tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编5 数列 文


2013 届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编 5:数 列

一、选择题 1 . (2013 届全国大纲版高考压轴卷数学文试题(一) )设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若 S10 ? S1 ? 1 ,则 S11 等于 A. ( C. )

10 9

B.

11 9

11 10

D.

6 5

【答案】B 2 .( 2013 届 四 川 省 高 考 压 轴 卷 数 学 文 试 题 ) 若 等 比 数 列 {an } 满 足

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3

,

a12 ? a2 2 ? a32 ? a4 2 ? a5 2 ? 12

,

则 ( )

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 的值是
A. 3 【答案】C 3 . (2013 届全国大纲版高考压轴卷数学文试题(二) )己在等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,若 B. ? 3 C.4 D.2

a4 a6 ? 24, a2 ? a8 ? 10 ,则该数列的前 n 项和 S n 的最大值为
A. 50 【答案】B 4 B. 45 C. 40 D. 35





.( 2013 届 湖 南 省 高 考 压 轴 卷 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 :

a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) ,则 a12 ?
A.2 -1 【答案】C
10

( C.2 -1
12



B.2 -1

11

D.2 -1

13

5 . (2013 届山东省高考压轴卷文科数学)如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么

a1 ? a2 ? ? ? a7 ?
A.14 【答案】C B.21 C.28 D.35





【解析】因为 a3 ? a4 ? a5 ? 12

,所以

a4 ? 4 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 7a4 ? 28 .

6 . (2013 届浙江省高考压轴卷数学文试题)若数列 an ? 的通项公式是 an ? (??)g(?n ? ?) ,
1

?

则 a? ? a? ? L a?? ? A.15 B.12 C. ??? D. ???





【答案】A 【解析】a1+a2=a3+a4==a9+a10=3,故所求和=3×5=15.选 A 二、填空题 7 . (2013 届北京市高考压轴卷文科数学)已知等差数列{ an }中, a3 ? a5 =32, a7 ? a3 =8,则 此数列的前 10 项和 S10 =_____ 【答案】190【解析】由 a7 ? a3 ? 4d ? 8 ,解得 d ? 2 ,由 a3 ? a5 ? 32 ,解得 a1 ? 10 .所 以 S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d ? 190 . 2

8 . (2013 届上海市高考压轴卷数学(文)试题)在等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1 ,前 5 项的和

S5 ? 25 ,则 a2013 ? _______________.
【答案】 4025 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , S5 ? 25 ? 5a1 ?

5? 4 d ? 5 ? 10d , 解 得 d ? 2 , 所 以 2

a2013 ? a1 ? 2012d ? 1 ? 2012 ? 2 ? 4025 .
9 . (2013 届福建省高考压轴卷数学文试题)定义映射 f : A ? B ,其中

A ? {(m, n) m, n ? R} , B ? R ,已知对所有的有序正整数 对 (m, n) 满足下述条件: ...
① f (m,1) ? 1 ; ②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ; ③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ? 1)] ;

则 f (n, 2) ? _______. 【答案】 2 ? 2
n

10 . ( 2013 届 天 津 市 高 考 压 轴 卷 文 科 数 学 ) 等 差 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 是 S n , 若

a1 ? a2 ? 5 , a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 的值为_______
【答案】65 【 解 析 】 由 a1 ? a2 ? 5 , 得 2a1 ? d ? 5 , 由 a3 ? a4 ? 9 得

2a1 ? 5d ? 9

,解得

d ? 1 ,a1 ? 2

,所以

S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 ? 20+45=65 2 .

2

11. (2013 届陕西省高考压轴卷数学(文)试题)“公差为 d 的等差数列数列 ?an ? 的前 n 项 的和为 S n ,则数列 ?

d ? Sn ? ? 是公差为 的等差数列”,类比上述性质有:“公比为 q 的等 2 ?n?

比数列数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn ,则数列___________________________”. 【 答 案 】
n

?T?
n n

是 公 比 为
1

q

的 等 比 数 列 【 解 析 】

1

Tn ? (b1b2 ? ? ? bn ) n ? (b1n q 1? 2??? n ?1 ) n
n ( n ?1) 2 1

? (b1n q

) n ? b1

? q?

n ?1

,∴

? T ?是公比为
n n

q 的等比数列.

12. (2013 届湖北省高考压轴卷 数学 (文) 试题) 记 时,观察下列等式:

S k ? 1k ? 2k ? 3k ? ? ? n k ,当 k ? 1, 2,3,

1 2 1 n ? n, 2 2 1 3 1 2 1 S 2 ? n ? n ? n, 3 2 6 1 4 1 3 1 2 S3 ? n ? n ? n , 4 2 4 1 5 1 4 1 3 1 S 4 ? n ? n ? n ? n, 5 2 3 30 1 5 S5 ? An 6 ? n5 ? n 4 ? Bn 2 , 2 12 S1 ?
可以推测 A ? B ? _____________________. 【答案】

1 4 1 .令 n ? 1 ,则 S5 ? 15 ? 1 , 6

【解析】 :本题考查归纳推理问题.根据各式的规律,显然 A ? 代入得 S5 ? 13 . ( 2013 式 :

1 1 5 1 1 ? 1? 1 ? ? ? B ? 1 ? B ? ? ,所以 A ? B ? ? ? ? ? ? . 6 2 12 12 6 ? 12 ? 4
届 山 东 省 高 考 压 轴 卷 文 科 数 学 ) 观 察 下 列 等

