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湖南省衡阳市第八中学2017届高三数学第六次月考试题理


衡阳市八中 2017 届高三第六次月考试题(理科数学)
一.选择题(每小题只有一个正确答案。本大题共 60 分) 1 已知复数 z 满足 A 1

1? z ? i ,则 | z |? ( 1? z
B

) 2 D 2 2

2

C

2.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它 由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一 起的方形伞(方盖).其直观图如左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和 侧视图完全相同时,它的俯视图可能是( )

x 3. 已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 2 ? 0 ; q :" x ? 1" 是 " x ? 2" 的充分不必要条件则下列命题为

真命题的是(



A. p ? q
4.以下四个命题中:

B.?p ? ?q

C.?p ? q

D. p ? ?q

①在回归分析中,用相关指数 R 的值判断模型的拟合效果, R 越大,模拟的拟合效果越好;
2 ②设 ? ~ N (0, ? ) ,且 P (? ? ?1) ?

2

2

1 1 ,则 P (0 ? ? ? 1) ? ; 4 4

③若数据 x1 , x 2 , x3 ,?, x n 的方差为 1 ,则 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 ,?, 2 xn 的方差为 2 ; ④对分类变量 x 与 y 的随机变量 k 的观测值 k 来说, k 越小,判断“ x 与 y 有关系”的把握程度越 大. 其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2

5.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

1

由上表求得回归方程 y ? 9.4 x ? 9.1 ,当广告费用为 3 万元时销售额为( A.39 万 元 B.38 万元 C.38.5 万元

?



D.37.3 万元

6..执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为(

)

A 3

B 4

C 5

D 6

2 ? 2 ? 1 ? x , x ? ? ?1,1? 7.设 f ? x ? ? ? ,则 ? f ? x ?dx 的值为( ?1 2 ? ? x ? 1, x ? ?1, 2? ? 4 ? ? ?3 A. B. 2 2 3 ? 4 ? ? ?3 C. D. 4 4 3



8.在矩形 ABCD 中, AB ? 2 AD ,在 CD 上任取一点 P ,

?ABP 的最大边是 AB 的概率是(
A



2 2

B

3 2

C

2 ?1

D 3 ?1

9 设 M 是△ ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,定义 f ( M ) ? (m, n, p) ,其中 m ,

??? ? ??? ?

C A , A B 的面积, △M △M 若 f ( M ) ? ( , x, y ) , 则 ? 的最小值是 ( n ,p 分别是△ MBC ,
A.8 B.9 C.16 D.18
2

1 2

1 x

4 y



10.已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1)且当 x∈[-1,1]时, f(x)=x , 则函数 y ? f ( x) ? log 5 x 的零点个数为( A. 2 ) B. 3 C. 4 D. 5

11.如图,在四面体 ABCD 中,DA=DB=DC=1,且 DA,DB,DC 两两互相垂直,点 O 是△ABC 的中心, 将△DAO 绕直线 DO 旋转一周,则在旋转过程中 ,直线 DA 与 BC 所成角的余弦值的取值范围是( )

2

A. [0,

6 ] 3

B. [0,

3 ] 2

C. [0,

2 ] 2

D. [0,

3 ] 3

12 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 和 g ( x) 分 别 满 足 f ( x) ?

f '(1) 2 x?2 ?e ? x2 ? 2 f (0) ? x , 2

g ' ( x) ? 2 g ( x) ? 0 ,则下列不等式成立的是(
A. f (2) ? g (2015) ? g (2017) C. g (2015) ? f (2) ? g (2017)



B. f (2) ? g (2015) ? g (2017) D. g (2015) ? f (2) ? g (2017)

二.填空题(每小题 5 分.共 20 分)

?y ? 4 ? 13.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值是__ ?x ? y ? 0 ?

__.

14.在 (2 x ? 1)( x ? 1)5 的展开式中含 x3 项的系数是___________(用数字作答)

15.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边 长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中,向量

θ θ OA 围绕着点 O 旋转了 θ 角,其中 O 为小正六边形的中心,则 sin + cos = 6 6

.

