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2009高中物理10大难点强行突破(非常经典)


高中物理 10 大难点强行突破

目录
难点之一:物体受力分析……………………………………………………………1 难点之二:传送带问题……………………………………………………………… 难点之三:圆周运动的实例分析…………………………………………………… 难点之四:卫星问题分析…………………………………………………………… 难点之五:功与能……………………………………………………………………. 难点之六:物体在重力作用下的运动………………………………………………. 难点之七:法拉第电磁感应定律…………………………………………………… 难点之八:带电粒子在电场中的运动……………………………………………… 难点之九:带电粒子在磁场中的运动………………………………………………. 难点之十:电学实验………………………………………………. …………………

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? 难点之一
一、难点形成原因:

物体受力分析

1、力是物体间的相互作用。受力分析时,这种相互作用只能凭着各力的产生条件和方 向要求,再加上抽象的思维想象去画,不想实物那么明显,这对于刚升入高中的学生来说, 多习惯于直观形象,缺乏抽象的逻辑思惟,所以形成了难点。 2、有些力的方向比较好判断,如:重力、电场力、磁场力等,但有些力的方向难以确 定。如:弹力、摩擦力等,虽然发生在接触处,但在接触的地方是否存在、方向如何却难以 把握。 3、受力分析时除了将各力的产生要求、方向的判断方法熟练掌握外,同时还要与物体 的运动状态相联系,这就需要一定的综合能力。由于学生对物理知识掌握不全,导致综合分 析能力下降,影响了受力分析准确性和全面性。 4、教师的教学要求和教学方法不当造成难点。教学要求不符合学生的实际,要求过高, 想一步到位, 例如: 一开始就给学生讲一些受力个数多、 且又难以分析的物体的受力情况等。 这样势必在学生心理上会形成障碍。

二、难点突破策略:
物体的受力情况决定了物体的运动状态, 正确分析物体的受力, 是研究力学问题的关键。 受力分析就是分析物体受到周围其它物体的作用。 为了保证分析结果正确, 应从以下几个方 面突破难点。 1.受力分析的方法:整体法和隔离法 整体法 将几个物体作为一个整体来分析的 概念 方法 研究系统外的物体对系统整体的作 选用原则 用力 分析整体周围其他物体对整体的作 分析它受到周围其他物体对它 注意问题 用。而不画整体内部物体间的相互 的作用力 作用。 2.受力分析的依据:各种性质力的产生条件及各力方向的特点 3.受力分析的步骤 : 为了在受力分析时不多分析力,也不漏力,一般情况下按下面的步骤进行: (1)确定研究对象 —可以是某个物体也可以是整体。 (2)按顺序画力 a.先画重力:作用点画在物体的重心,方向竖直向下。 用力 的方法 研究系统内物体之间的相互作 隔离法 将研究对象与周围物体分隔开

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b.次画已知力 c.再画接触力—(弹力和摩擦力) :看研究对象跟周围其他物体有几个接触点(面) , 先对某个接触点(面)分析,若有挤压,则画出弹力,若还有相对运动或相对运动的趋势, 则再画出摩擦力。分析完一个接触点(面)后,再依次分析其他的接触点(面) 。 d.再画其他场力:看是否有电、磁场力作用,如有则画出。 (3)验证: a.每一个力都应找到对应的施力物体 b.受的力应与物体的运动状态对应。 说明: (1)只分析研究对象受的根据性质命名的实际力(如:重力、弹力、摩擦力等),不画它对别的物体的作
用力。

(2)合力和分力不能同时作为物体所受的力。 (3)每一个力都应找到施力物体,防止“漏力”和“添力”。 (4)可看成质点的物体,力的作用点可画在重心上,对有转动效果的物体,则力应画 在实际位置上。
(5)为了使问题简化,常忽略某些次要的力。如物体速度不大时的空气阻力、物体在空气中所受的浮力等。 (6)分析物体受力时,除了考虑它与周围物体的作用外,还要考虑物体的运动情况(平衡状态、加速或减速), 当物体的运动情况不同时,其情况也不同。

4. 受力分析的辅助手段 (1)物体的平衡条件(共点力作用下物体的平衡条件是合力为零) (2)牛顿第二定律(物体有加速度时) (3)牛顿第三定律(内容:两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等,方向相 反,作用在一条直线上)
5.常见的错误及防范的办法: (1)多画力。 a.研究对象不明,错将其他物体受到的力画入。 b.虚构力,将不存在的力画入。 c.将合力和分力重复画入。 要防止多画力。第一,彻底隔离研究对象。第二,每画一个力要心中默念受力物体和施力物体。 (2) 少画力。 少画力往往是由受力分析过程混乱所致,因此 a.要严格按顺序分析。 b.分析弹力和摩擦力时,所有接触点都要分析到。

(3) 错画力。即把力的方向画错。防范办法是要按规律作

三、分类例析
1.弹力有、无的判断 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。但有的形变明显,有的不明显。那么如何判断 相互接触的物体间有无弹力? 法 1: “假设法” ,即假设接触物体撤去,判断研究对象是否能维持现状。若维持现状 则接触物体对研究对象没有弹力, 因为接触物体使研究对象维持现状等同于没有接触物, 即 接触物形同虚设,故没有弹力。若不能维持现状则有弹力,因为接触物撤去随之撤去了应该 有的弹力, 从而改变了研究对象的现状。 可见接触物对研究对象维持现状起着举足轻重的作 用,故有弹力。 例 1:如图所示,判断接触面对球有无弹力,已知球静止,接触面光滑。

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a

b

【审题】在 a、b 图中,若撤去细线,则球都将下滑,故细线中均有拉力, a 图中若撤 去接触面,球仍能保持原来位置不动,所以接触面对球没有弹力;b 图中若撤去斜面,球就 不会停在原位置静止,所以斜面对小球有支持力。 【解析】图 a 中接触面对球没有弹力;图 b 中斜面对小球有支持力 法 2:根据“物体的运动状态”分析弹力。即可以先假设有弹力,分析是否符合物体所 处的运动状态。或者由物体所处的运动状态反推弹力是否存在。总之,物体的受力必须与物 体的运动状态符合。同时依据物体的运动状态,由二力平衡(或牛顿第二定律)还可以列方 程求解弹力。 例 2:如图所示,判断接触面 MO、ON 对球有无弹力,已知球静止,接触面光滑。

图 1—2 【审题】图中球由于受重力,对水平面 ON 一定有挤压,故水平面 ON 对球一定有支持 力,假设还受到斜面 MO 的弹力,如图 1—3 所示,则球将不会静止,所以斜面 MO 对球没有 弹力。

【解析】水平面 ON 对球有支持力,斜面 MO 对球没有弹力。

图 1—3

再如例 1 的 a 图中,若斜面对球有弹力,其方向应是垂直斜面且指向球,这样球也不会处于 静止状态,所以斜面对球也没有弹力作用。 【总结】弹力有、无的判断是难点,分析时常用“假设法”并结合“物体的运动状态” 分析。 2.弹力的方向 弹力是发生弹性形变的物体由于要恢复原状,而对它接触的物体产生的力的作用 。所 以弹力的方向为物体恢复形变的方向。 平面与平面、点、曲面接触时,弹力方向垂直于平面,指向被压或被支持的物体;曲面与点、 曲面接触时,弹力方向垂直于过接触点的曲面的切面,特殊的曲面,如圆面时,弹力方向指 向圆心。弹力方向与重心位置无关。

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绳子的弹力方向为:沿着绳子且指向绳子收缩的方向;且同一条绳子内各处的弹力相等 杆产生的弹力方向比较复杂,可以沿杆指向杆伸长或收缩的方向,也可不沿杆,与杆成一定 的夹角。 例 3:如图 1—4 所示,画出物体 A 所受的弹力

a 图中物体 A 静止在斜面上 a b c 图 1—4 b 图中杆 A 静止在光滑的半圆形的碗中 c 图中 A 球光滑 O 为圆心, O'为重心。 【审题】图 a 中接触处为面面接触,由于物体受重力作用,会对斜面斜向下挤压,斜面 要恢复形变,应垂直斜面斜向上凸起,对物体有垂直斜面且指向物体斜向上的弹力。 图 b 中 B 处为点与曲面接触, 发生的形变为沿半径方向向外凹, 要恢复形变就得沿半径向上 凸起,C 处为点与平面接触, C 处碗的形变的方向为斜向下压,要恢复形变就得沿垂直杆的 方向向上,所以 B 处杆受的弹力为垂直过接触点的切面沿半径指向圆心,C 处杆受的弹力为 垂直杆向上。 图 c 中接触处为点与曲面接触, 发生的形变均为沿半径分别向下凹, 要恢复形变就得沿半径 方向向上凸起, 所以在 M、 两接触处对 A 球的弹力为垂直过接触点的切面沿半径方向向上, N 作用线均过圆心 O,而不过球的重心 O'。 【解析】如图 1—5 所示

a

b 图 1—5

c

【总结】弹力的方向为物体恢复形变的方向。分析时首先应明确接触处发生的形变是 怎样的,恢复形变时应向哪个方向恢复。另外应记住平面与平面、点、曲面接触,曲面与点、 曲面接触,绳、杆弹力方向的特点,才能得以正确分析。 例 4:如图 1—6 所示,小车上固定着一根弯成α 角的曲杆,杆的另一端固定一个质量为 m 的球,试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向: (1)小车静止; (2)小车以加速度 a 水平向右运动; (3)小车以加速度 a 水平向左运动。

图 1—6 图 1—7 【审题】 此题杆对球的弹力与球所处的运动状态有关。 分析时应根据不同的运动状态具

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体分析。 (1)小车静止时,球处于平衡状态,所受合外力为零,因重力竖直向下,所以杆对 球的弹力 F 竖直向上,大小等于球的重力 mg,如图 1—7 甲所示。 (2)当小车向右加速运动时,因球只受弹力和重力,所以由牛顿第二定律 F=ma 得, 两力的合力一定是水平向右。由平行四边形法则得,杆对球的弹力 F 的方向应斜向右上方, 设弹力 F 与竖直方向的夹角为θ , 则由三角知识得: (mg)2+(ma)2 F= tanθ =a/g 如 图 1—7 乙所示。 (3)当小车向左加速运动时,因球只受弹力和重力,所以由牛顿第二定律 F=ma 得, 两力的合力一定是水平向左,由平行四边形法则得,杆对球的弹力 F 的方向应斜向左上方, 设弹力 F 与竖直方向的夹角为θ , 则由三角知识得: (mg)2+(ma)2 F= tanθ =a/g 如 图 1—7 丙所示 可见,弹力的方向与小车运动的加速度的大小有关,并不一定沿杆的方向。 【解析】 (1)球处于平衡状态,杆对球产生的弹力方向竖直向上,且大小等于球的重力 mg。 (2)当小车向右加速运动时,球受合力方向一定是水平向右,杆对球的弹力方向应斜 向右上方,与小车运动的加速度的大小有关,其方向与竖直杆成 arctan a/g 角,大小等于 (mg)2+(ma)2 。 (3)当小车向左加速运动时,球受合力方向一定是水平向左,杆对球 的弹力方向应斜向左上方,与小车运动的加速度的大小有关,其方向与竖直杆成 arctan a/g 角,大小等于 (mg)2+(ma)2 。 【总结】杆对球的弹力方向不一定沿杆,只有当加速度向右且 a= gtanθ 时,杆对小球 的弹力才沿杆的方向, 所以在分析物体与杆固定连接或用轴连接时, 物体受杆的弹力方向应 与运动状态对应并根据物体平衡条件或牛顿第二定律求解。 3.判断摩擦力的有、无 摩擦力的产生条件为: (1)两物体相互接触,且接触面粗糙; (2)接触面间有挤压; (3) 有相对运动或相对运动趋势 例 5:如图 1—8 所示,判断下列几种情况下物体 A 与接触面间有、无摩擦力。 图 a 中物体 A 静止 图 b 中物体 A 沿竖直面下滑,接触面粗糙 图 c 中物体 A 沿光滑斜面下滑 图 d 中物体 A 静止

图 1—8 【审题】图 a 中物体 A 静止,水平方向上无拉力,所以物体 A 与接触面间无相对运动 趋势,所以无摩擦力产生;图 b 中物体 A 沿竖直面下滑时,对接触面无压力,所以不论接 触面是否光滑都无摩擦力产生;图 c 中接触面间光滑,所以无摩擦力产生;图 d 中物体 A 静止,由于重力作用,有相对斜面向下运动的趋势,所以有静摩擦力产生。 【解析】图 a、图 b、图 c 中无摩擦力产生,图 d 有静摩擦力产生。 【总结】判断摩擦力的有、无,应依据摩擦力的产生条件,关键是看有没有相对运动或 相对运动趋势。

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4.摩擦力的方向 摩擦力的方向为与接触面相切,.与物体间的相对运动方向或相对运动趋势的方向相反。 但相对运动趋势不如相对运动直观,具有很强的隐蔽性,常用下列方法判断。 法 1: “假设法” 即假设接触面光滑, 。 看原来相对静止的物体间能发生怎样的相对运动。 若能发生, 则这个相对运动的方向就为原来静止时两物体间的相对运动趋势的方向。 若不能 发生,则物体间无相对运动趋势。 例 6:如图 1—9 所示为皮带传送装置,甲为主动轮,传动过程中皮带不打滑,P、Q 分别为 两轮边缘上的两点,下列说法正确的是: A.P、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B.P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反,Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C.P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同,Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D.P、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同

图 1—9 【审题】本题可用“假设法”分析。由题意可知甲轮与皮带间、乙轮与皮带间均相对静 止,皮带与轮间的摩擦力为静摩擦力。假设甲轮是光滑的,则甲轮转动时皮带不动,轮上 P 点相对于皮带向前运动,可知轮上 P 点相对于皮带有向前运动的趋势,则轮子上的 P 点受 到的静摩擦力方向向后, 即与甲轮的转动方向相反, 再假设乙轮是光滑的, 则当皮带转动时, 乙轮将会静止不动,这时,乙轮边缘上的 Q 点相对于皮带向后运动,可知轮上 Q 点有相对 于皮带向后运动的趋势,故乙轮上 Q 点所受摩擦力向前,即与乙轮转动方向相同。 【解析】正确答案为 B 【总结】判断摩擦力的有、无及摩擦力的方向可采用“假设法”分析。摩擦力方向与物 体间的相对运动方向或相对运动趋势的方向相反, 但不一定与物体的运动方向相反, 有时还 与物体的运动方向相同。 例 7:如图 1—10 所示,物体 A 叠放在物体 B 上,水平地面光滑,外力 F 作用于物体 B 上 使它们一起运动,试分析两物体受到的静摩擦力的方向。

图 1—10 【审题】本题中假设 A、B 间接触面是光滑的,当 F 使物体 B 向右加速时,物体 A 由于 惯性将保持原来的静止状态,经很短时间后它们的相对位置将发生变化,即物体 A 相对 B 有向左的运动,也就是说在原来相对静止时,物体 A 相对于 B 有向左的运动趋势,所以 A 受到 B 对它的静摩擦力方向向右(与 A 的实际运动方向相同) 。同理 B 相对 A 有向右运动 的趋势,所以 B 受到 A 对它的静摩擦力方向向左(与 B 的实际运动方向相反) 。 【解析】物体 A 相对于 B 有向左的运动趋势,所以 A 受到 B 对它的静摩擦力方向向右 (与 A 的实际运动方向相同) 。物体 B 相对 A 有向右运动的趋势,所以 B 受到 A 对它的静 摩擦力方向向左(与 B 的实际运动方向相反) 。如图 1—11 所示

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图 1—11 法 2:根据“物体的运动状态”来判定。 即先判明物体的运动状态(即加速度的方向) ,再利用牛顿第二定律(F=ma)确定合力, 然后通过受力分析确定静摩擦力的大小和方向。 例 8:如图 1—12 所示,A、B 两物体竖直叠放在水平面上,今用水平力 F 拉物体,两物体 一起匀速运动,试分析 A、B 间的摩擦力及 B 与水平面间的摩擦力。

【审题】本题分析摩擦力时应根据物体所处的运动状态。以 A 物体为研究对象:A 物 图 1—12 体在竖直方向上受重力和支持力,二者平衡,假设在水平方向上 A 受到 B 对它的静摩擦力, 该力的方向一定沿水平方向,这样无论静摩擦力方向向左或向右,都不可能使 A 物体处于 平衡状态,这与题中所给 A 物体处于匀速运动状态相矛盾,故 A 物体不受 B 对它的静摩擦 力。反过来,B 物体也不受 A 物体对它的静摩擦力。 分析 B 物体与水平面间的摩擦力可以 A、B 整体为研究对象。因 A、B 一起匀速运动, 水平方向上合外力为零。 水平方向上整体受到向右的拉力 F 作用, 所以水平面对整体一定有 向左的滑动摩擦力,而水平面对整体的滑动摩擦力也就是水平面对 B 物体的滑动摩擦力。 【解析】分析见上,因 A 匀速运动,所以 A、B 间无静摩擦力,又因 A、B 整体匀速运 动,由平衡条件得,物体 B 受到水平面对它的滑动摩擦力应向左。 法 3:利用牛顿第三定律来判定 此法关键是抓住“力是成对出现的” ,先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向, 再确定另一物体受到的静摩擦力的方向。 例 6 中地面光滑,F 使物体 A、B 一起向右加速运动,A 物体的加速度和整体相同,由 牛顿第二定律 F=ma 得 A 物体所受合外力方向一定向右,而 A 物体在竖直方向上受力平衡, 所以水平方向上受的力为它的合外力, 而在水平方向上只有可能受到 B 对它的静摩擦力, 所 以 A 受到 B 对它的静摩擦力方向向右。B 对 A 的摩擦力与 A 对 B 的摩擦力是一对作用力和 反作用力,根据牛顿第三定律,B 受到 A 对它的静摩擦力方向向左。 【总结】 静摩擦力的方向与物体间相对运动趋势方向相反, 判断时除了用 “假设法” 外, 还可以根据“物体的运动状态” 、及 牛顿第三定律来分析。滑动摩擦力的方向与物体间相对 运动的方向相反。 5.物体的受力分析 例 9:如图 1—13 甲所示,竖直墙壁光滑,分析静止的木杆受哪几个力作用。 【审题】 首先选取研究对象——木杆, 其次按顺序画力: ①重力G—作用在木杆的中点, 方向竖直向下;②画弹力。有两个接触点,墙与杆接触点属点面接触,弹力垂直于墙且指向 杆,地与杆的接触点也属点面接触,杆受的弹力垂直于地面且指向杆;③画摩擦力。竖直墙 光滑,墙与杆接触点没有摩擦力;假设地面光滑,杆将会向右运动,所以杆静止时有相对地 面向右的运动趋势,所以地面对杆有向左的摩擦力。 【解析】杆受重力G、方向竖直向下;弹力 N1,垂直于墙且指向杆,弹力 N2,垂直于 地面且指向杆;地面对杆向左的摩擦力 f。如图 1—13 乙所示

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乙 图 1—13 【总结】受力分析时应按步骤分析,杆受的各力应画在实际位置上。不要将各力的作 用点都移到重心上去。 例 10:如图 1—14 甲所示,A、B、C叠放于水平地面上,加一水平力F,三物体仍静止, 分析A、B、C的受力情况。 【审题】用隔离法分析:先取A为研究对象:A受向下的重力GA、B对A的支持力N BA。假设 B 对 A 有水平方向的摩擦力,不论方向水平向左还是向右,都与 A 处的静止状态 相矛盾,所以B对A没有摩擦力。取B为研究对象:B受向下的重力GB、A对B的压力NA B、C对B的支持力 NCB、水平力F。因B处静止,水平方向受合力为零,根据平衡条件,C对B一定有水平向 左的摩擦力 fCB。再取C为研究对象:C受向下的重力GC、B对C的压力NBC,地面对C 的支持力N,由牛顿第三定律得,B对C的摩擦力向右,因C处静止合力为零,根据平衡条 件,地对C的摩擦力 f 一定水平向左。 【解析】A、B、C 三物体的受力如图图 1—14 乙所示

甲 图 1—14



【总结】 用隔离法分析物体受力分析最常用的方法, 分析时应将研究的物体单独拿出来, 不要都画在一起,以免出现混乱。同时应根据牛顿第三定律分析。A 对 B 的压力及 B 对 C 的压力应以NAB和NBC表示,不要用GA和GB表示,因中它们跟GA、 、GB是不同的。此题 也可以用先整体后部分,由下向上的方法分析。 例 11:如图 1—15 甲所示,物体A、B静止,画出A、B的受力图。 【审题】用隔离法分析。先隔离B:B受重力GB,外力F,由于 F 的作用,B 和 A 之 间的挤压,所以A对B有支持力NAB,假设 A、B 接触面光滑,物体 B 将相对 A 下滑,所 以B有相对 A 向下的运动趋势,B 受A向上的静摩擦力 fAB。再隔离A:A受重力GA,墙 对A的支持力N墙,由牛顿第三定律得,A 受到 B 对它的压力 NBA,水平向左,摩擦力 fBA, 方向竖直向下。假设墙是光滑的,A物体相对墙将下滑,也就是说A物体相对墙有向下的运 动趋势,所以墙对A有竖直向上的摩擦力 f 墙。 【解析】A、B 受力如图 1—15 乙所示

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图 1—15 甲

图 1—15 乙

总结:此类问题用隔离法分析,应注意 A、B 间、A 与墙间的摩擦力的分析,同时要根 据牛顿第三定律分析。 例 12:如图 1—16 所示,用两相同的夹板夹住三个重为 G 的物体 A、B、C,三个物体均保持 静止,请分析各个物体的受力情况.

