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10-11-1复变函数考试题A 2

2010-2011 拟题学院(系): 适 用 专 业:

学年 第一 学期 复变函数与积分变换 (A) 课程考试试题 数理学院 自动化各专业 拟题人: 校对人: 杨延召 王琳

(答案写在答题纸上,写在试题纸上无效) 一、 选择题(每小题 3 分,共 18 分)
1、设 z=1-i,则 Im( A、 ? 1

1 )=____________. z2

B、 ?

1 2

C、

1 2

D、 1

2、设 z=cosi,则____________. A、Imz=0 B、Rez=π C、|z|=0 3、设 C 为正向圆周|z|=1,则积分 A、0 4、幂极数 A、0 B、2π i C、2π

D、argz=π

? | z | =____________.
c

dz

D、-2π

?

(n ? 1)! n z 的收敛半径为____________. n ?1 (2n)!
?

B、1

C、2

D、+ ?

5、点 z=0 是函数 f ( z ) ? A、可去奇点 C、二阶极点 6、函数 sgn t ? ?

(e z ? 1) sin z 的_____________. z 2 ( z ? 1)

B、一阶极点 D、本性奇点

?? 1 t ? 0 在傅氏变换下的像为_____________. ?1 t ?0
B、

A、

1 1 ? i?

1 i?

C、

2 i?

D、

1 1 ? i?

1

二、 填空题(每小题 3 分,共 21 分)
n 1、当 z ? 1时, z ? a 的最大值为_____________.

2、 (1 ? i) i 为_________. 3、函数 f ( z ) ?
z 在 z ? 1 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. ( z ? 2)( z ? 3)

3? 3 ? 5? d? ,则 f ??(?i ) =_____________ 4、若 f ( z ) = ? ? ?z ? ?2
1

5、设 f ( z ) ? z (e z ? 1) ,则 Res[f (z),0]=__________. 6、已知函数 e 在拉氏变换下的像为才,则 (t ? 1) 2 e t 在拉氏变换下的像为______.
t

7、函数 ? ?

1 把 z 平面上的曲线 y ? x 映射成 ? 平面上的像为 ______. z

三、 计算题(每小题 10 分,共 50 分)
1、试讨论定义于复平面内的函数 f ( z ) ? z Re(z ) 在何处可导?何处解析?在可导点求其导函 数。 2、求 f ( z ) ?
2z ? 1 在圆环域 1< z <2 内的罗朗展开式. ( z ? 1)( z ? 2)

3、设 C 是正向圆周 z ? 1 ?

1 ez , 计算? 2 dz. C z ? 3z ? 2 2

4、利用留数定理计算积分

ez ?z ?2 ( z 2 ? 1) 2 dz.

5、求积分 I ?

?

?? ??

2cos x dx . x ? 4x ? 5
2

四、 综合题(11 分)
f ' ( z) ? 0 在区域 D 内处处成立的充要条件为 f ( z ) 在区域 D 内为一常数

2


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