3 2 16.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d( a ? 0 ) , 给出定义: 设 f '( x) 是 f ( x ) 的导数, f ''( x)

是 f '( x) 的导数, 若方程 f ''( x) ? 0 有实数解 x0 , 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”. 某 同学经过探索发现: 任何一个三次函数都有“拐点”; 任何一个三次函数都有对称中心, 且“拐点” 就是对称中心.设函数

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根据这一发现,计算 3 2 12 1 2 2015 2016 f( )? f ( ) ?…? f ( )? f ( )? . 2017 2017 2017 2017 f ( x) ?

3

三.解答题 17(12 分)在△ABC 中.角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 函数 f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C) .(x∈R),f(x)的图象关于点 ( (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=7 且 sin B ? sin C ?

?
6

, 0) 对称.

13 3 ,求△ABC 的面积. 14

18.(12 分)为响应国家“精准扶贫,产业扶贫”的战略,进一步优化能源消费结构,某市决定在 一地处山区的 A 县推进光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取 50 户,统计其年用电量得到以下 统计表.以样本的频率作为概率. 用电量 (度) 户数

?0,200?
5

(200, 400]

(400, 600]

(600,800]

(800,1000]

15

10

15

5

(1)在抽到的样本中,再从用电量分布在 ? 600,1000? 的 20 户中随机抽取 2 户作问卷调查。记 该 2 户用电量在 ?800,1000? 内的户数为 ? ,求 ? 分布列。 (2)在该县山区居民中随机抽取 10 户,记其中年用电量不超过 600 度的户数为 X ,求 X 的数 学期望; (3)已知该县某山区自然村有居民 300 户.若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发 电机组,该机组所发电量除保证该村正常用电外,剩余电量国家电网以 0.8 元/度进行收购.经测算 以每千瓦装机容量年平均发电 1000 度, 试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创 造直接 收益多少元? (注:以统计表中每个区间的中点值(如用电量在 ? 0,200? 内,取 100 度)作 为该区间的平均值,进行估计)。

4

19(12 分) .如图所示,四边形 ABCD 为直角梯形, AB / / CD , AB ? BC ,?ABE 为等边三角形, 且平面 ABCD ? 平面 ABE , AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 , P 为 CE 中点.

(1)求证: AB ? DE ; (2)求平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值;

20(12 分) .已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,对任意 n ? N 满足
*

An ?1 An 1 ? ? ,且 a1 ? 1 ,数列 n ?1 n 2

?bn ? 满足 bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ? n ? N * ? , b3 ? 5 ,其前 9 项和为 63.
(1)令 cn ?

bn an ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn an bn

(2)将数列 ?an ? ,?bn ? 的项按照“当 n 为奇数时, an 放在前面;当 n 为偶数时, bn 放在前面”的要 求进行“交叉排列” ,得到一个新的数列: a1 , b1 , b2 , a2 , a3 , b3 , b4 , a4 , a5 , b5 , b6, ?,求这个新数列的前

n 项和 Sn .

5

21(12 分) .已知函数 f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴交于点 M ( M 异于 原点) , f ?x ? 在 M 处的切线为 l1 , g ?x ? 1? 图象与 x 轴交于点 N 且在该点处的切线为 l2 ,并且 l1 与

l2 平行.
(Ⅰ)求 f (2) 的值; (Ⅱ)已知实数 t ? R ,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ? 1, e 的最小值; (Ⅲ)令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,存在 实 数

? ?

m 满 足 : ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 并 且 使 得 不 等 式

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一个题记分. 22.(本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系 与参数方程) 在直角坐标系 xoy 中,设倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? t cos ? ( t 为参 数)与曲 ? y ? t sin ?

1 ? ?x ? 线C :? cos ? ( ? 为参数)相交于不同的两点 A 、 B . ? ? y ? tan ?

6

(I)若 ? ?

?
3

,求线段 AB 的中点的直角坐标;

(II)若直线 l 的斜率为 2 ,且过已知点 P(3, 0) ,求 | PA | ? | PB | 的值.

23(本小题满分 10 分) (选修 4-5:不等式选讲) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3 | ( a ? 3 ) . (I)若不等式 f ( x) ? 4 的解集为 {x | x ?

