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云南省大理市巍山县第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文

巍山一中 2014 - 2015 学年下学期期末考试 高二年级 文科数学试题

考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(在每小题给出的 4 个选项中,只有 1 项是正确的. 5 分×12 =60 分) 1. 已知集合 A ={x│x >1} ,B ={x│x <m },若 A∪B = R,则 m 的值可以是( ). (A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 2. i 是虚数单位,复数 1 的虚部是( ).
1+ i

(A)1

(B)-1
O

(C) 1

2

(D) - 1

2

3. 在?ABC 中,已知 p: 三内角 A 、B 、C 成等差数列;q: B = 60 . 则 p 是 q 的( )条件. (A)充要 (B)必要不充分 (C)充分不必要 (D) 既不充分也不必要 4. 在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线交点. 下列结论中不正确的是( ). ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? (A) AB = DC (B) AD + AB ? 2AO ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? (C) AD + CB ? 0 (D) AB - AD = BD 5. 已知四棱锥 P- ABCD 的三视图如右所示, 该四棱锥 ( ) . (A)四个侧面的面积相等 (B)四个侧面中任意两个的面积都不相等 (C)四个侧面中面积最大的侧面的面积为 6 (D)四个侧面中面积最大的侧面的面积为 2 5 6. 函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2cos2 x (x∈R)的最小正周期是 ( ). (A)π (B)2 π (C) ? (D) 2?
2
3

7. 关于 x 的方程 f (x) + x –a = 0 有两个实数根,则实数 a 的取值范围是(
2 ,x ? 0 其中, f ( x) ? ? ?
x

). (D)

?log 2 x, x ? 0

. (A)(-∞,1 ]

(B)[ 0,1 ]

(C)[ 1,+ ∞ )

( -∞,+ ∞) 8. 某程序框图如右所示,该程序运行后输出的值是( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. 已知点 F1(-3,0),F(3,0),曲线上的动点 M 满足│MF1│-│MF2
2 2 │= - 4, 则该曲线的方程为 ( ) . (A) y ? x = 1( y ? - 2 ) (B)

4

5

y x ? =1 4 5
2 2 (C) x ? y = 1 ( x ? - 2 ) 2 2 (D) x ? y = 1

2

2

4

5

4

5

10. 如左图,动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶 点 A 出发,顺次经过 B、C、D 再回到 A. 用 x 表 示 P 点经过的路程,y 表示 AP 的长,则当 1<x<2 时, y
2

的最小值为( ).

(B) 3 2 (C) 2 2 -2 (D) 3 2 -2 11. 已知数列{an}满足 an+1- an = 2,且 a1、a3、 a4 成等比数列,则 a2=( ). (A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-10 12. 记 f0 ( x) ? sin x ,f1( x) ? f0 ' ( x) ,f2 ( x ) ? f1' ( x ) , …,fn ( x ) = fn-1' ( x ) , n∈N, 则 f5 ( ) . ( x) ? 1 0 2 (A)sin x (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x

x (A) 2 2

-1-

二、填空题(5 分×4 =2 0 分) 13. 从 4.6,4.7,4.8,4.9 四个数中任取两个,则取出的两数之差恰好为 0.2 的概率 是 . ? ,AB = 1,AC = 2,以 AB 方向、AC 方向为 x 轴、y 轴建立平面直 14. 在 Rt △ABC 中,
A? 2

角坐标 系,点 P(x,y)在△ABC 内部及边界上运动,记 z = x + y,则 z 的最大值是 n 15. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? 2 ,则 S5 的值为 .
3

.
??? ?
??? ?

a5

16. 抛物线 C:y = 4x 的焦点是 F,准线是 l ,点 A 在 l 上,点 B 在 C 上,若 AB = 2BF ,则│ BF │ = . 三、解答题(解答须写出文字说明、推证过程或演算步骤.10 分+12 分×5 =70 分)
2

??? ?

17. (满分 12 分) 在△ABC 中, a、 b、 c 是角 A、 B、 C 的对边, 已知 b sinB = c sinC 且 sin B ? 3 .
3

(Ⅰ)求 tan A 的值; 解:

(Ⅱ)若 a = 2,求△ABC 的面积.

