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2011年新课标版高考题库考点24 数列求和及综合应用


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考点 24
一、选择题

数列求和及综合应用
)

1. (2011· 江西高考理科· T5) 已知数列 { an }的前 n 项和 sn 满足:sn + sm = sn ? m , 且 a1 =1, 那么 a10 =( (A)1 【思路点拨】 (B)9 (C)10 (D)55

结合s n ? s m ? s n ? m,对m, n赋值,令n ? 9, m ? 1, 即得S9 ? S1 ? S10 , 即得a10 ? 1.
【精讲精析】选 A.

? s n ? s m ? s n ? m ? 令n ? 9, m ? 1, 即得S9 ? S1 ? S10 , 即S1 ? S10 -S9 =a10 =1 , ? a10 =1.
2.(2011·安徽高考文科·T7)若数列 ?a n ?的通项公式是 a n=(-1) (3 n -2),则 a1 ? a2 ? … ? a10 ? (
n

)

(A)15

(B)12

(C) ? 12

(D) ? 15

【思路点拨】观察数列 ?a n ?的性质,得到 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3. 【精讲精析】选 A. a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3. 故 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 15. 二、填空题 3.(2011·江苏高考·T13)设 1=a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列,a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题,解题的关键是找出等差数列与等比数列的结 合点,从而找到 q 满足的关系式,求得其最小值. 【精讲精析】由题意: 1 ? a1

? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q 2 ? a2 ? 2 ? a1q3 ,


? a2 ? q ? a2 ? 1, a2 ? 1 ? q 2 ? a2 ? 2 , q3 ? a2 ? 2 ? 3 ,而? a2 ? 1, a1 ?1, ? a2, a2 ?1, a2 ?2
最小值分别为 1,2,3;? qmin ? 3 3 . 【答案】 3 3
-1-

4.(2011·浙江高考文科·T17)若数列 ?n(n ? 4)( ) n ? 中的最大项是第 k 项,则 k =_______________.

? ?

2 ? 3 ?

【思路点拨】可由不等式组 ?

?ak ? ak ?1 解得. ?ak ? ak ?1

k k ?1 ? ?2? ?2? ?k (k ? 4) ? ? ? (k ? 1)(k ? 5) ? ? ?ak ? ak ?1 ? ?3? ?3? 【精讲精析】设最大项为第 k 项,则由不等式组 ? 得? ,即 k k ?1 ?ak ? ak ?1 ? ?2? ?2? ? ? (k ? 1)(k ? 3) ? ? ?k (k ? 4) ? ?3? ?3? ?

2 ? k (k ? 4) ? (k ? 1)(k ? 5) ? ? ? 3 ,解得 10 ? k ? 10 ? 1 ,故 k ? 4 . ? 2 ?k (k ? 4) ? ? (k ? 1)(k ? 3) ? 3 ?
【答案】4 三、解答题 5.(2011·安徽高考理科·T18)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n +2 个数构成递增的等比数列, 将这 n +2 个数的乘积记作 Tn ,令 an ? lg Tn , n ? 1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan a n ?tan a n ?1 , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 【思路点拨】本题将数列问题和三角函数问题结合在一起,解决此题需利用等比数列通项公式,等差数列 前 n 项和公式,及两角差的正切公式等基本知识. 【精讲精析】 (Ⅰ)设这 n +2 个数构成的等比数列为 ?c n ? ,则 c1 ? 1, cn?2 ? 100 ,则

q n?1 ? 100 , q ? 100 n?1 ,又 Tn ? c1 ? c2 ? ?? cn ?2 ? 1? q ? q 2 ??? q n ?1 ? q
所以 an ? lg Tn ? lg q
( n?1)(n?2) 2

1

(n ?1)(n ? 2) 2

? lg 100

n?2 2

? n ? 2, n ? 1.