3 1 1 3 1 4 1 1 ? ?1? 2 ? ? ? 2 ?1? , , 1? 2 2 2 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 22 3 1 4 1 5 1 1 ? ? ? 2? ? 3 ? 1? ,,由以上等式推测到一个一般的结论 :对于 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 4 ? 23

3

n∈ N * ,

3 1 4 1 n?2 1 ? ? ? 2 ??? ? n ? __________; 1? 2 2 2 ? 3 2 n( n ? 1) 2

1 【答案】 1 ? ( n ?1)2 n

【解析】由已知中的等式:

3 1 1 3 1 4 1 1 ? ?1? 2 , ? ? ? 2 ?1? , 1? 2 2 2 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 22 3 1 4 1 5 1 1 ? ? ? 2? ? 3 ? 1? ,, 1? 2 2 2 ? 3 2 3 ? 4 2 4 ? 23
3 1 4 1 n?2 1 1 ? ? ? 2 ??? ? n ? 1 ? ( n ?1)2 n . 1? 2 2 2 ? 3 2 n( n ? 1) 2

所以对于 n∈ N * ,

14. (2013 届辽宁省高考压轴卷数学文试题)设{an}是等比数列,公比 q ? n 项和.记 Tn ?

2 ,Sn 为{an}的前

17 S n ? S 2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 =__________ . an ?1

【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于 中等题.

17 a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1 ? 2 1? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2) n 1? 2 ( 2) n
? 1 16 16 ≧8,当且仅当 ( 2) n =4,即 n=4 时 ? [( 2) n ? ? 17] 因为 ( 2) n ? n n 1? 2 ( 2) ( 2)

取等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值. 15. (2013 届江西省高考压轴卷数学文试题)已知

?a n ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满



a3 a 6 ? 55, a 2 ? a 7 ? 16
?

bn ?
.令

4 a
2 n ?1

? 1 (n ? N ? ) ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,

对任意的 n ? N ,不等式 【答案】100

Tn ?

m 100 恒成立,则实数 m 的最小值是_______.

16 .( 2013 届 安 徽 省 高 考 压 轴 卷 数 学 文 试 题 ) 已 知 数 列

?an ?

中满足

a a 1 a1 ? ,an ?1 ? an ? n ?1 n (n ? 2) ,则数列 ?an ? 的通项公式是________. 2 n(n ? 1)
【答案】

a a n 【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为 an ?1 ? an ? n ?1 n 两边同 3n ? 1 n(n ? 1)
4



an ?1an



1 1 1 1 1 ? ? ? ? (n ? 2) an an ?1 n(n ? 1) n ? 1 n

,





1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? , ? a2 a1 1 2 a 3 a 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (n ? 2) , 相 加 得 ? ? ? ? 1 ? , 因 为 a1 ? , 带 入 得 n ?1 n 2 an an ?1 an a1 n an ? n . 3n ? 1

17. (2013 届安徽省高考压轴卷数学文试题)如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成 螺旋状排列起来,2 在第一个拐弯处,4 在第二个拐弯处,7 在第三个拐弯处,,则在第 20 给个拐弯处的正整数是_______.
23 22 21 7 8 9 10 2 11 12 13 3 14 4 15 16 1 6 5 20 19 18 17

【答案】 211 【解析】观察图,仔细分析规律.
23 22 21 7 8 9 10 2 11 12 13 3 14 4 15 16 1 6 5 20 19 18 17

第一个拐弯处 2 ? 1 ? 1 ; 第二个拐弯处 4 ? 1 ? 1 ? 2 ; 第三个拐弯处 7 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ; 第四个拐弯处 11 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ; 第五个拐弯处 16 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ; 发现规律:拐弯处的数是从 1 开始的一 串正整数相加之和再加 1, 在 第 几 个 拐 弯 处 , 就 加 到 第 几 个 正 整 数 , 所 以 第 20 个 拐 弯 处 的 数 就 是: 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 20 ? 211 . 三、解答题 18 . ( 2013 新课标高考压轴卷(一)文科数学)设 {an } 是公差大于零的等差数列 , 已知

a1 ? 2 , a3 ? a2 2 ? 10 .

5

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin ? x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求数
2

列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n . 【答案】解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,则

? a1 ? 2 ? ? 2 ? ?a1 ? 2d ? ? a1 ? d ? ? 10 解得 d ? 2 或 d ? ?4 (舍)
所以 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n (Ⅱ)? y ? 4sin 2 ? x ? 4 ? 其最小正周期为

2? ? 1 ,故首项为 1; 2?

1 ? cos 2? x ? ?2 cos 2? x ? 2 2

因为公比为 3,从而 bn ? 3n ?1 所以 an ? bn ? 2n ? 3n ?1 故 S n ? 2 ? 30 ? 4 ? 31 ? ? ? 2n ? 3n ?1

?

? ?

?

?

?

?

? 2 ? 2n ? n ? 1 ? 3n
2 1? 3

? n2 ? n ?