图 1—16 【审题】要分析各物体的受力情况,关键是分析 A、B 间、B、C 间是否有摩擦力,所以 可用先整体后隔离的方法。首先以三物体为一整体。竖直方向上,受重力 3G,竖直向下, 两板对它向上的摩擦力,分别为 f;水平方向上,受两侧板对它的压力 N1、N2。根据平衡条 件得,每一侧受的摩擦力大小等于 1.5G。然后再用隔离法分析 A、B、C 的受力情况,先隔 离 A,A 物体受重力 G,方向竖直向下,板对它的向上的摩擦力 f,大小等于 1.5G ,A 物体 要平衡,就必须受到一个 B 对它的向下的摩擦力 fBA,根据平衡条件得,大小应等于 0.5 G , 水平方向上,A 物体受板对它的压力 N1 和 B 对它的压力 NBA; 再隔离 C,C 物体的受力情况与 A 物体类似. 竖直方向上受重力 G、板对它的向上的摩擦力 f、B 对它的向下的摩擦力 fBC,水 平方向上受板对它的压力 N2、B 对它的压力 NBC。再隔离 B,竖直方向上 B 物体受重力 G 、由 牛顿第三定律得,B 受到 A 对它的向上的摩擦力 fAB 、C 对它的向上的摩擦力 fCB ,以及水 平方向上 A 对它的压力 NAB 和 C 对它的压力 NCB。 【解析】A、B、C 受力如图图 1—17 所示

图 1—17 【总结】 明确各物体所受的摩擦力是解决此类问题的关键, 较好的解决方法是先整体法 确定两侧的摩擦力,再用隔离法确定单个物体所受的摩擦力。

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例 13:如图 1—18 所示,放置在水平地面上的直角劈 M 上有一个质量为 m 的物体,若 m 在 其上匀速下滑,M仍保持静止,那么正确的说法是( A.M对地面的压力等于(M+m)g B.M对地面的压力大于(M+m)g C.地面对M没有摩擦力 D.地面对M有向左的摩擦力 【审题】先用隔离法分析。先隔离 m,m 受重力 mg、斜面对它的支持力 N、沿斜面向上 的摩擦力 f,因 m 沿斜面匀速下滑,所以支持力 N 和沿斜面向上的摩擦力 f 可根据平衡条件 求出。 。再隔离 M,M 受竖直向下重力 Mg、地面对它竖直向上的支持力 N 地、由牛顿第三定律 得,m 对 M 有垂直斜面向下的压力 N'和沿斜面向下的摩擦力 f' 相对地面有没有运动趋 ,M 势,关键看 f'和 N'在水平方向的分量是否相等,若二者相等,则 M 相对地面无运动趋势, 若二者不相等, M 相对地面有运动趋势, 则 而摩擦力方向应根据具体的相对运动趋势的方向 确定。 【解析】m、M 的受力如图 1—19 所示 图 1—18 )



图 1—19



对 m:建系如图甲所示,因 m 沿斜面匀速下滑,由平衡条件得:支持力 N=mgcosθ , 摩擦力 f=mgsinθ 对 M:建系如图乙所示,由牛顿第三定律得,N= N' ,f= f' ,在水平方向上,压力 N'的水 平分量 N'sinθ = mgcosθ sinθ ,摩擦力 f'的水平分量 f'cosθ = mgsinθ cosθ ,可见 f' cosθ =N'sinθ ,所以 M 相对地面没有运动趋势,所以地面对 M 没有摩擦力。 在竖直方向上,整体平衡,由平衡条件得:N 地= f'sinθ + N'cosθ +Mg=mg+Mg。所以正 确答案为:A、C 再以整体法分析:M对地面的压力和地面对 M 的支持力是一对作用力和反作用力,大 小相等,方向相反。而地面对 M 的支持力、地面对M摩擦力是 M 和 m 整体的外力,所以要 讨论这两个问题,可以整体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持力,因 m 在斜 面上匀速下滑、M 静止不动,即整体处于平衡状态,所以竖直方向上地面对 M 的支持力等 于重力,水平方向上若受地面对 M 的摩擦力,无论摩擦力的方向向左还是向右,水平方向 上整体都不能处于平衡,所以整体在水平方向上不受摩擦力。
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【解析】整体受力如图 1—20 所示,正确答案为:A、C。 【总结】综上可见,在分析整体受的外力时,以整体为研究对象分析比较简单。也可以 隔离法分析,但较麻烦,在实际解题时,可灵活应用整体法和隔离法,将二者有机地结合起 来。 总之,在进行受力分析时一定要按次序画出物体实际受的各个力,为解决这一难点可 记忆以下受力口诀: , 地球周围受重力 绕物一周找弹力 考虑有无摩擦力 其他外力细分析 合力分力不重复 只画受力抛施力

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难点之二
一、难点形成的原因:

传送带问题

1、对于物体与传送带之间是否存在摩擦力、是滑动摩擦力还是静摩擦力、摩擦力的方向 如何,等等,这些关于摩擦力的产生条件、方向的判断等基础知识模糊不清; 2、对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动,判断错误; 3、 对于物体在传送带上运动过程中的能量转化情况考虑不全面, 出现能量转化不守恒的 错误过程。

二、难点突破策略:
(1)突破难点 1 在以上三个难点中, 1 个难点应属于易错点, 第 突破方法是先让学生正确理解摩擦力产 生的条件、方向的判断方法、大小的决定因素等等。通过对不同类型题目的分析练习,让学 生做到准确灵活地分析摩擦力的有无、大小和方向。 摩擦力的产生条件是:第一,物体间相互接触、挤压; 第二,接触面不光滑; 第三, 物体间有相对运动趋势或相对运动。 前两个产生条件对于学生来说没有困难, 第三个条件就比较容易出问题了。 若物体是轻 轻地放在了匀速运动的传送带上, 那么物体一定要和传送带之间产生相对滑动, 物体和传送 带一定同时受到方向相反的滑动摩擦力。关于物体所受滑动摩擦力的方向判断有两种方法: 一是根据滑动摩擦力一定要阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势, 先判断物体相对传送带 的运动方向,可用假设法,若无摩擦,物体将停在原处,则显然物体相对传送带有向后运动 的趋势,因此物体要受到沿传送带前进方向的摩擦力,由牛顿第三定律,传送带要受到向后 的阻碍它运动的滑动摩擦力; 二是根据摩擦力产生的作用效果来分析它的方向, 物体只所以 能由静止开始向前运动, 则一定受到向前的动力作用, 这个水平方向上的力只能由传送带提 供, 因此物体一定受沿传送带前进方向的摩擦力, 传送带必须要由电动机带动才能持续而稳 定地工作,电动机给传送带提供动力作用,那么物体给传送带的就是阻力作用,与传送带的 运动方向相反。 若物体是静置在传送带上, 与传送带一起由静止开始加速, 若物体与传送带之间的动摩 擦因数较大,加速度相对较小,物体和传送带保持相对静止,它们之间存在着静摩擦力,物 体的加速就是静摩擦力作用的结果, 因此物体一定受沿传送带前进方向的摩擦力; 若物体与 传送带之间的动摩擦因数较小,加速度相对较大,物体和传送带不能保持相对静止,物体将 跟不上传送带的运动,但它相对地面仍然是向前加速运动的,它们之间存在着滑动摩擦力, 同样物体的加速就是该摩擦力的结果,因此物体一定受沿传送带前进方向的摩擦力。 若物体与传送带保持相对静止一起匀速运动, 则它们之间无摩擦力, 否则物体不可能匀 速运动。 若物体以大于传送带的速度沿传送带运动方向滑上传送带, 则物体将受到传送带提供的 使它减速的摩擦力作用,直到减速到和传送带有相同的速度、相对传送带静止为止。因此该 摩擦力方向一定与物体运动方向相反。 若物体与传送带保持相对静止一起匀速运动一段时间后, 开始减速, 因物体速度越来越 小,故受到传送带提供的使它减速的摩擦力作用,方向与物体的运动方向相反,传送带则受 到与传送带运动方向相同的摩擦力作用。 若传送带是倾斜方向的, 情况就更为复杂了, 因为在运动方向上, 物体要受重力沿斜面的下滑分力作用,该力和物体运动的初速度共同 决定相对运动或相对运动趋势方向。
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图 2—1

例 1:如图 2—1 所示,传送带与地面成夹角θ =37°,以 10m/s 的速度逆时针转动,在传送 带上端轻轻地放一个质量 m=0.5 ㎏的物体,它与传送带间的动摩擦因数μ =0.5,已知传送带 从 A→B 的长度 L=16m,则物体从 A 到 B 需要的时间为多少? 【审题】传送带沿逆时针转动,与物体接触处的速度方向斜向下,物体初速度为零,所 以物体相对传送带向上滑动(相对地面是斜向下运动的) ,因此受到沿斜面向下的滑动摩擦 力作用, 这样物体在沿斜面方向上所受的合力为重力的下滑分力和向下的滑动摩擦力, 因此 物体要做匀加速运动。当物体加速到与传送带有相同速度时,摩擦力情况要发生变化,同速 的瞬间可以看成二者间相对静止,无滑动摩擦力,但物体此时还受到重力的下滑分力作用, 因此相对于传送带有向下的运动趋势, 若重力的下滑分力大于物体和传送带之间的最大静摩 擦力,此时有μ <tanθ ,则物体将向下加速,所受摩擦力为沿斜面向上的滑动摩擦力;若 重力的下滑分力小于或等于物体和传送带之间的最大静摩擦力,此时有μ ≥tanθ ,则物体 将和传送带相对静止一起向下匀速运动, 所受静摩擦力沿斜面向上, 大小等于重力的下滑分 力。 也可能出现的情况是传送带比较短, 物体还没有加速到与传送带同速就已经滑到了底端, 这样物体全过程都是受沿斜面向上的滑动摩擦力作用。 【解析】物体放上传送带以后,开始一段时间,其运动加速度

a?

mg sin ? ? ?mg cos? m

? 10m/s 2 。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到 10m/s 为止,其对应的时间和位 移分别为:

t 1?

v 10 ? s ? 1s, a 10

s1 ?

?2
2a

? 5m <16m

以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上,其加速度大小为(因为 mgsin θ >μ mgcosθ ) 。

a2 ?

mg sin? ? ?mg cos? ? 2m/s 2 。 m

设物体完成剩余的位移 s 2 所用的时间为 t 2 , 则 s2 ? ? 0t 2 ?

1 2 a2 t 2 , 2
2

11m= 10t 2 ? t 2 , 解得: t 21 ? 1 s,或 t 2 2 ? ?11 s(舍去 ) 所以: t总 ? 1 s ? 1 s ? 2 s 。 【总结】该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向,若μ > 0.75, 第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动;若 L<5m,物体将一直加速运动。 因此,在解答此类题目的过程中,对这些可能出现两种结果的特殊 过程都要进行判断。

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图 2—2

例 2:如图 2—2 所示,传送带与地面成夹角θ =30°,以 10m/s 的速度逆时针转动,在传送 带上端轻轻地放一个质量 m=0.5 ㎏的物体,它与传送带间的动摩擦因数μ =0.6,已知传送带 从 A→B 的长度 L=16m,则物体从 A 到 B 需要的时间为多少? 【审题】 该题目的物理过程的前半段与例题 1 是一样的, 但是到了物体和传送带有相同 速度时, 情况就不同了, 经计算, 若物体和传送带之间的最大静摩擦力大于重力的下滑分力, 物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动, 所受静摩擦力沿斜面向上, 大小等于重力的下 滑分力。 【解析】物体放上传送带以后,开始一段时间,其运动加速度

a?

mg sin? ? ?mg cos? ? 8.46m/s 2 。 m

这样的加速度只能维持到物体的速度达到 10m/s 为止,其对应的时间和位 移分别为:

t 1?

v 10 ? s ? 1.18s, a 8.46

s1 ?

?2
2a

? 5.91m <16m

以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上, 其加速度大小为零 (因为 mgsin θ <μ mgcosθ ) 。 设物体完成剩余的位移 s 2 所用的时间为 t 2 , 则 s2 ? ?0 t 2 , 16m-5.91m= 10t 2 解得: t 2 ? 10.09 s, 所以: t总 ? 1.18s ? 10.09s ? 11.27s 。 【总结】该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向,μ >tanθ =

3 ,第二阶段物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动。 3

例 3:如图 2—3 所示,传送带与地面成夹角θ =37°,以 10m/s 的 速度逆时针转动, 在传送带上端轻轻地放一个质量 m=0.5 ㎏的物体, 它与传送带间的动摩擦因数μ =0.5,已知传送带从 A→B 的长度 L=5m,则物体从 A 到 B 需要的时间为多少? 【审题】该题目的物理过程的前半段与例题 1 是一样的, 由于传送带比较短,物体将一直加速运动。 【解析】物体放上传送带以后,开始一段时间,其运动加速度

图 2—3

a?

mg sin ? ? ?mg cos? m

? 10m/s 2 。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到 10m/s 为止,其对应的时间和位

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移分别为:

t 1?

v 10 ? s ? 1s, a 10

s1 ?

?2
2a

? 5m

此时物休刚好滑到传送带的低端。 所以: t总 ? 1 s 。 【总结】该题目的关键就是要分析好第一阶段的运动位移,看是否还要分析第二阶段。 例题 4:如图 2—4 所示,传送带与地面成夹角θ =37°,以 10m/s 的 速度顺时针转动,在传送带下端轻轻地放一个质量 m=0.5 ㎏的物体, 它与传送带间的动摩擦因数μ =0.9,已知传送带从 A→B 的长度 L=50m,则物体从 A 到 B 需要的时间为多少? 【审题】 传送带沿顺时针转动, 与物体接触处的速度方向斜向上, 物体初速度为零,所以物体相对传送带向下滑动(相对地面是斜向上 图 2—4 运动的) ,因此受到沿斜面向上的滑动摩擦力作用,这样物体在沿斜 面方向上所受的合力为重力的下滑分力和向上的滑动摩擦力,因此物体要向上做匀加速运 动。当物体加速到与传送带有相同速度时,摩擦力情况要发生变化,此时有μ ≥tanθ ,则 物体将和传送带相对静止一起向上匀速运动, 所受静摩擦力沿斜面向上, 大小等于重力的下 滑分力。 【解析】物体放上传送带以后,开始一段时间,其运动加速度

a?

?mg cos? ? mg sin?
m

? 1.2m/s 2 。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到 10m/s 为止,其对应的时间和位 移分别为:

t 1?

v 10 ? s ? 8.33s, a 1.2

s1 ?

?2
2a

? 41 .67 m <50m

以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上, 其加速度大小为零 (因为 mgsin θ <μ mgcosθ ) 。 设物体完成剩余的位移 s 2 所用的时间为 t 2 , 则 s2 ? ?0 t 2 , 50m-41.67m= 10t 2 解得: t 2 ? 8.33 s, 所以: t总 ? 8.33s ? 8.33 ? 16.66s 。 s 【总结】该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向,并对物体加速

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到与传送带有相同速度时,是否已经到达传送带顶端进行判断。 本题的一种错解就是:

L?
所以: t ?

1 2 at 2

2L =9.13s a

该时间小于正确结果 16.66s,是因为物体加速到 10m/s 时,以后的运动是匀速运动,而 错误结果是让物体一直加速运动,经过相同的位移,所用时间就应该短。 (2)突破难点 2 第 2 个难点是对于物体相对地面、相对传送带分别做什么样的运动,判断错误。该难点 应属于思维上有难度的知识点,突破方法是灵活运用“力是改变物体运动状态的原因”这个 理论依据,对物体的运动性质做出正确分析,判断好物体和传送带的加速度、速度关系,画 好草图分析,找准物体和传送带的位移及两者之间的关系。 学生初次遇到“皮带传送”类型的题目,由于皮带运动,物体也滑动,就有点理不清头 绪了。 解决这类题目的方法如下:选取研究对象,对所选研究对象进行隔离处理,就是一个化 难为简的好办法。对轻轻放到运动的传送带上的物体,由于相对传送带向后滑动,受到沿传 送带运动方向的滑动摩擦力作用, 决定了物体将在传送带所给的滑动摩擦力作用下, 做匀加 速运动, 直到物体达到与皮带相同的速度, 不再受摩擦力, 而随传送带一起做匀速直线运动。 传送带一直做匀速直线运动, 要想再把两者结合起来看, 则需画一运动过程的位移关系图就 可让学生轻松把握。 如图 2—5 甲所示,A、B 分别是传送带上和物体上的一点,刚放上物体时,两点重合。 设皮带的速度为 V0,物体做初速为零的匀加速直线运动,末速为 V0,其平均速度为 V0/2,

图 2—5 所以物体的对地位移 x 物=

V0 t ,传送带对地位移 x 传送带=V0t,所以 A、B 两点分别运动到如 2
x 传送带 2
,就

图 2—5 乙所示的 A' 、B'位置,物体相对传送带的位移也就显而易见了,x 物=

是图乙中的 A' 、B'间的距离,即传送带比物体多运动的距离,也就是物体在传送带上所 留下的划痕的长度。 例题 5:在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放 到传送带上时, 传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。 随后它们保持相对静 止,行李随传送带一起前进。 设传送带匀速前进的速度为 0.25m/s,把质量为 5kg 的木箱静 止放到传送带上,由于滑动摩擦力的作用,木箱以 6m/s2 的加速度前进,那么这个木箱放在 传送带上后,传送带上将留下一段多长的摩擦痕迹?

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【审题】传送带上留下的摩擦痕迹,就是行李在传送带上滑动过程中留下的,行李做初 速为零的匀加速直线运动,传送带一直匀速运动,因此行李刚开始时跟不上传送带的运动。 当行李的速度增加到和传送带相同时, 不再相对滑动, 所以要求的摩擦痕迹的长度就是在行 李加速到 0.25m/s 的过程中,传送带比行李多运动的距离。 【解析】 解法一:行李加速到 0.25m/s 所用的时间: t=

v0 0.25 = s =0.042s 6 a
1 2 1 at = ? 6 ? (0.042 2 m =0.0053m ) 2 2

行李的位移: x 行李=

传送带的位移: x 传送带=V0t=0.25×0.042m=0.0105m 摩擦痕迹的长度:

?x ? x传送带 ? x行李 ? 0.0052 m ? 5mm
(求行李的位移时还可以用行李的平均速度乘以时间, 行李做初速为零的匀加速 直线运动, v ?

v0 2

。)

解法二:以匀速前进的传送带作为参考系.设传送带水平向右运动。木箱刚放在传送带 上时,相对于传送带的速度 v=0.25m/s,方向水平向左。木箱受到水平向右的摩 擦力 F 的作用,做减速运动,速度减为零时,与传送带保持相对静止。 木箱做减速运动的加速度的大小为 a=6m/s
2

木箱做减速运动到速度为零所通过的路程为

v0 0.25 2 ?x ? ? m ? 0.0052 m ? 5mm 2a 2?6
即留下 5mm 长的摩擦痕迹。 【总结】分析清楚行李和传送带的运动情况,相对运动通过速度位移关系是解决该类问 题的关键。 例题 6:一水平的浅色长传送带上放置一煤块(可视为质点) ,煤块与传送带之间的动摩擦 因数为 ? 。初始时,传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度 a0 开始运动, 当其速度达到 v0 后,便以此速度做匀速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段 黑色痕迹后,煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。 【审题】本题难度较大,传送带开始阶段也做匀加速运动了,后来又改为匀速,物体 的运动情况则受传送带的运动情况制约,由题意可知,只有μ g<a0 才能相对传送带滑动, 否则物体将与传送带一直相对静止。 因此该题的重点应在对物体相对运动的情景分析、 相对 位移的求解上,需要较高的分析综合能力。 【解析】 方法一: 根据“传送带上有黑色痕迹”可知,煤块与传送带之间发生了相对滑动,煤块的加速度
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2

a 小于传送带的加速度 a0。根据牛顿运动定律,可得

a ? ?g

设经历时间 t,传送带由静止开始加速到速度等于 v0,煤块则由静止加速到 v,有

v0 ? a0t

v?a t

由于 a<a0,故 v<v0,煤块继续受到滑动摩擦力的作用。再经过时间 t',煤块的速度由 v 增加到 v0,有

v 0 ? v ? a t?
此后,煤块与传送带运动速度相同,相对于传送带不再滑动,不再产生新的痕迹。 设在煤块的速度从 0 增加到 v0 的整个过程中,传送带和煤块移动的距离分别为 s0 和 s, 有

s0 ?
s?

1 2 a0 t ? v0 t? 2

2 v0 2a

传送带上留下的黑色痕迹的长度 l ? s0 ? s 由以上各式得

l?

2 v0 (a0 ? ? g ) 2? a0 g

【小结】 本方法的思路是整体分析两物体的运动情况, 分别对两个物体的全过程求位移。 方法二: 第一阶段:传送带由静止开始加速到速度 v0,设经历时间为 t,煤块加速到 v,有 v 0 ? a0t ① v ? at ? ?gt 传送带和煤块的位移分别为 s1 和 s2, ②

第二阶段:煤块继续加速到 v0,设经历时间为 t ? ,有 v 0 ? v ? ? gt? ⑤ 传送带和煤块的位移分别为 s3 和 s4 ,有

1 s1 ? a0t 2 2 1 1 s2 ? at2 ? ?gt2 2 2

③ ④

s3 ? v0t?

⑥ ⑦

1 s4 ? vt ? ? ? gt ?2 2
传送带上留下的黑色痕迹的长度

l ? s1 ? s3 ? s2 ? s4
由以上各式得

l?

2 v0 (a0 ? ? g ) 2 ? a0 g

【小结】 本方法的思路是分两段分析两物体的运动情况, 分别对两个物体的两个阶段求
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位移,最后再找相对位移关系。 方法三: 传送带加速到 v0 ,有 传送带相对煤块的速度

传送带加速过程中,传送带相对煤块的位移【相对初速度为零,相对加速度是 ?a0 ? ?g ? 】

v0 ? a0t v ? (a0 ? ? g)t

① ②

l 1?

传送带匀速过程中,传送带相对煤块的位移【相对初速度为 ?a0 ? ?g ? t,相对加速度是 ?g 】

1 ?a0 ? ?g ?t 2 2

l2 ?

?a 0 ? ?g ? 2 t 2
2?g

整个过程中传送带相对煤块的位移即痕迹长度
2

l?
由以上各式得

? ? 2 1 ?a0 ? ?g ?t ? a0 ? ?g t 2 2 ?g
2 v0 (a0 ? ? g ) 2 ? a0 g



l?