(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1.
另一方面,利用

tan1 ? tan ?(k ? 1) ? k ? ?


tan(k ? 1) ? tan k , 1 ? tan(k ? 1) ? tan k

tan(k ? 1) ? tan k ?

tan(k ? 1) ? tan k ? 1. tan1
-2-

所以

S n ? ? bk ? ? tan( k ? 1) ? tan k
k ?1 k ?3

n

n?2

tan( k ? 1) ? tan k ? 1) tan1 k ?3 tan( n ? 3) ? tan 3 ? ? n. tan1 ? ?(
n?2

6.(2011·江苏高考·T20)设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n , 已知对任意整数 k ? M,当整数 n>k 时, S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) 都成立. (1)设 M={1} , a 2 ? 2 ,求 a 5 的值; (2)设 M={3,4} ,求数列 {a n } 的通项公式. 【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、前 n 项和与通项关系,其中(1)问较为容易, (2)问解决的 关键是抓住题目的 S n ? k ? S n ?k ? 2( S n ? S k ) 的转化从中找到解决问题的规律. 【精讲精析】(1)由题设知,当 n ? 2 时, S n ?1 ? S n ?1 ? 2( S n ? S1 ) 即 ( S n ?1 ? S n ) ? ( S n ? S n ?1 ) ? 2S1 ,从而 a n ?1 ? a n ? 2a1 ? 2 ,又 a 2 ? 2 , 故当 n ? 2 时, a n ? a 2 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 2 ,所以 a 5 的值为 8. (2) 由题设知, 当 k ? M ? ?3,4?,且 n ? k 时,

S n? k ? S n?k ? 2( S n ? S k ) 且 S n ?1? k ? S n?1?k ? 2( S n ?1 ? S k ) ,
两式相减得 a n ?1? k ? a n ?1? k ? 2a n ?1 ,即 a n ?1? k ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1?k ,所以当 n ? 8 时,

an?6 , an?3 , an , an?3 , an?6 成等差数列,且 an?6 , an?2 , an?2 , an?6 也成等差数列,
从而当 n ? 8 时, 2a n ? a n ?3 ? a n ?3 ? a n ?6 ? a n ?6 且 a n ? 2 ? a n ? 2 ? a n ? 6 ? a n ?6 . 所以当 n ? 8 时, 2a n ? a n ? 2 ? a n ? 2 ,即 a n ? 2 ? a n ? a n ? a n ? 2 ,于是, 当 n ? 9 时, a n ?3 , a n ?1 , a n ?1 , a n ?3 成等差数列, 从而 a n ?3 ? a n ?3 ? a n ?1 ? a n ?1 ,故由 (?) 式知 2a n ? a n ?1 ? a n ?1 ,即 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ,当 n ? 9 时, 设 d ? a n ? a n ?1 ,当 2 ? m ? 8 时, m ? 6 ? 8 ,
-3-

(?) ,

从而由 (?) 式知 2a m?6 ? a m ? a m?12 ,故 2a m?7 ? a m ?1 ? a m ?13 , 从而 2(a m?7 ? a m?6 ) ? a m ?1 ? a m ? (a m ?13 ? a m ?12 ) ,于是 a m?1 ? a m ? 2d ? d ? d . 因此 a n ?1 ? a n ? d ,对任意 n ? 2 都成立. 又由 S n ? k ? S n ?k ? 2S n ? 2S k ( k ? ?3,4?) 可知 ( S n ? k ? S n ) ? ( S n ? S n ?k ) ? 2S k , 故 9d ? 2S 3 且 16d ? 2S 4 .解得 a 4 ?

7 3 1 d ,从而 a 2 ? d , a1 ? d . 2 2 2

因此,数列 ?a n ?为等差数列,由 a1 ? 1 知 d ? 2 , 所以数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 2n ? 1 . 7.(2011·新课标全国高考理科·T17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .
2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

bn b ?n log ?2...... ? log ? log a1log ? log ? ...... ? log a { (Ⅱ)设 求数列 3 a1 3 a2 3 an 3? 3a 3, n,
2

1 } 的前 n 项和. bn

【思路点拨】第(Ⅰ)问可由 2a1 ? 3a2 ? 1 , a3 ? 9a2 a6 联立方程组求得 a1 和公比 q ,从而求得 an 的通 项公式.第(Ⅱ)问中,需先利用对数的性质化简 bn ,再用裂项相消的方法求数列 {
2 2 a3 ? 9a4 所以 q 2 ? 【精讲精析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a

1 } 的前 n 项和. bn

3

2

1 . 9

1 1 .由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a1q ? 1 ,所以 a1 ? . 3 3 1 n 故数列 {an } 的通项公式为 an = ( ) . 3
由条件可知 an ? 0 ,故 q ? (Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2
.