1 1 n ? ?3 2 2

19 . ( 2013 届 广 东 省高 考压 轴 卷 数 学文 试 题 )设等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且

a1 ? 2 , a3 ? 6 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 S k ? 110 ,求 k 的值;

?1? ? ? S T T (3)设数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ,求 2013 的值.
【答案】解:(1)设等差数列

?an ? 的公差为 d ,

?a1 ? 2 ? a ? a1 ? 2d ? 6 ∵? 3 ,
∴d ? 2
6

数列

?an ? 的通项公式 an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n
S k ? ka1 ? k (k ? 1) k (k ? 1) d ? 2k ? ? 2 ? k 2 ? k ? 110 2 2

(2)方法一:∵

解得 k ? 10 或 k ? ?11 (舍去)

方法二:∵

Sk ?

k ? 2 ? 2k ? 2

? 110
,

解得 k ? 10 或 k ? ?11 (舍去)

(3)∵ ∴

Sn ?

1 1 1 1 n(2 ? 2n) ? ? ? ? n(n ? 1) S n(n ? 1) n n ? 1 2 ,∴ n

T2013 ? T1 ? T2 ? T3 ? ? ? T2013

1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ?3 4? ? 2013 2014 ?
? 1? 1 2013 ? 2014 2014

20. (2013 届湖北省高考压轴卷 数学 (文) 试题) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d 大于 0,且 a3 , a5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n , S n ? (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? an ? bn ,求证: cn ?1 ? cn ; (3)求数列

1 ? bn ?n ? N ? ? . 2

?cn ? 的前 n 项和 Tn .

【答案】(1)因为 a3 , a5 是方程 x 2 ? 14 x ? 45 ? 0 的两根,且数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,所

a5 ? a3 ? 2 .所以 an ? a5 ? ? n ? 5 ? d ? 2n ? 1 . 5?3 1 ? b1 1 又当 n ? 1 时,有 b1 ? S1 ? ,所以 b1 ? . 2 3
以 a3 ? 5, a5 ? 9 ,公差 d ? 当 n ? 2 时,有 bn ? S n ? S n ?1 ? 所以数列 ?bn ? 是首项为

b 1 1 ? bn?1 ? bn ? ,所以 n ? ? n ? 2 ? . 2 bn ?1 3

1 1 ,公比为 的等比数列, 3 3

7

所以 bn ?

1 ?1? ?? ? 3 ?3?

n ?1

?

1 . 3n
2n ? 1 2n ? 1 , cn ?1 ? n ?1 , n 3 3

(2)由(1)知 cn ? an ? bn ? 所以 cn ?1 ? cn ? 所以 cn ?1 ? cn . (3)因为 cn ? an ? bn ? 则 Tn ?

2n ? 1 2n ? 1 4 ?1 ? n ? ? n ? ? 0, 3n ?1 3 3n ?1

1 3 5 ? ? 31 32 33 1 1 3 5 Tn ? 2 ? 3 ? 4 3 3 3 3

2n ? 1 , 3n 2n ? 1 ? ? ? n ,① 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? n ? n ?1 ,② 3 3
①-②, 得



2 1 2 2 2 2n ? 1 1 1 ?1 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 3
整理,得 Tn ? 1 ?

? 2n ? 1 ? ? n ?1 , ? 3

n ?1 . 3n

21 .( 2013 届 天 津 市 高 考 压 轴 卷 文 科 数 学 ) 在 数 列

?an ?

中 , 已 知

a1 ?

1 an ?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 l o 1gan (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 【答案】解:(Ⅰ)∵
a n ?1 1 ? an 4

∴数列{ a n }是首项为
1 ∴ an ? ( ) n ( n ? N * ) 4

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log 1 an ? 2
4

1 ∴ bn ? 3 log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 4 2

8

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) 4 1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ?? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4

① ②

=

1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 2 4
2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) . 3 3 4
*

∴ Sn ?

22. (2013 届江西省高考压轴卷数学文试题) 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn ?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成立, 我们称数列 {cn } 是“ T 数列”. (Ⅰ)若 a n ? 2n , bn ? 3 ? 2n , n ? N ,数列 {an } 、 {bn } 是否为“ T 数列”?若是,指出它
*

对应的实常数 p, q ,若不是,请说明理由; (Ⅱ)证明:若数列 {an } 是“ T 数列”,则数列 {a n ? a n ?1 } 也是“ T 数列”; (Ⅲ) 若 数 列 {an } 满 足 a1 ? 2 , an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) , t 为 常 数 . 求 数 列 {an } 前

2013 项的和.
【答案】解:(Ⅰ)因为 an ? 2n , 则有 an ?1 ? an ? 2 , n ? N 故数列 {an } 是“ T 数列”, 对应的实常数分别为 1 , 2 . 因为 bn ? 3 ? 2n ,则有 bn ?1 ? 2bn
*

n? N*

故数列 {bn } 是“ T 数列”, 对应的实常数分别为 2 , 0 (Ⅱ)证明:若数列 {an } 是“ T 数列”, 则存在实常数 p , q , 使得 an ?1 ? pan ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

且有 an ? 2 ? pan ?1 ? q 对于任意 n ? N 都成立,
*

9

因此 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? p ? an ? an ?1 ? ? 2q 对于任意 n ? N 都成立,
*

故数列 ?an ? an ?1

? 也是“ T 数列”.

