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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布课件 新人教A版必修3_图文

成才之路 · 数学
人教A版 · 必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
统计

第二章
2.2
2.2.1

用样本估计总体

用样本的频率分布估计总体分布

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后精练

预习导学

●课标展示 1 .了解分析数据的方法,知道估计总体频率分布的方 法. 2 .了解频率分布折线图和总体密度曲线,会画频率分布

直方图和茎叶图.
3.理解频率分布直方图和茎叶图及其应用.

●温故知新 旧知再现 1 .一个单位有职工 160 人,其中有业务人员 112 人,管理 人员16人,后勤服务人员32人,为了了解职工的某种情况要从

中抽取一个容量为20的样本,用分层抽样的方法抽取样本,需
4 人. 抽取后勤人员_____

2 .在初中,我们已经学习过把样本数据表示成频数分布 表 和频数分布_____ 图 这样的图表形式,从图表上直观地看出 _____ 样本数据的分布情况,进而估计出总体的分布情况.本节在初 中学过的内容和方法的基础上,介绍了一些新的概念,如频率

分布折线图及总体密度曲线等,要仔细去体会、理解,还增加
了利用频率分布直方图估计众数、中位数及平均数的方法,使 我们在失去原始数据的情形下,也能借助于频率分布直方图估 计样本的这些数字特征.

新知导学 1.分析数据的方法 (1)借助于图形. 用图将各个数据画出来,作图可以达到两个目的,一是从 提取信息 ;二是利用图形__________ 传递信息 . 数据中__________ (2)借助于表格. 构成 方式,为我们提供______ 解释 用紧凑的表格改变数据的______ 数据的新方式.

2.频率分布直方图 (1)绘制步骤: 极差 ①求_________ ,即一组数据中的最大值与最小值的差.

组距 与________ 组数 .组距与组数的确定没有具体 ②决定________ 的标准,一般来说,数据分组的组数与样本容量有关,样本容
多 .当样本容量不超过100时,按照 量越大,所分组数越_______ 数据的多少,常分为5~12组.

分组 ③将数据__________ . 频率分布 表. ④列出__________ 数据 ,纵轴表 ⑤画出频率分布直方图.其中横轴表示________ 频率与组距 的比. 示______________

(2)意义:频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示相应 1 组的_______ 频率 ,所有小矩形的面积的总和等于_____. (3)频率分布的估计:频率分布是指各个小组数据在容量中 比例 的大小,可以用 ______ 样本 的频率分布估计总体的频 所占 _______ 率分布,频率分布表是反映样本的频率分布的表格.通过频率 分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布.

[破疑点]

频率分布直方图的特征:直观、形象地反映了

样本的分布规律;可以大致估计出总体的分布.但是从频率分 布直方图中得不出原始的数据内容,把数据绘制成频率分布直 方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.

3.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)类似于频数分布折线图,连接频率分布直方图中各个小 长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. 一般地,当总体中的个体数较多时,抽样时样本容量就不 能太小.例如,如果要抽样调查一个省乃至全国的居民的月均

用水量,那么样本容量就应比调查一个城市的时候大.可以想
像,随着样本容量的增加.作图时所分的组数增加,组距减 小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中 称这条光滑曲线为总体密度曲线.

[破疑点]

频率分布折线图反映了数据的变化趋势.总体

密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们 提供更加精细的信息.

(2)估计方法:实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在 的,但是在实际应用中我们并不知道它的具体表达形式,需要 样本 用__________ 来估计.由于样本是随机的,不同的样本得到的 不同 ;即使对于同一个样本,不同的分 频率分布折线图 _________

组情况得到的频率分布折线图也不同.频率分布折线图是随
样本容量 和分组情况的变化而变化的,因此不能用样本的 __________ 频率分布折线图 得到准确的总体密度曲线. ________________

4.茎叶图 茎 ,个位 (1)制作方法:将所有两位数的十位数字作为______
叶 ,茎相同者共用一个茎,茎按从 __________ 小到大 的 数字作为 _____ 顺序从上向下列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的 顺序同行列出(也可以没有大小顺序). 较少 时,用茎叶图表示数据的效 (2)优缺点:在样本数据______ 记录 , 果较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时 _______ 较多 这对数据的记录和表示都能带来方便.但是当样本数据______ 时,茎叶图就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占据 一个空间,如果数据很多,枝叶就会很长.

[破疑点]

茎叶图的特征:统计图上没有原始数据信息的

损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;茎叶图中的数据 可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.但是茎叶图只便 于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数

据,两位以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两位数记录
那么直观、清晰.