1 9 或 x ? } ,求 a 的值. 2 2

(II)若对 ?x ? R , f ( x)? | x ? 3 |? 1,求实数 a 的取值范围.

7

衡阳市八中 2017 届高三第 六次月考试题(理科数学) 命题人:周德平、审题人:颜军 1 A

2. B 【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方 盖).所以其正视图和侧视 图是一个圆,因为俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在同一个圆柱的 侧面上,所以俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形,故选 B. 3.D 4.B. 【解析】①:根据相关指数的意义可知①正确;②:根据正态分布的特征可知其是正确的;③: 方差应为 4 ,故③错误;④: k 的观察值越小, x 与 y 有关系的把握程度越小,故④错误,故正确 的命题有 2 个,故选 B. 5.A
2

4? 2?3?5 7 49 ? 26 ? y ? 54 129 ? y ? ,y? ? ,即数据的样本中心点 4 2 4 4 7 129 ? y 129 ? y 7 ) ,代入回归直线方程,得 ? 9.4 ? ? 9.1 ,解得 y ? 39 ,故选 A. 为( , 2 4 4 2
【解析】由题意得, x ? 6. B 7A 【解析】由已知得:

?

2

?1

f ( x)dx ? ?
2

1

?1

1 ? x 2 dx ? ? ( x 2 ? 1)dx ,
1

2

令 y ? 1 ? x 2 ,得: x ? y ? 1? y ? 0? ,知:曲线 y ? 1 ? x 2 是以坐标原点为圆心,1 为半径的
2

圆处在 x 轴上方部分的半圆,由定积分的几何意义知:

1 1 1 ? x 2 dx ? ? ? 12 ? ? , 2 2 2 1 3 1 3 1 3 4 2 2 又 ? ( x ? 1)dx ? ( x ? x) |1 ? ( ? 2 ? 2) ? ( ?1 ? 1) ? , 1 3 3 3 3 2 1 2 ? 4 ? ? f ( x)dx ? ? 1 ? x 2 dx ? ? ( x 2 ? 1)dx ? ? ?1 ?1 1 2 3

?

1

?1

8.D. 分别以 A 、B 为圆心, AB 为半径作弧,交 CD 于 P 1 、P 2, 则 当

8

P 在线段 PP ?ABP 的最大边是 AB ,易得 1 2 间运动时,能使得

P 1P 2 ? 3 ? 1 ,即 ?ABP 的最大边是 CD

AB 的概率是 3 ? 1 .
9.D 【解析】 :因 AB ? AC ? 2 3 ,故 bc cos A ? 2 3 ,即 bc ? 4 ,故 S ?ABC ?

??? ? ??? ?

1 1 ? 4 ? ? 1 ,由题设可得 2 2

x? y?
所以 10.C 11.A

1 1 ? 1 ,即 x ? y ? , 2 2

1 4 1 4 y 4x ? ? 2( x ? y )( ? ) ? 2(1 ? 4 ? ? ) ? 2(5 ? 2 ? 2) ? 18 ,故应选 D. x y x y x y

试题分析:因为 O 为三角形 ABC 的外心, 2OA ?

AC sin 60?

? OA ?

AC ;由 DA,DB,DC 两两互相垂 3

直得 AC ?

2 ?OA ?

2 6 ,由 DA=DB=DC, 点 O 是△ABC 的中心可得 DO ? 平面 ABC ,所以 ? 3 3
AO 6 ,将 ?DAO 绕直线 DO 旋转一周, ? AD 3

DA 与平面 ABC 所成的角为 ?DAO ,? cos ?DAO ?

则在旋转过程中,直线 DA 与平面 ABC 所成的角不变;
' ' ' ' ' 当 DA 旋转到 DA 时,过 A 作平行于 BC 的直线 A E ,这样直线 DA 与 BC 所成角转化为直线 DA 与

? ?? A ' E 所成角;设 A ' E 与 A 'O 所成的角为 ? , ? ? ?0, ? ,直线 DA ' 与 A ' E 所成角为 ? ,由三余弦定 ? 2?
' ' ' ' 理 cos ?DAO ? cos ?OA E ? cos ?DA E ? cos ?DAO ? cos ? ? cos ? ,

因为 ? ? ?0,

? ?? ? cos ? ? ? 0,1? ? 2? ?