对应的实常数分别为 p , 2q (Ⅲ)因为 an ? an ?1 ? 3t ? 2n (n ? N * ) , 则有 a2 ? a3 ? 3t ? 22 , a4 ? a5 ? 3t ? 24 ?? ,

a 2010 ? a 2011 ? 3t ? 2 2010 , a 2012 ? a 2013 ? 3t ? 2 2012 .
故数列 {an } 前 2013 项的和

S 2013 ? a1 ? (a 2 ? a3 ) ? (a 4 ? a5 ) ? ? ? ? ? (a 2010 ? a 2011 ) ? (a 2012 ? a 2013 )
? 2 ? 3t ? 2 2 ? 3t ? 2 4 ? ? ? ? ? 3t ? 2 2010 ? 3t ? 2 2012 ? 2 ? t (2 2014 ? 4)
23. (2013 届辽宁省高考压轴卷数学文试题)已知等比数列 ?a n ? 的公比为 q ( q ? 1 )的等比 数列,且 a 2011 , a 2013 , a 2012 成等差数列, (Ⅰ)求公比 q 的值; (Ⅱ)设 ?bn ? 是以 2 为首项, q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时,比较 S n 与 bn 的大小,并说明理由. 【答案】解答:(Ⅰ)由题设 2a 2013 ? a 2011 ? a 2012 , 即2a 2011 q 2 ? a 2011 ? a 2011 q,

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.
1 ?q ? 1或 q ? ? , 2 1 又 q ? 1 ,? q ? ? 2
(Ⅱ) q ? ?

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4
(n ? 1)(n ? 10) , 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ? 故对于 n ? N ? 1 当 2 ? n ? 9 时, S n ? bn ; ○ 2 当 n ? 10 时, S n ? bn ; ○

10

3 当 n ? 11 时, S n ? bn ○ 24 . ( 2013 届 全 国 大 纲 版 高 考 压 轴 卷 数 学 文 试 题 ( 一 ) ) 已 知 数 列 {an } 的 首 项

a1 ?

2an 2 , n ? 1, 2,3, . an ?1 ? 3 an ? 1 1 ? 1} 是等比数列; an
(Ⅱ)数列 {

(Ⅰ)证明:数列 {

n } 的前 n 项和 S n . an

【答案】解解:(Ⅰ)∵ an ?1 ?

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ? 1 an ?1 2an 2 2 an

?

2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) , 又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 3 2 2 an ?1 2 an a1 2 an

为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n ?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n. an ?1 2 2 2 an 2 an 2

1 2 3 n ① ? 2? 3?? n, 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2
设 Tn ?

1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , 由① ? ②得 Tn ? ? 2 ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 2 2 2 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 2 2 2

? 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ?

n an

2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 ? ? ? n 2n 2 2 2
x

25. (2013 届北京市高考压轴卷文科数学)已知点(1,2)是函数 f ( x) ? a (a>0且a ? 1) 的 图象上一点,数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? f (n) ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 中剩余项的和. 【答案】解:(Ⅰ)把点(1,2)代入函数 f ( x) ? a ,得 a ? 2 .
x

(Ⅱ)将数列 ?an ? 前 2013 项中的第 3 项,第 6 项,,第 3k 项删去,求数列 ?an ? 前 2013 项

? S n ? f (n) ? 1 ? 2n ? 1,

11

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 ? 1 ? 1; 当 n≥2 时, an ? S n ? S n ?1

? (2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1)
经验证可知 n ? 1 时,也适合上式,

? 2n ?1

? an ? 2n ?1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列 ?an ? 为等比数列,公比为 2,故其第 3 项,第 6 项,,第 2013 项也为等比 数列,首项 a3 ? 23?1 ? 4, 公比 23 ? 8, a2013 ? 22012 为其第 671 项 ∴此数列的和为

4(1 ? 8671 ) 4(22013 ? 1) ? 1? 8 7

又数列 ?an ? 的前 2013 项和为

S 2013

1? (1 ? 22013 ) ? ? 22013 ? 1, 1? 2
2013

∴所求剩余项的和为 (2

? 1) ?

4(22013 ? 1) 3(22013 ? 1) ? 7 7

26. (2013 届新课标高考压轴卷(二)文科数学)已知数列 ?a n ? 的首项为 a1 ? 5 ,前 n 项和 为 S n ,且 S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5 (n ? N )
*

(Ⅰ)证明数列 ?a n ? 1?是等比数列 (Ⅱ)令 f ? x ? ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? ? ? ? a n x n , 求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?1? ,并比较 2 f ?1? 与 23n 2 ? 13n 的大小.
' '

【答案】(1)解:? S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5

(1) (2)

? S n ? 2 S n ?1 ? n ? 4 , n ? 2
两列相减得 a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) 当 n ? 1 时, a 2 ? 2a1 ? 1 ? 11

? a 2 ? 1 ? 12 , a1 ? 1 ? 6
12

a 2 ? 1 ? 2(a n ? 1)
故总有 a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1) , n ? N * ,又 a1 ? 5 , a1 ? 1 ? 0 从而

a n ?1 ? 1 ? 2 ,即数列 ?a n ? 1?是等比数列 an ? 1

由(1)知 a n ? 3 ? 2 n ? 1

? f ? x ? ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? ? ? ? a n x n ? f ' ? x ? ? a1 ? 2a 2 x ? ? ? ? ? ? ? ? na n x n ?1 ? f ' ?1? ? a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? ? ? ? na n

? ?3 ? 2 ? 1? ? 2 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? n 3 ? 2 n ? 1

?

?

?

?

? 3 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 n ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? n)
? 3?n ? 1? ? 2 n ?1 ? n(n ? 1) ?6 2

?

?