5.规律总结

[总结1] 估计总体分布的步骤是:
(1)选择适当的抽样方法从总体中抽取样本,即收集数据. (2)利用样本数据画出统计图或计算数字特征. (3)结合统计图分析样本取值的分布规律. (4)用样本取值的分布规律估计总体分布,由于是用科学抽 样抽取的样本,那么样本与总体取值的分布规律近似,有时也 可看成相同. (5)利用总体分布解决有关问题.

[总结2]

频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图

和茎叶图的比较

1.四种图表的区别与联系
名称 区别 频率分布表 从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律

频率分布 直方图
频率分布 折线图 总体密度 曲线

反映样本的频率分布情况 直观地反映了数据的变化趋势 虽客观存在,但要准确画出难度较大,只能用 样本频率分布估计.样本容量越大,估计越准 确

这四种图表都是描述样本数据分布情况,估计总体频率分
布规律的,其联系如下:

2.四种图表的优缺比较 优点
频率 分布表 频率分 布直方图 频率分布 折线图 茎叶图 表示数量较确切

缺点
分析数据分布的总 体态势不方便

表示数据分布情况非常直 观
能反映数据的变化趋势 一是所有的信息都可以从 这个茎叶图中得到;二是 茎叶图便于记录和表示, 能够展示数据的分布情况

原有的具体数据信 息被抹掉了
不能显示原有数据 信息 样本数据较多或数 据位数较多时,不 方便表示数据

●自我检测

1 .在 2010 年第十六届亚运会中,各个国家和地区金牌获
得情况的条形统计图,如图所示. 第十六届亚运会各个国家和地区金牌获得情况统计图

从图中可以看出中国是亚洲第一体育强国,中国所获得金
牌数占全部金牌数的比例约是( A.41.7% C.67.3% [答案] A
[解析] 金牌总数为477,我国获得199块金牌,所占比例 199 为477≈41.7%.

)

B.59.8% D.94.8%

2.频率分布直方图中,各小矩形面积的和等于( A.0 C.1
[答案] C

)

1 B.2 D.不确定

3.在画频率分布直方图时,某组的频数为10,样本容量 为50,总体容量为600,则该组的频率是( 1 A.5 1 C.10 1 B.6 D.不确定 )

[答案] A
10 1 [解析] 该组的频率是50=5.

4 .对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下 列说法中正确的是( ) A.频率分布折线图与总体密度曲线无关 B.频率分布折线图就是总体密度曲线

C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D.如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小,那么 频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线 [答案] D

[ 解析 ]

总体密度曲线通常是用样本频率分布估计出来

的.而频率分布折线图在样本容量无限增大,分组的组距无限 减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线,这条光滑曲线就是 总体密度曲线.故选D.

规律总结:总体密度曲线有如下特征: (1)随着样本容量的不断增加,分组不断加密,频率折线就

会越来越光滑,最终形成总体密度曲线.
(2)并非所有的总体都有密度曲线,如一些离散型总体就没 有.

5 .没有信息的损失,所有的原始数据都可以从图中得到 的统计图是( ) B.茎叶图 D.频率分布直方图 A.总体密度曲线 C.频率分布折线图

[答案] B
[解析] 所有的统计图中,仅有茎叶统计图完好无损地保 存着所有原始数据的信息.

互动课堂

●典例探究
绘制频率分布直方图
抽查100袋洗衣粉,测量它们的净重如下(单位:g):

494 498 495 494 504 498

493 505 483 485 483 510

496 511 503

492 493 497

485 505 502

483 488 511

508 501 497

511 491 500

493 509 509 512 484 509 510 495 497 498

493 509 510 493 491 497 515 503 515 518
510 514 494 501 499 495 492 496 509 499 509 498 493 509 499 508 493 502 496 485 499 500 509 498 509 508 505 496 492 491 499 495 505 509 486 496 489 509 491 505

499 505 496 501 510 496 487 511 501 496
(1)列出样本的频率分布表; (2)画频率分布直方图及频率分布折线图; (3)估计净重在494.5~506.5 g之间的频率.

[解析] (1)在样本数据中,最大值是518,最小值是483, 35 3 所以极差为35.取组距为4 g,由于 4 =84,故要分成9组.使分 点比数据多一位小数,且把第1组的起点稍微减小一点,得分 组如下:[482.5,486.5),[486.5,490.5),[490.5,494.5),?, [514.5,518.5].列出频率分布表如下:

分组 [482.5,486.5) [486.4,490.5) [490.5,494.5) [494.5,498.5) [498.5,502.5) [502.5,506.5) [506.5,510.5) [510.5,514.5) [514.5,518.5] 合计

频数累计

正正正 正正正正 正正 正 正正正 正

频数 8 3 17 21 14 9 19 6 3 100

频率 0.08 0.03 0.17 0.21 0.14 0.09 0.19 0.06 0.03 1.00

(2)频率分布直方图及频率分布折线图如下图:

(3)净重在494.5~506.5 g之间的频率为0.21+0.14+0.09= 0.44.

