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立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 09 讲:立体几何 1、 ( 2010 一试 7) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? 【答案】 【解析】 10 4 A1 C1 E B1 O A P C B 设分别与平面 BA 1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则 ? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, 由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos ? ,即 ?? ? ?? ? 3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 6 10 .所以 sin ? ? . 4 4 解法二:如图, PC ? PC1 , PA 1 ? PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA 1 ? OB, OA ? OB 1, A 1B ? AB 1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从而 AB1 ? 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE ? A 1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角.设 AA1 ? 2 ,则易求得 PB ? PA 2, PO ? 3 . 1 ? 5, A 1O ? B1O ? 在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即 2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ? 6 5 . 又B1O ? 2,? B1E ? B1O2 ? OE 2 ? 2 ? 6 4 5 BO 2 10 . sin ? ? sin ?B1 EO ? 1 ? . ? ? 5 5 B1 E 4 5 4 5 2、(2011 一试 6)在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四面 体 ABCD的外 接球的半径为 【答案】 3 【解析】 因为 ?CDA ? ?CDB ? ?ADB? 60? ,设 CD 与平 面 ABD所成角为 ? ,可求得 cos? ? 1 2 2 3 CD ? 1, DN ? ? DP ? ? ? 3 ? 3 .学科*网 2 3 3 2 1 3 ?2, 1 3 , sin? ? 2 3 . 在△ DMN中, DM ? 由余弦定理得 MN 2 ? 12 ? ( 3 ) 2 ? 2 ?1 ? 3 ? 故 MN ? 2 .四边形 DMON的外接圆的直径 OD ? MN ? sin? 2 2 3 ? 3 .故球 O 的半径 R ? 3 . 3、 (2012一试 5)设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ? ABC 的 侧面与底面所成的角为 45? ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是. 【答案】4 【解析】 1 AH ,因为 ?PAQ ? 90? , AH ? PQ, 2 1 2 2 所以 AP ? PH ? QH , 即 AH ? AH ? QH . 2 QH ?4 所以 QH ? 2 AH ? 4MH . ,故 tan ?QMH ? MH ,从而 PH ? MH ? 4、 (2013 一试 4)已知正三棱锥 P ? ABC 底面边长为 1 ,高为 2 ,则其内切球半径为. 【答案】 【解析】 P 2 6 K O A H M B C K、 M 如图, 设球心 O 在面 ABC 与面 ABP 内的射影分别为 H 和 K ,AB 中点为 M , 内切球半径为 r , 则 P、 共线, P、O、H 共线, ?PHM ? ?PKO ? ? 2 ,且 OH ? OK ? r , PO ? PH ? OH ? 2 ? r , MH ? 3 3 1 5 3 AB ? ?2 ? , PM ? MH 2 ? PH 2 ? , 6 6 12 6 于是有 r 2 ?r ? 2 OK MH 1 . ? sin ?KPO ? ? ,解得 r ? 6 PO PM 5 5、 (2014 一试 5)已知正四棱锥 P ? ABCD 中,侧面是边长为 1 的正三角 形, M , N 分别是边 AB, BC 的 中点,则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是__ ___________. 【答案】 2 4 6、 (2016 一试 5)设 P 为一圆锥的顶点,A,B,C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC =90° ,M 为 AP 的 中点.若 AB=1,AC=2, AP ? 【答案】 arctan 【解析】 2 ,则二面角 M—BC—A 的大小为 . 2 3 由 ?ABC =90° 知,AC 为底面圆的直径.设底面中心为 O,则 PO ? 平面 ABC,易知 AO ? 1 AC ? 1 ,进而 2 PO ? AP2 ? AO2 ? 1 . 设 H 为 M 在底面上的射影, 则 H 为 AO 的中点.在底面中作 HK ? BC 于点 K, 则由三垂线定理知 MK ? BC , 从而 ?MKH 为二面角 M—BC—A 的平面角. 1 HK HC 3 3 MH 2 ? ? , ? . , 结合 HK 与 AB 平行知, 即 HK ? , 这样 tan ?MKH ? 2 AB AC 4 4 HK 3 2 故二面角 M—BC—A 的大小为 arctan .

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