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2014届绵阳二诊理科数学(含答案)_图文

绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BDCDA AACCB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 3 12.1 13.4 14.

5 7

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ )f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =2? = 2 sin(2x由-

1 ? cos 2 x +sin2x 2
???????????? 3 分

?
4

)+1,

?
2

+2kπ≤2x-

?
4



?
2

+2kπ,k∈Z,得+kπ,

?
8

+kπ≤x≤

3? +kπ,k∈Z, 8

∴ f(x)的递增区间是[-

?
8

3? +kπ]( k∈Z). ?????????? 6 分 8

(II)由题意 g(x)= 2 sin[2(x+ 由

?
6

)-

?
4

]+1= 2 sin(2x+

?
12

)+1,???? 9 分

?
12

≤x≤

7? ? ? 5? 得 ≤2x+ ≤ , 12 4 4 12

∴ 0≤g(x)≤ 2 +1,即 g(x)的最大值为 2 +1,g(x)的最小值为 0. ? 12 分 1 17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= , 2 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, 3 1 1 ∴ q= +q2,解得 q=1 或 q= , ????????????????4 分 2 2 2 1 又由{an}为递减数列,于是 q= , 2 ∴ an=a1 q n ?1 =( 1 n ). 2 ????????????????????6 分 1 n ), 2

(Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?(

2 n?1 n ∴ Tn ? ?[1? +2( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ], 2 n n?1 于是 Tn ? ?[1( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ],

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 ? [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 2 ? n ?( 1 )n ?1 , 两式相减得: Tn ? ?[ +( )2 +?+( )n ? n ?( )n?1 ] = ? 2 1 2 2 2 2 2 2 1? 2
∴ Tn ? ? n ? 2? ? ( )n ? 2 .

1 2



Tn ? 2 1 n 1 ? ( ) ≥ ,解得 n≤4, n?2 2 16

∴ n 的最大值为 4. ??????????????????????12 分 18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, ∴

120 ? x =0.05,解得 x=60. ??????????????????2 分 3600

∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人. ?????????? 6 分 3600 (Ⅱ)由(I)知持“应该保留”态度的一共有 180 人, ∴ 在所抽取的 6 人中,在校学生为

120 60 ? 6 =4 人,社会人士为 ? 6 =2 人, 180 180
?????????????? 8 分

于是第一组在校学生人数 ξ=1,2,3, P(ξ=1)=
1 4 2 2 2 4 1 2

3 0 CC CC C4 C2 1 1 3 ? ? ? , , P ( ξ =2)= , P ( ξ =3)= 3 3 3 C6 5 C6 5 C6 5

即 ξ 的分布列为: ξ 1 2 3

P

1 5

3 5

1 5

??????? 10 分 ∴ Eξ=1×

1 3 1 +2× +3× =2. ????????????????? 12 分 5 5 5
z E H H H 连结 EG 交 AF 于 H,连结

19. (I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥EF, BH,BG, ∵ EF∥CD 且 EF=CD, ∴ AG∥CD, 即点 G 在平面 ABCD 内. 由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥AG, ∴ 四边形 AEFG 为正方形, CDAG 为 平 行 四 边 x G F

A

D y

B

C

形, ???????????????????? 2 分 ∴ H 为 EG 的中点,B 为 CG 中点, ∴ BH∥CE, ∴ CE∥面 ABF.???????????????????????? 4 分 (Ⅱ )证明:∵ 在平行四边形 CDAG 中,∠ADC=90?, ∴ BG⊥AG. 又由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥BG, ∴ BG⊥面 AEFG, ∴ BG⊥AF.?????????????????????????? 6 分 又∵ AF⊥EG, ∴ AF⊥平面 BGE, ∴ AF⊥BE.?????????????????????????? 8 分

(Ⅲ)解:如图,以 A 为原点,AG 为 x 轴,AE 为 y 轴,AD 为 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 则 A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设 M(1,y0,0), ∴ ED ? (0 , 2, ? 1) , DM ? (1,y0 ? 2,0) , 设面 EMD 的一个法向量 n ? ( x,y,z ) , ??? ? ? n ? ED ? 2 y ? z ? 0, ? 则 ? ???? 令 y=1,得 z ? 2,x ? 2 ? y0 , ? ? ?n ? DM ? x ? ( y0 ? 2) y ? 0, ∴ n ? (2 ? y0,, 1 2) .?????????????????????? 10 分 又∵ AE ? 面 AMD , ∴ AE ? (0, 0, 1) 为面 AMD 的法向量, ∴ | cos <n,AE >| ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

| 2| 1 ? (2 ? y0 ) ? 1 ? 4
2

? cos

?
6

?

3 , 2

解得 y0 ? 2 ?