18.(满分 12 分)从巍山县庙街镇一所小学的甲、乙两个班级分别随 机抽取 4 名 学生的年龄制作出如右所示茎叶图,乙纪录中有一个数据模糊,无 法确认,以 X 表示. (Ⅰ)若这 8 个学生的平均年龄是 9.5 岁,求 X; (Ⅱ)有关专家的研究结果显示,儿童身高 a(cm)与年龄 b(岁)有关系: b = 7a +70. 在(Ⅰ)的条件下,试分别估计甲、乙两个班级学生的身高; (Ⅲ)估计哪个班学生的身高更整齐,说明理由. 解:

-2-

19.(满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB = BC = CC1 = 2,∠ABC = 90°,D 是 AC 的中 点. (Ⅰ)求证:AB1∥平面 BC1D; (Ⅱ)求几何体 BDA1B1C1 的体积. 证并解:
B1 A1 C1

B A

C D

2 2 20.(满分 12 分)已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,直线 l :x –y + 1 = 0 a b 2 经过 C 的上顶点. 又,直线 x= -1 与 C 相较于 A、B 两点,M 是 C 上异于 A、B 的任意一点,直线 AM、BM ??? ? ??? ? 分别交直线 x = -4 于两点 Q、P. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求证:OP ? OQ 为定值. 解并证: P y

A M Q B O x

-3-

21.(满分 12 分)已知函数 f ( x ) = ln x 和 g ( x ) = 1 x 2 + a (其中 a 为常数) ,直线 l 与 f
2

( x ) 和g ( x ) 的图象都相切,且与 f ( x ) 的图象的切点的横坐标为 1. 2 (Ⅰ)求 l 的方程和 a 的值; (Ⅱ)记 h ( x ) = f ( x + 1) –g ( x ) –ln 2,求 函数 h ( x ) 的极大值 . 解:

? x = 1 + 2cosθ (θ 为参数) 22.(满分 10 分)在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? ,M ? ? ? y = 2sinθ

是C上 任意一点;以前述坐标系的原点 O 为极点、Ox 为极轴建立极坐标系,点 A 的极坐标为 π (4 2, ) .
4

(Ⅰ)求直线 OA 直角坐标方程; 解:

(Ⅱ)求│AM│的最小值.
y

O

x

-4-

座 位 号

巍山一中 2014---2015 年下学期期末考试 高二年级 文 科 数 学 答题卡 题号 得分 一 二 三 总分 复核人 累分人

考生注意 选择题的答案必须使用 2B 铅笔涂在机读卡上 二、填空题(5 分×4=20 分) 13、 14、 得 分 评卷人 复核人 15、 16、 得 分

评卷人 三、解答题(12 分×5 +10 分=70 分) 17、 (满分 10 分)解: 得 分 评卷人 复核人 复核人

18、 (满分 12 分)解:





评卷人 复核人

-5-

19、 (满分 12 分)证并解:
B1 A1 C1

B A

C D





20、 (满分 12 分)解并证:
P A M Q B O x

评卷人 复核人

y

-6-





21、 (满分 12 分)解:

评卷人 复核人

题 、 装 订 分 界 线

-7-

请 对 应 答 题 卡 正 面 的 装 订 线 画 出 此 处 的 答

22、 (满分 10 分)解:
y





评卷人 复核人

O

x

-8-

2014~2015 学年上学期期末考高二数学(文)参考答案及评分标准 烦请阅卷老师在阅卷之前核查一下答案,谢谢,谢谢!

一.选择题 1.A 11.B 12.D 二.填空题 附 13. 1
3

2.D

3.A

4.D

5.C

6.A

7.A

8.D

9.C

10.C

14. 2

15. 2

16. 4
3 2

16. 解:作 BM ⊥ l 于 M ,抛物线定义结合已知,得│BM│= 1 │AB│,∴∠

BAM=30°,∴AF:y= 3 (x-1), 与抛物线方程联立,解得 xB = 1 ,∴│BF│=│BM│= p ? 1 ? 4 .
3

2

3

3

三.解答题 17、 解: (Ⅰ) 由 bsinB=csinC 及正弦定理得 b 2 ? c 2 , 则 b=c, 从而 B=C 2’ , ∴cosA=cos(π -B-C) 3’ =cos2B
2 =2sin B-1= ? 1 4’, A 钝, ∴ sinA ? 1? cos2 A ? 2 2 5’ , ∴tanA= sinA ? ?2 2

3

3

cos A

6’
2 2 2 ( Ⅱ ) 由 余 弦 定 理 a =b +c -2bccosA 得 4 ? 2b 2 ? 2 b 2 , ∴ b 2 ? 3

9 ’, ∴ S △

3

2

ABC

= 4 ? 1 bc sinA ? 1 b2 sinA ? 2 12’
2 2 2

18、解: (Ⅰ)由 1 (9 ? 2 ? 11? 2 ? X ? 8 ? 9 ? 10) ? 9.5 得 X = 9 3’ . (Ⅱ)甲班 4 名同学的平均
8

