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立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编


2009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 09 讲:立体几何 1、 ( 2010 一试 7) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点, 二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则 sin ? ? 【答案】 【解析】 10 4 A1 C1 E B1 O A P C B 设分别与平面 BA 1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则 ? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, 由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos ? ,即 ?? ? ?? ? 3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 6 10 .所以 sin ? ? . 4 4 解法二:如图, PC ? PC1 , PA 1 ? PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA 1 ? OB, OA ? OB 1, A 1B ? AB 1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 , 从而 AB1 ? 平面 PA1 B . 过 O 在平面 PA 1 B 上作 OE ? A 1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角.设 AA1 ? 2 ,则易求得 PB ? PA 2, PO ? 3 . 1 ? 5, A 1O ? B1O ? 在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE ,即 2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ? 6 5 . 又B1O ? 2,? B1E ? B1O2 ? OE 2 ? 2 ? 6 4 5 BO 2 10 . sin ? ? sin ?B1 EO ? 1 ? . ? ? 5 5 B1 E 4 5 4 5 2、(2011 一试 6)在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四面 体 ABCD的外 接球的半径为 【答案】 3 【解析】 因为 ?CDA ? ?CDB ? ?ADB? 60? ,设 CD 与平 面 ABD所成角为 ? ,可求得 cos? ? 1 2 2 3 CD ? 1, DN ? ? DP ? ? ? 3 ? 3 .学科*网 2 3 3 2 1 3 ?2, 1 3 , sin? ? 2 3 . 在△ DMN中, DM ? 由余弦定理得 MN 2 ? 12 ? ( 3 ) 2 ? 2 ?1 ? 3 ? 故 MN ? 2 .四边形 DMON的外接圆的直径 OD ? MN ? sin? 2 2 3 ? 3 .故球 O 的半径 R ? 3 . 3、 (2012一试 5)设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P ? ABC 的 侧面与底面所成的角为 45? ,则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的正切值是. 【答案】4 【解析】 1 AH ,因为 ?PAQ ? 90? , AH ? PQ, 2 1 2 2 所以 AP ?

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