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 ,

.

-4-

所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1 .
1 1 ,公比 q ? . 3 3

8.(2011·新课标全国高考文科·T17)已知等比数列 {a n } 中, a1 = (1) S n 为 {a n } 的前 n 项和,证明:

Sn ?

1 ? an . 2

(2)设 bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ??? ? log 3 an ,求数列{ bn }的通项公式. 【思路点拨】第(1)问利用等比数列通项公式和求和公式求出 S n , an ,然后证明等式 S n ? (2)利用对数的性质化简 bn ,即得{ bn }的通项公式.

1 ? an 成立; 2

【精讲精析】 (1)?

an ?

1 1 ( ) 3

n ?1

3

?(

1 ) 3

n

1 1 1 (1- n ) 1- n 3 3 ? 3 ,Sn ? 1 2 13

? Sn ?

1 ? an . 2

(2) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ??? ? log3 an

n(n + 1) . 2 n(n + 1) ?数列{ bn }的通项公式为 b n = . 2 = - (1 + 2 + 3 + ... + n) = 9.(2011·广东文科·T20)设 b>0,数列 ?a n }满足 a1=b, a ? n (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n, 2a n ? b
an
n ?1

nban ?1 (n≥2) . an ?1 ? n ? 1

+1.
b a n?1 an 1? b b a n?1 1? b

【思路点拨】 (1)把题中条件变形为 n ? 1 ? 1 ? n ? 1 ,构造成为 n ? 1 ? 1 ( n ? 1 ? 1 ) ,转化为等比数列,
b

求得 { n ? 1 } 的通项公式,进而求出 {an } 的通项公式.
an 1? b

(2)利用均值不等式证明. 【精讲精析】 (1)由已知得 n ? 1 ? 1 ? n ? 1(n ? 2 ,当 b ? 1 时,上式变形为: n ? 1 ? 1 ( n ? 1 ? 1 ) , )
an b b a n?1 an 1? b b a n?1 1? b

1 1 1 即数列 { n ? 1 } 是以 a ? 1 ? b ? b(1 ? b) 为首项,以 1 为公比的等比数列,由等比数列的通项公式 an 1 ? b b 1

得: n ? 1 ?
an 1? b

(1 ? b)nbn 1 ( 1 ) n?1 ? 1 ,解得 an ? ; n b(1 ? b) b 1 ? bn (1 ? b)b
an?1 an

当 b ? 1 时,有 n ? n ? 1 ? 1 ,即{ n }是首项公差均为 1 的等差数列,则 an ? 1 .
an

-5-

综上所述 an ? ? ? (1 ? b)nb n
? n ? 1? b

(b ? 1) ?1          (b ? 0且b ? 1)

.

n (2)方法一:当 b ? 1时, (欲证2an ? 2nb (b ? 1) ? bn ?1 ? 1, n

b ?1

只需证 2nb n ? (b n ?1 ? 1) b ? 1) b ?1
n

? (b n ?1 ? 1)

bn ? 1 ? b 2 n ? b 2 n ?1 ? ? ? b n ?1 ? b n ?1 ? b n ?2 ? ? ? 1 b ?1

? bn (bn ?

1 1 1 ? bn ?1 ? n?1 ? ? ? b ? ) bn b b

? bn (2 ? 2 ? ? ? 2) ? 2nb n ,

? 2an ?

2nb n (b ? 1) ? 1 ? b n ?1 . bn ? 1
n+1

当 b=1 时,b +1=2=2an, 综上所述 2an ? b n ?1 ? 1. 方法二:由(1)及题设知: 当 b ? 1 时, b n?1 +1=2=2 a n ;

当 b ? 0且b ? 1 时,
n

1 1? b ? ? k ?1 n a n (1 ? b)nb n nb
n

? bk ?1

n

?