【小结】本方法的思路是用相对速度和相对加速度求解。关键是先选定好过程,然后对 过程进行分析,找准相对初末速度、相对加速度。 v 方法四:用图象法求解 画出传送带和煤块的 V—t 图象,如图 2—6 所示。 其中 t1 ? v0

v v0 , t2 ? 0 , ?g a0
O t1 图 2—6 t2 t

黑色痕迹的长度即为阴影部分三角形的面积,有:

1 【小结】 本方法的思路是运用在速度—时间图象中, 图线与其所对应的时间轴所包围图
形的面积可以用来表示该段时间内的位移这个知识点,来进行求解,本方法不是基本方法, 不易想到,但若能将它理解透,做到融会贯通,在解决相应问题时,就可以多一种方法。

v v v 2 (a ? ? g ) 1 1 l ? v0 (t2 ? t1 ) ? v0 ( 0 ? 0 ) ? 0 0 2 2 ? g a0 2 ? a0 g

【总结】本题题目中明确写道: “经过一段时间,煤块在传送带上留下一段黑色痕迹后, 煤块相对于传送带不再滑动。 这就说明第一阶段传送带的加速度 a 0 大于煤块的加速度 ?g 。 ” 当传送带速度达到 v0 时,煤块速度 v ? v0 ,此过程中传送带的位移大于煤块的位移。接下 来煤块还要继续加速到 v0 ,传送带则以 v0 做匀速运动。两阶段的物体位移之差即为痕迹长 度。 有的学生对此过程理解不深, 分析不透, 如漏掉第二阶段只将第一阶段位移之差作为痕 迹长度; 将煤块两阶段的总位移作为痕迹长度; 用第一阶段的相对位移与第二阶段的煤块位 移之和作为痕迹长度;还有的学生分 a0 ? ?g, a0 ? ?g, a0 ? ?g 三种情况讨论;有的甚至认 为煤块最终减速到零,这些都说明了学生对物体相对运动时的过程分析能力还有欠缺。 处理物体和传送带的运动学问题时,既要考虑每个物体的受力情况及运动情况,又要 考虑到它们之间的联系与区别,只有这样,才能从整体上把握题意,选择规律时才能得心应 手。

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例 7:一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。 桌布的一边与桌的 AB 边重合,如图 2—7,已知盘与桌布间的动 摩擦因数为μ l,盘与桌面间的动摩擦因数为μ 2。现突然以恒定加 速度 a 将桌布抽离桌面,加速度方向是水平的且垂直于 AB 边。若 圆盘最后未从桌面掉下,则加速度 a 满足的条件是什么?(以 g 表 示重力加速度) 图 2—7 【审题】这是一道特别复杂的综合题,不仅物理过程多,而 且干扰因素也多。乍看不是传送带的题目,但处理方法与例题 6 几乎完全相同。可以将题中 复杂的物理过程拆散分解为如下 3 个小过程,就可以化繁为简、化难为易,轻易破解本题。 过程 1:圆盘从静止开始在桌布上做匀加速运动至刚离开桌布的过程; 过程 2:桌布从突然以恒定加速度 a 开始抽动至圆盘刚离开桌布这段时间内做匀加速 运动的过程; 过程 3:圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速直线运动的过程。

图 2—8

设桌面长为 L,开始时,桌布、圆盘在桌面上的位置如图 2—8 甲所示; 圆盘位于桌面的中央,桌布的最左边位于桌面的左边处。由于桌布要从圆盘下抽出, 桌布与圆盘之间必有相对滑动,圆盘在摩擦力作用下有加速度,其加速度 a1 应小于桌布的 加速度 a,但两者的方向是相同的。当桌布与圆盘刚分离时,圆盘与桌布的位置如图 2—8 乙所示。 圆盘向右加速运动的距离为 x1,桌布向右加速运动的距离为

1 L+x1。圆盘离开桌布后, 2

在桌面上作加速度为 a2 的减速运动直到停下,因盘未从桌面掉下,故而盘作减速运动直到 停下所运动的距离为 x2,不能超过

1 L-x1。通过分析并画出图 2—8 丙。 2

本题虽然是一个大多数同学都熟悉、 并不难想象或理解的现象, 但第一次能做对的同学 并不多, 其中的原因之一就是不善于在分析物理过程的同时正确地作出情境示意图, 借助情 境图来找出时间和空间上的量与量之间的关系。 【解析】 1.由牛顿第二定律: μ lmg=mal 由运动学知识: v1 =2al x1
2





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2.桌布从突然以恒定加速度 a 开始抽动至圆盘刚离开桌布这段时间内做匀加速运动的 过程。 设桌布从盘下抽出所经历时间为 t,在这段时间内桌布移动的距离为 x1, 由运动学知识:

1 2 at 2 1 2 x1= a1t 2 1 而 x= L+x1 2
x=

③ ④ ⑤

3.圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速直线运动的过程。 设圆盘离开桌布后在桌面上作匀减速运动, a2 表示加速度的大小, 以 运动 x2 后便停下, 由牛顿第二定律: μ 2mg=ma2 由运动学知识: v1 =2a2 x2
2





盘没有从桌面上掉下的条件是: x2≤

1 L—x1 2



由以上各式解得:

a≥

?1 ? 2? 2 ?1 g ?2



【总结】此解题方法是运用了最基本的牛顿第二定律和运动学知识来解决这一复杂物 理过程的, 其实题目再复杂, 也是用最基本的基础知识来求解的。 当然, 也可以从动能定理、 动量定理、功能关系或 v-t 图象等角度求解。 (3)突破难点 3 第 3 个难点也应属于思维上有难度的知识点。 对于匀速运动的传送带传送初速为零的物 体,传送带应提供两方面的能量,一是物体动能的增加,二是物体与传送带间的摩擦所生成 的热(即内能) ,有不少同学容易漏掉内能的转化,因为该知识点具有隐蔽性,往往是漏掉 了,也不能在计算过程中很容易地显示出来,尤其是在综合性题目中更容易疏忽。突破方法 是引导学生分析有滑动摩擦力做功转化为内能的物理过程, “只要有滑动摩擦力做功的过 使 程,必有内能转化”的知识点在学生头脑中形成深刻印象。 一个物体以一定初速度滑上一粗糙平面, 会慢慢停下来, 物体的动能通过物体克服滑动 摩擦力做功转化成了内能, 当然这个物理过程就是要考查这一个知识点, 学生是绝对不会犯 错误的。 质量为 M 的长直平板,停在光滑的水平面上,一质量为 m 的物体,以初速度 v0 滑上长 板,已知它与板间的动摩擦因数为μ ,此后物体将受到滑动摩擦阻力作用而做匀减速运动,

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长板将受到滑动摩擦动力作用而做匀加速运动, 最终二者将达到共同速度。 其运动位移的关 系如图 2—9 所示。

图 2—9 该过程中,物体所受的滑动摩擦阻力和长板受到滑动摩擦动力是一对作用力和反作用 力, W 物=—μ mg·x 物 W 板=μ mg·x 板 很显然 x 物>x 板,滑动摩擦力对物体做的负功多,对长板做的正功少,那么物体动能减 少量一定大于长板动能的增加量,二者之差为Δ E=μ mg(x 物—x 板)=μ mg·Δ x,这就是 物体在克服滑动摩擦力做功过程中,转化为内能的部分,也就是说“物体在克服滑动摩擦力 做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦力与相对滑动路程的乘积。 ”记住这个结论,一旦遇 到有滑动摩擦力存在的能量转化过程就立即想到它。 再来看一下这个最基本的传送带问题:

图 2—10 物体轻轻放在传送带上,由于物体的初速度为 0,传送带以恒定的速度运动,两者之间 有相对滑动,出现滑动摩擦力。作用于物体的摩擦力使物体加速,直到它的速度增大到等于 传送带的速度,作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势,但由于电动机的作用,保持 了传送带的速度不变。 尽管作用于物体跟作用于传送带的摩擦力的大小是相等的, 但物体与 传送带运动的位移是不同的, 因为两者之间有滑动。 如果物体的速度增大到等于传送带的速 度经历的时间为 t, 则在这段时间内物体运动的位移小于传送带运动的位移。 在这段时间内, 传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对物体做的功(这功转变为物体的动能), 两者之差即为 摩擦发的热。 所谓传送带克服摩擦力做功, 归根到底是电动机在维持传送带速度不变的过程 中所提供的。 例 8:如图 2—11 所示,水平传送带以速度 v 匀速运动,一质量为 m 的小木块 由静止轻放到传送带上,若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ ,当小木块 与传送带相对静止时,转化为内能的能量是多少? 图 2—11 【审题】该题首先得清楚当小木块与传送带相对静止时,转化为内能的能量 应该怎么来求, 要想到用 “物体在克服滑动摩擦力做功过程中转化成的内能等于滑动摩擦 力与相对滑动路程的乘积。 ”这一结论,然后再根据物体和传送带的运动情况来求二者相 对滑动的距离。 【解析】 在木块从开始加速至与传送带达到共同速度的过程中

F摩 ? ?FN ? ?mg
图 2—12
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? ?g m m 2 由公式 v ? 2ax v2 v2 可得: x ? ? 2a 2?g a? ?
从木块静止至木块与传送带达到相对静止的过程中木块加速运动的时间

F合

?mg

t?

v v ? a ?g

传送带运动的位移

v2 x' ? vt ? ?g
木块相对传送带滑动的位移

?x ? x'? x ?
摩擦产生的热:

v2 2?g v2 1 ? mv 2 2?g 2

Q ? F摩 ·?x ? ?mg·

【总结】单独做该题目时,就应该有这样的解题步骤,不过,求相对位移时也可以物 体为参考系,用传送带相对物体的运动来求。在综合性题目中用到该过程时,则直接用结论 即可。该结论是:从静止放到匀速运动的传送带上的物体,在达到与传送带同速的过程中, 转化为内能的能量值和物体增加的动能值相等。 因为物体在该过程中的对地位移与传送带相 对物体的位移大小是相等的。 例 9:如图 2—13 所示,倾角为 37? 的传送带以 4m/s 的速度沿图示方向 匀速运动。已知传送带的上、下两端间的距离为 L=7m。现将一质量 m=0.4kg 的小木块放到传送带的顶端,使它从静止开始沿传送带下滑, 已知木块与传送带间的动摩擦因数为μ =0.25,取 g=10m/s2。求木块滑 到底的过程中,摩擦力对木块做的功以及生的热各是多少? 图 2—13 【审题】该题目要分成两段考虑,第一段:木块的速度 v<v0。这一 阶段木块相对于传送带向后运动,受到的摩擦力方向向前,合外力沿斜面向前;第二段:木 块的速度 v>v0。这一阶段木块相对于传送带向前运动,受到的摩擦力方向向后,合外力仍 沿斜面向前。 【解析】刚开始时,合力的大小为 F 合 1=mgsin37? +μ mgcos37? , 由牛顿第二定律,加速度大小 a1=

F合1 m

=8m/s2,

该过程所用时间 t1= 位移大小

v0 =0.5s, a1

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s1=

v0 =1m。 2a1

2

二者速度大小相同后,合力的大小为 F 合 2=mgsin37? -μ mgcos37? , 加速度大小 a2=

F合2 m

=4m/s2,

位移大小 s2= L-s1= 6m, 所用时间 s2= v0t2+ 得: t2=1s。 (另一个解 t2=-3s 舍去) 摩擦力所做的功 W=μ mgcos37? · (s1-s2) =-4.0J, 全过程中生的热 Q=f· 相对 s =μ mgcos37? · 0t1-s1)+(s2-v0t2) 【(v 】 =0.8N×3m=2.4J。 【总结】该题目的关键在于分析清楚物理过程, 分成两段处理,正确分析物体受力情况,求出物体和 传送带的位移,以及物体和传送带间的相对位移。 例 10:一传送带装置示意如图 2—14,其中传送带经 过 AB 区域时是水平的, 经过 BC 区域时变为圆弧形(圆 弧由光滑模板形成,未画出),经过 CD 区域时是倾斜 的,AB 和 CD 都与 BC 相切。现将大量的质量均为 m 的 图 2—14

1 2 a2 t 2 2

小货箱一个一个在 A 处放到传送带上,放置时初速为零,经传送带运送到 D 处,D 和 A 的高 度差为 h。稳定工作时传送带速度不变,CD 段上各箱等距排列,相邻两箱的距离为 L。每个 箱子在 A 处投放后,在到达 B 之前已经相对于传送带静止,且以后也不再滑动(忽略经 BC 段时的微小滑动)。已知在一段相当长的时间 T 内,共运送小货箱的数目为 N。这装置由电 动机带动,传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率 P 。 【审题】小货箱放在传送带的 AB 段上时,由于货箱的初速度为 0,传送带以恒定的速 度运动,两者之间有相对滑动,出现滑动摩擦力。作用于货箱的摩擦力使货箱加速,直到 它的速度增大到等于传送带的速度,作用于传送带的摩擦力有使传送带减速的趋势,但由 于电动机的作用,保持了传送带的速度不变。尽管作用于货箱跟作用于传送带的摩擦力的 大小是相等的,但小货箱与传送带运动的路程是不同的,因为两者之间有滑动。如果货箱

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的速度增大到等于传送带的速度经历的时间为 t, 则在这段时间内货箱运动的路程和传送带 运动的路程分别是解答中的①式和③式,两者大小不同,由解答中的④式给出。在这段时 间内,传送带克服摩擦力做的功大于摩擦力对货箱做的功(这功转变为货箱的动能),两者 之差即为摩擦发的热。所谓传送带克服摩擦力做功,归根到底是电动机在维持传送带速度 不变的过程中所提供的。这也就是在传送带的水平段上使一只小货箱从静止到跟随传送带 一起以同样速度运动的过程中,电动机所做的功,这功一部分转变为货箱的动能,一部分 因摩擦而发热。当货箱的速度与传送带速度相等后,只要货箱仍在传送带的水平段上,电 动机无需再做功。为了把货箱从 C 点送到 D 点,电动机又要做功,用于增加货箱的重力势 能 mgh。由此便可得到输送 N 只货箱的过程中电动机输出的总功。 以上分析都是在假定已知传送带速度 v 0 的条件下进行的,实际上传送带的速度是未知 的。因此要设法找出 v 0 。题中给出在时间 T 内运送的小货箱有 N 只,这是说,我们在 D 处 计数,当第 1 只货箱到达 D 处时作为时刻 t=0,当第 N 只货箱到达 D 处时恰好 t=T。如果把 这 N 只货箱以 L 的距离间隔地排在 CD 上(如果排得下的话),则第 N 只货箱到 D 处的距离为 (N—1)L,当该货箱到达 D 处,即传送带上与该货箱接触的那点在时间 T 内运动到 D 点,故 有 ( N ? 1)L ? v 0 T 。由此便可求出 v 0 ,电动机的平均功率便可求得。由于 N 很大,N 与 N- 1 实际上可视作相等的。 【解析】以地面为参考系(下同),设传送带的运动速度为 v 0 ,在水平段的运输过程中, 小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动,直到其速度与传送带的速度相 等。设这段路程为 s,所用的时间为 t,加速度为 a,则对小货箱有

s?

1 2 at 2

① ②

v 0 ? at

在这段时间内传送带运动的路程为

s0 ? v0 t
由上可得



s 0 ? 2s



用 Ff 表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力,则传送带对小货箱做功为

W1 ? F f s ?

1 2 mv0 2



传送带克服小货箱对它的摩擦力做功

1 2 2 W0 ? F f s0 ? 2 ? mv0 ? mv0 2
两者之差就克服摩擦力做功发出的热量



Q?

1 2 m v0 2



可见,在小货箱加速过程中,小货箱获得的动能与发热量相等。 T 时间内电动机输出的功为
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W ? PT



此功用于增加 N 个小货箱的动能、势能和使小货箱加速时程中克服摩擦力发 的热,即有

W?

1 2 Nm v0 ? Nm gh ? NQ 2



N 个小货箱之间的距离为(N-1)L,它应等于传送带在 T 时间内运动的距离, 即有
v 0 T ? ( N ? 1)L ? NL



因 T 很大,故 N 亦很大。 联立⑦、⑧、⑨、⑩,得

P?

? Nm ? N 2 L2 ? 2 ? gh ? T ? T ?

【总结】本题初看起来比较复杂,关于装置的描述也比较冗长.看来对于实际的问题 或比较实际的问题,冗长的描述是常有的。要通过对描述的研究,抓住关键,把问题理想 化、简单化,这本身就是一种分析问题、处理问题的能力。通过分析,可以发现题中传送 带的水平段的作用是使货箱加速,直到货箱与传送带有相同的速度。使货箱加速的作用力 来自货箱与传送带之间的滑动摩擦力。了解到这一点还不够,考生还必须知道在使货箱加 速的过程中,货箱与传送带之间是有相对滑动的,尽管传送带作用于货箱的摩擦力跟货箱 作用于传送带的摩擦力是一对作用力与反作用力,它们大小相等,方向相反,但在拖动货 箱的过程中,货箱与传送带移动的路程是不同的。因此作用于货箱的摩擦力做的功与传送 带克服摩擦力做的功是不同的。如果不明白这些道理,就不会分别去找货箱跟传送带运动 的路程。虽然头脑中存有匀变速直线运动的公式,但不一定会把它们取出来加以使用。而 在这个过程中,不管货箱获得的动能还是摩擦变的热,这些能量最终都来自电动机做的功。 传送带的倾斜段的作用是把货箱提升 h 高度。在这个过程中,传送带有静摩擦力作用 于货箱,同时货箱还受重力作用,这两个力对货箱都做功,但货箱的动能并没有变化。因 为摩擦力对货箱做的功正好等于货箱克服重力做的功,后者增大了货箱在重力场中的势能。 同时在这个过程中传送带克服静摩擦力亦做功,这个功与摩擦力对货箱做的功相等,因为 两者间无相对滑动。所以货箱增加的重力势能亦来自电动机。 有的同学见到此题后,不知从何下手,找不到解题思路和解题方法,其原因可能是对涉 及的物理过程以及过程中遇到的一些基本概念不清楚造成的。 求解物理题, 不能依赖于套用 解题方法,不同习题的解题方法都产生于对物理过程的分析和对基本概念的正确理解和应 用。

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难点之三:圆周运动的实例分析
一、难点形成的原因
1、对向心力和向心加速度的定义把握不牢固,解题时不能灵活的应用。 2、圆周运动线速度与角速度的关系及速度的合成与分解的综合知识应用不熟练,只是了 解大概,在解题过程中不能灵活应用; 3、圆周运动有一些要求思维长度较长的题目,受力分析不按照一定的步骤,漏掉重力或 其它力,因为一点小失误,导致全盘皆错。 4、圆周运动的周期性把握不准。 5、缺少生活经验,缺少仔细观察事物的经历,很多实例知道大概却不能理解本质,更不 能把物理知识与生活实例很好的联系起来。

二、难点突破
(1)匀速圆周运动与非匀速圆周运动 a.圆周运动是变速运动,因为物体的运动方向(即速度方向)在不断变化。圆周运动也 不可能是匀变速运动,因为即使是匀速圆周运动,其加速度方向也是时刻变化的。 b.最常见的圆周运动有:①天体(包括人造天体)在万有引力作用下的运动;②核外电 子在库仑力作用下绕原子核的运动; ③带电粒子在垂直匀强磁场的平面里在磁场力作用下的 运动;④物体在各种外力(重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等)作用下的圆周运动。 c.匀速圆周运动只是速度方向改变,而速度大小不变。做匀速圆周运动的物体,它所受 的所有力的合力提供向心力, 其方向一定指向圆心。 非匀速圆周运动的物体所受的合外力沿 着半径指向圆心的分力,提供向心力,产生向心加速度;合外力沿切线方向的分力,产生切 向加速度,其效果是改变速度的大小。 例 1:如图 3-1 所示,两根轻绳同系一个质量 m=0.1kg 的小球,两绳的另一端分别固定在轴 上的 A、B 两处,上面绳 AC 长 L=2m,当两绳都拉直时,与轴的夹角分别为 30°和 45°,求 当小球随轴一起在水平面内做匀速圆周运动角速度为ω =4rad/s 时,上下两轻绳拉力各为多 少? 【审题】两绳张紧时,小球受的力由 0 逐渐增大时,ω 可能出现两个临界值。 【解析】如图 3-1 所示,当 BC 刚好被拉直,但其拉力 T2 恰为零,设此时角速度为ω 1, AC 绳上拉力设为 T1,对小球有:

T1 cos 30? ? mg



2 T1 sin30? = mω1 LAB sin30? ②

代入数据得:

?1 ? 2.4rad / s ,
要使 BC 绳有拉力,应有ω >ω 1,当 AC 绳恰被拉直,但其拉力 T1 恰 为零,设此时角速度为ω 2,BC 绳拉力为 T2,则有 图 3-1

T2 cos 45? ? mg



T2sin45°=m ω2 LACsin30°④ 2 代入数据得:ω 2=3.16rad/s。要使 AC 绳有拉力,必须ω <ω 2,依题意ω =4rad/s>ω 2, 故 AC 绳已无拉力,AC 绳是松驰状态,BC 绳与杆的夹角θ >45°,对小球有:

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T2 cos? ? mg
T2cosθ =m ω LBCsin θ ⑤ 而 LACsin30°=LBCsin45° LBC= 2 m ⑥
2

由⑤、⑥可解得

T2 ? 2.3N ; T1 ? 0
【总结】当物体做匀速圆周运动时,所受合外力一定指向圆心,在圆周的切线方向上和 垂直圆周平面的方向上的合外力必然为零。 (2)同轴装置与皮带传动装置 在考查皮带转动现象的问题中,要注意以下两点: a、同一转动轴上的各点角速度相等; b、和同一皮带接触的各点线速度大小相等,这两点往往是我们解决皮带传动的基本方 法。 例 2:如图 3-2 所示为一皮带传动装置,右轮的半径为 r,a 是它 边缘上的一点,左侧是一轮轴,大轮半径为 4r,小轮半径为 2r, b 点在小轮上,到小轮中心距离为 r,c 点和 d 点分别位于小轮和 大轮的边缘上,若在传动过程中,皮带不打滑,则? A.a 点与 b 点线速度大小相等? B.a 点与 c 点角速度大小相等? 图 3-2 C.a 点与 d 点向心加速度大小相等? D.a、b、c、d 四点,加速度最小的是 b 点? 【审题】 分析本题的关键有两点:其一是同一轮轴上的各点角速度相同;其二是皮带 不打滑时,与皮带接触的各点线速度大小相同。这两点抓住了,然后再根据描述圆周运动的 各物理量之间的关系就不难得出正确的结论。 【解析】由图 3-2 可知,a 点和 c 点是与皮带接触的两个点,所以在传动过程中二者的 线速度大小相等,即 va=vc,又 v=ω R, 所以 ω ar=ω c·2r,即 ω a=2ω c.而 b、c、d 三点在同一轮轴上,它们的角速度相等,则 ω b=ω c=ω d=

1 ω a,所以选项B错.又 vb= 2

ω b·r=

va ωa 2 1 2 2 ω ar= ,所以选项 A 也错.向心加速度:aa=ω a r;ab=ω b ·r=( )r 2 2 2


2

1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 ω a r= aa;ac=ω c ·2r=( ω a) ·2r= ω a r= aa;ad=ω d ·4r=( ω a) 4 4 2 2 2 2
2

·4r=ω a r=aa.所以选项 C、D 均正确。 【总结】 该题除了同轴角速度相等和同皮带线速度大小相等的关系外, 在皮带传动装置 中,从动轮的转动是静摩擦力作用的结果.从动轮受到的摩擦力带动轮子转动,故轮子受到 的摩擦力方向沿从动轮的切线与轮的转动方向相同; 主动轮靠摩擦力带动皮带, 故主动轮所 受摩擦力方向沿轮的切线与轮的转动方 向相反。是不是 所有 的题目都要是例 1 这种类型的呢?当然 不是,当轮与轮之间不是依靠皮带相连

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图 3-3

转动,而是依靠摩擦力的作用或者是齿轮的啮合,如图 3-3 所示,同样符合例 1 的条件。 (3)向心力的来源 a.向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时,切记在物体的作 用力(重力、弹力、摩擦力等)以外不要再添加一个向心力。 b.对于匀速圆周运动的问题,一般可按如下步骤进行分析: ①确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。 ②明确运动情况,包括搞清运动速率 v,轨迹半径 R 及轨迹圆心 O 的位置等。只有明确了上 2 述几点后,才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小( mv /R )和向心力方向(指 向圆心) 。 ③分析受力情况,对物体实际受力情况做出正确的分析,画出受力图,确定指向圆心的合外 力 F(即提供向心力) 。 ④选用公式 F=m

v2 ? 2? ? 2 =mRω =mR ? ? 解得结果。 R ? T ?
2

c.圆周运动中向心力的特点: ①匀速圆周运动: 由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变, 故只存在向心加速 度,物体受到外力的合力就是向心力。可见,合外力大小不变,方向始终与速度方向垂直且 指向圆心,是物体做匀速圆周运动的条件。 ②变速圆周运动:速度大小发生变化,向心加速度和向心力都会相应变化。求物体在某一点 受到的向心力时, 应使用该点的瞬时速度, 在变速圆周运动中, 合外力不仅大小随时间改变, 其方向也不沿半径指向圆心。 合外力沿半径方向的分力 (或所有外力沿半径方向的分力的矢 量和)提供向心力,使物体产生向心加速度,改变速度的方向;合外力沿轨道切线方向的分 力,使物体产生切向加速度,改变速度的大小。 2 ③当物体所受的合外力 F 小于所需要提供的向心力 mv /R 时,物体做离心运动。 例 3:如图 3-4 所示,半径为 R 的半球形碗内, 有一个具有一定质量的物体 A, / A 与碗壁间的动摩擦因数为μ ,当碗绕竖直轴 OO 匀速转动时,物体 A 刚好能 紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动,求碗转动的角速度. 【审题】物体 A 随碗一起转动而不发生相对滑动,则物体做匀速圆周运 动的角速度ω 就等于碗转动的角速度ω 。物体 A 做匀速圆周运动所需的向心 力方向指向球心 O,故此向心力不是由重力而是由碗壁对物体的弹力提供,此 时物体所受的摩擦力与重力平衡。 【解析】物体 A 做匀速圆周运动,向心力: Fn ? m? 2 R 而摩擦力与重力平衡,则有: 即: Fn ? 图 3-4

?Fn ? mg

mg

?
mg

由以上两式可得: m? 2 R ?