? cos ?DAO ?

? 6? 6 ? cos ? ? ?0, ? 因此选 A. 3 3 ? ?

9

12.D
2 x ?2 【解析】 : f ? ? x ? ? f ? ?1? e ? 2x ? 2 f ? 0? , 所 以 f ? ?1? ? f? ? 1 ? ? 2? 2f? ?0, f ? 0? ? 1 ,

f ? x ? ? e2 x ? x2 ? 2x ,


F ? x ? ? e2 x g ? x ?



F ? ? x ? ? g ? ? x ? e2 x ? 2 g ? x ? e2 x ? e2 x ? ? g ? ? x ? ? 2g ? x ?? ?







所以 F ? x ? 单调递减, 所以 F ? 2015? ? F ? 2017? , e2 x ? 0, g? ? x ? ? 2g ? x ? ? 0 ,F ? ? x ? ? 0 恒成立,

f ? 2? ? e4 , 故 有 e2?
g( 2 0 1 ? 5f ) ?

2 0 1 5

g 5 ? e ?2 0 1 ??

2

2 0 1 7 , 2 1即 7 g ?2 0 1 5 ?g ?0 ??

4 e ?g

2 7 此 ? 0,1 因

g ( 2 ) ,故选 ( 2D. 0 1 7 )

二.填空题(每小题 5 分.共 20 分) 13. 6
2 3 14. C5 (?1)2 ? 2C5 (?1)3 ? ?10

15.【答案】-1 【解析】:从图中得出,第一个到第二个 OA 转过了 60 度,第二个到第三个转过了 120 度,依次类推 每 一 次 边 上 是 60 度 转 角 是 120 度 , 共 有 6 个 转 角 一 共 就 是 1080 度 , 所 以

sin

θ θ + cos = sin 180? ? cos180? ? ?1. 6 6

16【解析】 :由已知可得 f '( x) ? x ? x ? 3 ,
2

令 f ''( x) ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ?

1 1 1 ? f ( ) ? 1 ? f ( x) 的 图 象 关 于 点 ( ,1) , 即 当 x1 ? x2 ? 1 时 , 2 2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 原式 ? 1013 ? 2 ? 2016 .

三.解答题 17(12 分) 【解析】(Ⅰ)f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C) =2(sin xcos A-cos xsin A)cos x+sin A =2sin xcos xcos A-2cos xsin A+sin A =sin 2xcos A-cos2xsin A=sin(2x-A),
2

?π ? ?π ? 由函数 f(x)的图象关于点? ,0?对称,知 f? ?=0, 6 ? ? ?6?
10

π ?π ? 即 sin ? -A?=0,又 0<A<π ,故 A= ,????????? ?6 分 3 ?3 ?

a b c 14 3 3 (Ⅱ)由正弦定理得 = = = ,则 sin B= b,sin C= c, sin A sin B sin C 14 14 3
所以 sin B+sin C=
2 2

3 13 3 (b+c)= ,即 b+c=13, 14 14
2 2 2 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 49=b +c -bc=(b+c) -3bc,从而 bc=40, 1 1 3 则△ABC 的面积为 S= bcsin A= ×40× =10 3.?????????12 分 2 2 2

18.(12 分)解: (1) ? 的 可能值为:0,1,2 P( ? =0)= 即
2 C50 ? C15 105 ? 2 C20 190

P( ? =1)=

1 1 C5 ? C15 75 ? 2 C20 190

P( ? =2)=

0 C52 ? C15 10 ? 2 C20 190

?
P

0

1

2

21 38

15 38

1 19
3 . 5

?????????? ???????????????????????4 分 (2)记在该县山区居民中随机抽取 1 户,其年用电量不超过 600 度为事件 A .则 P( A) ?

由已知可得从该县山区居民中随机抽取 10 户,记其中年用电量不超过 600 度的户数为 X 服从二项 分布,即 X ~ B(10, ) ,故 E ( X ) ? 10 ?

3 5

3 ? 6 .????????????8 分 5

(3)设该县山区居民户年均用电量为 E (Y ) ,由抽样可得

E (Y ) ? 100 ?