3 , 3

故在 BC 上存在点 M,且|CM|=| 2 ? (2 ? 20.解: (I)设椭圆的标准方程为 则由题意得 c= 3 , 2a ? ∴ a=2, b 2 ? a 2 ? c 2 =1, ∴ 椭圆 C 的标准方程为

3 3 ) |= .?????????12 分 3 3

y2 x2 ? ? 1 (a>b>0),焦距为 2c, a2 b2

3 3 ? (1 ? 3) 2 ? ? (1 ? 3) 2 ? 4 , 4 4

y2 ? x2 ? 1 . 4

??????????????? 4 分

∴ 右顶点 F 的坐标为(1,0). 设抛物线 E 的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , ∴

p ?1 , 2p ? 4 , 2 1 k

∴ 抛物线 E 的标准方程为 y 2 ? 4 x . ???????????????? 6 分 (Ⅱ )设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,l2 的方程 y ? ? ( x ? 1) ,

A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , G( x3,y3 ) , H ( x4,y4 ) ,

? y ? k ( x ? 1), 由? 2 消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , ? y ? 4 x,
∴ x1+x2=2+

4 ,x1x2=1. k2

1 ? ? y ? ? ( x ? 1), 由? 消去 y 得:x2-(4k2+2)x+1=0, k 2 ? ? y ? 4 x,
∴ x3+x4=4k2+2,x3x4=1,????????????????????9 分 ∴ AG ? HB ? ( AF ? FG) ? (HF ? FB) = AF ? HF ? AF ? FB ? FG ? HF ? FG ? FB

???? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ?

=| AF |· | FB |+| FG |· | HF | =|x1+1|· |x2+1|+|x3+1|· |x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+

4 ? 4k 2 k2
4 ? 4k 2 k2

≥8+ 2 =16.

4 1 时, AG ? HB 有最小值 16.????????13 分 ? 4k 2 即 k=± k2 a ? ?) 时, f ( x) ? e x (1 ? x2 ) , 21.解: (I)∵ x ? [0, 2 a ∴ f ?( x) ? e x (? x2 ? ax ? 1) . 2 ? ?) 上恒成立, 由题意, f ?( x) ≥0 在 [0,
当且仅当 当 a=0 时, f ?( x) ? ex >0 恒成立,即满足条件. 当 a≠0 时,要使 f ?( x) ≥0,而 ex>0 恒成立,

? ?) 上恒成立,即 故只需 ? x2 ? ax ? 1 ≥0 在 [0,

a 2

? a ? ? 0, ? ? 2 解得 a<0. ? ?? a ? 02 ? a ? 0 ? 1 ? 0, ? ? 2
综上,a 的取值范围为 a≤0.?????????????????? 4 分 (Ⅱ )由题知 f(x)≤x+1 即为 e x ①在 x≥0 时,要证明 e x -

a 2 x x e ≤x+1. 2

a 2 x x e ≤x+1 成立, 2 a a x ?1 只需证 e x ≤ x 2 e x ? x ? 1 ,即证 1≤ x 2 ? x , 2 2 e
令 g ( x) ?



1 ? e x ? ( x ? 1)e x x a 2 x ?1 ? ax ? x , x ? x ,得 g ?( x) ? ax ? x 2 (e ) e 2 e

整理得 g ?( x) ? x(a ? ∵ x≥0 时,

1 ), ex

1 ≤1,结合 a≥1,得 g ?( x) ≥0, ex ? ?) 上是增函数,故 g(x)≥g(0)=1,从而① ∴ g ( x) 为在 [0, 式得证. a 2 x x e ≤x+1 成立, 2 a a 只需证 e x ≤ x2e? x ? x ? 1 ,即证 1≤ x2e?2 x ? ( x ? 1)e? x , 2 2
②在 x≤0 时,要使 e x 令 m( x ) ?



ax 2 ?2 x e ? ( x ? 1)e ? x ,得 m?( x) ? ? xe?2 x [e x ? a( x ? 1)] , 2

而 ? ( x) ? e x ? a( x ? 1) 在 x≤0 时为增函数, 故 ? ( x) ≤ ? (0) ? 1 ? a ≤0,从而 m?( x) ≤0, ∴m(x)在 x≤0 时为减函数,则 m(x)≥m(0)=1,从而② 式得证.

a 2 x x e ≤x+1 即 f(x)≤x+1 在 a≥1 时恒成立.?10 分 2 a 2 (Ⅲ)要使 f(x0)>x0+1 成立,即 e x0 ? x0 e x0 ? x0 ? 1 , 2
综上所述,原不等式 e x 变形为
2 ax0 x ?1 ? 0 x0 ? 1 ? 0 , ③ 2 e

要找一个 x0>0 使③ 式成立,只需找到函数 t ( x) ? ∵ t ?( x) ? x(a ?

ax 2 x ? 1 ? x ? 1 的最小值,满足 t ( x)min ? 0 即可. 2 e

1 ), ex 1 令 t ?( x) ? 0 得 e x ? ,则 x=-lna,取 x0=-lna, a 在 0< x <-lna 时, t ?( x) ? 0 ,在 x >-lna 时, t ?( x) ? 0 ,
即 t(x)在(0,-lna)上是减函数,在(-lna,+∞)上是增函数, ∴ 当 x=-lna 时, t ( x) 取得最小值 t ( x0 ) ?

a (ln a)2 ? a(? ln a ? 1) ? 1 2

下面只需证明: (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 ? 0 在 0 ? a ? 1 时成立即可. 又令 p(a) ?

a 2

a (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 , 2

则 p?(a) ? (ln a)2 ≥0,从而 p (a ) 在(0,1)上是增函数,

1 2

a 2 于是 t ( x) 的最小值 t (? ln a) ? 0 ,

则 p(a) ? p(1) ? 0 ,从而 (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 ? 0 ,得证.

因此可找到一个常数 x0 ? ? ln a(0 ? a ? 1) ,使得③ 式成立.??????14 分


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