?
g ?R

即碗匀速转动的角速度为: ? ?

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【总结】分析受力时一定要明确向心力的来源,即搞清楚什么力充当向心力.本题还考 查了摩擦力的有关知识: 水平方向的弹力为提供摩擦力的正压力, 若在刚好紧贴碗口的基础 上,角速度再大,此后摩擦力为静摩擦力,摩擦力大小不变,正压力变大。 例 4: 如图 3-5 所示, 在电机距轴 O 为 r 处固定一质量为 m 的铁块. 电机启动后, 铁块以角速度 ω 绕轴 O 匀速转动. 则电机对地面的最大压力和最小压力之差为 __________。 【审题】铁块在竖直面内做匀速圆周运动,其向心力是重力 mg 与轮对它的 力 F 的合力.由圆周运动的规律可知:当 m 转到最低点时 F 最大,当 m 转到最 高点时 F 最小。 【解析】设铁块在最高点和最低点时,电机对其作用力分别为 F1 和 F2,且 图 3-5 都指向轴心,根据牛顿第二定律有:? 2 在最高点:mg+F1=mω r ① 2 在最低点:F2-mg=mω r ② 电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块 m 位于最低点和最高点时, 且压力差的大 小为:Δ FN=F2+F1 ③ 2 由①②③式可解得:Δ FN=2mω r? 【总结】 (1)若 m 在最高点时突然与电机脱离,它将如何运动?? (2)当角速度 ω 为何值时,铁块在最高点与电机恰无作用力?? (3)本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为 M,则 ω 多大时,电机 可以“跳”起来?此情况下,对地面的最大压力是多少?? 解:(1)做初速度沿圆周切线方向,只受重力的平抛运动。 (2)电机对铁块无作用力时,重力提供铁块的向心力,则? 2 mg=mω 1 r? 即 ω 1=

g r

(3)铁块在最高点时,铁块与电动机的相互做用力大小为 F1,则? 2 F1+mg=mω 2 r? F1=Mg? 即当 ω 2≥

(M ? m) g (M ? m) g 时,电动机可以跳起来,当 ω 2= 时,铁块在最低点时 mr mr

电机对地面压力最大,则? 2 F2-mg=mω 2 r? FN=F2+Mg? 解得电机对地面的最大压力为 FN=2(M+m)g? (4)圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动(例如匀速直线运动、平抛运动)联系起来。圆周 运动是一个独立的运动,而另一个运动通常也是独立的,分别明确两个运动过程,注意用时 间相等来联系。 在这类问题中,要注意寻找两种运动之间的联系,往往是通过时间相等来建 立联系的。同时,要注意圆周运动具有周期性,因此往往有多个答案。 例 5:如图 3-6 所示,半径为 R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,其正

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图 3-6

上方 h 处沿 OB 方向水平抛出一个小球,要使球与盘只碰一次,且落点为 B,则小球的初速 度 v=_________,圆盘转动的角速度ω =_________。 【审题】小球做的是平抛运动,在小球做平抛运动的这段时间内,圆盘做了一定角度的 圆周运动。 【解析】①小球做平抛运动,在竖直方向上: h=

1 2 gt 2
2h g

则运动时间 t=

又因为水平位移为 R 所以球的速度 v=

R g =R· t 2h

②在时间 t 内,盘转过的角度θ =n·2π ,又因为θ =ω t 则转盘角速度: ω=

n ? 2? =2nπ t

g (n=1,2,3?) 2h

【总结】 上题中涉及圆周运动和平抛运动这两种不同的运动, 这两种不同运动规律在解 决同一问题时,常常用“时间”这一物理量把两种运动联系起来。 例 6:如图 3-7 所示,小球 Q 在竖直平面内做匀速圆周运动,当 Q 球转到图示位置时, 有另一小球 P 在距圆周最高点为 h 处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰,则 Q 球的角速度ω 应满足什么条件? 【审题】下落的小球 P 做的是自由落体运动,小球 Q 做的是圆周运动,若要想碰, 必须满足时间相等这个条件。 【解析】设 P 球自由落体到圆周最高点的时间为 t,由自由落体可得

1 2 gt =h 2
求得 t=

图 3-7

2h g

Q 球由图示位置转至最高点的时间也是 t,但做匀速圆周运动,周期为 T,有 t=(4n+1)

T (n=0,1,2,3??) 4 2π

两式联立再由 T=

?

得 (4n+1)



?

=

2h g

所以ω =

π (4n+1) 2

g 2h

(n=0,1,2,3??)

【总结】由于圆周运动每个周期会重复经过同一个位置,故具有重复性。在做这类题目

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时,应该考虑圆周运动的周期性。 (5)竖直平面内圆周运动的临界问题 圆周运动的临界问题:

图 3-8 (1)如上图 3-8 所示,没有物体支撑的小球,在绳和轨道的约束下,在竖直平面做圆周运 动过最高点的情况:? ①临界条件:绳子或轨道对小球没有力的做用:mg=m

v2 ? v 临界= Rg 。 R

②能过最高点的条件:v≥ Rg ,当 v> Rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力。 ③不能过最高点的条件:v<v 临界(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道) (2)如图 3-9 球过最高点时,轻质杆对球产生的弹力情况:? ①当 v=0 时,FN=mg(FN 为支持力)。 ②当 0<v< Rg 时,FN 随 v 增大而减小,且 mg>FN>0,FN 为支持力。 ③当 v= Rg 时,FN=0。 图 3-9 ④当 v> Rg 时,FN 为拉力,FN 随 v 的增大而增大。? 如图所示 3-10 的小球在轨道的最高点时,如果 v≥ Rg 此时将脱离 轨道做平抛运动,因为轨道对小球不能产生拉力。 例 7:半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上,如图 3-11 所示。顶部有 一小物体甲,今给它一个水平初速度 图 3-10

v0 ? gR ,则物体甲将(



A.沿球面下滑至 M 点 B.先沿球面下滑至某点 N,然后便离开球面作斜下抛运动 C.按半径大于 R 的新的圆弧轨道作圆周运动 D.立即离开半圆球作平抛运动

图 3-11

【审题】物体在初始位置受竖直向下的重力,因为 v0= gR ,所以,球面支持力为零, 又因为物体在竖直方向向下运动, 所以运动速率将逐渐增大, 若假设物体能够沿球面或某一 大于 R 的新的圆弧做圆周运动, 则所需的向心力应不断增大。 而重力沿半径方向的分力逐渐 减少, 对以上两种情况又不能提供其他相应的指向圆心的力的作用, 故不能提供不断增大的

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向心力,所以不能维持圆周运动。 【解析】物体应该立即离开半圆球做平抛运动,故选 D。 【总结】当物体到达最高点,速度等于 gR 时,半圆对物体的支持力等于零,所以接 下来物体的运动不会沿着半圆面,而是做平抛运动。 (6)圆周运动的应用 a.定量分析火车转弯的最佳情况。 ①受力分析:如图所示 3-12 火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆 心,成为使火车拐弯的向心力。 ②动力学方程:根据牛顿第二定律得 mgtanθ =m
2 v0 r

图 3-12

其中 r 是转弯处轨道的半径, v0 是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。 ③分析结论:解上述方程可知
2 v 0 =rgtanθ

可见,最佳情况是由 v0 、r、θ 共同决定的。 当火车实际速度为 v 时,可有三种可能, 当 v= v0 时,内外轨均不受侧向挤压的力; 当 v> v0 时,外轨受到侧向挤压的力(这时向心力增大,外轨提供一部分力) ; 当 v< v0 时,内轨受到侧向挤压的力(这时向心力减少,内轨抵消一部分力) 。 还有一些实例和这一模型相同,如自行车转弯,高速公路上汽车转弯等等 我们讨论的火车转弯问题, 实质是物体在水平面的匀速圆周运动, 从力的角度看其特点 是:合外力的方向一定在水平方向上,由于重力方向在竖直方向,因此物体除了重力外,至 少再受到一个力,才有可能使物体产生在水平面做匀速圆周运动的向心力. 实际在修筑铁路时, 要根据转弯处的半径 r 和规定的行驶速度 v0, 适当选择内外轨的高度差, 使转弯时所需的向心力完全由重力 G 和支持力 FN 的合力来提供,如上图 3-12 所示.必须注 意,虽然内外轨有一定的高度差,但火车仍在水平面内做圆周运动,因此向心力是沿水平方 向的,而不是沿“斜面”向上,F=Gtgθ =mgtgθ ,故 mgtgθ =m
2 v0 。 r

b.汽车过拱桥 汽车静止在桥顶与通过桥顶是否同种状态?不是的,汽车静止在桥顶、或通过桥顶,虽 然都受到重力和支持力。但前者这两个力的合力为零,后者合力不为零。 汽车过拱桥桥顶的向心力如何产生?方向如何?汽车在桥顶受到重力和支持力,如图 3-13 所示,向心力由二者的合力提供,方向竖直向下。

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图 3-13

运动有什么特点?①动力学方程: 由牛顿第二定律 G- F1 =m

v2 r

v2 v2 = mg - m 解得 F1 =G-m r r
②汽车处于失重状态 汽车具有竖直向下的加速度, F1 <mg,对桥的压力小于重力.这也是为什么桥一般做 成拱形的原因. ③汽车在桥顶运动的最大速度为 rg 根据动力学方程可知,当汽车行驶速度越大,汽车和桥面的压力越小,当汽车的速度为

rg 时,压力为零,这是汽车保持在桥顶运动的最大速度,超过这个速度,汽车将飞出桥
顶,做平抛运动。 另: c.人骑自行车转弯 由于速度较大,人、车要向圆心处倾斜,与竖直方向成φ 角,如图 3-14 所示,人、车的重力 mg 与地面的作用力 F 的合力作为向心力.地面的作用 力是地面对人、车的支持力 FN 与地面的摩擦力的合力,实际上仍是地面的 摩擦力作为向心力。

v2 由图知,F 向=mgtanφ =m r
2.圆锥摆 摆线张力与摆球重力的合力提供摆球做匀速圆周运动的向心力. 如图 3-15 所 示, 质量为 m 的小球用长为 L 的细线连接着, 使小球在水平面内做匀速圆周运动. 细 线与竖直方向夹角为α ,试分析其角速度ω 的大小。 对小球而言,只受两个力:重力 mg 和线的拉力 T.这两个力的合力 mgtanα 2 2 提供向心力,半径 r=Lsinα ,所以由 F=mrω 得,mgtanα =mLsinα ·ω

图 3-14

g 整理得ω = L ? cos?
可见,角速度越大,角α 也越大。 3.杂技节目“水流星” 表演时,用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子,演员抡起杯子在竖直面内 做圆周运动,在最高点杯口朝下,但水不会流下,如图所示,这是为什么? 图 3-15

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图 3-16

v2 分析:以杯中之水为研究对象进行受力分析,根据牛顿第二定律可知:F 向=m ,此时重 r
力 G 与 FN 的合力充当了向心力即 F 向=G+FN 故:G+FN=m

v2 r

由上式可知 v 减小,F 减小,当 FN=0 时,v 有最小值为 讨论:

gr 。

v2 gr 时,水恰能过最高点不洒出,这就是水能过最高点的临界条件; ①当 mg=m ,即 v= r
②当 mg>m

v2 gr 时,水不能过最高点而不洒出; ,即 v< r v2 gr 时,水能过最高点不洒出,这时水的重力和杯对水的压力提供 ,即 v> r

③当 mg<m

向心力。 例 8:绳系着装有水的水桶,在竖直面内做圆周运动,水的质量 m=0.5 kg,绳长 L=60 cm, 求: ①最高点水不流出的最小速率。 ②水在最高点速率 v=3 m/s 时,水对桶底的压力。

【审题】当 v0= gR 时,水恰好不流出,要求水对桶底的压力和判断是否能通过最高 点,也要和这个速度 v 比较,v>v0 时,有压力;v=v0 时,恰好无压力;v≤v0 时,不能到达 最高点。 【解析】①水在最高点不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力即 mg

mv 2 < L ,
则最小速度 v0=

gR = gL =2.42 m/s。

②当水在最高点的速率大于 v0 时,只靠重力提供向心力已不足,此时水桶底对水有一向下 的压力,设为 F,由牛顿第二定律 F+mg=m

v2 得:F=2.6 N。 L

由牛顿第三定律知,水对水桶的作用力 F′=-F=-2.6 N,即方向竖直向上。 【总结】当速度大于临界速率时,重力已不足以提供向心力,所缺部分由桶底提供,因 此桶底对水产生向下的压力。 4 例 2:汽车质量 m 为 1.5×10 kg,以不变的速率先后驶过凹

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图 3-17

形路面和凸形路面,路面圆弧半径均为 15 m,如图 3-17 所示.如果路面承受的最大压力不 5 得超过 2×10 N,汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率驶过路面的最小压力是多少? 【审题】首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大,汽车经过凹形路面时,向心加 速度方向向上, 汽车处于超重状态; 经过凸形路面时, 向心加速度向下, 汽车处于失重状态, 所以汽车经过凹形路面最低点时,汽车对路面的压力最大。 【解析】 当汽车经过凹形路面最低点时, 设路面支持力为 FN1, 受力情况如图 3-18 所示, 由牛顿第二定律, 有 FN1-mg=m

v2 R
5

要求 FN1≤2×10 N 解得允许的最大速率 vm=7.07 m/s

图 3-18

图 3-19

由上面分析知,汽车经过凸形路面顶点时对路面压力最小,设为 FN2,如图 3-19 所示,由牛 顿第二定律有 mg-FN2=

mv2 m R
5

解得 FN2=1×10 N。 【总结】汽车过拱桥时,一定要按照实际情况受力分析,沿加速度方向列式。 (7)离心运动 离心现象条件分析 ①做圆周运动的物体, 由于本身具有惯性, 总是想沿着切线方向运动, 只是由于向心力作用, 使它不能沿切线方向飞出,而被限制着沿圆周运动,如图 3-20 中 B 所示。 ②当产生向心力的合外力消失,F=0,物体便沿所在位置的切线方向飞出去,如图 3-20 中 A 所示。 ③当提供向心力的合外力不完全消失,而只是小于应当具有的向心力, ,即合外力不足以提 供所需的向心力的情况下,物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动,如图 3-20 所示。

图 3-20
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在实际中, 有一些利用离心运动的机械, 这些机械叫做离心机械。 离心机械的种类很多, 应用也很广。例如,离心干燥(脱水)器,离心分离器,离心水泵。 例 9:一把雨伞边缘的半径为 r,且高出水平地面 h.当雨伞以角速度 ω 旋转时,雨滴自边 缘甩出落在地面上成一个大圆周.这个大圆的半径为_______。? 【审题】 想象着实际情况, 当以一定速度旋转雨伞时, 雨滴甩出做离心运动, 落在地上, 形成一个大圆。 【解析】雨滴离开雨伞的速度为?v0=ω r? 雨滴做平抛运动的时间为?t=

2h g

图 3-21

雨滴的水平位移为?s=v0t=ω r

2h g

雨滴落在地上形成的大圆的半径为? R= r 2 + s 2 =

r 2 + ω2 r 2

2h 2hω 2 = r 1+ g g

【总结】通过题目的分析,雨滴从伞边缘沿切线方向,以一定的初速度飞出,竖直方向 上是自由落体运动,雨滴做的是平抛运动,把示意图画出来,通过示意图就可以求出大圆半 径。 (8)难点突破⑧——圆周运动的功和能 应用圆周运动的规律解决实际生活中的问题, 由于较多知识交织在一起, 所以分析问题 时利用能量守恒定律和机械能守恒定律的特点作为解题的切入点,可能大大降低难度。 例 9:使一小球沿半径为 R 的圆形轨道从最低点上升,那么需给它最小速度为多大时,才能 使它达到轨道的最高点? 【审题】小球到达最高点 A 时的速度 vA 不能为零,否则小球早在到达 A 点之前就离开 了圆形轨道。要使小球到达 A 点(自然不脱离圆形轨道) ,则小球在 A 点的速度必须满足

v2 A Mg+NA=m ,式中,NA 为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在 A 点作圆周运动所需要的 R
向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当 NA=0 时,vA 最小,vA= gR 。这就是 说,要使小球到达 A 点,则应该使小球在 A 点具有的速度 vA≥ gR 。 【解析】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时,受重力和轨道给的弹力。 小球在圆形轨道最高点 A 时满足方程

根据机械能守恒,小球在圆形轨道最低点 B 时的速度满足方程

1 1 mv 2 + mg 2R = mv 2 A B 2 2
解(1),(2)方程组得

(2)

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当 NA=0 时,VB=为最小,VB= 5gR 所以在 B 点应使小球至少具有 VB= 5gR 的速度,才能使它到达圆形轨道的最高点 A。 【总结】在杆和管子的约束下做圆周运动时,可以有拉力和支持力,所以在最高点的速 度可以等于零;在圆轨道和绳子的约束下做圆周运动时,只能有拉力,所以在最高点的速度 必须大于 gR 。 (9)实验中常见的圆周运动 综合题往往以圆周运动和其他物理知识为背景, 这类题代表了理科综合命题方向, 要在 平日的做题中理解题目的原理,灵活的把握题目。 例 10: 图 3-22 甲所示为测量电动机转动角速度的实验装置,半径不大的圆形卡纸固定在 电动机转轴上, 在电动机的带动下匀速转动. 在圆形卡纸的旁边垂直安装一个改装了的电火 花计时器。 ①请将下列实验步骤按先后排序: . A.使电火花计时器与圆形卡纸保持良好接触 B.接通电火花计时器的电源,使它工作起来 C.启动电动机,使圆形卡纸转动起来 D.关闭电动机,拆除电火花计时器;研究卡纸上留下的一段痕迹(如图 3-22 乙所示) ,写 出角速度 ω 的表达式,代入数据,得出 ω 的测量值 ②要得到 ω 的测量值,还缺少一种必要的测量工具,它是 . A.秒表 B.毫米刻度尺 C.圆规 D.量角器 ③写出角速度 ω 的表达式,并指出表达式中各个物理量的意义: . ④为了避免在卡纸连续转动的过程中出现打点重叠, 在电火花计时器与盘面保持良好接触的 同时, 可以缓慢地将电火花计时器沿圆形卡纸半径方向向卡纸中心移动. 则卡纸上打下的点 的分布曲线不是一个圆, 而是类似一种螺旋线, 如图 3-22 丙所示. 这对测量结果有影响吗?

图 3-22 【审题】因为这个题目用的是打点计时器,所以两点之间的时间是 0.02s,通过量角器 量出圆心到两点之间的角度,利用ω =θ /t。

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【解析】具体的实验步骤应该是 A、C、B、D,量出角度应该用量角器 D,? ?