5 15 10 15 5 ? 300 ? ? 500 ? ? 700 ? ? 900 ? ? 500 (度) 50 50 50 50 50

则 该自然村年均用电约 150000 度 .又该村所装发电机组年预计发电量为 300000 度,故该机 组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 150000 度,能为该村创造直接收益 120000 元.??????????????????????????12 分

19(12 分) . (1) 证明:取 AB 中点 O ,连结 OD, OE , 因为△ ABE 是正三角形,所以 AB ? OE .

11

因为四边形 ABCD 是直角梯形, DC ?

1 AB , AB / /CD , 2

所以四边形 OBCD 是平行四边形, OD / / BC , 又 AB ? BC ,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 ODE ,所以 AB ? DE .?????????????????4 分 (2)解:因为平面 ABCD ? 平面 ABE , AB ? OE ,所以 OE ? 平面 ABCD , 所以 OE ? OD .如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系. ??????6 分 则 A(1, 0, 0) , B(?1, 0, 0) , D(0,0,1) , C (?1, 0,1) , E(0, 3,0) . 所以 AD=(?1,0,1) , DE =(0, 3, ?1) , 设平面 ADE 的法向量为 n1 =(x1 , y1 , z1 ) ,则

??? ?

??? ?

???? ?n1 ? DE ? 0 ? ? ? 3 y1 ? z1 ? 0 ?? , ? ???? ? x ? z ? 0 n ? AD ? 0 ? ? ? 1 1 ? 1
令 z1 ? 1,则 x1 ? 1 , y1 ?

3 3 .所以 n1 = (1, ,1) .??????????8 分 3 3

同理求得平面 BCE 的法向量为 n2 = ( ? 3,1,0) ,??????????10 分 设平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角为 ? ,则 cos ? ?

n1 ? n2 7 .?11 分 ? n1 n2 7

所以平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值为

7 .?????12 分 7

20(12 分) .解: (1)∵

An ?1 An 1 1 ?A ? ? ? ,∴数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 的等差数列, n ?1 n 2 2 ?n?



n ? n ? 1? An 1 1 1 ? A1 ? ? n ? 1? ? ? n ? ,即 An ? n? N* , n 2 2 2 2

?

?

∴ an ?1 ? An ?1 ? An ?

? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? n ? 1
2 2

?n ? N ? ,
*

* 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n n ? N . ??????????2 分

?

?

∵ bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ,∴数列 ?bn ? 是等差数列,
12

设 ?bn ? 的前 n 项和为 Bn ,∵ B9 ? ∴ b7 ? 9 ,∴ ?bn ? 的公差为

9 ? b3 ? b7 ? ? 63 且 b3 ? 5 , 2

b7 ? b3 9 ? 5 ? ? 1, bn ? n ? 2 ? n ? N * ? ????4 分 7?3 7?3

cn ?

bn an n ? 2 n 1 ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? ? ?, an bn n n?2 ?n n?2?
? ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 3 2 4 n n?2?

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n ? 2 ?1 ?

1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2n ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? 2 ? ? ,???????8 分 ? 2 n ?1 n ? 2 ? ? n ?1 n ? 2 ?

(2)数列 ?an ? 的前 n 项和 An ?

n ? n ? 1? n ? n ? 5? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ? , 2 2
k ? k ? 1? k ? k ? 5? ? ? k 2 ? 3k ; 2 2

* ①当 n ? 2k k ? N 时, Sn ? Ak ? Bk ?

?

?

* ②当 n ? 4k ? 1 k ? N 时,

?

?

Sn ? A2 k ?1 ? B2 k ?

? 2k ? 1?? 2k ? 2 ? ? 2k ? 2k ? 5? ? 4k 2 ? 8k ? 1,
2 2

特别地,当 n ? 1 时, S1 ? 1 也符合上式;
* ③当 n ? 4k ? 1 k ? N 时, Sn ? A2 k ?1 ? B2 k ?

?

?