1 ? b

?b
k ?1

n

1
n ?k

n

,而

?b
k ?1

1
n ?k

n

1 1 1 1 ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? ??? ? ( )1 ? ( )0 ?1 1 (n ?1)?(n ? 2)?????1? 0 1 n2 b b b b 1 n ? ? ( ) ? ( ) ,? a n n b b
n ?1 2

1 , ?1 (1)2 ? n ?1 b b b 2

n ?1

即 2 a n ? 2b

,又 b n?1 ? 1 ? 2 b n?1 ? 2b

n?1 2

, ? 2an ? b n?1 ? 1 .

综上所述,对于一切正整数 n 有 2an ? b n?1 ? 1 . 10.(2011·广东高考理科·T20)设 b ? 0 数列 ?an ? 满足 a1 =b, an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 (2)证明:对于一切正整数 n, an ? n ?1 ? 1 2

.

n 1 2 n ?1 ? 1 ) n n ?1 ?1 【思路点拨】 (1)把题中条件变形为 b ? a ? 2 ? a ,构造成为 a ? 2 ? b ? b ( a 2 ? b ,转 n n ?1 n n ?1
n 1 ? 的通项公式,进而求出 {a } 的通项公式.或用猜想证明的方法解决. 化为等比数列,求得 ? n ? ? ? ?an 2?b?

(2)利用均值不等式证明.
-6-

【精讲精析】 (1)方法一:由已知得 an an?1 ? (2n ? 2)an
b ? n ? 2 ? n ?1 ?1 , an a n ?1

? nban?1 ,两边同除以 an an?1 ,整理得

n 1 2 n ?1 ? 1 ) n 1 当 b ? 2 时有: a ? 2 ? b ? b ( a 2 ? b ( n ? 2 )令 cn ? a n ? 2 ? b ,则 {cn } 是以 n n ?1
2 c1 ? 1 ? 1 ? q ? 2 为公比的等比数列.由等比数列通项公式得 a1 2 ? b b( 2 ? b) 为首项, b
cn ?

n ? 1 ? 2n 2 ( 2 ) n?1 ? 2n ,即 n n an 2 ? b b (2 ? b) b(2 ? b) b b (2 ? b)

从而 an ?

(2 ? b)nbn . 2n ? b n

n n ?1 ? 1 {n} 1 当 b ? 2 时,有 a ? a 2 ,即 a n 是首项与公差均为 2 的等差数列,从而有 n n ?1
(b ? 2) ?2       ? n 综上所述 an ? ? (2 ? b)nb    (b ? 0且b ? 2) ? n n ? 2 ?b
方法二: (ⅰ)当 b ? 2 时, {

n ?n a n 2 ,得 an ? 2 .

n 1 1 } 是以 为首项, 为公差的等差数列, an 2 2



n 1 1 1 ? ? (n ? 1) ? ? n ,∴ an ? 2 . an 2 2 2

(ⅱ)当 b ? 2 时, a1 ? b , a2 ?

2b 2 2b 2 (b ? 2) 3b3 3b3 (b ? 2) ? 2 a ? ? , , 3 b?2 b2 ? 2b ? 4 b3 ? 23 b ? 22

猜想 an ?

nb n (b ? 2) ,下面用数学归纳法证明: b n ? 2n

①当 n ? 1时,猜想显然成立; ②假设当 n ? k 时, ak ?

kb k (b ? 2) ,则 b k ? 2k

ak ?1 ?

(k ? 1)b ? ak (k ? 1)b ? kb k (b ? 2) (k ? 1)b k ?1 (b ? 2) ? k ? , ak ? 2k kb (b ? 2) ? 2k ? (b k ? 2k ) b k ?1 ? 2k ?1

所以当 n ? k ? 1时,猜想成立,

-7-

nb n (b ? 2) 由①②知, ?n ? N * , an ? . b n ? 2n
(b ? 2) ?2       ? n 综上所述 an ? ? (2 ? b)nb    (b ? 0且b ? 2) ? n n ? 2 ?b

(2)方法一: (ⅰ)当 b ? 2 时, an ? 2 ?