?
(n ? 1)t



θ 为n个点对应的圆心角,t为时间间隔;应该注意的一个问题是不能转动一圈以上,因 为点迹重合,当半径减小时,因为单位时间内转过的角度不变,所以没有影响。 【总结】本题考查的是圆周运动中角速度的定义,ω =θ /t,实验中θ 是用量角器测量 出来的,时间 t 的测量用的是打点计时器,应该充分发挥想象,不是打点计时器只能测量直 线运动。

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难点之四
一、难点形成原因:

卫星问题分析

卫星问题是高中物理内容中的牛顿运动定律、运动学基本规律、能量守恒定律、万有引 力定律甚至还有电磁学规律的综合应用。 其之所以成为高中物理教学难点之一, 不外乎有以 下几个方面的原因。 1、不能正确建立卫星的物理模型而导致认知负迁移 由于高中学生认知心理的局限性以及由牛顿运动定律研究地面物体运动到由天体运动 规律研究卫星问题的跨度,使其对卫星、飞船、空间站、航天飞机等天体物体绕地球运转以 及对地球表面物体随地球自转的运动学特点、 受力情形的动力学特点分辩不清, 无法建立卫 星或天体的匀速圆周运动的物理学模型(包括过程模型和状态模型) ,解题时自然不自然界 的受制于旧有的运动学思路方法,导致认知的负迁移,出现分析与判断的失误。 2、不能正确区分卫星种类导致理解混淆 人造卫星按运行轨道可分为低轨道卫星、中高轨道卫星、地球同步轨道卫星、地球静止 卫星、太阳同步轨道卫星、大椭圆轨道卫星和极轨道卫星;按科学用途可分为气象卫星、通 讯卫星、侦察卫星、科学卫星、应用卫星和技术试验卫星。。。 。。。由于不同称谓的卫星对应 不同的规律与状态, 而学生对这些分类名称与所学教材中的卫星知识又不能吻合对应, 因而 导致理解与应用上的错误。 3、不能正确理解物理意义导致概念错误 卫星问题中有诸多的名词与概念,如,卫星、双星、行星、恒星、黑洞;月球、地球、 土星、火星、太阳;卫星的轨道半径、卫星的自身半径;卫星的公转周期、卫星的自转周期; 卫星的向心加速度、卫星所在轨道的重力加速度、地球表面上的重力加速度;卫星的追赶、 对接、变轨、喷气、同步、发射、环绕等问题。。。 。。。因为不清楚卫星问题涉及到的诸多概 念的含义,时常导致读题、审题、求解过程中概念错乱的错误。 4、不能正确分析受力导致规律应用错乱 由于高一时期所学物体受力分析的知识欠缺不全和疏于深化理解, 牛顿运动定律、 圆周 运动规律、 曲线运动知识的不熟悉甚至于淡忘, 以至于不能将这些知识迁移并应用于卫星运 行原理的分析,无法建立正确的分析思路,导致公式、规律的胡乱套用,其解题错误也就在 所难免。 5、不能全面把握卫星问题的知识体系,以致于无法正确区分类近知识点的不同。如, 开普勒行星运动规律与万有引力定律的不同; 赤道物体随地球自转的向心加速度与同步卫星 环绕地球运行的向心加速度的不同; 月球绕地球运动的向心加速度与月球轨道上的重力加速 度的不同; 卫星绕地球运动的向心加速度与切向加速度的不同; 卫星的运行速度与发射速度 的不同;由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同;天体的自身半径与卫星 的轨道半径的不同;两个天体之间的距离L与某一天体的运行轨道半径r的不同。。。 。。。只 有明确的把握这些类近而相关的知识点的异同时才能正确的分析求解卫星问题。

二、难点突破策略:
(一)明确卫星的概念与适用的规律: 1、卫星的概念: 由人类制作并发射到太空中、能环绕地球在空间轨道上运行(至少一圈)、用于 科研应用的无人或载人航天器,简称人造卫星。高中物理的学习过程中要将其抽象为 一个能环绕地球做圆周运动的物体。 2、适用的规律:

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牛顿运动定律、万有引力定律、开普勒天体运动定律、能量守恒定律以及圆周运 动、曲线运动的规律、电磁感应规律。。。。。均适应于卫星问题。但必须注意到“天 上”运行的卫星与“地上”运动物体的受力情况的根本区别。

(二)认清卫星的分类:
高中物理的学习过程中, 无须知道各种卫星及其轨道形状的具体分类, 只要认清地球 同步卫星(与地球相对静止)与一般卫星(绕地球运转)的特点与区别即可。 (1) 、地球同步卫星: ①、同步卫星的概念:所谓地球同步卫星,是指相对于地球静止、处在特定高度的轨道 上、具有特定速度且与地球具有相同周期、相同角速度的卫星的一种。 ②、同步卫星的特性: -5 不快不慢------具有特定的运行线速度 (V=3100m/s) 特定的角速度 、 (ω =7.26x10 ra d/s )和特定的周期(T=24 小时) 。 7 不高不低------具有特定的位置高度和轨道半径,高度 H=3.58 x10 m, 轨道半径 7 r=4.22 x10 m. 不偏不倚------同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上, 轨道中心与地心 重合,只能‘静止’在赤道上方的特定的点上。 证明如下: 如图 4-1 所示, 假设卫星在轨道 A 上跟着地球的自转同步地匀速圆周运动, 卫星运动 的向心力来自地球对它的引力F引,F引中除用来作向心力的F1 外,还有另一分力F2,由 于F2 的作用将使卫星运行轨道靠向赤道,只有赤道上空,同步卫星才可能在稳定的轨道 上运行。 由 G ? Mm ? m? 2 R 得 R ? 3 GM R2 ?2 ∴h=R-R 地 是一个定值。(h 是同步卫星距离地面的高度) 因此,同步卫星一定具有特定的位置高度和轨道半径。 ③、同步卫星的科学应用: 同步卫星一般应用于通讯与气象预报, 高中物理中出现的通讯卫星与 气象卫星一般是指同步卫星。 图 4-1 (2) 、一般卫星: ①、定义: 一般卫星指的是,能围绕地球做圆周运动,其轨道半径、轨道平面、运行速度、运 行周期各不相同的一些卫星。 ② 、卫星绕行速度与半径的关系: 、 由G
Mm v2 ? m r r2

得: v ?

GM r



v?

1 r

(r 越大 v 越小)

③ 、卫星绕行角速度与半径的关系: 、

由 G M m ? m? 2 r 得: ? ?
r2
Mm ? 2? ? ? mr ? ? r2 ? T ?

GM r3

即?

?

1 r3

; 越大ω 越小) (r

④ 、卫星绕行周期与半径的关系: 、
2

? r (r 越大T越大) 由 得: , (3)双星问题 两颗靠得很近的、质量可以相比的、相互绕着两者连线上某点做匀速圆周运的星体,叫
G
3

T ?

4? 2 r 3 GM 即 T

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做双星. 双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动, 其向心力由两恒星间的万有引 力提供.由于引力的作用是相互的,所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的,因两子 星绕着连线上的一点做圆周运动,所以它们的运动周期是相等的,角速度也是相等的,线速 度与两子星的轨道半径成正比.

(三)运用力学规律研究卫星问题的思维基础:
①光年,是长度单位,1 光年= 9.46×1012 千米

??
②认为星球质量分布均匀,密度

M 4 V ? ? R3 2 V ,球体体积 3 ,表面积 S ? 4? R

③地球公转周期是一年(约 365 天,折合 8760 小时) ,自转周期是一天(约 24 小时) 。 ④月球绕地球运行周期是一个月(约 28 天,折合 672 小时;实际是 27.3 天) ⑤围绕地球运行飞船内的物体,受重力,但处于完全失重状态。 ⑥发射卫星时,火箭要克服地球引力做功。由于地球周围存在稀薄的大气,卫星在运行 过程中要受到空气阻力,动能要变小,速率要变小,轨道要降低,即半径 变小。 ⑦视天体的运动近似看成匀速圆周运动, 其所需向心力都是来自万有 引力,
2 2 即 mg ? ? G Mm ? ma向 ? m v ? mr? 2 ? mr 4? ? m?v 2 2

同 步 轨 道 B 地球 A

r

r

T

应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。 ⑧天体质量M、密度ρ 的估算: 测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径 r 和周期T,
2 2 3 由 G Mm ? m? 2? ? r 得: M ? 4? r , ? ? M ? ? ? 2 2

图 4-2

r

? T ?

GT

V

3?r 3 (当卫星绕天体表面 GT 2 R 3

运动时,ρ =3π /GT ) ⑨发射同步通讯卫星一般都要采用变轨道发射的方法:点火,卫星进入停泊轨道(圆形 轨道,高度 200—300km) ,当卫星穿过赤道平面时,点火,卫星进入转移轨道(椭圆轨 道) ,当卫星达到远地点时,点火,进入静止轨道(同步轨道) 。如图 4-2 所示。 ⑩明确三个宇宙速度: 第一宇宙速度(环绕速度) :v=7.9 千米/秒; (地球卫星的最小发射速度) 第二宇宙速度(脱离速度) :v=11.2 千米/秒; (卫星挣脱地球束缚的最小发射速度) 第三宇宙速度(逃逸速度) :v=16.7 千米/秒。 (卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度) 人造卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的, 但是发射高度大的卫星克 服地球的引力做功多,所以将卫星发射到离地球远的轨道,在地面上的发射速度就越大。

2

三、运用力学规律研究卫星问题的基本要点
1、必须区别开普勒行星运动定律与万有引力定律的不同 (1) 开普勒行星运动定律 开普勒第一定律: 所有行星围绕太阳运动的轨道均是椭圆, 太阳处在这些椭圆轨道 的一个公共焦点上。

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开普勒第二定律(面积定律):太阳和运动着的行星之间的联线,在相等的时间内 扫过的面积总相等。 开普勒第三定律(周期定律):各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道 的半长轴的立方成正比。若用 r 表示椭圆轨道的半长轴,用 T 表示行星的公转周期,则 有 k=r3/T2 是一个与行星无关的常量。 开普勒总结了第谷对天体精确观测的记录, 经过辛勤地整理和计算, 归纳出行星绕 太阳运行的三条基本规律。开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容。开普勒定律 为万有引力定律的提出奠定了理论基础, 此三定律也是星球之间万有引力作用的必然结 果。 (2)万有引力定律 万有引力定律的内容是: 宇宙间一切物体都是相互吸引的, 两个物体间的引力大小, 跟它们的质量的乘积成正 比,跟它们间的距离的平方成反比。 万有引力定律的公式是: F= G

m1 m2 - , (G=6.67×10 11 牛顿·米 2/千克 2,叫作万有引力恒量) 。 r2

万有引力定律的适用条件是: 严格来说公式只适用于质点间的相互作用, 当两个物体间的距离远远大于物体本身大 小时公式也近似适用,但此时它们间距离 r 应为两物体质心间距离。 (3)开普勒行星运动定律与万有引力定律的关系: 万有引力定律是牛顿根据行星绕太阳 (或恒星) 运动的宇宙现象推知行星所需要的 向心力必然是由太阳对行星的万有引力提供, 进而运用开普勒行星运动定律推导发现了 万有引力定律. 开普勒行星运动定律是万有引力定律的理论基础。 开普勒行星运动定律从轨道形状、运动速度、转动周期、轨道半径等方面描述、揭 示了行星绕太阳(或恒星)运动的宇宙现象,表明了天体运动运动学特征和规律。万有 引力定律是从行星转动所需要的向心力来源与本质上揭示了行星与太阳 (或恒星) 以及 宇宙万物间的引力关系,描述的是行星运动的动力学特征与规律。 例 1:世界上第一颗人造地球卫星环绕地球运行轨道的长轴比第二颗人造地球卫星环绕 地球轨道的长轴短 8000km, 第一颗人造地球卫星环绕地球运转的周期是 96.2min,求第 一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴和第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期 (已 24 知地球质量M=5.98X10 kg).

【审题】本题中第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴与第二颗人造地球卫星环
绕地球运转的周期均是待求量, 仅由开普勒行星运动定律难以求解。 因此可以假想有一 颗近地卫星环绕地球运行,由万有引力提供向心力的关系求出引卫星的 R3/T2,又由开 普勒第三定律知,所有绕地球运行的卫星的 r3/T2 值均相等,只要把假想卫星的 R3/T2 题中的二卫星的 r3/T2 值相比较即可求得结论。

【解析】假想有一颗近地卫星环绕地球运行,由于万有引力提供向心力,则 GMm/R2=m4π 2 R /T2 解之得 K= R3/T2=GM/4π 2,
再设第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴为 a, 第二颗人造地球卫星环绕地球运转的 周期为 T,由开普勒第三定律得 K =(a/2) /T1 =(a/2+4000) /T2 7 由以上二式得,a=1.47×10 m. T2=96.3 min.
3 2 3 2

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【总结】由于此题中有两个待求物理量,单纯地运用万有引定律或开普勒行星运动定 律难以求解,故而联立两个定律合并求解。同时,再假想有一颗近地卫星环绕地球运行,由 万有引力提供向心力的关系求出卫星的 R3/T2, 由开普勒第三定律得知所有绕地球运行的卫 3 2 星的 r /T 值均相等,找出等量关系即可求解。这种‘虚拟’卫星的思路十分重要,也是此 题求解的‘切入口’。
例 2: 如图 4-3 所示, 在均匀球体中, 紧贴球的边缘挖去一个半径为 R/2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大?

【解析】 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部 分对质点的引力之和,即可求解完整的均质球体对球外质点 m 的引力
图 4-3 此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力 F1 与半径 为 R/2 的小球对近质点的引力 F2 之和,即 F=F1+F2。因为半径为 R/2 的小球质量 M′ =

Mm Mm 4 R 3 1 ,所以挖去球穴后的剩余 ?G ? ( ) ? ? ? M ;则 F2 ? G 2 3 2 8 (d ? R / 2) 8(d ? R / 2) 2

部分对球外质点 m 的引力为:

【总结】 如果先设法求出挖去球穴后的重心位置, 然后把剩余部分的质量集中于这 个重心上,应用万有引力公式求解.这是不正确的.万有引力存在于宇宙间任何两个物

体之间,但计算万有引力的简单公式

F ?G

m1m2 r 2 却只能适应于两个质点或均匀的球

体。挖去空穴后的剩余部分已不再是均质球了,故不能直接使用上述公式计算引力。 2、必须区别开普勒第三行星定律中的常量 K 与万有引力定律中常量 G 的不同 (1)开普勒第三定律中的常量 K: 开普勒第三定律中的常量 K= r3/T2,对于行星与太阳的天体系统而言,常量 K 仅与 太阳的质量有关而与行星的质量无关。 此规律对于其它的由 ‘中心天体’ ‘环绕天体’ 与 组成的天体系统同样适用。常量 K 仅由‘中心天体’的质量决定而与‘环绕天体’的质 量无关。‘中心天体’相同的天体系统中的常量 K 相同,‘中心天体’不同的天体系统 的常量 K 也不同。“K= r3/T2=常量”的伟大意义在于启发牛顿总结、发现了万有引力 定律。 (2)万有引力定律中的常量 G: 万有引力定律中的常量 G 是由万有引力定律 F= G
-11 2

r2/m1m2,数值是 G=6。67×10 Nm2/Kg .是卡文迪许扭秤实验测出的,适用于宇宙 间的所有物体。 万有引力定律中的常量 G 的测定不仅证明了万有引力的存在, 更体现了 万有引力定律在天文研究中的巨大价值。 (3)常量 K 与常量 G 的关系:

m1 m2 变形求出的,G=F r2

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常量 K 与常量 G 有如下关系,K= GM/4π ,或者 G=4π /GM。K 的值由‘中心 天体’的质量而定,而常量 G 则是一个与任何因素无关的普适常量。 例 3:行星绕太阳运转的轨道是椭圆,这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道, 试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星, 绕太阳公转轨道半径的 立方与运转周期的平方的比值为常量。论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适 用于地球与月球的系统?

2

2

【审题】 本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时,只要运用万有引力
定律和向心力公式即可证明得出结论。

【解析】 因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供,设太阳质
量为 M,行星的质量为 m,行星绕太阳运转轨道的半径为 r,运行周期为 T,则,

GMm/r2=m4π 2r/T2,故,r3/T2=GM/4π 2,即,K= GM/4π 2。
显然,由于太阳质量一定,K 的数值仅由太阳质量 M 决定,与其它因素无关。这一结 论适用于地球与月球系统,也适用于其它‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统。

【总结】开普勒第三定律中的常量 K 与万有引力定律中的常量 G 的 2 2 这种关系(K= GM/4π ,或者 G=4π /GM)可以用来方便的求解卫星
类的问题,作为一种解题的‘切入口’应在解题过程中予以重视。 3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同 (1)地球对地面物体的万有引力:地面上的物体所受地球引力的大 小均由万有引力定律的公式 F= G

m1 m2 决定,其方向总是指向地心。 r2

图 4-4

(2)地面物体所受的重力: 处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的,其大小为 mg,方向竖直向下 (绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心”。 ) 地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。 在地球的两极上最大, 在地球 赤道上最小,随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大-----这种现象不是‘超重’ ,应该与 ‘超重’现象严格区别开来。 2 以地球赤道上的物体为例,如图 4-4 所示,质量为 m 的物体受到的引力为 F=GMm/R , 因此物体与地球一起转动,即以地心为圆心,以地球半径为半径做匀速圆周运动,角速度即 与地球的自转角速度相同, 所需要的向心力为 F 向=mω R =mR4π /T .因地球自转周期较大, F 向必然很小,通常可忽略,故物体在地球两极 M 或 N 上时其重力等于受到的万有引力。 一般说来,同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小,
2 2 2

有时可以近似认为重力等于万有引力,即 mg= G

m1 m2 。 r2 m1 m2 ,而物体在距星体表面高度为 h r2

在任何星体表面上的物体所受的重力均是 mg= G 处的重力为 mg’=Gm1m2/(r+h)
2

(3)地面物体随地球自转所需的向心力: 由于地球的自转,处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动,所需向 心力由万有引力提供,大小是 F 向=mω 2r=mr4π 2/T2(ω 是地球自转角速度,r 是物体与地轴

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间的距离,T 是地球的自转周期),其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体,这一向心力 在赤道时最大,F 大=mω 2R(R 是地球半径) ;在两极时最小,F 小=0。 因地球自转,地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运 动,这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用,物体 做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供,受力分析如图 4-5 所示. 实际上,物体受到的万有引力产生了两个效果,一个效果是维 持物体做圆周运动,另一个效果是对地面产生了压力的作用,所以 可以将万有引力分解为两个分力:一个分力就是物体做圆周运动的 向心力,另一个分力就是重力,如图 4-5 所示.这个重力与地面对 图 4-5 物体的支持力是一对平衡力.在赤道上时这些力在一条直线上. 当在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时, 由万有引力定律和 牛顿第二定 律可得其动力学关系为 G

Mm 4? 2 ? N ? mR? 2 ? ma向 ? mR 2 ,式中 R、M、 R2 T

? 、T 分别为地球的半径、质量、自转角速度以及自转周期。
当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零,即 N=0,这时物体 做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来 的条件是: 由地球对物体的万有引力提供向心力。 以上的分析对其它的自转天体也是同样适 用的。 (4)万有引力、重力、向心力三者间的关系: 地面物体随地球自转所需向心力 F 向=mω r=mr4π /T 由万有引力 F 引=GMm/R 提供, F 向是 F 引的一个分力,引力 F 引的另一个分力才是物体的重力 mg,引力 F 引是向心力 F 向和 重力 mg 的合力,三者符合力的平行四边形定则,大小关系是 F 引≥mg>F 向。 例 4:已知地球半径 R=6.37×106m.地球质量 M=5.98×1024Kg,万有引力常量 G=6.67×10-11 Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量 m=1Kg 的物体对弹簧秤的拉力多大?
2 2 2

【审题】对物体受力分析如图 4-6 所示,弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体
竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力。

【解析】在赤道附近处的质量 m=1Kg 的物体所受地球的万有引力为 F=GMm/R2=6.67×10-11×5.98×1024×1/ (6.37×106)2 N=9.830N 2 2 2 此物体在赤道所需向心力为 F 向=mω R=mR4π /T = 2 X 3.14 2 6 1×( ) ×6.37×10 N=0.0337 N。 24X 60X 60
此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为 F
拉=F-F


=(9.830-0.0337)N

图 4-6

=9.796N。
由牛顿第三定律可知,物体对弹簧秤的拉力为 F 拉=9.796N。亦即物体所受到的重力 也是 9.796N。 【总结】由计算可知,引力 F=9.830N 远大于向心力 F 向=0.0337 N,而物体所受重力 9.796N 与物体所受的万有引力 F=9.830N 相差很小,因而一般情况下可认为重力的大小等于 万有引力的大小。但应该切记两点:①重力一般不等于万有引力,仅在地球的两极时才可有 大小相等、方向相同,但重力与万有引力仍是不同的两个概念。②不能因为物体随地球自转 所需要的向心力很小而混淆了万有引力、重力、向心力的本质区别。

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例 5:地球赤道上的物体重力加速度为 g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为 a,要使赤 道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) 倍 A.

a g

B.

g?a a

C.

g ?a a

D.

g a

【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律,以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质 为‘切入口,’即可求出地球转动的角速度。 【解析】设地球原来自转的角速度为 ?1 ,用 F 表示地球对赤道上的物体的万有引力, N 表 示 地 面 对 物 体 的 支 持 力 , 由 牛 顿 第 二 定 律 得 F ? N ? mR?1 ? ma
2

① 由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有 N ? G ? mg ②

当赤道上的物体 “飘” 起来时,只有万有引力提供向心力, 设此时地球转动的角速度为 ?2 , 有 F ? mR ? 2
2



联立①、②、③三式可得

?2 ? ?1

g?a ,所以正确答案为 B 选项。 a

【总结】当赤道上的物体“飘”起来时,是一种物体、地球之间接触与脱离的临界状态, 地球对物体的支持力为零, 只有万有引力完全提供向心力, 只要正确运用牛顿第二定律和万 有引力定律列式求解即可。 例 6:假设火星和地球都是球体,火星的质量M火和地球质量M地之比M火/M地=p,火星的半 径R火和地球半径R地之比R火/R地=q,那么离火星表面R火高处的重力加速度和离地球表面 R地高处的重力加速度之比等于多少? 【审题】解题时要明确以下二点: 一、 因为已知火星的质量M火和地球质量M地之比M火/M地=p 以及火星的半径R火和地球 半径R地之比R火/R地=q,故可以运用比例法进行求解。 二、所求的是离火星表面R火高处的重力加速度和离地球表面R 地高处的重力加速度之 比,而不是火星表面与地球表面的重力加速度之比。 【解析】 物体的重力来自万有引力, 所以离火星表面R火高处: g 火 =GM火· m ? m/(2R火)2
2 2 ? ? ? g 火 = GM 火 / 4R火 。离地对表面R地高处:m g 地 =GM地·m/(2R地)2, g 地 = GM 地 / 4 R地

2 2 ? ? ∴ g 火 / g 地 = M 火 / M 地 · R地 / R火 =P/q2

【总结】 由于引力定律公式中只有乘法与除法,故可以运用比例法进行求解。对星球 表面上空某处的重力加速度公式 g ? ?

?R ? h?2

GM

? R ? ?? ? g ,也可以这样理解:g′和 ? R?h?