规律总结:绘制频率分布直方图的注意事项
(1)计算极差,需要找出这组数的最大值和最小值,当数据 很多时,可选一个数当参照. (2)将一批数据分组,目的是要描述数据分布规律,要根据 数据多少来确定分组数目,一般来说,数据越多,分组越多.

(3)将数据分组,决定分点时,一般使分点比数据多一位小
数,并且把第一组的起点稍微减小一点. (4)列频率分布表时,可通过逐一判断各个数据落在哪个小

组内,以“正”字确定各个小组内数据的个数.
(5)画频率分布直方图时,纵坐标表示频率与组距的比值, 一定不能标成频率.

[特别提醒]

频率 每个小长方形的面积=组距× =频率. 组距

为了解某中学高一年级男生的体重情况,抽取了同年级40
名男生的体重,数据如下(单位:千克): 62 60 56 56 54 54 50 50 59 56 53 49 59 56 53 48 59 56 52 58 56 52 58 55 52 57 55 52 57 55 52 57 55 51 57 54 51 56 54 51

列出样本的频率分布表,绘出频率分布直方图,并估计体 重在58千克以上的男生比例.

[解析] (1)计算极差:62-48=14. (2)决定组距与组数:取组距为2. 极差 14 又因为 = =7,故共分成7组. 组距 2 (3)将数据分组:以组距为2将数据分组时,可以分成以下 7组: [48,50),[50,52)、[52,54),[54,56),[56,58),[58,60), [60,62].

(4)列出频率分布表如下:
分组 [48,50) [50,52) [52,54) 频数 2 5 7 频率 0.05 0.125 0.175

[54,56) [56,58) [58,60) [60,62]
合计

8 11 5 2 40

0.2 0.275 0.125 0.05 1.00

(5)绘出频率分布直方图(如下图所示):

从频率分布表中可看出,样本数据落在58以上的频率为 0.125+0.05=0.175,由此可估计,体重在58千克以上的男生 比例约为17.5%.

利用频率分布直方图解题
(2010· 北京)从某小学随机抽取100名同学,将他 们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所 示),由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130), [130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人 数应为________.

各小长方形的面积 [分析] 表示数据落在相应 → 建立关于a的方程 → 求解即可 区间的频率,和为1 依据样本容量和频率 求出三组的频数和,即 → 求出抽样比 → 所求人数即得 为抽样的总体个数

[解析] 因为直方图中各个矩形的面积之和为1,所以 10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由直 方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+ 0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为10,所以从 18 身高在[140,150]内的学生中选取的人数为60×10=3.

规律总结: 由频率分布直方图进行相关计算时,需
掌握下列关系式:

频率 (1) ×组矩=频率. 组距 频率 频数 (2) =频率,此关系式的变形为 =样本容 样本容量 频率 量,样本容量×频率=频数.

(2014·高考山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志
愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分 组区间为 [12,13) , [13,14) , [14,15) , [15,16) , [16,17] ,将其按 从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组, 下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第 二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗 效的人数为( )

A.6 C.12

B.8 D.18

[解析] 设第一二组的频率之和为(0.24+0.16)×1=0.4, 0.4 20 第三组吸疗效的为x人,由已知得 0.36 = ,解得x=12,故 6+x 选C.
[答案] C

茎叶图的画法及应用
某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成 绩情况如下: 甲的得分:95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩 进行比较.

[分析]

[解析] 甲、乙两人数学成绩的茎 叶图如图所示. 从这个茎叶图上可以看出,乙同学 的得分情况是大致对称的,大多集中在 80~100之间,中位数是98分. 甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,多集 中在70~90之间,中位数是88分,但分数分布相对于乙来说, 趋向于低分阶段.因此,乙同学发挥比较稳定,总体得分情况 比甲同学好.

规律总结:绘制茎叶图的注意事项
(1)绘制茎叶图关键是分清茎和叶.一般地说,当数据是两 位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为“叶”;如

果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为
“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶. (2)应用茎叶图对两组数据进行比较时,要从数据分布的对 称性、中位数、稳定性等几方面来比较. (3)茎叶图只适用于样本数据较少的情况.

在某电脑杂志的一篇文章中,每个句子的字数如下
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20, 19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17. 在某报纸的一篇文章中,每个句子的字数如下: 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35, 12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22. (1)画出两组数据的茎叶图; (2)比较分析两组数据,能得出什么结论?