年龄是 a=10 岁 5’, 代入公式,得 b =140,故估计甲班学生平均身高 140cm 7’ ,同理,估计乙班学 生平均身高是 133cm 9’ ; (Ⅲ)由茎叶图估计,甲班学生的平均年龄更整齐 10’,而身高是年龄的一次函数, 故甲班学生的身高更整齐 12’ . 19、证并解: (Ⅰ) 连 B1C,交 BC1 于 E,则 E 为 B1C 中点,连 DE 2’, ∵DE 是△ACB1 的中 位线, ∴AB1∥DE 4’ ,而 DE ? 面BC1D , AB1 ? 面BC1D ,∴AB1∥面 BC1D 6’ . (Ⅱ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V1=S△ABC·BB1= 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 8’ ,三棱锥 A1-ABD
2



-9-

C1-CBD 的体积相等于V2 ? 1 S?ABD ? AA1 ? 1 S?ABC ? AA1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 10’ ,
3 6 12 3

则几何体 BDA1B1C1 的体积 V=V1-2V2= 4 ? 2 ? 2 ? 8 12’ .
3 3

注:用 V=VB ? A B C ? VC ? A BD 做的,请参考上述评分标准酌
1 1 1 1 1

情打分.

2 2 20、解: (Ⅰ)依题意,椭圆焦点在 x 轴且 b=1 1’,即 a -c =1,而 c ? 3 3’,∴a =2 4’,

a

2

从而椭圆 方程为 x ? y 2 ? 1 5’ .
2

4

(Ⅱ)∵ OP ? (?4, y P ) , OQ ? ( ?4 , y Q ) ,∴ OP ? OQ ? 16 ? y P ? y Q 6’
4

.

设 A(-1,t),B(-1,-t),将 x=-1 代入 C 的方程,得 t 2 ? 3 ,∴A(-1, 3 ),
2

B(-1,- 3 ) 7’ ,
2
2 y ?t 2 设又设 M(x0,y0) ,带入 C 的方程,得 x 0 ? y 0 ? 1 8’ ,AM: y ? t ? 0 ( x ? 1) ,

4

x0 ? 1

令 x= -4, 得 y ? t ? 3 ? y 0 ? t ? ? 3 y 0 ? ( x 0 ? 4 )t Q
x0 ? 1 x0 ? 1

9’ , 同 理 , y ? ? 3 y 0 ? ( x 0 ? 4 )t P
x0 ? 1

10’,
2 2 9(1 ? x 0 ) ? ( x 0 ? 8 x 0 ? 16) ? 2 2 2 4 4 ∴ y ? y ? ( ?3 y 0 ) ? ( x 0 ? 4 ) t = P Q 2 2

1

3

( x 0 ? 1)

( x 0 ? 1)

2 = ? 3 x 0 ? 6 x 0 ? 3 ? ?3 11’,得 OP ? OQ ? 13 12’ .

( x 0 ? 1) 2

注:若通过 M 与 C 的左端点重合的特殊情况得出 OP ? OQ ? 13 ,后无一般性证明,可打 分至 9’ .

21、解: (Ⅰ)依题意, l 与 f (x)图象相切的切点为(1,0) ,而 f’(x)= 1 ,∴ kl ? 1,
x

- 10 -

从 而 l : y= x-1 3’

; 又 ?y ?

1 2 ? x ?a x 2 ? 2 x ? 2a ? 2 ? 0 , 判 别 式 △ ? 2 ? ? ?y ? x ?1

=0 ? a ? ? 1 6’
2
2

.
2 7’ ,则 h(x) = ln ( x +1) - 1 x 2 ? 1 -ln2

(Ⅱ)记 h(x) = f ( x +1) -g(x) -ln2 (x∈R) 8’ ,
h' ( x ) ?

2

2

2x x ? x 3 = ? ( x ? 1) x ( x ? 1) , ?x? x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

令 h' ( x )<0 ,得 (x ? 1) x( x ? 1)>0 ,即-1<x<0 或 x>1; 令 h' ( x )>0 ,得 (x ? 1) x( x ? 1)<0 ,即 x<-1 或 0<x<1, 可 见 x= -1 及 x=1 时 偶 函 数 h ( x ) 取 得 极 大 值 10’ , 也 是 最 大 值 ,
hmax ( x ) ? h(?1) ? 0 12’ .

22、解(Ⅰ) y ? tan ? 得 OP:y=x
x 4

4’ .

(Ⅱ)易知 A(4,4)6’ ,C: (x-1) +y =2,

2

2

圆心 为 C(1,0) ,半径为 2 7’ ,由于点 A 在圆外,且│AC│=5 - 2 10’ . 9’ , ∴│AM│min= 5

- 11 -


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