1 ? ?1 ? 2n , n为奇数. ? 1? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 2? ? 1 ? n , n为偶数. ? 2 ?
n

当 n 为奇数时, Sn 随 n 的增大而减小,所以 1 ? S n ? S1 ?

3 ,故 2

0 ? Sn ?

1 1 3 2 5 ? S1 ? ? ? ? . Sn S1 2 3 6
3 ? S 2 ? S n ? 1, 故 4

当 n 为偶数时, Sn 随 n 的增大而增大,所以

0 ? Sn ?

1 1 3 4 7 ? S2 ? ? ? ? ? . Sn S2 4 3 12 7 1 5 ? Sn ? ? . 12 Sn 6
5 6 7 . 12

综上,对于 n ? N * , 总有 ?

所以数列 ?Tn ? 最大项的值为 , 最小项的值为 ?
2

【20】 (C, 天津,理 20)已知函数 f ( x) ? x ln x. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)证明:对任意的 t ? 0, 存在唯一的 s , 使 t ? f ( s) ; (Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ), 证明:当 t ? e 时,有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

考点名称: 【29】导数的应用 【20】 (B,天津,理 20) (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? .

f ?( x) ? 2 x ln x ? x ? x(2ln x ? 1), 令 f ?( x) ? 0, 得 x ?
当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 . e

x
f ?( x )

? 1 ? ? 0, ? e? ?
?
?

1 e
0
极小值

? 1 ? , ?? ? ? ? e ?

?
?

f ( x)

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? 0,

? ?

1 ? ? 1 ? , ?? ? . ? ,单调递增区间是 ? e? ? e ?

(Ⅱ)当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0. 设 t ? 0, 令 h( x) ? f ( x) ? t, x ??1, ??? . 由(Ⅰ)知, h( x) 在区间 (1, ??) 内单调递增.

h(1) ? ?t ? 0, h(et ) ? e2t ln et ? t ? t (e2t ?1) ? 0. 故存在唯一的 s ? (1, ??), 使得 t ? f ( x) 成立.

(Ⅲ)因为 s ? g (t ), 由(Ⅱ)知, t ? f ( s ), 且 s ? 1, 从而

ln g (t ) ln s ln s ln s u ? ? ? ? , 2 ln t ln f (s) ln(s ln s) 2ln s ? ln ln s 2u ? ln u
2 ln g (t ) 1 u ? ? 成立,只需 0 ? ln u ? . 5 ln t 2 2

其中 u ? ln s. 要使

2 当 t ? e 时,若 s ? g (t ) ? e, 则由 f ( s ) 的单调性,有 t ? f (s) ? f (e) ? e2 , 矛盾,所以 s ? e, 即 u ? 1, 从而

ln u ? 0 成立.
另一方面,令 F (u ) ? ln u ?

u 1 1 , u ? 1.F ?(u ) ? ? , 令 F ?(u) ? 0 ,得 u ? 2. 当1 ? u ? 2 时, F ?(u) ? 0 ; 2 u 2
u 成立. 2

当 u ? 2 时, F ?(u ) ? 0. 故对 u ? 1, F (u) ? F (2) ? 0. 因此 ln u ? 综上,当 t ? e 时,有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2


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