2

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星球质量成正比和该处到球心距离的平方成反比。? 4、必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同 对于天体质量的测量, 常常是运用万有引力定律并通过观测天体的运行周期 T 和轨道 半径 r(必须明确天体的运行周期 T 和轨道半径 r 是研究卫星问题中的两个关键物理量), 把天体或卫星的椭圆轨道运动近似视为匀速圆周运动, 然后求解。 但是必须区别天体系统中 ‘中心天体’与‘环绕天体’的不同。 所谓‘中心天体’是指位于圆周轨道中心的天体,一般是质量相对较大的天体;如,恒 星、行星等等。所谓‘环绕天体’是指绕着‘中心天体’做圆周运动的天体或者卫星以及人 造卫星,一般是质量相对较小的天体或卫星。此种方法只能用来测定‘中心天体’的质量, 而无法用来测定‘环绕天体’的质量。这是解题时必须注意的。 (1)根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由天体表面上的重力 加速度和天体的半径求天体的质量,其公式推证过程是: 由 mg=G

R2g Mm 得 M ? .(式中 M、g、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力 G R2

加速度和天体的半径. ) (2)根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径,求中心天体的质量 卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供,利用牛顿第二定律得

Mm v2 4? 2 2 G 2 ?m ? mr? ? mr 2 r r T
若已知卫星的轨道半径 r 和卫星的运行周期 T、角速度 ? 或线速度 v,可求得中心天体 的质量为 M ?

rv 2 4? 2 r 3 ? 2 r 3 ? ? G G GT 2

例 7:已知引力常量 G 和以下各组数据,能够计算出地球质量的是: A. 地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离 B. 月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离 C. 人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期 D. 若不考虑地球的自转,已知地球的半径与地面的重力加速度

【审题】此题中的目的是求解‘地球’的质量,其关键在于题中所给四个情景中“地球”
是否是一个‘中心天体’.若地球是一个‘中心天体’,则可在题中所给的四个情景中找到 以地球为‘中心天体’、以‘月球’或‘卫星’为运‘环绕天体’的系统,再运用万有引力 定律和匀速圆周运动的规律联合求解。 此外, 还要注意到每一个选项中给定的两个物理量能 否用得上,只有做好这样的分析判断之后,解题才能事半功倍。解此题关键是要把式中各字 母的含义弄清楚,要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径. 【解析】 对 A 选项。此选项之中“地球绕太阳运转”,给定的条件是”地球绕太阳的运转 周期”和”地球与太阳之间的距离”。显然此处的”中心天体”是太阳而非地球,地球是一个”环 绕天体”, 而已知的是地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径,只能求出太阳的质量,因 此无法计算出地球的质量。故 A 选项错误. 对 B 选项。在此选项中,月球绕地球运转,月球是“环绕天体” ,而地球是“中心天体” , 且已知月球绕地球的运转周期 T 和月球与地球之间的距离 r,由万有引力定律与匀速圆周运

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动的规律可得

GMm 4? 2 4? 2 r 3 ? m 2 r ,故有地球质量为 M= ,显然,式中的各量均为已 r2 T GT 2

知量,即地球质量由此式可计算出来。故 B 选项正确。 对 C 选项。在此项中人造地球卫星是“环绕天体“,而地球则是中心天体,又已知人造 地球卫星的运行速度 v 和运动周期 T,由万有引力定律与匀速圆周运动规律可得

GMm mv 2 GMm 4? 2 ? ?m 2 , 和 又因为此人造地球卫星是”近地 “卫星, h<<R, 则 ( R ? h ) 2 R ? h ( R ? h) 2 T

GMm mv 2 ? 可 视 为 h ≈ 0 , 必 有 R+h ≈ R , 则 以 上 两 式 可 分 别 化 为 ----- ① 和 R R2
Gmm 4? 2 ? 2 R -----②, R2 T
又由于 v=

4?R 3 2?r ,代入①式(当然也可以代入②式)可得,地球的质量为 M= 。 GT 2 T

显然此式中的量均为已知。即可由此式计算出地球质量。故 C 选项正确。 对 D 选项。可以运用虚拟物体法计算地球的质量。假设有一个在地面上静止的物体, 对其运用万有引力定律可得:

gR 2 GMm , M= 则 。 其中的 g 为地面上的重力加速度, ? mg G R2

R 为地球半径,均为已知,可以由此计算出地球质量。故 D 选项正确。

【总结】 对于天体的质量是通过测量计算得到的,而不是通过称量获得。首先要明确,
这种方法只能用来计算“中心天体”的质量,而不能计算“环绕天体”的质量。其次还必须 明确利用题中所给的天文数据能否计算出被测天体的质量。 只有满足这两方面面的要求, 才 可以运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律计算求得天体的质量。 5、必须区别卫星的运行速度与发射速度的不同

GMm v2 GM ? m 可得 v= 对于人造地球卫星,由 ,这个速度指的是人造地球卫星 2 r r r
在轨道上稳定运行的速度。其大小仅随轨道半径 r 的增大而减小,与卫星的质量、形状等因 素无关。只要卫星能运行在半径为 r`的轨道上,其运行的速度就必须是而且也只能是 v=

GM ,此式是人造地球卫星稳定运行速度的决定公式。 r

人造地球卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的, 由于人造地球卫星的 发射过程中必须克服地球引力做功, 从而增大了卫星的引力势能, 故要将卫星发射到距地球 越远的轨道,需要克服地球的引力做功就越多,在地面上需要的发射速度就要越大。其发射 速度的具体数值由预定轨道的高度决定,在第一宇宙速度(7.9 km/s)和第二宇宙速度(11. 2 km/s)之间取值。要明确三个宇宙速度均指发射速度。而第一宇宙速度(7.9 km/s)既是 卫星的最小发射速度又是卫星的最大运行速度。

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人造地球卫星的三个发射速度分别是: 第一宇宙速度(环绕速度) :v=7.9 千米/秒; (地球卫星的最小发射速度) 第二宇宙速度(脱离速度) :v=11.2 千米/秒; (卫星挣脱地球束缚的最小发射速度) 第三宇宙速度(逃逸速度) :v=16.7 千米/秒。 (卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度) 例 8:1999 年 5 月 10 日,我国成功地发射了“一箭双星” ,将“风云一号”气象卫星和“实 验五号”科学实验卫星送入离地面高 870km 的轨道。这颗卫星的运行速度为( ) A、7.9km/s B、11.2 km/s C、7.4 km/s D、3.1 km/s 【审题】 题目中叙述的是人造地球卫星的“发射”与“运行” ,考查的是人造地球卫星 的“发射速度”与“运行速度”的物理意义。此题给出的四个速度中有三个具有特定的物理 意义。只要明确这三个特殊速度的物理意义,此题求解也就十分容易。此题可有两种不同的 解法, 一是, 根据题中的三个特殊速度而作出判断; 二是根据题中给出的卫星高度 h=870km 和其他的常量计算出此卫星的实际运行速度,即可选出正确答案。 【解析】 (方法一)判断选定法 对选项 A,v=7.9km/s 的速度是地球的第一宇宙速度,是发射速度。以此速度发射的人 造地球卫星会以 v=7.9km/s 的速度环绕地球低轨道运行。其轨道半径近似等于地球半径, 即 r≈R 地,不会处在 h=870km 的轨道上。故 A 选项错误。 对选项 B,v=11.2km/s 是地球的第二宇宙速度,是发射速度,以此速度发射的人造地球 卫星会脱离地球的引力范围,飞到距地球的“无限远处” (在理论上此卫星的轨道半径 r=∞, 其绕地球运行速度 v=0) ,不会稳定运行在 h =870km 的轨道上,故 B 选项错误。 对选项 C,v=7.4km/s<7.9km/s(第一宇宙速度) ,则肯定是卫星的运行速度。但是否以 此速度运行的卫星就一定处在 h=870km 的轨道上?还要计算判定。然而,由于又在“D 选 项中”有 v=3.1km/s 是地球同步卫星运行速度,而同步卫星的轨道高度是 36000km 而不是 870km。故运用排除法即可得知 C 选项正确。 对选项 D,v=3.1km/s 必然是同步卫星的运行速度,而同步卫星的轨道高度是距地球赤 道地面 36000km ,而不是 870km。故 D 选项错误。 (方法二)计算选定法 由于地球的万有引力提供了人造地球卫星的向心力,故得

GMm v2 ?m ,则 ( R ? h) ( R ? h) 2

有 v=

GM ,代入引力常量 G=6.67×10-11 Nm2/Kg2,地球质量 M=5.98×1024Kg,地球半 R?h

径 R=6400km 和卫星的轨道高度 h=870km。 可得 v=7.4km/s, 即此卫星的运行速度为 7.4km/s。 故 C 选项正确。 【总结】 以上两种方法相比,显然是前一种“判断选定法”更为简捷方便,但是要熟 知题中给的各个速度的含义, 只要排除不合理的答案即可得到正确答案。 如果要运用计算选 定法,则需要进行繁杂的数值计算,稍有不慎不仅会影响解题速度甚至还会导致错误。故而 注重选择题的解答技巧十分重要。 6、必须区别由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同 针对天体(行星,卫星)和人造地球卫星的运行问题(包括线速度、周期、高度 ) , 可以看作匀速圆周运动,从而运用万有引力定律。这类“天上”的物体作匀速圆周运动的向

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心力仅由万有引力提供。 对于地面物体, 其重力由万有引力产生, 若忽略随地球自转的影响, 则其重力等于万有引力。由于 “天上”的物体(如行星、卫星)与地面上的物体虽然遵守 相同的牛顿力学定律, 但也有本质的区别, 通常在解决卫星问题时要特别注重以下三个等量 关系: 若万有引力提供向心力,则有 GMm/r2 =ma 向 若重力提供向心力, 则有 mg= ma 向 若万有引力等于重力, 则有 GMm/r2 =mg 以上三式不仅表现形式有异,而且其物理意义更是各有不同,必须注意区别辨析。同时 因向心加速度 a 向又具有多种不同的形式,如 a 向 =v2/r =ω 2r= 4π 2 r/T2 ……则可以得以下 几组公式: (1)由 GMm/r2 =ma 向 得 。 GMm/r2 =ma 向→a 向=GM/r2→a 向∝1/r2 GMm/r2 =m v2/r→v = GM

r

→v∝1/ r

GMm/r2 =mω 2r→ω =

GM 3 →ω ∝1/ r 3 r
r3 3 →T∝ r GM

GMm/r2=m4π T 2 r/T2→T=2π

对于以上各式, “中心天体” (如地球)一定,则其质量 M 是一定的。因此“环绕天 体” (卫星)绕其做匀速圆周运动的向心加速度 a 向、运行速度 v、运行角速度ω 、运行周期 T 仅与距离 r 有关。即以上各量仅由距离 r 即可得出,故以上各式可称之为 “决定式” 。这 组决定式适应于用 “G、M、r”表示待求物理量的题目。 (2)由 mg= ma 向可得

mg= ma 向→a 向=g mg= m v2/r→v= gr →v∝ r mg= mω 2r→ω =

g →ω ∝1/ r r
r →T∝ r g

mg= m4π 2 r/T2→ T=2π

以上各式之中,作匀速圆周运动的物体(如卫星)的运行速度 v、角速度ω 、周期 T 由距离 r 和重力加速度 g 共同决定。其中的“g“也是一个随距离 r 而变化的变量,而不能 认为是一个恒量。这组公式是由 GMm/r2 =mg 的代换关系得到的,一般适应于已知“g、r” 而不知“G、M”的题目。 (3)由 GMm/r2 =mg 得,对于地面上的物体可由 r=Ro (Ro 为地球半径),g=go(go 为地球 表面的重力加速度)若忽略地球自转,则有 GMm/ R2o =m go。即 GM= go R2o——此即所谓 的“黄金代换”,可用来作为“G、M”与“go 、Ro”之间的等量代换。----------这一关系在 解题中经常用到。 例 9: (2006年五市区联考)设有两颗人造地球卫星的质量之比为 m1:m2 =1:2,其运

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行轨道半径之比为R1:R2 =3:1,试求此两颗卫星运行的: ①线速度之比,②角速度之比,③周期之比,④向心加速度之比。 【审题】根据此题要求求解的四个“比”值,其给定的已知条件中的“m1:m2 =1: 2”是无用的“干扰项” ,只须运用已知条件“R1:R2 =3:1”即可求解,但是必须注 意所用公式。 因为只是已知两颗卫星的轨道半径的比例关系, 故而求解时也只能选用上面 (1) 中的“决定式” ,而不能选用(2)中的公式。 【解析】人造地球卫星在轨道上运行时,所需要的向心力等于地球的万有引力,由F引 =F向可得, ①

GMm/r2 =m v2/r,则 v = GM

r

所以,

V1 ? V2 V1 ? V2

R2 ? 1/ 3 。 R1 R2 = 3 1 ,显然这是错误 R1

如果此处运用了 v=

gr ,而认为 v∝ r ,则可得到

的。因为对于这两颗卫星而言其公式 v=

gr 中的“g”是不同的。
3 R2 R13

? GM ② 因为 GMm/r =mω r,有ω = ,故, 1 ? 3 ?2 r
2 2



1 27

;如果此

处运用公式ω =

? R2 1 g 而认为ω ∝1/ r ,则可得, 1 ? = ,显然也是错 ?2 R1 r 3

误的。其原因仍是忘掉了式中“g” 的不同。
③ 因为 GMm/r =m4π r/T , T=2π 则,
2 2 2

33 R13 r3 T1 27 , 故有 = = 3 = 。 3 GM 1 1 T2 R2

如果此处运用了 T=2π

R1 T 3 r ? 而认为 T∝ r ,则得 1 = ,显然也是错误的。其 R2 1 g T2
2 a1 R2 12 ? 2 ? 2 =1/9。如果此处运 a 2 R1 3

原因仍是忘掉了式中“g” 的不同。 ④

GMm/r2=ma

向,则

a 向=GM/r2

故有,

用了 a 向=g 而认为 a

向轨道半径无关, 则得

a1 g ? ? 1 ,必 a2 g

然错误,其原因仍是忘掉了式中“g”的不同。 【总结】 在求解天体(如,行星、卫星等)的圆周运动时, 由于圆周运动的特点以及“黄金代换”关系(GM=go R2o) 的存在, 会使得圆周运动中的同一个物理量有多种不同形式的 表达式。如,对于线速度就有 v = GM

r

、v=

gr 、V=

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图4-7

ω r、V=2π r/T???等多种形式。在解题时除了要明确这些公式的不同意 义和不同条件之外,还必须依据题意有针对性的选取运用,同时还必须牢记“黄 金代换”关系式 GM=go R2o 的重要性。
7、必须区别赤道轨道卫星、极地轨道卫星与一般轨道卫星的不同 人造地球卫星从轨道取向上一般分为三类:赤道轨道、极地轨道和一般轨道。 所谓赤道轨道卫星, 是指这种卫星的轨道处在地球赤道的平面之内, 卫星距赤道地面具 有特定的高度,其运行速度由公式 v = GM

r

可求得。而在实际当中只有处在 36000km

高空的赤道轨道上,且只有与地球自转方向相同的卫星才能与地球相对静止,称之为“同步 卫星” ,如图 4-7 所示。如果其转向与地球自转反向,则就不能称之为“同步卫星”了。另 外,发射地球同步卫星时,为了节省能量,其发射地点应尽量靠近赤道,以借助地球的自转 线速度。地球同步卫星具有“轨道不偏不倚”“高度不高不低”、 “速度不快不慢”的六不特 、 性。如图 4-7 所示 。 所谓极地轨道卫星,是指卫星的轨道平面始终与太阳保持相对固定的取向.其轨道平面与 地球赤道平面的夹角接近 90 度。 卫星可在极地附近通过,故又称为近极地太阳同步卫星。如图 4-7 所示.这种卫星由于与 地球之间有相对运动,可以观测,拍摄地球上任一部位的空中,地面的资料。1999 年 5 月 10 日 我国”一箭双星”发射的”风云一号”与”风云二号”气象卫星中的”风云一号”就是这种极地轨道 卫星。 所谓一般轨道卫星是指轨道平面不与某一经线平面重合(赤道平面除外)的人造地球卫 星。 以上三种轨道卫星共同特点是轨道中心必须与地心重合,是以地心为圆心的”同心圆”., 没 有与地球经线圈共面的轨道(赤道平面除外)。 例 10: (2000 年全国春季高考)可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( ) A 与地球表面上某一纬度线(赤道除外)是共面的同心圆 B 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面的 C 与地球表面上的赤道线是共面同心圆,而且相对地球表面是静止的 D 与地球表面上的赤道线是共面同心圆, 但卫星相对地球表面是运动的 【审题】此题重在判断人造地球卫星的轨道取向与地球的经度线平面,纬度线平面,赤道 平面的关系.在辨析,判断时必须明确以下几点: 1 作匀速圆周运动的卫星必定是无动力飞行,其轨道中心必然在地球中心。 2 人造地球卫星的轨道有三种:赤道轨道,极地轨道,一般轨道。 3 地球同步卫星的运行轨道与位置高度等方面的特点。 只要依据以上几方面的特点即可辨析选择出正确答案。 【解析】 对 A 选项,人造地球卫星运行时,是地球对它的万有引力提供向心力,而此向心力的方向 必定指向地心,即所有无动力飞行的卫星轨道的圆心一定与地球中心重合,不能是地轴上(除 地心之外)的某一点。故 A 项错误. 对 B 项,由于地球绕地轴在自转,所以卫星的轨道平面不可能与经度线所决定的平面共 面.故 B 项是错误的。 对 C 项,相对地球表面静止的卫星就是”同步卫星”,它必须处在赤道圈平面,且距离赤道 地面有确定的高度,高度 H=36000 千米,其运行速度必须是 V=3.1km/s.运行周期与地球自转周

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期相同.故 C 项正确。 对 D 选项,如果卫星所在的高度低于或高于 h=36000km 时,便不再是地球同步卫星。虽 然还可以使轨道处于地球赤道平面之内,但由于运转的周期与地球自转的周期不会相同,也就 会相对地面运动.这种卫星就是地球赤道轨道卫星,但不是地球同步卫星,故 D 项正确。

【总结】这是一个关于人造地球卫星运行轨道的问题,也是一个“高起点”、“低落
点”的题目,符合高考能力考察的命题思想.但是现行高中物理教科书中不会介绍的很具体, 对于这一类卫星轨道问题,也只能从卫星的向心力来源、运行轨道的取向以及同步卫星的特 点规律等方面分析判断.此处必须明确只有万有引力提供向心力. 8、必须区别“赤道物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的运动规律不同 地球同步卫星运行在赤道上空的“天上”,与地球保持相对静止,总是位于赤道的正上空, 其轨道叫地球静止轨道.通信卫星、广播卫星、气象卫星、预警卫星等采用这样的轨道极为 有利一颗静止卫星可以覆盖地球大约 40%的面积,若在此轨道上均匀分布 3 颗卫星,即可 实现全球通信或预警.为了卫星之间不互相千扰,大约 30 左右才能放置 1 颗,这样地球的 同步卫星只能有 120 颗.可见,空间位置也是一种资源。 其绕地球做匀速圆周运动所需的向心力完全由万有引力提供.即

GMm 此同 ? ma卫 。 ( R ? h) 2

步卫星与其内部的物体均处于完全失重状态。地球同步卫星具有以下特点: 轨道取向一定: 运行轨道平面与地球赤道平面共面. 运行方向一定: 运行方向一定与地球的自转方向相同. 运行周期一定: 与地球的自转周期相同,T=86400s, 位置高度一定: 所在地球赤道正上方高 h=36000km 处 运行速率一定: v=3.1km/s,约为第一宇宙速度的 0.39 倍. — 运行角速度一定: 与地球自转角速度相同,ω =7.3 ×10 5rad/s。 地球同步卫星相对地面来说是静止的。 地球赤道上的物体,静止在地球赤道的”地上”与地球相对静止,随地球的自转绕地轴做匀 速圆周运动.地球赤道上的物体所受地球的万有引力,其中的一个力提供随地球自转所做圆周 运动的向心力,产生向心加速度 a 物 ,引力产生的另一效果分力为重力,有

GMm -mg=m a 物 R2

(其中 R 为地球半径)。 近地卫星的轨道高度、运行速度、角速度、周期等,均与同步卫星不同,更与“赤道上 的物体”不可相提并论。 “赤道上的物体”与“地球同步卫星”的相同之处是:二者具有与地球自转相同的运转 周期和运转角速度,始终与地球保持相对静止状态,共同绕地轴做匀速圆周运动; “近地卫星” 与 “地球同步卫星” 的相同之处是: 二者所需要量的向心力均是完全由地球的万有引力提供。 例 11: (2004年北京模拟) 设地球半径为 R,地球自转周期为 T,地球同步卫星距赤道地面的 高度为 h,质量为 m,试求此卫星处在同步轨道上运行时与处在赤道地面上静止时的:①线速 度之比, ②向心加速度之比,③所需向心力之比。 【审题】 此题的求解关键在于明确地球同步卫星与地球赤道上物体的不同特点及其各 自遵守的规律.必须明确一个在“天上”,一个在“地上”,其所受万有引力产生的效果不同,必须 依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求解。

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【解析】 由于卫星在同步轨道运行时与处在赤道平面上静止时, 具有相同的运转角速度, 则可得 ① 二者的线速度之比为

V同 V赤

?

