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2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习:第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时) Word版含解析

第三章

§1

1.1

第 2 课时

1.若 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在 R 上为增函数,则( A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 解析:由 f′(x)=3ax2+2bx+c≥0, 知 Δ=4b2-12ac≤0,故 b2-3ac≤0. 答案:D B.b>0,c<0 D.b2-3ac≤0

)

k k 2.若函数 h (x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3 A.[-2,+∞) C.(-∞,-2] B.[2,+∞) D.(-∞,2]

)

2 k 2x + k 解析:根据已知条件得 h′(x)=2+ 2= 2 ≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 k≥-2x2 x x

在(1,+∞)上恒成立,所以 k∈[-2,+∞). 答案:A 3.若函数 f (x)=x3-3ax2-2x+5 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( 1 A.a≥ 6 1 C.a= 6 1 B.a> 6 1 D.0<a< 6 )

解析:∵f′(x)=3x2-6ax-2,f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式 3x2-6ax-2<0 在(0,1) 内恒成立. 1 1 ∴a> x- 在(0,1)内恒成立. 2 3x 1 1 1 1 1 1 ∵函数 g(x)= x- 在(0,1)内是增函数,且 g(x)<g(1)= - = ,∴a≥ . 2 3x 2 3 6 6 答案:A 4.已知函数 f(x)=x3+ax 在区间[0,+∞)上是增加的,则 a 的取值范围是________. 解析:∵f′(x)=3x2+a,当 x≥0 时,f′(x)≥0 恒成立,即 3x2+a≥0 恒成立,∴a≥- 3x2. 又当 x≥0 时,-3x2≤0,∴a≥0. 即 a 的取值范围是[0,+∞). 答案:[0,+∞) 5.设函数 f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.

(1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立. 解:(1)∵f(x)=a2ln x-x2+ax,∴x>0, ?x-a??2x+a? a2 f′(x)= -2x+a=- . x x ∵x>0,a>0, ∴f(x)的递增区间为(0,a),递减区间为(a,+∞). (2)由题意,得 f(1)=a-1≥e-1,∴a≥e. 由(1)知 f(x)在[1,e]内单调递增.
? ?f?1?=a-1≥e-1, 要使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,只要? 解得 a=e. 2 2 2 ?f?e?=a -e +ae≤e , ?


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