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高中数学2.4向量的数量积第三课时互动课堂学案苏教版必修4

高中数学 2.5 向量的应用第二课时互动课堂学案 苏教版必修 4 疏导引导 1.向量内积的坐标运算 建立正交基底{e1,e2},已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=(a1e1+a2e2)(b1e1+b2e2) 2 2 =a1b1e1 +(a1b2+a2b1)·e1·e2+a2b2e2 因为 e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,故 a·b=a1b1+a2b2. 疑难疏引 (1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是正交基底 {e1,e2}下实现的. (2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化. 2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果 a⊥b,则 a1b1+a2b2=0;反之,若 a1b1+a2b2=0,则 a⊥b;当 a⊥b 时 , 若 b1b2≠0, 则 向 量 ( a1,a2 ) 与 ( -b2,b1 ) 平 行 , 这 是 因 为 a⊥b , a1b1+a2b2=0. 即 a1b1=-a2b1, a1 a ? 2 ,两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a1,a2)与(-b2,b1)平 ? b2 b1 行, 特别的向量 k(-b2,b1)与向量 (b1,b2) 垂直, k 为任意实数, 例如向量 (3, 4) 与向量 (-4, 3) , (-8,6) , (12,-9)……都垂直. 疑难疏引 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2) a1b1+a2b2=0 ? a⊥b 且 a1⊥b ? a1b1+a2b2=0. 3.向量的长度、距离和夹角公式 (1)已知 a=(a1,a2),则 2 2 2 2 |a| =a =a1 +a2 ,即 |a|= a1 ? a 2 . 语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根. 若 A(x1y2),B(x2y2),则 AB =(x2-x1,y2-y1) 2 2 | AB |= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) , 2 2 此式可视为 A、B 两点的距离公式. (2)设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2), 故 cos〈a,b〉= a?b ? | a || b | a1b1 ? a 2 b2 a1 ? a 2 2 2 b1 ? b2 2 2 , 该处夹角公式是非零向量的夹角公式. 活学巧用 【例 1】 设 a=(4,-3) ,b=(2,1) ,若 a+tb 与 b 的夹角为 45°,求实数 t 的值. 解析:利用 a·b=|a|·|b|·cosθ 建立方程,解方程即可. a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3) (a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5. 2 |a+tb|= 5(t ? 1) ? 20 1 由(a+tb)·b=|a+tb|·|b|·cos45° 得 5t+5= 2 5 2 (t ? 1) 2 ? 4 2 即 t +2t-3=0.∴t=-3 或 t=1, 经检验 t=-3 不合题意,舍去,只取 t=1. 【例 2】 已知点 A(2,3) ,若把向量 OA 绕原点 O 按逆时针旋转 90°得向量 OB ,求点 B 的坐标. 解析:要求点 B 坐标,可设为 B(x,y) ,利用 OA ⊥ OB ,| OA |=| OB |列方程解决之. 设点 B 坐标为(x,y) ,因为 OA ⊥OB,| OA |=| OB | 所以有 ? ?2 x ? 3 y ? 0, ? x ? 3 y ? 0, 2 解得 ? ? x ? ?3, ? x ? 3, 或? (舍去), ?y ? 2 ? y ? ?2 所以 B 点坐标为(-3,2). 【例 3】已知 a=(2, 2 3 ? 4 ) ,b=(1,1).求 a 与 b 的夹角 θ . 解析:向量坐标已知可利用夹角坐标公式解决 a·b= 2 ? (2 3 ? 4) ? 1 ? 1 2 2 2 2 = 16(2 ? 3 ) ? 2 ? 4( 3 ? 1) . ∴cosθ = 2 3?2 4( 3 ? 1) ? 1 , 2 又 0°≤θ ≤180°, ∴θ =60°. 【例 4】已知 a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.求〈a、b〉的值. 解析:∵a+b+c=0,∴a+b=-c. 2 2 ∴|a+b|=|c|,∴(a+b) =c , 2 2 2 即 a +2a·b+b =c . ∴a·b= c 2 ? a 2 ? b 2 | c | 2 ? | a | 2 ? | b | 2 49 ? 25 ? 9 15 ? ? ? . 2 2 2 2 1 a?b 15 ? ÷(3×5)= , 2 | a || b | 2 ∴cos〈a,b〉= ∴〈a,b〉= ? . 3 2

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