2n ?1 ? 1 ,故 b ? 2 时,命题成立; 2n ?1

(ⅱ)当 b ? 2 时, b 2 n ? 22 n ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 b n ,

b 2 n ?1 ? 2 ? b ? 22 n ?1 ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 b n ,
?? , b n ?1 ? 2n ?1 ? b n ?1 ? 2n ?1 ? 2 b 2 n ? 22 n ? 2n ?1 b n ,以上 n 个式子相加得

b2n ? b2 n?1 ? 2 ? ? ? bn?1 ? 2n?1 ? bn?1 ? 2n?1 ? ? ?b ? 22n?1 ? 22n ? n ? 2n?1 bn ,
an ? n ? 2n ?1 b n (b ? 2) [(b 2 n ? b 2 n ?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n ?1 ? 22 n ) ? b n ? 2n ](b ? 2) ? 2n ?1 (b n ? 2n ) 2n ?1 (b n ? 2n )

?

(b 2 n ? b 2 n ?1 ? 2 ? ? ? b ? 22 n ?1 ? 22 n )(b ? 2) ? b n ? 2n (b ? 2) 2n ?1 (b n ? 2n )

?

(b 2 n ?1 ? 22 n ?1 ) ? b n ?1 ? 2n ? b n ? 2n ?1 2n ?1 (b n ? 2n )

?

(b 2 n ?1 ? b n ?1 ? 2n ) ? (b n ? 2n ?1 ? 22 n ?1 ) bn ?1 ? n ?1 ? 1 .故当 b ? 2 时,命题成立; 2n ?1 (b n ? 2n ) 2

综上(ⅰ) (ⅱ)知命题成立.

b n ?1 方法二:由(1)及题设知: 当 b ? 2 时, n ?1 ? 1 ? 2 ? an ,故 b=2 时,命题成立; 2
n n 当 b ? 0且b ? 2 时, 1 ? 2 ? b ? an n(2 ? b)b n

? 2n?k bk ?1
k ?1

n

nb

n

?

1 n 2n ? k b k ?1 1 n 2n ? k ? ? ? nb k ?1 b n ?1 nb k ?1 b n ? k

2n ? k 1 ? bn?k ? k ?1 ; b n
n



?1 2 n ?1 2 n?2 2 1 2 0 ) ? (b ) ?? ? ( b ) ? (b ) 1 n 2n ? k ( b 2 ( n ?1) ? ( n ? 2) ???1? 0 2 n2 n ? ? ( ) ? ( ) ? n k ?1 b n ? k n b b
n ?1 2
n ?1 n ?1 n ?1 ,又 b n ?1 ? 1 ? 2 b n ?1 ? 2( b ) 2 2 2 2

b 1 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ,即 an ? 2( ) 2 an b b 2 b

综上所述:对于一切正整数 n, an ? b n ?1 ? 1 . 2 11.(2011·山东高考理科·T20)
-8-

n ?1

等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下 表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn.
n

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

【思路点拨】 (Ⅰ)由题意易知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 .由等比数列的通项公式写出数列的通项公式. (Ⅱ)由题意易知数列 ?bn ? 为摆动数列,利用分组求和法,可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前 n 项和,但是要分奇数和偶数两种情况讨论. 【精讲精析】 (Ⅰ)由题意可知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,公比 q ? 通项公式为 an ? 2 ? 3
n ?1

a2 a3 ? ?3, a1 a2


n ?1

(Ⅱ) bn ? an ? ? ?1? ln an ? 2× 3
n

? (?1) n ln(2× 3n ?1 ) ? 2× 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? ( n ? 1) ln 3]

当 n ? 2k (k ? N*) 时, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? b2 k

? 2(1 ? 3 ? ? ? 32 k ?1 ) ? {1 ? (?2 ? 3) ? ? ? [?(2k ? 2) ? (2k ? 1)]}ln 3

? 2×

1 ? 32 k n ? k ln 3 ? 3n ? 1 ? ln 3 1? 3 2

当 n ? 2k ? 1(k ? N*) 时, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? b2 k ?1