?(R ? h) R ? h = 。 ?R R
? ω 2(R+h)/ω 2.R=

②二者的向心速度之比为

a同 a赤

R?h 。 R R?h 。 R

③二者所需要的向心力之比

F同 F赤

? mω 2(R+h)/mω 2.R=

显然,由以上解答可知,此三个比值均为

R?h ,又由于地球同步距地面高度为 h=3。6 R
R ? h 6.4 ? 10 6 ? 3.6 ? 10 7 ? 6.625 。 = 6.4 ? 10 6 R

×10 m,地球半径为 R=6.4×10 m.故此比值为

6

6

【总结】运用万有引力定律解题时,必须明确地区分研究对象是静止在”地面上”的物
体还是运行在轨道上(天上)的卫星?是地球的万有引力是完全提供向心力还是同时又使物 体产生了重力?这一点就是此类题目的求解关键。 此外, 还要特别注意到同步卫星与地球赤 道上的物体具有相同的运行角速度和运行周期。 例 12:设同步卫星离地心距离为 r,运行速率为 v1,加速度为 al,地球赤道上的物体随地 球自转的向心加速度为 a2,第一宇宙速度为 v2,地球半径为 R,下列关系中正确的有( )。 A、

a1 r = a2 R
V1 R = r V2

B、

R2 a1 = r2 a2

C、

D、

V1 =R/r V2

【审题】 此题的研究对象有三个:一是地球同步卫星;二是静止在赤道地面上的物体; 三是与第一宇宙速度相对应的近地卫星; 题中需要解析对比的物理量有两组:一是同步卫星的向心加速度 a1 和赤道上的静 止物体的自转向心加速度 a 2 ;二是同步卫星的运行速度 V1 和第一宇宙速度 V 2 。必须明 确求解卫星向心加速度的公式有多个,如,a= 运行速度的公式也有多个,如,v = GM

V2 GM 2 、a= 、a= ? r 等等;求解卫星 r r2

r

、 V=

gr 、V= ?r 等等。只要明确同步

卫星与赤道地面上的物体产生向心加速度的原因, 区别同步卫星的运行速度与第一宇宙 速度的不同,依据题中给定的已知条件, (卫星的轨道半径 r 和地球的半径 R) ,再正确 选择公式解答,即可得到正确答案。 【解析】 对选项 A,由于同步卫星的向心加速度与赤道地面上的物体向心加速度的

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产生原因不同,对同步卫星是万有引力提供了向心力, 则:

GMm =m a1 ,---------------① r2 GMm 对于赤道物体: -N=m a 2 -----------------------②(式中的 N 是地面对物体的支持 R2
此处讨论的就是地球的自转,故,

力)

GMm ≠mg, R2

而是

a GMm = mg+m a向 .①②显然正确,但无法用来求得 1 的比值。 2 a2 R

又因为,同步卫星与赤道地面上的物体具有相同的角速度,则:
2 对同步卫星, a1 = ? r ;

2 对赤道地面上的物体, a 2 = ? R ,由此二式可得

a1 r = ,故选项 A 正确。 a2 R
GMm GM =m a1 得, 1 = 2 ; a 2 r r

对选项 B, 常见这样的解法: 因同步卫星在高空轨道, 则 对赤道地面上的物体,

GMm GM = m a 2 得, a 2 = 2 。 2 R R

以上二式相比得

a1 R 2 = 。其实,这是错误的,----―――这是一种典型的、常 a2 r 2
GMm = m a 2 的关系。实际 R2
GMm = m a 2 不成立,只 R2

见的错误。其原因是错误的对“赤道地面上的物体”运用了

上, “赤道地面上的物体”是在‘地’上,其随地球自转而需要的向心力并非完全由万 有引力提供,而是由万有引力与地面的支持力的合力提供,即 有

GMm = mg+m a 2 才是正确的。 R2
同步卫星是在“天”上,其需要的向心力完全由万有引力提供,式

GMm =m a1 是 r2

成立的。

a1 R 2 显然, = 是完全错误的,故选项 B 错误。 a2 r 2
GMm mV12 对选项 C,同步卫星需要的向心力完全由万有引力提供,则, = ,所以, r r2
V1 = GM
r


对于第一宇宙速度,有,

GMm mV22 GM ,则 V 2 = 2 R R R
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二式相比得:

V1 R = 。故选项 C 正确。 r V2

对选项 D, 因为第一宇宙速度是卫星的最小发射速度, 也是卫星的环绕速度, 但不是 “赤 道地面上的物体”的自转速度。如果忽视了此点而误认为“同步卫星”与“赤道地面上的物 体”具有相同的角速度,则必然会由公式 V= ?r 得出: 对同步卫星,V1= ?r 对赤道地面上的物体 V 2 = ?R 二式相比可得:

V1 r V r = 。此比值 1 = 的结论对于“同步卫星”和“赤道地面上的物 V2 R V2 R

体”的速度之比无疑是正确的,但是选项 D 中的 V 2 是第一宇宙速度而不是“赤道地面上的 物体”的自转速度。故选项 D 错误。 【总结】 求解此题的关键有三点: ①、在求解“同步卫星”与“赤道地面上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据
2 二者角速度相同的特点,运用公式 a= ? r 而不能运用公式 a=

GM 。 r2


②在求解“同步卫星”与“赤道地面上的物体”的线速度比例关系时,仍要依据二者 角速度相同的特点,运用公式 V= ?r 而不能运用公式 v = GM

r

③、在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时,因均是由万有引力 提供向心力,故要运用公式 v = GM

r

而不能运用公式 V= ?r 或 V=

gr 。很显然,此处

的公式选择是至关重要的。 9、必须区别天体的自身半径与卫星的轨道半径的不同 宇宙中的天体各自的体积是确定的,其体积的大小可用自身半径的大小进行表述,即体积 为 V=

4 π R3 , 而这个半径 R 与绕该天体作匀速圆周运动的卫星(包括人造卫星)的运行轨道 3

半径 r 却有本质的不同,卫星运行轨道半径 r=R+h (R 为所绕天体的自身半径,h 为卫星距该 天体表面的运行高度),卫星的轨道半径 r 总会大于所绕天体的自身半径 R。但,当卫星在贴 近所绕天体表面做近”地”飞行时,可以认为卫星的轨道半径 r 近似等于该天体的自身半径 R, 即 R≈r,这一点对估算天体的质量和密度十分重要. 例 13:已知某行星绕太阳公转的半径为 r,公转周期为 T 万有引力常量为 G,则由此可以求 出 ( ) A 此行星的质量 B 太阳的质量 C 此行星的密度 D 太阳的密度

【审题】此题要求解决的问题有两个,1、求行星或太阳的质量,2 、求行星或太阳的 密度.求解行星或太阳的质量而不能求出“环绕天体”的质量.在求解行星或太阳的密度时,

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必须综合运用密度公式 ? ?
2 2

M 4 3 2 和球体积公式 V= π R ,以及万有引力定律公式 GMm/r =m4 V 3

π r/T , 并明确给定的是行星的轨道半径 r 还是太阳的自身半径 R,然后依据已知条件求解. 【解析】对 A 项.因为此行星绕太阳转动,是一个”环绕天体”而不是”中心天体”,无法 用题中所给条件求出他的质量。故 A 选项错误。 对 B 选项,因为太阳是”中心天体”,依据运用万有引力定律求解天体质量的方法可得 GMm/r2 =m4π 2 r/T2 ,则有 M=

4? 2 r 3 。显然依据已知条件,运用此式可以计算出太阳的质 GT 2

量。故 B 选项正确. 对 C 选项,由 A 选项的分析可知,不能求出此行星的质量。并且只知此行星的轨道半 径 r 而不知此行星的自身半径 R,也就无法求出行星密度.故 C 选项错误.。 对 D 选项.因为在此题中,太阳是一个”中心天体”,求太阳质量的一般思路是:由万有 引力定律与匀速圆周运动规律得 GMm/r2=m4π 2 r/T2------ ①

4 -------② M ? ?? 3 ? 3 3? 由①②两式得太阳的密度为 ? ? 。然而,在此题中这是错误的,其错误的原因是 GT 2
由太阳的质量密度关系得 误把题中给出的行星绕太阳运行的轨道半径 r 当成了太阳的自身半径 R,这是极易出现的解 题错误。即此处不能求出太阳的密度。故 D 选项错误。 【总结】 要运行万有引力定律和匀速圆周运动规律计算天体的质量时, 必须明确研究对 象是一个“中心天体”还是一个“环绕天体” ,这种方法只能计算“中心天体”而不是“环 绕天体”的质量,要计算天体的密度时,必须明确只能计算“中心天体”的密度,同时还必 须知道此“中心天体”的自身半径R。如果把此题中的行星的轨道半径r误认为是太阳的自 身半径R,则必然会导致解题的错误。 例 14:假如一个作匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的 2 倍,仍作匀速 圆周运动,则: (A)根据公式 ,可知卫星运动的线速度将增大到原来的 2 倍。

(B)根据公式

,可知卫星所需的向心力将减小到原来的



(C)根据公式

,可知地球提供的向心力将减小到原来的



(D)根据上述(B)和(C)中给出的公式, 可知卫星运动的线速度将减小到原来的



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【审题】 解答这个问题不应靠想象和猜测, 而应通过合理的推导才能正确地选出答案。 在推导的顺序上, 可选择变量较少且不易出差错的选项入手。 本题所提供的选项中已罗列出 了各有关的公式,在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件,请注意以下内容:
一、在使用 分析问题时,不能只看到 r 与 v 的关系,还需考虑因 r 的变化而引 起的万有引力 F 的变化。

二、在使用

分析问题时,不能只看到 r 与向心力的关系,还需考虑万有引力

是否变化?线速度是否变化?

三、地球对人造卫星的引力是向心力的来源,应用

来计算;人造卫星绕地

球作圆周运动是向心力的效果,应用

来计算。

【解析】由于公式

中,G、M、m 都是不变的量,因此推导 F 和 r 的关系不易出

错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为 r1,所受到的地球引力为 F1;当人造地球卫星的 轨道半径增为 r2=2r1 时所受到的地球引力为 F2,则:

由此可知:选项(C)是正确的。 将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来,可以写出下列二式:





将 r2=2r1 代入②式可得:

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--------------------

-



将①、③两式相除可导出:

由此可知:选项(D)也是正确的。既然(D)是正确的,那么其结果不同的(A)显然是不正 确的。 “卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是正确的,那么 与其结果不同的(B) 显然是不正确的。 【总结】 由于圆周运动中同一物理的表达式可有多个形式, 故在解题过程中要注意公式 的正确选择,即便是一个公式,也要全面考虑这一待求物理量的所有公式,而不可‘只看一 点’ ,不计其余的乱套乱用。 10、必须区别两个天体之间的距离L与某一天体的运行轨道半径r的不同 此处“两个天体之间的距离L”是指两天体中心之间的距离,而“r”则是指某一天体 绕另一天体做匀速圆周运动的轨道半径。 若轨道为椭圆时, 则r是指该天体运动在所在位置 时的曲率半径。一般来说,L与r并不相等,只有对在万有引力作用下围绕“中心天体”做 圆周运动的“环绕天体”而言,才有L=r。这一点,对“双星”问题的求解十分重要。 “双星”系统中的两个天体共同围绕其中心天体连线上的一点而做的匀速圆周运动。不 存在“环绕”与“被环绕”的关系,与地球“绕”太阳和月球“绕”地球的运转情形截然不 同。因此,明确地区分“双星”之间的距离L与双星运转的轨道半径r的本质不同与内在关 系就更为重要。 例 15:天文学家经过用经过用天文望远镜的长期观测,在宇宙 中发现了许多“双星”系统.所谓“双星”系统是指两个星体组 成的天体组成的天体系统,其中每个星体的线度均小于两个星 体之间的距离。根据对“双星”系统的光学测量确定,这两个 星体中的每一星体均在该点绕二者连线上的某一点做匀速圆周 运动,星体到该点的距离与星体的质量成反比。一般双星系统 与其他星体距离较远,除去双星系统中两个星体之间的相互作 用的万有引力外,双星系统所受其他天体的因;引力均可忽略 图4-8
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不计。如图4-8所示。 根据对“双星”系统的光学测量确定,此双星系统中每个星体的质量均为 m,两者之间 的距离为 L。 (1)根据天体力学理论计算该双星系统的运动周期 T0. (2)若观测到的该双星系统的实际运动周期为 T,且有 T0 : T ? (N>1) 。为了解 N : 1,

释 T 与 T0 之间的差异,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在着一种用望远镜观 测不到的“暗物质” ,作为一种简化的模型,我们假定认为在这两个星体的边线为直径的球 体内部分布着这种暗物质, 若不再考虑其他暗物质的影响, 试根据这一模型理论和上述的观 测结果,确定该双星系统中的这种暗物质的密度。 【审题】 “双星系统”是一种比较特殊化、理想化的天体运动的模型,求解“双星” 问题时必须注意到双星之间的距离 L 与两球体各自作匀速圆周运动的轨道半径 r 的本质区别 与内在关系, 并建立双星的空间运动模型, 然后依据万有引力定律与匀速圆周运动的规律求 解即可。 【解析】 (1)由于“双星”的两个星体之间的万有引力提供二者的向心力,且因二者 的质量相等,故各自的运动半径均为

L ,设各自的运行速度为 v,由万有引力定律得 2

Gm 2 mV 2 Gm = ,即得 V= . 2 L/2 L 2L
周期得公式可得,双星得运动周期为 T0 = (2)此“双星”各在半径为 的周期为 T0 : T ?

2? .L / 2 2L = ?L V Gm

L 的圆形轨道上运动,由实际得天文观测知,其实际运行 2

(N>1) ,即实际运动周期 T< T0 ,表明“双星’还受到其他物质的 N : 1,

引力,且该引力必然指向圆心,由题可知,这一万有引力的来源必定时双星的范围之内均匀 分布的暗物质。把这种暗物质等效于总物质集中在圆心处的星体。如图4-8所示, 设考虑了暗物质的作用之后, 观测到的每个星体的运行速率为 V , 暗物质的总质量为 M, 由引力定律与圆周运动规律可得
'

Gm 2 GMm m (v ' ) 2 2?r G(4M ? m) ' + = ,则 V = 。又因 T= ,在半径 r 一定时,T 2 2 L/2 L V (l / 2) 2L
与 v 成反比。由题意得 T0 : T ? (N>1) ,则 N :1 ,

T0 = T

N V' Gm = ,把 V= 和 1 V 2L

V '=

N ?1 G(4M ? m) 代入此式可得暗物质得总质量为 M= m。 4 2L
又设所求暗物质的密度为ρ ,则“暗物质”质量 M=

4 N ?1 ? ( L / 2) 3 ? = m ,所以, 3 4

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ρ =

3( N ? 1) m。 2?L3

【总结】 此题中出现的“双星” “暗物质”均式很新颖的名词,是天文学的一种模型。 求解“双星”问题必须把握几个要点: ①运用等效抽象的思维建立“双星”运行的空间物理情景; ②运用逻辑思维的方法, 依据万有引力定律和匀速圆周运动的规律以及密度公式进行求 解。 11.必须区别人造地球卫星的圆周轨道与椭圆轨道的运行规律的不同 此处首先要明确人造地球卫星的发射速度和环绕速度, 环绕速度是指卫星在某一圆周轨 道上做匀速圆周运动的运行速度,环绕速度并不仅指 7。9km/s. 要使人造地球卫星最终进入预定轨道而稳定运 行,要经过火箭推动加速——进入停泊轨道(圆周运 动)——再次点火变轨——进入转移轨道(椭圆轨道) ——开启行星载动力——进入预定轨道(圆周轨道)等 过程。 卫星的预定运行轨道均是圆周轨道, 卫星在此轨道 上做匀速圆周运动,万有引力完全提供向心力,卫星 图4-9 处于无动力稳定运行(其漂移运动此处暂略)的状态。 当发射速度大于 7。9km/s 而小于 11。2km/s 时, 卫星则做椭圆运动逐渐远离地球,由于地球引力的作用,到达远地点 P 后,又会沿椭圆轨道 面到近地点 Q,如图 4-9 所示。在椭圆轨道的某一位置上,卫星所受地球的万有引力 F引 可 以分解为切向分力 F切 (产生卫星的切向加速度)和沿法线方向的分力即向心力 F向 (产生 卫星的向心加速度) 。卫星在由近地点 Q 向远地点 P 运动的过程中做加速度和线速度都逐渐 减小的减速运动; 而由远地点 P 向近地点 Q 运行的过程则是加速度和线速度逐渐增大的加速 运动,椭圆轨道是将卫星发射到预定轨道之间的一个过渡轨道。 例 16: (1998 年上海高考)发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地圆形轨道 1,然后经 点火使其沿椭圆轨道 2 运行,最后再次点火将卫星送入同步轨道 3。轨道 1、2 相切于 P 点 如图4-10所示, 则当卫星分别在 1、 3 轨道上正常运行时, 2、 以下说法正确的是 ( ) A.卫星在轨道 3 上的运行速率大于轨道 1 上的速率 B.卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 3 上的角速度 C.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上 经过 Q 点时的加速度 D.卫星在椭圆轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度 【审题】此题是一个“高起点、低落点”的题目,涉及到了 人造地球卫星的发射和运动中的线速度、角速度、向心加速度 的基本知识.这是一个把卫星发射到预定轨道上去的情景模型. 求解此题需要运用牛顿定律、万有引力定律和匀速圆周运动的 图4-10 规律,必须明确以下几点: ①只有在圆周轨上才会有万有引力定律完全提供向心力;

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②卫星的轨道半径与卫星到地心的距离是不同的; ③在比较卫星在不同轨道上的角速度、线速度、加速度时要注意选用不同的公式. 【解析】 A 选项.此选项比较的是卫星的线速度.由于万有引力提供卫星的向心力,则有 对

GMm/r2 =m v2/r,所以 v = GM

r

;因轨道 1 的圆半径小于轨道 3 的圆半径,故此卫星在

轨道 1 上的速度大于卫星在轨道 3 上的速度.故 A 选项错误. 对 B 选项.此选项求的是卫星的角速度,由于万有引力提供卫星的向心力,则有 GMm/r
2

=mω 2r ,所以ω =

GM ,因轨道 1 的圆半径小于轨道 3 上的圆半径,故此卫星在轨道 1 上 r3

的角速度大于在轨道 3 上的角速度.故 B 选项正确. 对 C 选项.Q 点是圆周轨道 1 与椭圆轨道 2 的相切点,Q 点即在圆周轨道 1 上又在椭圆轨 道 2 上,Q 点到地心的距离 r 一定.由于万有引力提供向心力,则有 GMm/r =m a向 ,所以 a向
2

=GM/r2.显然,卫星在圆周轨道 1 上的 Q 点和在椭圆轨道 2 上的上的 Q 点时具有的向心加速
度均是 a向 =GM/r .故 C 选项错误. 对 D 选项.由上面的讨论可知,因为圆周轨道 3 上的 P 点与椭圆轨道 2 上的 P 点是同一 点,P 点到地心的距离是一定的,由 a向 =GM/r 得,其在 P 点得向心加速度是相同的.故 D 选 项正确. 【总结】此题是人造地球卫星的发射与运行的题目.解答此题时,明确此卫星在各个轨道 上的速度大小十分重要.设此卫星在轨道 1 上的 Q 点速度为 V1Q 、在轨道 2 上的 Q 点速度为
2 2

V2Q 、在轨道 2 上的 P 点速度为 V2 P 、在轨道 3 上的 P 点速度为 V3P ,因轨道 1 为近似圆形
轨道,其速度 V1Q =7。9km/s,因轨道 2 为椭圆轨道,故 V2Q >7、9km/s(但 V2Q <11。2km/s); 卫星在轨道 2 上由 Q 点到 P 点的过程中做减速运动,则有 V2 P < V2Q ;要卫星由轨道进入轨道 3 稳定的运行.则必须在轨道 2 上的 P 点启动卫星的发动机使之加速变轨至圆轨道 3 上,则必 有 V3P > V2 P .综合以上分析可得此四个速度的大小关系是 V2Q > V1Q > V3P > V2 P 。 在这里,明确把卫星发射到预定轨道的过程能够加深对此题意的理解. 同步卫星的发射有两种方法,一种是“垂直发射” ,是用火箭把卫星垂直发射到 36000km 的赤道上空,然后使之做 90 的旋转飞行,使卫星进入同步轨道.另一种方法是“变轨发射”, 即先把卫星发射到高度为 200km 至 300km 高处的圆形轨道上(也叫“停泊轨道”)。当卫星穿 过赤道平面时,末级火箭点火工作,使火箭进入一个大的椭圆轨道,其远地点恰好在赤道上 空的 36000km 处。此轨道叫做“转移轨道”.当卫星达到远地点时,启动卫星的发动机使之再 加速进入同步轨道(即稳定运行的预定的圆形轨道).第一种方法在全过程种,火箭推动卫星 处于“强动力”的飞行状态,必须消耗大量燃料,且要求在赤道上修建发射场,很不科学。 第二种方法,运载火箭的耗能较少,发射场地设置受限较小,但技术要求很高。目前人类发 射同步卫星均用第二种方法。
0

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12.必须区别地面物体的受阻减速与人造地球卫星的受阻变轨的不同 对于地面上做直线运动的物体而言,由运动学规律和牛顿第二定律可知,如果受到阻力 的作用,必然产生与运动速度方向相反的加速度而做减速运动,直到最后停止运动. 对于处在轨道上正常运行的人造地球卫星,由于是万有引力完全提供向心力,其速度由

GMm/r2 =m v2/r 得 v = GM
2

r

,
2

其加速度由 GMm/r =m a向 得 a向 =GM/r .显然,卫星的线速度 v 和加速度 a 均与轨道 半径 r 存在特定的关系.当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时,由运动学 的原理可知,此时卫星的速度就会瞬时减小。然而,此处最易出现的错误就是:既然卫星由 于阻力的作用其速度必然减小,则由 v = GM

r

可知,其轨道半径 r 变大,运行周期也将

变大,显然这是错误的. 导致这种错误的根本原因是,仅仅片面考虑了阻力的作用而遗忘了 还有万有引力的存在.这里要特别注意的是,决定人造地球卫星运动状态的主要因素是万有 引力而不是所受的阻力. 正确的分析思路是:由于阻力的作用,卫星的速度 v 必然减少,假定此时卫星的轨道半径 r 还未来得及变化,即有万有引力 F引 =GMm/r 也未变化;而向心力 F向 = m v /r 则会变小. 因此,卫星正常运行时“ F引 = F向 ”的关系则会变为“ F引 > F向 ” ,故而在万有引力作用下卫 星必做近地向心运动,从而使轨道半径 r 变小;又由公式 v = GM
2 2

r

可知,卫星的运行速度

必然增大.究其实质,此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功,重 力势能减少)为条件的. 例 17: (2000 年全国高考)某人造地球卫星因受高空稀薄气体的阻力作用,绕地球运转的轨 道会慢慢改变.某次测量中卫星的轨道半径为 r1 ,后来变为 r2 且 r1 > r2 。以 E K 1 、 E K 2 分别表 示卫星在这两个轨道的动能. T1 、 T2 分别表示卫星在这两个轨道绕地球运动的周期,则有 ( ) A. E K 1 < E K 2 B. E K 1 < E K 2 C. E K 1 > E K 2 D. E K 1 > E K 2

T2 < T1 T2 > T1 T2 < T1 T2 > T1

【审题】:求解此题必须明确以下几点: ①卫星动能的大小能代表速率的大小,其关系是动能 E K = 速率的大小来分析动能的大小.