? 2 f ' ?1? ? (23n 2 ? 13n) ? 12(n ? 1) ? 2 n ? n(n ? 1) ? 12 ? 23n 2 ? 13n
= 12?n ? 1?2 ? 24n ? 12n ? 12
n 2

= 12(n ? 1) 2 ? (2n ? 1)
n

?

?
2 f ' ?1? ? 23n 2 ? 13n 2 f ' ?1? ? 23n 2 ? 13n


(1)

当 n=1 时(1)式为 0 当 n=2 时(1)式为-12 当

n?3

,

n ? 1 ? 0,



0 1 n ?1 n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? ? ? ? ? ? ? ?C n ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

? (n ? 1) 2 n ? (2n ? 1) ? 0 即(1)式>0 ? 2 f ' ?1? ? 23n 2 ? 13n
27. (2013 届湖南省高考压轴卷数学(文)试题)设满足以下两个条件的有穷数列 a1, a2, an 为 n(n=2,3,4,)阶“梦想数列”: ① a1+a2 +a3 ++an =0 ②|a1|+|a2|+|a3|++|an|=1 ⑴分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“梦想数列”; ⑵若某 21 阶“梦想数列”是递增等差数列,求该数列的通项公式;

?

?

13

⑶记 n 阶“梦想数列”的前 k 项和为 sk(k=1,2,3,,n)试证:|sk|≤

1 2

【答案】解:(Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为单调递增的三阶“梦想数列”, 2 2

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为单调递增的四阶“梦想数列” 8 8 8 8
,

(Ⅱ)设等差数列的公差为 d,

28. (2013 届重庆省高考压轴卷数学文试题) 若对于正整数 k , g (k ) 表示 k 的最大奇数因数, 例如 g (3) ? 3 , g (10) ? 5 .设 S n ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ? ? g (2 n ) . (Ⅰ)求 g (6) , g (20) 的值;(Ⅱ)求 S1 , S 2 , S3 的值;(Ⅲ)求数列 ?S n ? 的通项公式. 【答案】解:(Ⅰ) g (6) ? 3 , g (20) ? 5 (Ⅱ) S1 ? g (1) ? g (2) ? 1 ? 1 ? 2 ;

S 2 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 6 ; S3 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? g (5) ? g (6) ? g (7) ? g (8) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 1 ? 22

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对 m ? N? , 有 g (2m) ? g (m) 所以当 n ? 2 时, S n ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ? ? g (2 n ? 1) ? g (2 n )

? [ g (1) ? g (3) ? g (5) ? ? ? g (2n ? 1)] ? [ g (2) ? g (4) ? ? ? g (2 n )] ? [1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] ? [ g (2 ? 1) ? g (2 ? 2) ? ? ? g (2 ? 2 n ?1 )]
(1 ? 2n ? 1) ? 2n ?1 ? ? [ g (1) ? g (2) ? ? g (2n ?1 )] 2
? 4n ?1 ? S n ?1
于是 S n ? S n ?1 ? 4n ?1 , n ? 2 , n ? N . 所以 S n ? ( S n ? S n ?1 ) ? ( S n ?1 ? S n ? 2 ) ? ? ? ( S 2 ? S1 ) ? S1
?

? 4n ?1 ? 4n ? 2 ? ? ? 42 ? 4 ? 2

14

?

4(1 ? 4n ?1 ) 4n 2 ? 2 ? ? , n ? 2 , n ? N? 1? 4 3 3

又 S1 ? 2 ,满足上式, 所以对 n ? N? , S n ?

1 n (4 ? 2) 3

29. (2013 届山东省高考压轴卷文科数学) 已知等比数列 {an } 的所有项均为正数,首项 a1 =1, 且 a4 ,3a3 , a5 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列{ an ?1 ? ? an }的前 n 项和为 S n ,若 S n = 2 ? 1( n ? N *) ,求实数 ? 的值.
n

【答案】 【解析】(Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由条件得 q 3 ,3q 2 , q 4 成等差数列, 所以 6q
2

? q3 ? q4

解得 q ? ?3, 或q ? 2 由数列 {an } 的所有项均为正数,则 q =2 数列 ?a n ?的通项公式为 an = 2
n ?1

(n ? N *)

n n ?1 n ?1 (Ⅱ)记 bn ? a n ?1 ? ?a n ,则 bn ? 2 ? ? ? 2 ? ( 2 ? ? )2

若 ? ? 2, bn ? 0, S n ? 0 不符合条件;
b 若 ? ? 2 , 则 n ?1 ? 2 ,数列 ?bn ?为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2, bn

此时 S n ?
n

(2 ? ? ) (1 ? 2 n ) ? ( 2 ? ? )( 2 n ? 1) 1? 2

又 S n = 2 ? 1( n ? N *) ,所以 ? ? 1 30. (2013 届福建省高考压轴卷数学文试题) 设 {an } 为等差数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项和, 已知 S3 ? ?3, S7 ? 7 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 4 ? 2 n ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d

15

1 ? 3a1 ? ? 3 ? 2d ? ?3 ? ? 2 依题意得 ? ?7 a ? 1 ? 7 ? 6 d ? 7 1 ? ? 2
解得 ?

?a1 ? ?2 ?d ? 1

∴ an ? ?2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 4 ? 2n ?3 ? n ? 2n ?1 ? n ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
? 1 ? 2n n(n ? 1) ? 1? 2 2
n(n ? 1) 2

? 2n ? 1 ?