? 2(1 ? 3 ? ? ? 32 k ?2 ) ? {(1 ? 2) ? ? ? [(2k ? 3) ? (2k ? 2)] }ln 3 ? ln 2

? 2×

1 ? 32 k ?1 n ?1 ? (k ? 1) ln 3 ? ln 2 ? 3n ? 1 ? ln 3 ? ln 2 1? 3 2

n ? n 3 ? 1 ? ln 3, n为偶数; ? ? 2 S ? 故 n ? ? 3n ? 1 ? n ? 1 ln 3 ? ln 2,n为奇数. ? ? 2
-9-

12.(2011·山东高考文科·T20) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中的任何两个数不在下 表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn = an ? (?1) ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2 n .
n

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

3 6 9

【思路点拨】 (I)由题意易知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 .由等比数列的通项公式写出数列 ?an ? .(Ⅱ)由题意 易知数列 ?bn ? 可利用分组法求和. 【精讲精析】 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列 ?an ? 的 通项公式 an ? 2 ? 3
n ?1

.
n

n ?1 (Ⅱ) bn = an ? (?1) ln an = 2 ? 3 ? (?1) [ln 2 ? (n ? 1) ln 3]
n

= 2?3

n ?1

? (?1)n ln 2 ? (?1)n (n ? 1) ln 3 ,

所以

S2 n ? (2 ? 30 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32 n?1 ) ? [(?1)1 ? (?1) 2 ? ? ? (?1) 2 n ]ln 2 ? [(?1)1 ? 0 ?

(?1)2 ?1 ? (?1)3 ? 2 ? ? ? (?1)2 n ? (2n ? 1)]ln 3

2(1 ? 32 n ) ? ? (?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1) ln 2 ? [0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 2) ? (2n ? 1)]ln 3 1? 3
= 9 ? 1 + 0 ? ln 2 ? n ln 3 ? 9 ? 1 ? n ln 3 .
n n

13.(2011·辽宁高考理科·T17)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?

【思路点拨】(Ⅰ)先求首项 a1 和公差 d ,再求通项公式; (Ⅱ)可利用错位相减法求和.
- 10 -

【精讲精析】 (Ⅰ)设等差数列 ?a n ?的公差为 d , 由已知条件可得 ? 的通项公式为

? a1 ? 1, 故数列 ?a n ? ? ?2a1 ? 12 d ? ?10, ?d ? ?1.
?

a1 ? d ? 0,

a n ? 2 ? n.

(Ⅱ)设数列 ?

a a ? an ? 的前 n 项和为 S n ,即 S n = a1 ? 2 ? ? ? nn , 故 S 1 =1, n ?1 ? 2 2 ?1 ?2 ?

S n a1 a 2 a S a ?a a a ? a1 .所以,当 n >1 时, n = a1 ? 2 ? ? ??? n ? ? ? n n?1 n ?1 - n n 2 2 4 2 2 2 2 2n
=1 ? ( ?

1 2

1 1 2?n 1 2?n n n ? ? ? n ?1 ) ? n = 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n = n ,所以 S n = n ?1 4 2 2 2 2 2 2 n ? an ? 的前 n 项和 S n = n ?1 . n ?1 ? 2 ?2 ?

综上,数列 ?

14.(2011·北京高考理科·T20)若数列 A n : a1 , a2 ,..., an (n ? 2) 满足 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1) ,则 称 An 为 E 数列,记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S(A5 ) > 0 的 E 数列 A 5 ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0?如果存在,写出一 个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由. 【思路点拨】 (Ⅰ)写出满足条件的一个数列即可; (Ⅱ)分别证明必要性与充分性; (Ⅲ)先假设存在, 看能否求出,求出即存在,求不出则不存在. 【精讲精析】 (Ⅰ)0,1,2,1,0 是一个满足条件的 E 数列 A5 . (答案不唯一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 数列 A5 ) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 An 是递增数列,所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,?,1999) . 所以 An 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.所以 a2000 ? 12 ? (2000 ? 1) ?1 ? 2011 . 充分性:由于 a2000 ? a1999 ? 1, a1999 ? a1998 ? 1 ,…, a2 ? a1 ? 1 , 所以 a2000 ? a1 ? 1999 ,即 a2000 ? a1 ? 1999 . 又因为 a1 ? 12, a2000 ? 2011 ,所以 a2000 ? a1 ? 1999 .