[解析] (1)依题意,画出茎叶图如下图所示:

(2)电脑杂志文章中每个句子的字数集中在10~30之间,中
位数为 22.5 ,而报纸文章中每个句子的字数集中在 20 ~ 40 之 间,中位数为27.5.还可以看出,电脑杂志上每个句子的平均字 数比报纸上每个句子的平均字数要少.这与电脑杂志作为科普 读物需要简明、通俗易懂的要求相吻合.

●误区警示 易错点 频率分布直方图理解不正确 中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某 市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名,对他们 的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频 率分布直方图,如下图所示.从左至右五个小组的频率之比依 次是5∶7∶12∶10∶6,则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围 内的学生约有多少人?

[错解] 由图知,第五小组的频率为0.5,所以第一小组的 5 5 频率为0.5×6=12, 所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生 5 约有60 000×12=25 000(人).

[错因分析]

对频率分布直方图理解不正确,纵轴上的0.5

频率 并不是第五组的频率,而是 . 组距 频率 频率 在频率分布直方图中,小长方形的高= ,频率= 组距 组距 ×组距.例如,本题中,0.5×0.3=0.15才是第五小组的频 率.

[正解] 由图知,第五小组的频率为0.5×0.3=0.15,所以 5 第一小组的频率为0.15× 6 =0.125,所以全市6万名高一学生中 视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60 000×0.125=7 500(人).

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重 (单位:千克 )情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直 方图,如图所示,已知图中从左到右的前三个小组的频率之比

为1∶2∶3,其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人
数为________.

[答案] 48

[解析] 设报考飞行员的总人数为n, 设第一小组的频率为a,则有a+2a+3a+(0.013+ 0.037)×5=1, 解得a=0.125, 所以第2小组的频率为0.25. 又第2小组的频数为12, 12 则有0.25= n ,所以n=48.

随堂测评

1 .在用样本的频率分布估计总体的频率分布的过程中,
下列说法正确的是( ) A.总体的容量越大,估计越准确 B.总体的容量越小,估计越准确 C.样本的容量越大,估计越准确

D.样本的容量越小,估计越准确
[答案] C [解析] 根据样本的频率分布可知,样本的频率分布反映 的是总体中部分个体的频率分布,只有当样本的容量越大时, 估计才越准确.

规律总结: 虽然样本的容量越大,估计越准确,但 是获得比较大的样本需要花费更大的人力、物力和财力.因

此,在用样本的频率分布估计总体的频率分布时,获得好的样
本是至关重要的.

2.在频率颁布表中,下列说法正确的是( A.起始点不同,不影响分组数 B.分组数越多,就越能反映总体的情况 C.各组频率之和一定是1

)

D.不同起始点的频率分布表,各组频率一定不同
[答案] C

3.下列关于茎叶图的叙述正确的是( 以及频率分布直方图的处理方式不同 B.对于重复的数据,只算一个

)

A.茎叶图可以展示未分组的原始数据,它与频率分布表

C.茎叶图中的叶是“茎”十进制的上一级单位
D.制作茎叶图的程序是:第 1步画出茎;第2步画出叶; 第3步将“叶子”任意排列 [答案] A

4 . 已 知 样 本 10,8,6,10,8,13,11,10,12,7,8,9,11,9,11,12,9,10, 11,12,那么频率为0.2的范围为( A.5.5~7.5 C.9.5~11.5 ) B.7.5~9.5 D.11.5~13.5

[答案] D

[解析] 列频率分布表如下:
分组 5.5~7.5 7.5~9.5 9.5~11.5 11.5~13.5 合计 正 频数累计 频数 2 6 8 4 20 频率 0.1 0.3 0.4 0.2 1

由上表得频率为0.2的范围为11.5~13.5,故选D.

5.(2013~2014·山东寿光高三抽测 )为了解某小区老年人
在一天中锻炼身体的时间,随机调查了50人,根据调查数据, 画出了锻炼时间在 0~2小时的样本频率分布直方图 (如图).则 50 人 中 锻 炼 身 体 的 时 间 在 区 间 [0.5,1.5) 小 时 的 人 数 是 ________.

[答案] 35

[ 解析 ]

锻练时间在 [0.5,1.5) 小时的频率为 (0.8 + 0.6)×0.5

=0.7,频数为:50×0.7=35(人)
[反思] 频率分布直方图的性质: 频率 ①因为小矩形的面积=组距× =频率,所以各个小矩 组距 形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面 积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. ②在频率分布直方图中,各个小矩形的面积之和等于1. 频数 ③ =样本容量. 相应的频率

6.某篮球运动员在2014赛季各场比赛得分情况如下:
12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50. 制作茎叶图,并分析这个运动员的整体水平及发挥的稳定 程度. [解析] 该运动员得分茎叶图如下:

从这张图中可以粗略地看出,该运动员得分大多能在20分 到40分之间,且分布较为对称,集中程度高,说明其发挥比较 稳定.


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