31 .( 2013 届 全 国 大 纲 版 高 考 压 轴 卷 数 学 文 试 题 ( 二 )) 在 数 列 {an } 中, a1 ? 3, an ? ? an ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2 ,且 n ? N * ) (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n . 【答案】解:(Ⅰ) ? a1 ? 1, an ? ? an ?1 ? 2n ? 1( n ? 2, n ? N *)

? a2 ? ?a1 ? 4 ? 1 ? ?6, a3 ? ? a2 ? 6 ? 1 ? 1
(Ⅱ)?

an ? n ?a ? 2n ? 1 ? n ? an ?1 ? n ? 1 ? n ?1 ? ? ?1 an ? ( n ? 1) an ?1 ? n ? 1 ?an ?1 ? n ? 1

?{an ? n} 以 a1 ? 1 ? 4 为首项, ?1 为公比的等比数列
从而 an ? n ? 4 ? (?1) n ?1 ,即 an ? 4 ? (?1) n ?1 ? n (Ⅲ)当 n 为偶数时, Sn ? a1 ? a2 ? ? an ? 0 ? (1 ? 2 ? ? ? n ) ? ?

n( n ? 1) 2
16

当 n 为奇数时, Sn ? 4 ? (1 ? 2 ? ? ? n ) ? 4 ? 综上, Sn ? 2 ? 2 ? ( ?1) n ?1 ?

n( n ? 1) 1 ? ? ( n 2 ? n ? 8) 2 2

n( n ? 1) 2
2

32. (2013 届上海市高考压轴卷数学(文)试题)本题共 3 小题,第(Ⅰ)小题 4 分,第(Ⅱ)小 题 6 分,第(Ⅲ)小题 8 分. 设正数数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且对任意的 n ? N ? , S n 是 an 和 an 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在集合 M ? {m | m ? 2k , k ? Z , 且1000 ? k ? 1500} 中,是否存在正整数 m ,使得不
2 an 对一切满足 n ? m 的正整数 n 都成立?若存在,则这样的正整数 m 2 共有多少个?并求出满足条件的最小正整数 m 的值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)请构造一个与数列 {S n } 有关的数列 {un } ,使得 lim?u1 ? u 2 ? ? ? u n ? 存在,并求出

等式 S n ? 1005 ?

n ??

这个极限值.
2 【答案】解:(Ⅰ)由题意得, 2 S n ? a n ? an

①,

2 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ,
2 当 n ? 2 时,有 2 S n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1

②,

2 2 ①式减去②式得, 2a n ? a n ? an ?1 ? a n ? a n ?1 2 2 于是, a n ? an ?1 ? a n ? a n ?1 , ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ) ? a n ? a n ?1

因为 a n ? a n ?1 ? 0 ,所以 a n ? a n ?1 ? 1 , 所以数列 ?a n ? 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列, 所以 ?a n ? 的通项公式为 a n ? n ( n ? N * ). (Ⅱ)设存在满足条件的正整数 m ,则

n(n ? 1) n2 n ? 1005 ? , ? 1005 , 2 2 2

n ? 2010 ,


M ? { 2000 , 2002 ,, 2008 , 2010 , 2012 ,, 2998 } ,

所以 m ? 2010 , 2012 ,, 2998 均满足条件, 它们组成首项为 2010 ,公差为 2 的等差数列. 设共有 k 个满足条件的正整数,则 2010 ? 2(k ? 1) ? 2998 ,解得 k ? 495 . 所以, M 中满足条件的正整数 m 存在,共有 495 个, m 的最小值为 2010 . (Ⅲ)设 u n ?

2 1 ,即 u n ? , Sn n(n ? 1)
17

则 u1 ? u 2 ? ? ? u n ?

2 2 2 ? ?? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2?1 ? ? ,其极限存在,且 ? n n ? 1 ?? ? n ?1? ?? 2 ? ? 2 3 ? ? ? 1 ?? lim?u1 ? u 2 ? ? ? u n ? ? lim ?2?1 ? ?? ? 2 . n ?? n ?? ? ? n ? 1 ??
c ? 1 ? n ?1 注: u n ? ( c 为非零常数), u n ? ? ? ( c 为非零常数), Sn ?2?
c? S n

un ? q

c? S n n ?1

( c 为非零常数, 0 ?| q |? 1 )等都能使 lim?u1 ? u 2 ? ? ? u n ? 存在.
n ??

33. (2013 届四川省高考压轴卷数学文试题)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 和通项 an 满足

Sn ?

1 (1 ? an ) . 2

(1)求数列 {an } 的通项公式;

3 4 1 1 1 1 【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 当 n ? 2 时 , an ? (1 ? an ) ? (1 ? an ?1 ) ? ? an ? an ?1 , 则 2 2 2 2
(2)若数列 {bn } 满足 bn ? nan ,求证: b1 ? b2 ? ... ? bn ?

