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2.4.2抛物线的简单几何性质


2.4.2 抛物线的简单 几何性质

抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、 准线方程的对应关系是有规律的,这个规律是什么?

抛物线的标准方程的四种不同形式与图 形、焦点坐标、准线方程的对应关系是有规律 的,这个规律是什么?

第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y 轴)为抛物线的对称轴,焦点就在对称轴上. 第二:一次项的系数的正负决定了开口方向. 例1.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.

解:(1)当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=

(2)当焦点在 x 轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px, 得 p=

9 4


A

y

O

x

2 9 2 ∴抛物线的标准方程为x = y 或y2 3 2

=

4 ? x 3

思考例 4 2 l 斜率为 1 的直线 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F , 且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?

法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 还有没有其他方法? 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
一般地, 题目改为:

倾 斜 角 为 ? 的 直 线 经 过 抛 物 线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 , 与抛物线相交于 A 、B , 求线段 AB 的长.
2p AB ? sin 2 ?

2 y 例2、已知过抛物线 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F的 直线交抛物线于 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )两点。

(1)x1 ? x2 是否为定值?y1 ? y2 呢? 1 1 ? ( 2) 是否为定值? | FA | | FB |
y

A ( x1 , y1 )
F

这一结论非常奇妙,

变中有不变,动中有不动.

O

B ( x 2 , y2 )

x

变式题

设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为F,经过 点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物 线的准线上,且BC||x 轴,证明:直线AC经过 原点O。
2

l

y

A
O C B
F
x

问题(接上一节的思考): 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.

法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.

p ∵焦点 F ( , 0) ,直线 AB 的倾斜角为 ? 2 p ∴直线 AB 的方程为 x ? y cot ? ?

问题: 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的 焦点,与抛物线相交于 A 、B ,求线段 AB 的长. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

( x1 , y1 )

p ? ( x , y ) 2 2 ? x ? y cot ? ? 由? 2 消去 x 并整理得 y2 ? 2 py cot ? ? p2 ? 0 与直线 ? y 2 ? 2 px ? 的倾斜角 ∴ y1 ? y2 ? 2 p cot ? , y1 ? y2 ? ? p2 无关 ! 2 2 2 2 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) = (1 ? cot ? )( y1 ? y2 ) 很奇怪! 2p 2 2 = (1 ? cot ? ) ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 = 2 sin ?
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!

2

发现一个结论: 2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 ? y2 ? ? p .
2

M

这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K

几何解释,就是

? N

MK ? NK ? KF

2

思考: “一条直线和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?

D

选 B 如右图 准线为 l, | PF |? P 到 l 的距离. ∴ (| PA | ? | PF |)min ? A 到 l 的距离=4.

刚才发现的结论的逆命题是否成立? 已知直线 l 和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交,两个交点的纵坐 p 2 标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p ,求证:直线 l 过焦点 F ( , 0) . 2

大胆猜想: 继续大胆猜想 过定点 P(a,0) (a>0) 的一条直线和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 ? y2 是定值.

太漂亮了!

思考 1: 例 6

已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x , 直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直 2 l 线 与抛物线 y ? 4 x : ⑴只有一个公共点; ⑵有两个公共点;⑶没有公共点?

分析:用坐标法解决这个问题 ,只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况, 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.

思考 1: 例 6 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵ 有两个公共点; ⑶ 没有公共点?

解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2)
? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 消去 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 (Ⅰ) x 联立 ? 2 (*) ? y ? 4x

当 k ? 0 时, 方程( Ⅰ) 只有一解 , ∴ 直线与抛物线只有一个 公共点
1 ①当△=0 时,即 k ? 0 或 ? 2

……

……

……

思考 1: 例 6 2 已知抛物线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵ 有两个公共点; ⑶ 没有公共点?

?

课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 直线的方程是__________________________.
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
4?b 2

又 AB 与 CD 的距离 d=

,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

思考 2: 2 若抛物线 y ? x 存在关于直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: ?2 ? k ? 0

分 析: 假设 存在 关于 直线 l : y ? 1 ? k ( x ? 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k ? 0 不合题意,∴ k ? 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? ? x ? b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.

试试看!

学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.

x ? 2 ( y ≥2 2 ) (即在抛物线的内部)

3 2

直线与抛物线的位置关系 ⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交 : 直线与抛物线交于两个不同点 , 或直线与抛物线 的对称轴平行; 相切 : 直线与抛物线有且只有一个公共点 ,且直线不平 行于抛物线的对称轴; 相离:直线与抛物线无公共点. ⑵直线与抛物线的位置关系的判断. 把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是: ①方程组有一组解 ? 直线与抛物线相交或相切(1 个公 共点; ②方程组有两组解 ? 直线与抛物线相交(2 个公共点); ③ 方程组无解 ? 直线与抛物线相离


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