1 mV 2 ,因而可以通过分析 2

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②决定卫星运动状态的主要因素是地球的万有引力而不是空气的阻力. ③就卫星的瞬时状态的变化而言,阻力的作用必然会使卫星的速度减小;但从一般变化 的过程来看,卫星的速度是增大的,这种“增大”是以其轨道高度的变小为条件的。 ④依据万有引力等于向心力的关系式 GMm/r
2

=m v2/r =m4π

2

r/T2 ,可得到 v

= GM

r

和 T=2π

r3 ,从而进行分析讨论即可。 GM

【解析】 当卫星受到空气阻力的作用时,其速度必然会瞬时减小,假设此时卫星的轨 道半径 r 还未变化,则由公式 F向 = m v /r 可知卫星所需要的向心力必然减小;而由于卫星 的轨道半径 r 还未来得及变化,由公式 F引 =GMm/r 得,卫星所受地球引力不变,则必有 “ F引 > F向 ” ,卫星必然会做靠近地球得向心运动而使轨道半径 r 变小.
2 2 由于万有引力提供向心力,则由 GMm/r =m v /r 得 v = GM 2 2

r

,显然,随着卫星轨道

半径 r 得变小,其速度 v 必然增大,其动能( E K =

1 mV 2 )也必然增大,故 E K 1 < E K 2 。又由于 2

GMm/r2 = m4π 2 r/T2 得 T=2π

r3 , 显然,随着卫星得轨道半径 r 得变小,其运行周期 GM

T 必然变小,即 T2 < T1 .故 C 选项正确. 【总结】 此题的本质是人造地球卫星的受阻而变轨变速的问题.其中存在着内在关系的物 理量就是卫星的动能 E K 、速度 v、周期 T 和轨道半径 r,要分析这些量的“连锁”变化情 形时,不能孤立地只看某一个量,而要抓住运动速度 v 这个最先、最易变化的关键量,然后 运用 v = GM 和 T=2π

r

r3 进行定量讨论. GM

13.必须区别地面直线运动的“追及”问题与航天飞机“对接”宇宙空间站的不同 对地面的直线运动而言,当两个运动物体发生追赶运动时,只要 “追赶物体” 的速度大于 “被追物体”的速度时即可追赶成功.且追赶成功时必有“追赶物体”与“被追物体”相对 于同一起点的位移相同。这是“追及问题”的必备条件。 对于航天飞机与宇宙空间站的 “对接” 其实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问 题,本质仍然是人造天体的变轨运行的变轨运行问题。 要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接” ,必须让航天飞机在较低轨道上加速,通过速 度 v 的增大——所需向心力 F向 增大——离心运动——轨道半径 r 增大——升高轨道的系列变速、 变轨过程而完成航天飞机与宇 宙空间站的成功对接。 如图4-11所示,是航天飞机宇宙空间站的对接轨道示 意图。其中轨道 1 是地球卫星的一个环绕轨道(圆形轨道) ,轨

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图4-11

道 3 是宇宙空间站的运行轨道,轨道 2 是一个长轴的两端点 Q、P 分别相切于轨道 1 与轨道 3 的椭圆轨道。航天飞机只有从预定的环形轨道 1 上的 Q 点,以一定的速度和加速度方式沿 轨道 2 的半个椭圆轨道运动,才能恰好在轨道 3 上的 P 点与宇宙空间站实现“对接” 。 例 18:在地球某一圆形轨道上运行的宇宙空间站,是适于人类长期生活的大型人造航天器。 “和平号”空间站是人类历史上发射的第九座空间站,其中设有工作舱、过渡舱、服务舱等 构件,自 1986 年 2 月进入太空轨道后先后与五个太空舱“对接”成功。15 年来, “和平号” 宇宙空间站先后同 90 多艘载人航天飞机及货运飞船成功对接, 总共接纳了 28 个长期考察组 和 30 个国际联合考察组,有 108 名宇航员登上了“和平号”空间站。 “和平号”空间站于 2001 年 3 月 23 日回收坠落入南太平洋。试回答下列问题。 宇航员乘坐航天飞机加速升空进入轨道与“和平号”空间站对接后才能进入空间站。航 天飞机为了追上并实现与空间站的成功对接,下列说法正确的是( ) A.只能从空间站同一轨道上加速 B.只能从较高轨道上加速 C.只能从较低轨道上加速 D.无论在什么轨道上加速均行 【审题】此题中的“宇宙空间站” “航天飞机”其实都是人造天体,当进入轨道运行时 与卫星一样遵守万有引力定律, 其向心力由万有引力提供。 要实现航天飞机与宇宙空间站的 “对接” ,既要考虑航天飞机的加速,又要依据公式 v = GM

r

分析航天飞机因加速导致

的变速、变轨、变向的问题。 【解析】 故对 A 选项。如果受直线运动中的物体追及的思维定势的影响,而让航天飞 机沿与宇宙空间站相同的轨道加速追赶并“对接” ,因速度 v 的增大必使向心力 F向 = m v /r 增大,使得“ F向 > F引 ” ,航天飞机做远离地球的离心运动而离开宇宙空间站所在的轨道, 无法实现与宇宙空间站的对接。故 A 选项错误。 对 B 选项。 如果让航天飞机从较高轨道上采用减小速度、 降低轨道而实现与宇宙空间站 的对接, 则不仅技术难以完成, 还应让航天飞行必须穿越宇宙空间站所在轨道而进入更高的 轨道,必然会消耗大量的能量,因而不可取。故 B 选项错误。 对 C 选项。因为要使航天飞机与宇宙空间站对接,首先必须加速“追赶” ,其次由于加 速必然导致其轨道半径的增大, 因而要实现航天飞机与宇宙空间站的成功对接, 就必须让航 天飞机从较低的轨道上加速, 并沿一条特定的椭圆轨道, 使之在宇宙空间站的轨道上实现对 接。故 C 选项正确。 对 D 选项。由以上的分析讨论可知, “无论在什么轨道上加速都行”是绝对不行的。故 D 选项错误。 【总结】 在太空中, 航天飞机与宇宙空间站的对接, 绝不同于地面上直线运动物体的 “追 及”问题,不可因定势思维而导致错误的理解。必须充分明确航天飞机由于加速度而导致的 变轨问题,进而明确只有让航天飞机从低轨道上加速才能完成对接。
2

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难点之五
一、难点形成原因:

功与能

1、对功的概念及计算方法掌握不到位 高中学生刚接触矢量与标量,对功有正负但又是标量不能理解,而在计算的时候,又不 能准确应用公式 W ? Fl cos? ,误以为计算功套上该公式就万事大吉,岂不知该公式一般 仅仅适用于恒力做功。 2、不能灵活运用动能定理 动能定理是高中物理中应用非常广泛的一个定理,应用动能定理有很多优点,但是同学 对该定理理解不深,或者不能正确的分析初、末状态,或者不能正确的求出合外力的功,或 者不能正确的表示动能变化量,导致对该规律的应用错误百出。 3、对守恒思想理解不够深刻 在高中物理学习过程中,既要学习到普遍适用的守恒定律——能量守恒定律,又要学习 到条件限制下的守恒定律——机械能守恒定律。 学生掌握守恒定律的困难在于: 对于能量守 恒定律,分析不清楚哪些能量发生了相互转化,即哪几种能量之和守恒;而对于机械能守恒 定律,又不能正确的分析何时守恒,何时不守恒。 4、对功和能混淆不清 在整个高中物理学习过程中,很多同学一直错误的认为功与能是一回事,甚至可以互相 代换,其实功是功,能是能,功和能是两个不同的概念,对二者的关系应把握为:功是能量 转化的量度。

二、难点突破:
1、加深对功概念的理解、掌握功的常用计算方法 功是力对位移的积累,其作用效果是改变物体的动能,力做功有两个不可缺少的因素: 力和物体在力的方向上的位移,这两个因素同时存在,力才对物体做功。尤其要明确,功虽 有正负,但功是标量,功的正负不表示方向,仅仅是表示力做正功还是克服力做功。 功的常用计算方法有以下几种: (1)功的公式: W ? Fl cos? ,其中 l cos? 是力的作用点沿力的方向上的位移,该公 式主要用于求恒力做功和 F 随 l 做线性变化的变力功(此时 F 须取平均值) (2)公式 W ? Pt ,适用于求恒力做功,也适用于求以恒定功率做功的变力功。 (3)由动能定理 W ? ?EK 求恒力做功,也可以求变力做功。 (4)根据 F-s 图象的物理意义计算力对物体做的功,如图 5-1 所示,图中阴影部分面积 的数值等于功的大小, 但要注意, 横轴上方的面积表示做正功, 横轴下方的面积表示做负功。 (5)功是能量转化的量度,由此,对于大小、方向都随时变化的变力 F 所做的功,可

图 5-1 以通过对物理过程的分析,从能量转化多少的角度来求解。

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例 1:如图 5-2 所示,质量为 m 的小物体相对静止在楔形物体的倾角 为 θ 的光滑斜面上,楔形物体在水平推力 F 作用下向左移动了距离 s, 在此过程中,楔形物体对小物体做的功等于( ). A.0 B.mgscosθ C.Fs D.mgstanθ 图 5-2 【审题】在审查该题时,一定要注意到两点:一是小物体与楔形物体相对静止,二是接触 面光滑。 【解析】因为接触面光滑,所以小物体只受重力和斜面的支持力,又小物体随楔形物体一 起向左移动,故二力合力方向水平向左,即重力和支持力的竖直分力平衡,小物体所受的合 外力就是楔形物体对小物体支持力的水平分力,该力大小为 mgtanθ,又物体向左移动了距 离 s,所以做功为 mgstanθ,答案应选 D。 【总结】 利用楔形物体对小物体的支持力的竖直方向的分力与重力平衡条件, 可求出支持 力的大小,从而求出支持力的水平分力大小。 例 2:一辆汽车在平直公路上从速度 v0 开始加速行驶,经时间 t 后,前进了距离 s,此时恰好 达到其最大速度 vmax,设此过程中发动机始终以额定功率 P 工作,汽车所受阻力恒为 F,则在 这段时间里,发动机所做的功为( ). A.Fs B.Pt C.

1 2 1 mv max+Fs- mv02 2 2

D.F·

vmax ? v0 ·t 2

【审题】审题中要注意到,此过程中发动机始终以额定功率工作,这样牵引力大小是变化 的,求牵引力的功就不能用公式 W ? Fl cos? ,而要另想他法。 【解析】 因为发动机额定功率为 P, 工作时间为 t,故发动机所做的功可表示为 Pt, 正确; B 还要注意到求发动机的功还可以用动能定理,即 W- Fs = mv2max+Fs-

1 1 1 mv2max- mv02,所以 W= 2 2 2

1 mv02 ,C 正确,所以本题答案应选 BC。 2

【总结】本题易错之处就在于容易把牵引力分析成恒力,而应用 W=Fs 求解。 例 3: 用铁锤将一铁钉击入木块, 设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁 锤击第一次时,能把铁钉击入木块内 1 cm.问击第二次时,能击入多少深度?(设铁锤每次 做功相等) 【审题】可根据阻力与深度成正比这一特点,将变力求功转化为求平均阻力的功,进行等 效替代,也可进行类比迁移,采用类似根据匀变速直线速度-时间图象求位移的方式,根据 F-x 图象求功. 【解析】解法一: (平均力法) 铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功,但摩擦阻 力不是恒力,其大小与深度成正比,F=f=kx,可用平均阻力 来代替. 如 图 5-3 所 示 , 第 一 次 击 入 深 度 为 x1, 平 均 阻 力

F1 =

1 1 kx1,做功为 W1= F1 x1= kx12. 2 2
第二次击入深度为 x1 到 x2,平均阻力 F2 =

1 k(x2+x1), 2

图 5-3

位移为 x2-x1,做功为 W2= F2 (x2-x1)=

1 k(x22-x12). 2

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两次做功相等:W1=W2. 解后有:x2= 2 x1=1.41 cm, Δ x=x2-x1=0.41 cm. 解法二: (图象法) 因为阻力 F=kx,以 F 为纵坐标,F 方向上的位移 x 为横坐标, 作出 F-x 图象(如图 5-4 所示) ,曲线上面积的值等于 F 对铁钉做的功。 由于两次做功相等,故有: S1=S2(面积) ,即:

1 1 kx12= k(x2+x1) 2-x1), (x 2 2
所以Δ x=x2-x1=0.41 cm 图 5-4 【总结】利用平均力求力做的功,或者利用 F-x 图象求面积得到力 做的功,这两种方法应用不多,但在探究问题时应用较大,比如探究 弹簧弹力做功的特点就可以用这两种方法。 2、深刻理解动能定理,充分利用其优越性 动能定理不涉及物体运动过程中的细节, 因此用它处理某些问题一般要比应用牛顿第二 定律和运动学公式更为方便, 同时它还可以解决中学阶段用牛顿运动定律无法求解的一些变 力问题和曲线运动问题, 因此能用动能定理解决的问题 (尤其是不涉及加速度和时间的问题) 应尽量用动能定理解决。 应用动能定理解决问题时,要注意以下几点: (1) .对物体进行正确的受力分析,一定要做到不漏力,不多力。 (2) 分析每个力的做功情况, . 弄清每个力做不做功, 是做正功还是负功, 总功是多少。 (3) 有的力不是存在于物体运动的全过程, . 导致物体的运动状态和受力情况都发生了 变化,物体的运动被分成了几个不同的过程,因此在考虑外力做功时,必须看清该力 在哪个过程做功,不能一概认为是全过程做功。 (4) .当物体的运动由几个物理过程组成时,若不需要研究全过程的中间状态时,可以 把这几个物理过程看成一个整体过程, 从而避免分析每个运动过程的具体细节, 这时 运用动能定理具有过程简明、方法巧妙、计算简单等优点。 例 4:一列火车由机车牵引沿水平轨道行使,经过时间 t,其速度由 0 增大到 v。已知列车总 质量为 M, 机车功率 P 保持不变, 列车所受阻力 f 为恒力。 求: 这段时间内列车通过的路程。 【审题】以列车为研究对象,水平方向受牵引力 F 和阻力 f,但要注意机车功率保持不变, 就说明牵引力大小是变化的,而在中学阶段用功的定义式求功要求 F 是恒力。 【解析】以列车为研究对象,列车水平方向受牵引力和阻力,设列车通过路程为 s。根据 动能定理:

1 WF ? W f ? Mv 2 2

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【总结】发动机的输出功率 P 恒定时,据 P = F·V 可知 v 变化,F 就会发生变化,牵引 力 F 变化,a 变化。应对上述物理量随时间变化的规律有个定性的认识,下面通过图象给出 定性规律。 (如图 5-5 所示)

图 5-5 例 5:某地强风的风速是 20m/s,空气的密度是 ? =1.3kg/m3。一风力发电机的有效受风面积 为 S=20m2,如果风通过风力发电机后风速减为 12m/s,且该风力发电机的效率为? =80%, 则该风力发电机的电功率多大? 【审题】 风通过风力发电机后速度减小说明风的动能转化为电能, 但要注意到减少的动能 并没有全部转化为电能,还有一个效率问题。 【解析】风力发电是将风的动能转化为电能,讨论时间 t 内的这种转化,这段时间内通过 风力发电机的空气是一个以 S 为底、v0t 为高的横放的空气柱,其质量为 m= ? Sv0t,它通过 风力发电机所减少的动能用以发电,设电功率为 P,则

1 2 1 1 2 Pt ? ( mv0 ? mv2 )? ? ?Sv0 t? (v0 ? v 2 ) 2 2 2
代入数据解得 P=53kW 【总结】解决该类问题,要注意研究对象的选取,可以选择 t 时间内通过风力发电机的空 气为研究对象, 也可以选择单位时间内通过风力发电机的空气为研究对象, 还可以选择单位 长度的空气为研究对象。 例 6:如图 5-6 所示,斜面倾角为 θ,滑块质量为 m,滑块与斜面 的动摩擦因数为 μ, 从距挡板为 s0 的位置以 v0 的速度沿斜面向上滑 行.设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力,且每次与 P 碰撞前后的 速度大小保持不变,斜面足够长.求滑块从开始运动到最后停止滑 行的总路程 s. 图 5-6 【审题】该题中滑块初速度沿斜面向上,而且是一个多次碰撞问 题, 所以不可能用运动学公式解决, 而每次碰撞没有能量损失就暗示了可以考虑应用动能定 理。 【解析】选取滑块为研究对象,因为重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力,所以滑块最终一 定停在挡板上,在此过程中,只有重力和摩擦力对滑块做功,故由动能定理可得:

1 mgs0 sin ? ? ?mg cos? s ? 0 ? mv02 2

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所以:s=

s 0 tan?

?

?

2 v0 2?gcos?

【总结】取全过程进行分析,应用动能定理解决该问题,可使该问题大大简化,但一定注 意分析力做功的特点, 此题中, 重力做正功且与路径无关, 摩擦力总做负功, 与路程成正比。 3、紧扣守恒条件,抓住初末状态,体现守恒法优越性 在物理变化的过程中, 常存在着某些不变的关系或不变的量, 在讨论一个物理变化过程 时, 对其中的各个量或量的变化关系进行分析, 寻找到整个过程中或过程发生前后存在着的 不变关系或不变的量, 则成为研究这一变化的过程的中心和关键。 这就是物理学中最常用到 的一种思维方法——守恒法。高中阶段涉及到的守恒量主要有普遍意义的“能量”和条件限 制下的“机械能” ,这里主要阐述一下机械能守恒定律的应用。 首先是机械能是否守恒的判断, 这是能否应用机械能守恒定律的前提。 机械能守恒的条 件是:只有重力或弹力做功。这句话本身很笼统,事实上可以这样理解,要分析一个物体机 械能是否守恒,可先对该物体进行受力分析,若该物体只受重力或弹力作用,则该物体机械 能一定守恒,若受到其他的力,则看其他力是否做功,若其他力不做功,则机械能也守恒, 若其他力也做功,再看这些力做功的代数和是否为零,若做功的代数和为零,则机械能同样 守恒。有时对系统来讲,力做功的情况不好判断,还可从能量转化角度来判断,若系统内只 有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化,则系统的机械能守恒。 判断清楚机械能守恒后, 就可以根据机械能守恒的表达式列方程解决问题了, 机械能守 恒的表达式主要有以下几种: (1) EK1 ? EP1 ? EK 2 ? EP2 即机械能守恒的过程中,任意两个状态的机械能总量相 等。 (2) ?EK ? ??EP 即机械能守恒时,系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或 增加)的势能。 (3)?EA ? ??EB 即由两部分 A、 组成的系统机械能守恒时, 部分增加 B A (或减少) 的机械能等于 B 部分减少(或增加)的机械能。 以上各式均为标量式,后两个表达式研究的是变化量,无需选择零势能面,有些问题利 用它们解决显得非常方便,但一定要分清哪种能量增加,哪种能量减少,或哪个物体机械能 增加,哪个物体机械能减少。 而对于能量守恒定律可从以下两个角度理解: (1)某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能量增加,且减少量和增加量一定相等。 (2)某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。 例 7:如图 5-7 所示,一根长为 l 的轻绳,一端固定在 O 点,另一端拴 一个质量为 m 的小球.用外力把小球提到图示位置,使绳伸直,并在过 O 点的水平面上方,与水平面成 30°角.从静止释放小球,求小球通过 O 点正下方时绳的拉力大小。 O 【审题】对本题要进行层层深入的分析方式,不要忽视了悬绳从伸直 图 5-7 到对小球有拉力为止的短暂过程中,机械能的损失,不能直接对小球从 初位置到末位置列机械能守恒的方程求最低点速度。 【解析】选小球为研究对象,其运动过程可分为三个阶段如图 5-8 所示: (1)从 A 到 B 的自由落体运动.

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图 5-8

据机械能守恒定律得:mgl=

1 mvB2 2

(2)在 B 位置有短暂的绳子对小球做功的过程,小球的速度由竖直向下的 vB 变为切向的 vB′,动能减小. 则有:vB′=vBcos30° (3)小球由 B 点到 C 点的曲线运动,机械能守恒 则有:

1 1 mvB/2+mgl(1-cos60°)= mvC2 2 2
2

在 C 点由牛顿第二定律得

v T-mg=m C l

联立以上方程可解得: T=

7 mg 2

【总结】在分析该题时一定要注意绳在绷紧瞬间,有机械能损失,也就是说整个过程机械 能并不守恒, 不能由全过程机械能守恒定律解决该问题, 但是在该瞬间之前和之后的两个过 程机械能都是守恒的,可分别由机械能守恒定律求解。 例 8:如图 5-9 所示,有一根轻杆 AB,可绕 O 点在竖直平面 内自由转动,在 AB 端各固定一质量为 m 的小球,OA 和 OB O 的长度分别为 2a 和 a,开始时,AB 静止在水平位置,释放后, B AB 杆转到竖直位置,A、B 两端小球的速度各是多少? 【审题】因为两小球固定在轻杆的两端,随杆一起转动时, 它们具有相同的角速度,则转动过程中,两小球的线速度与半 径成正比。同时要注意到两小球在转动过程中,杆对它们都做 图 5-9 功,即对每个小球来说,机械能并不守恒。 【解析】两小球组成的系统与外界没有能量转化,该系统机 械能是守恒的,故对该系统从水平到竖直的过程中可由机械能守恒定律得:

A

1 1 2mga ? mga ? mvA2 ? mvB 2 2 2
又: vA ? 2vB

vA ? 2
所以可解得:

2 ga 5 2 ga 5

vB ?

【总结】该题的关键之处在于,对每个小球来讲机械能并不守恒,但对两小球组成的系统 来讲机械能是守恒的。 例 9:如图 5-10 所示,皮带的速度为 3m/s,两圆心距离 s=4.5m, 现将 m=1kg 的小物体轻放在左轮正上方的皮带上,物体与皮带间的动 摩擦因数为μ =0.15,电动机带动皮带将物体从左轮正上方运送到右轮 图 5-10 正上方时,电动机消耗的电能是多少? 【审题】在审题过程中要分析清楚小物体何时速度达到与传送带相

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同,二者速度相同之后,小物体就做匀速直线运动。即小物体在从左上方运动右上方的过程 中可能一直做匀加速直线运动,也可能先做匀加速直线运动,后做匀速直线运动。 【解析】物体在相对滑动过程中,在摩擦力作用下做匀加速直线运动,

F ? ? g ? 1.5m / s 2 , m v 3 相对滑动时间 t ? ? s ? 2s a 1.5 1 1 物体对地面的位移 s ? at 2 ? ? 1.5 ? 22 m ? 3m 2 2 1 1 摩擦力对物体做的功 W1 ? mv 2 ? ? 1 ? 9 J ? 4.5J 2 2
则a ? 物体与皮带间的相对位移 l ? vt ? s ? ? 3 ? 2 ? 3? m ? 3m 发热部分的能量 W2 ? ?mgl ? 0.15 ?1?10 ? 3J ? 4.5J 从而,由能量守恒可得电动机消耗的电能为 E ? W ? W2 ? 9J 1 【总结】在该题中,根据能量守恒可知,电动机消耗的电能最终转化为物体的动能和系统 产生的热能,只要求出物体增加的动能和系统增加的热能就不难求出电动机消耗的电能。 4、理解功能关系,牢记“功是能量转化的量度” 能是物体做功的本领,功是能量转化的量度;能属于物体,功属于系统;功是过程量, 能是状态量。做功的过程,是不同形式能量转化的过程:可以是不同形式的能量在一个物体 转化,也可以是不同形式的能量在不同物体间转化。力学中,功和能量转化的关系主要有以 下几种: (1) .重力对物体做功,物体的重力势能一定变化,重力势能的变化只跟重力做的功有 关: WG ? ??EP ,另外弹簧弹力对物体做功与弹簧弹性势能的变化也有类似关系:

WF ? ??EP 。
(2) .合外力对物体做的功等于物体动能的变化量: W合 ? ?EK ——动能定理。 (3) .除系统内的重力和弹簧弹力外,其他力做的总功等于系统机械能的变化量:

W其他力 ? ?E ——功能原理。

例 10:一质量均匀不可伸长的绳索,重为 G,A、B 两端固定在天花板上,如图 5-11 所示, 今在最低点 C 施加一竖直向下的力将绳拉至 D 点,在此过程中, 绳索 AB 的重心位置( ) A.逐渐升高 C.先降低后升高 B.逐渐降低 D.始终不变 图 5-11

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【审题】在 C 点施加竖直向下的力将绳拉至 D 点,则外力对绳做正功。 【解析】在 C 点施加竖直向下的力做了多少功就有多少能量转化为绳的机械能,又绳的 动能不增加,所以绳的重力势能增加了,即绳的重心位置升高了,所以本题正确答案为 A。 ? 【总结】功是能量转化的量度,对绳做了功,绳的能量一定增加,此能量表现为重力势 能增加。

例 11:如图 5-12 所示,质量为 m 的小铁块 A 以水平速度 v0 冲上质量为 M、长为 l 、置于 光滑水平面 C 上的木板 B,正好不从木板上掉下,已知 A、B 间的动摩擦因数为 μ,此时木 板对地位移为 s,求这一过程中: (1) (2) (3) (4) 木板增加的动能; 小铁块减少的动能; 系统机械能的减少量; 系统产生的热量。

图 5-12 【审题】 在此过程中摩擦力做功的情况是: 和 B 所受摩擦 A 力分别为 F1、F2,且 F1=F2=μmg,A 在 F1 的作用下匀减速,B 在 F2 的作用下匀加速;当 A 滑动到 B 的右端

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