3an ? an ?1 ,
由题意可知 an ?1 ? 0 , 所以{ an }是公比为

an 1 ? an ?1 3

1 的等比数列 3 1 1 S1 ? a1 ? (1 ? a1 ) , a1 ? 2 3 1 1 1 an ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n 3 3 3 1 (II)证明: bn ? n( ) n 3 1 1 1 1 设 Tn ? 1 ? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ... ? n ? ( ) n 3 3 3 3 1 1 2 1 3 1 4 1 n ?1 ∴ Tn ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ...n ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 n 3 1 n ?1 3 ∴ Tn ? ? ( ) ? n( ) ? 4 4 3 2 3 4
18

34 . ( 2013 届 浙 江 省 高 考 压 轴 卷 数 学 文 试 题 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且

S n ? 2an ? 2 (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且 bn?1 ? bn ? 2 .
(Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式,并求数列 {an ? bn } 的前 n 项的和 Dn ; (Ⅱ)设 cn ? an ? sin 2

n? n? ? bn ? cos 2 (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n . 2 2

【答案】 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 1 , a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 ,∴ an ? 2an ?1 , ∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n 由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1 ∴ an ? bn ? (2n ? 1) ? 2n ∴ Dn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ①×2 得 2 Dn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 2 4 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ①—②得: ① ②

? Dn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

? 2 ? 2?

4(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n ?1 1? 2

? 2n ?1 (3 ? 2n) ? 6 ,
Dn ? (2n ? 3)2n ?1 ? 6

? 2n n为奇数 (Ⅱ) cn ? ? ??(2n ? 1) n为偶数
Tn ? 2 ? 23 ? ? ? 22 n ?1 ? [3 ? 7 ? ? ? (4n ? 1)]

22 n ?1 ? 2 ? ? 2n 2 ? n 3
35. (2013 届陕西省高考压轴卷数学 (文) 试题) 在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 3 ,公比 q ? 1 ,

19

等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1,b4 ? a2,b13 ? a3 . (Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an bn ? 的前 n 项和. 【答案】 【解析】(Ⅰ) 设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ,等差数列 ?bn ? 的公差为 d . 由已知得: a 2 ? 3 q , a3 ? 3 q 2 ,

b1 ? 3 , b4 ? 3 ? 2d , b13 ? 3 ? 12 d

?3q ? 3 ? 3d ?q ? 1 ? d ?? 2 ? q ? 3 或 q ? 1 (舍去), ? 2 ?3q ? 3 ? 12d ?q ? 1 ? 4d
所以, 此时 d ? 2 所以, a n ? 3 n ,

bn ? 2n ? 1 .

(Ⅱ)设 cn ? an bn ? (2n ? 1) ? 3n ,

S n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ... ? ? 2n ? 1? ? 3n ,

3S n ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ... ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1
两式相减得 ?2 S n ? 3 ? 31 ? 2 ? 32 ? 33 ? ... ? 3n ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1 , 所以 S n ? n ? 3n ?1. 36. (2013 届海南省高考压轴卷文科数学)等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、 三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

?

?

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=an+(﹣1)lnan,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. 【答案】专题:计算题. 分析:本题考查的是数列求和问题.在解答时: (Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分 析公比进而求得数列{an}的通项公式; (Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{bn}的通项进行化简,然后结合通项的特点, 利用分组法进行数列{bn}的前 2n 项和的求解. 解答:解:(Ⅰ)当 a1=3 时,不符合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时符合题意;
20

当 a1=10 时,不符合题意; 所以 a1=2,a2=6,a3=18, ∴公比为 q=3, n﹣1 故:an=2?3 ,n∈N*. n (Ⅱ)∵bn=an+(﹣1) lnan n﹣1 n n﹣1 =2?3 +(﹣1) ln(2?3 ) n﹣1 n =2?3 +(﹣1) [ln2+(n﹣1)ln3] n﹣1 n n =2?3 +(﹣1) (ln2﹣ln3)+(﹣1) nln3 ∴S2n=b1+b2++b2n 2n﹣1 2n 2n =2(1+3++3 )+[﹣1+1﹣1++(﹣1) ]?(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3++(﹣1) 2n]ln3 = =3 +nln3﹣1 2n ∴数列{bn}的前 2n 项和 S2n=3 +nln3﹣1. 37. (2013 届安徽省高考压轴卷数学文试题) ( )若数列 ?an ? 的前 n 和为 S n ,首项是 a (a ? R ) , 满足 2 S n ? 2nan ? n 2 ? n ? 0 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在 a (a ? R ) ,使 S n ? ? S 2 n ? 0 (其中 ? 是与正整数 n 无关的常数)?若存在,求 出 x 和 k 的值,若不存在,请说明理由; (3)求证: a 为有理数的充要条件是数列 ?an ? 存在三项构成等比数列. 【答案】 【解析】 (1)因为 2 S n ? 2nan ? n 2 ? n ? 0 ,所以 2 S n ?1 ? 2(n ? 1) an ?1 ? n 2 ? n ? 0 , 两式相减得: an ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? n ,即 an ?1 ? an ? 1 ,所以数列 ?an ? 是等差数列, 所以 an ? a ? (n ? 1) ? n ? a ? 1(n ? N ? )
2n

1 n(n ? 1) ? ? ? 2an ? n(2n ? 1) ? , 2 1 1 整理得, (1 ? 4? ) n ? (2a ? 1)(2? ? 1) ? 0 ,所以当 ? ? , a ? 时,该式恒成立. 4 2 1 1 1 1 即当 a ? 时, S n ? S 2 n ? 0 ,故 x ? ,? ? 即为所求. 2 4 2 4
(2)解法一、因为 S n ? ? S 2 n ? 0 ,所以 an ? 解法二、假设存在 a (a ? R ) 满足题意 S n ? ? S 2 n ? 0 ,分别令 n ? 1,n ? 2 得:

?? S 2 ? S1 ? 0 ?? (2a ? 1) ? a ? 0 1 1 1 ,即 ? ,解得 a ? ,? ? ,当 a ? 时, ? 2 4 2 ?2? (2a ? 3) ? 2a ? 1 ? 0 ?? S 4 ? S 2 ? 0