? 2k ? 1? 2k ? 2k ? 2k ? 5? ? 4k 2 ? 4k .
2 2

1 2 3 ? n ? n, n ? 2k ? 4 2 ? 2 ? n ? 6n ? 3 综上: Sn ? ? , n ? 4k ? 3, k ? N * ??????????12 分 4 ? ? n 2 ? 6n ? 5 , n ? 4k ? 1 ? 4 ?
21(12 分) 【解析】 (1) y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a,0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2,0) , g '( x ? 1) ?

1 x ?1

2 2 由题意可得 kl1 ? kl2 ,即 a ? 1 , ∴ f ( x) ? x ? x, , f (2) ? 2 ? 2 ? 2 ????? ?2 分

13

(2) y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t 令 u ? x ln x ,在 x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ∴ u ? x ln x 在 1, e 单调递增, 0 ? u ? e,

? ?

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
①当 u ?

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

1 ? 2t 1 ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 2 2 ? e 即t ? ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e ? (2t ?1)e ? t ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ? e即 ? t ? 时, ③当 0 ? 2 2 2

ymin ? y |

1? 2t u? 2

1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ?( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? 2 2 4

1 ? 2e 2 2 时, ymin ? y |u ?e ? e ? (2t ?1)e ? t ? t ; 2 1 ? 2e 1 1 ? t ? ymin ? ? ; 当 2 2 4 1 2 当 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t ? t ????7 分 2 1 1 1 x ?1 (3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ? F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 , 得x ? 1 x x x x
综上:当 t ? 所以 F ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增

? F(1) ?0 ∴ 当x ? 1 时, F(x)

①当 m ? (0,1) 时,有 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ∴ 由 f ( x) 的单调性知

0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 )

从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ②当 m ? 0 时, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
由 f ( x) 的单调性知 0 ? F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) ,
14

∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ③当 m ? 1 时,同理可得 ? ? x1 , ? ? x2 , 得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. ∴综合①、②、③得 m ? (0,1) ????????????12 分

1 ? ?x ? 22.(10 分)解: (I)由曲线 C : ? ,可得 C 的普通方程是 x 2 ? y 2 ? 1. cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? tan ?
??2 分

1 ? x ? 3? t ? ? 2 ? 当 ? ? 时,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 3 3 ?y ? t ? ? 2
代入曲线 C 的普通方程,得 t 2 ? 6t ? 16 ? 0 ,??3 分 得 t1 ? t2 ? 6 ,则线段 AB 的中点对应的 t ? 故线段 AB 的中点的直角坐标为 ( ,

t1 ? t2 ?3, 2
??5 分

9 3 3 ). 2 2

(II)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,化简得

(cos2 ? ? sin 2 ? )t 2 ? 6cos ? t ? 8 ? 0 ,??7 分
则 | PA | ? | PB |?| t1t2 |?|

8 8(1 ? tan 2 ? ) | ? | | ,??9 分 cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ?
40 .??10 分 3

由已知得 tan ? ? 2 ,故 | PA | ? | PB |?

??2 x ? a ? 3, x ? a ? a ? x ? 3 ,??2 分 23(10 分)解: (I)由已知得 f ( x) ? ?3 ? a, ?2 x ? a ? 3, x ? 3 ?
当 x ? a ,即 a ? x ? 3 ? x ? 4 ,得 x ? 当 x ? 3 ,即 x ?

a ?1 ;??3 分 2

7?a ,??4 分 2

15

由已知 f ( x) ? 4 的解集为 {x | x ?

1 9 或 x ? } ,则显然 a ? 2 .??5 分 2 2

(II)不等式 f ( x)? | x ? 3 |? 1恒成立,即 | x ? a | ?2 | x ? 3 |? 1恒成立.??6 分 当 x ? a 时,即 ?3x ? a ? 5 ? 0 恒成立,得 ?3a ? a ? 5 ? 0 ,解得 a ?

5 ;??7 分 2

当 a ? x ? 3 ,即 ? x ? a ? 5 ? 0 恒成立,得 ?3 ? a ? 5 ? 0 ,解得 a ? 2 ;??8 分 当 x ? 3 ,即 3x ? a ? 7 ? 0 恒成立,得 9 ? a ? 7 ? 0 ,解得 a ? 2 .??9 分 综上得 a ? 2 .??10 分

16


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