- 11 -

故 ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1, 2,?,1999) ,即 An 是递增数列. 综上,结论得证. (Ⅲ)令 ck ? ak ?1 ? ak (k ? 1, 2,3,?, n ? 1) ,则 ck ? ?1. 因为 a2 ? a1 ? c1 , a3 ? a1 ? c1 ? c2 ,…, an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 , 所以 S ( An ) ? na1 ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? cn ?1

? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 1 ? [(1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn?1 )]

?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn?1 )] 2

因为 ck ? ?1,所以 1 ? ck 为偶数 (k ? 1, 2,?, n ? 1) . 所以 (1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ?1 ) 为偶数. 所以要使 S ( An ) ? 0 ,必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2
*

即 4 整除 n(n ? 1) ,亦即 n ? 4m 或 n ? 4m ? 1(m ? N ) 当 n ? 4m(m ? N ) 时,E 数列 An 的项满足 a4 m?1 ? a4 m?3 ? 0, a4 m? 2 ? ?1, a4 m ? 1 (k ? 1, 2,?, m) 时,有
*

a1 ? 0, S ( An ) ? 0 ;
当 n=4m+1 (m ? N ) 时,E 数列 An 的项满足 a4 m?1 ? a4 m?3 ? 0, a4 m? 2 ? ?1, a4 m ? 1 (k ? 1, 2,?, m) 时,有
*

a1 ? 0, S ( An ) ? 0 ;
当 n=4m+2 或 n=4m+3 (m ? N ) 时,n(n-1)不能被 4 整除,此时不存在 E 数列 An ,使得 a1 ? 0, S ( An ) ? 0 .
*

15.(2011·北京高考文科·T20)若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,..., n ? 1) ,则 : 称 An 为 E 数列.记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an .

as5 ? ?0 0 ,且 S( A5 )>0 的 E 数列 A 5 ; (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? a
(Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)在 a1 ? 4 的 E 数列 An 中,求使得 S ( An ) ? 0 成立的 n 的最小值. 【思路点拨】 (Ⅰ)写出满足条件的一个数列即可; (Ⅱ)分别证明必要性与充分性; (Ⅲ)利用 E 数列的 定义找出前面几项的和与 0 的关系,再求 n 的最小值. 【精讲精析】 (Ⅰ)0,1,2,1,0 是一个满足条件的 E 数列 A5 .
- 12 -

(答案不惟一,0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 数列 A5 ) (Ⅱ)必要性:因为 E 数列 An 是递增数列,所以 ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,?,1999) . 所以 An 是首项为 12,公差为 1 的等差数列.所以 a2000 ? 12 ? (2000 ? 1) ?1 ? 2011 . 充分性:由于 a2000 ? a1999 ? 1, a1999 ? a1998 ? 1 ,…, a2 ? a1 ? 1 , 所以 a2000 ? a1 ? 1999 ,即 a2000 ? a1 ? 1999 . 又因为 a1 ? 12, a2000 ? 2011 ,所以 a2000 ? a1 ? 1999 . 故 ak ?1 ? ak ? 1 ? 0(k ? 1, 2,?,1999) ,即 An 是递增数列. 综上,结论得证. (Ⅲ)对首项为 4 的 E 数列 An 由于 a2 ? a1 ? 1 ? 3, a3 ? a2 ? 1 ? 2,?, a8 ? a7 ? 1 ? ?3 ,… 所以 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 0 (k ? 2,3,?,8) . 所以对任意的首项为 4 的 E 数列 An ,若 S ( An ) ? 0 ,则必有 n ? 9 . 又 a1 ? 4 的 E 数列 An :4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4 满足 S ( An ) ? 0 , 所以 n 的最小值是 9. 16.(2011·湖南高考文科 T20)某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过 程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价 值为上年初的 75%. (Ⅰ)求第 n 年初 M 的价值 a n 的表达式; (Ⅱ)设 An ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n .若An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新.证明: n