21

1 1 1 1 1 1 S n ? S 2 n ? n ? n(n ? 1) ? ? n ? n(2n ? 1) ? ? 0 为常数 , 所以 a ? ,? ? 即为 4 2 2 4 2 4
所求. (3)①充分性:若三个不同项 a ? i,a ? j,a ? k 成等比数列,且 i ? j ? k ,则

(a ? j ) ? (a ? i )(a ? k ) ,即 a (i ? k ? 2 j ) ? j 2 ? ik ,
若 i ? k ? 2 j ? 0 ,则 j ? ik ? 0 ,解得 i ? j ? k ,这与 i ? j ? k 矛盾,即 i ? k ? 2 j ? 0 ,
2

此时 a ?

j 2 ? ik ,且 i,j,k 非负整数,故 a 是有理数 i?k ?2j

②必要性:若 a 是有理数,且 a ? 0 ,则必存在正整数 k ,使得 a ? k ? 0 ,令 y ? a ? k ,则

? 的一个子数列,只要正 正项数列 y,y ? 1,y ? 2, ? 是原数列 ?an ? : a,a ? 1,a ? 2,
项数列 y,y ? 1,y ? 2, ? 中存在着三个不同的项构成等比数列 ,则原数列必有三个不 同项构成等比数列. 不失一般性,不妨设 a?0 ,记 a?

n ( m,n ? N ? , 且 m,n 互 质 ), 又 设 m

k,l ? N ? , l ? k ,
则 a,a ? k,a ? l 成等比数列 , 则 (a ? k ) ? a (a ? l ) , 解得 l ? 2k ?
2

m 2 k , 为使 l 为整 n

数,则令 k ? n ,于是 l ? 2n ? mn ,所以 a,a ? n,a ? n(m ? 2) 成等比数列. 综上所述,原命题得证. ??????????14 分.

22


推荐相关:

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编5 数列 文.doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编5 数列 _数学_高中教育_教育专区。2013 届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编 5:数列 一、选择题 1 .(...


2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编5:....doc

2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编5:数列_数学_高中教育_教育专区。2013 届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编 5:数列一、选择题 错误!...


高考数学押题精选试题分类汇编5数列文_图文.doc

高考数学押题精选试题分类汇编5数列文 - 全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编 5:数列 一、选择题 1 .( 全国大纲版高考压轴卷数学文试题(一) )设等差...


2013届全国各地高考押题数学(文)分类汇编:数列.doc

章丘一中王希刚 2013 届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编:数列 一、选择题 1 .(2013 届全国大纲版高考压轴卷数学文试题(一) 设等差数列 ?an ? 的...


高考数学 押题精选试题分类汇编5 数列 理_图文.doc

高考数学 押题精选试题分类汇编5 数列 理 - 全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编 5:数列 一、选择题 , 1 .( 北京市高考压轴卷理科数学) 则 {an } ...


2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5:数列.doc

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5:数列 - 数一、选 择题 1 .已知数列 列 ?an ? 满足 3an?1 ? an ? 0, a2 ? ? 3 , 则?an ?的前10项和....


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编13 简易....doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编13 简易逻辑 _高考_高中教育_....(2013 届陕西省高考压轴卷数学()试题)已知 q 是等比数列{an } 的公比,...


2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编14:....doc

2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编14:简易逻辑_高考_高中教育_...10. (2013 届浙江省高考压轴卷数学试题) 等比数列{an}中,“公比 q>1”...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编13 简易....doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编13 简易逻辑 _高考_高中教育_...7 .(2013 届陕西省高考压轴卷数学 () 试题) 已知 q 是等比数列 {an }...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编12 统计 理.doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编12 统计 理_高考_高中教育_教育...则由后四小 2 组的频率成等差数列可知 ,0.16t +0.07 为第四、第五小组...


2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5:数列_图文.doc

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5:数列 - 2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 5:数列 一、选 择题 1 . 2013 年高考大纲卷()已知数列...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编6 不等式....doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编6 不等式 理_高考_高中教育_


...贵州、云南)精选试题分类汇编5 数列 理_图文.doc

【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编5 数列 理_其它课程_高中教育_教育专区。【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编3 三角函....doc

2013 届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编 3:三 角函数 一、选择题...2 ? 等比数列,则 m 的值为 ___ . 8 【答案】 ? 1 q y ? cos x ...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编12 算法....doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编12 算法初步 _高考_高中教


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编14 简易....doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编14 简易逻辑 理_高考_高中教育_...10. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)等比数列{an}中,“公比 q>1”是...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编10 排列....doc

全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编10 排列组合及二项式定理 理_


2013届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编13:....doc

2013届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编13:简易逻辑_数学_高中教育_....(2013 届江西省高考压轴卷数学文试题)设数列 {an } 是等比数列,则“ a1 ...


全国各地2013届高考数学 押题精选试题分类汇编11 概率....doc

2013 届全国各地高考押题数学(文科)精选试题分类汇编 11:概 率与统计一、选择题 1 .(2013 届安徽省高考压轴卷数学文试题)已知一组观测值具有线性相关关系 ,若...


2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编3:....doc

2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编3...? 5 () 错误!未指定书签。 .(2013 新课标高考...且从小到大依次成等比数列,则 m 的值为 ___ ....

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com