须在第 9 年初对 M 更新. 【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力,重点考查学生的以下能力:一是阅读能力.二是转化能力.三 是表达能力.即能否把文字语言转化为符号语言的能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力、建 模能力和运算能力,阅读后建立数学模型是关键. 【精讲精析】 (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n;
- 13 -

当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 的等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( )n?6 ; 4

因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为

(Ⅱ)设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ? 1), An ? 120 ? 5(n ? 1) ? 125 ? 5n;

3 3 n ?6 3 n ?6 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an )3? 570 ? 703 ? n ?? ] ?3 780 6 4 ? [1 ? ( ) n ? 6 ? 210 ? ( ) Sn n ??S7 (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( )4 ] ? 780 ?4 210 ? ( ) 4 当 时, , 6 ? 4 4 4 3 n ?6 3780 n ? 6 ? 210 ? ( ) 780 ? 210 ?? ( ) 4 An . 4 An ? . n n
因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96
所以须在第 9 年初对 M 更新. 17.(2011 天津高考文科 T20)已知数列 {an }与{bn } 满足

bn ?1an ? bn an ?1 ? (?2) n ? 1, bn ?
(1)求 a2 , a3 的值;

3 ? (?1) n ?1 , n ? N * , 且a1 ? 2. 2

(2)设 cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N ,证明 {cn } 是等比数列;
*

(3)设 S n 为 {an } 的前 n 项和,证明

S S S1 S2 1 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? n ? (n ? N * ). a1 a2 a2 n ?1 a2 n 3
n

【思路点拨】 (1) bn 的通项公式是常数,对 n 取值代入 bn +1an + bn an +1 = (- 2) +1 求值;

cn +1 (2)由 cn 的关系式,构造 cn 是常数;
(3)由(2)求出 a2 k 的通项,得到 S 2 k 的通项公式,再求和、放缩证明.

- 14 -

【精讲精析】 (1)由 bn ?

? 2, n为奇数, 3 ? (?1) n ?1 , n ? N * 可得 bn ? ? 2 ?1, n为偶数,
n

又 bn +1an + bn an +1 = - 2

( )

+1 ,

当 n =1 时, a1 + 2a2 = - 1,由a1 = 2, 可得a2 = 当 n = 2时, 2a2 + a3 = 5, 可得a3 = 8. (2)对任意 n ? N
*

3 ; 2

a2 n - 1 + 2a2 n = - 22 n - 1 +1 2a2 n + a2 n +1 = 22 n +1




②-①,得 a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 3 ? 2

2 n ?1

,即cn ? 3 ? 22 n ?1 , 于是

cn ?1 ? 4 .所以 {cn } 是等比数列. cn

* (3) a1 = 2 ,由(2)知,当 k ? N 且k ? 2 时,

a2 k - 1 = a1 + (a3 - a1 ) + (a5 - a3 ) + (a7 - a5 ) +? + (a2 k - 1 - a2 k - 3 )

? 2 ? 3(2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 k ?3 ) ? 2 ? 3 ?
故对任意 k ? N , a2 k ?1 ? 2
* 2 k ?1

2(1 ? 4k ?1 ) ? 22 k ?1 . 1? 4

.

1 ? 22 k ?1 , k ? N * 2 k 因此, S2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? . 2 k ? 1 2 k ?1 于是, S2 k ?1 ? S2 k ? a2 k ? ?2 . 2 k ? 1 2 k ?1 k ?2 S S k ? 1 ? 22 k k 1 k 2 故 2 k ?1 ? 2 k ? 2 2 k ?1 ? ? ? 2k ? 1? k ? k k . 2k 1 a2 k ?1 a2 k 2 2 2 ?1 4 4 (4 ? 1) 2 k ?1 ?2 2
由①得 2
2 k ?1

? 2a2 k ? ?22 k ?1 ? 1, 所以a2 k ?

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