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湖北省荆州中学2010~2011学年度下学期期中考试高二数学试卷(文科)


2010~ 荆州中学 2010~2011 学年度下学期 期 中 考 试 卷
年级: 年级:高二 科目: 科目:文科数学 命题人: 命题人:冯 钢
选择题: (本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题 ( 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的) 1.下列表述正确的是 ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①③⑤ B.②③④ C.②④⑤ D.①②③

2.有 50 件产品编号从 1 到 50,现在从中抽取 5 件检验,用系统抽样确定所抽取的编号为 A.5,10,15,20,25 C.5,11,17,23,29 B.5,15,20,35,40 D.10,20,30,40,50

3.某保险公司的广告词为: “幸福的人们都拥有” ,初听起来,这似乎只是普通的赞美说 词,然而实际反映的效果并不是很好,原来这句话的等价命题是 A.不幸福的人们都不拥有 C.拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 D.不拥有的人们不幸福

4. 下列命题中,真命题是 A. ?m ∈ R ,使函数 f ( x ) = x + mx ( x ∈ R ) 是奇函数
2

B. ?m ∈ R ,使函数 f ( x ) = x + mx ( x ∈ R ) 是偶函数
2

C. ?m ∈ R ,使函数 f ( x ) = x + mx ( x ∈ R ) 是奇函数
2

D. ?m ∈ R ,使函数 f ( x ) = x + mx ( x ∈ R ) 是偶函数
2

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5.设 a ∈ R, 且 A.

a 1+ i + 是实数,则 a = 1+ i 2
B.1 C.

1 2

3 2

D.2

6. 给出下列结论: (1) 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法; (2)在回归分析中,可用指数系数 R 2 的值判断模型的拟合效果, R 2 越大,模型的拟合效

果越好; (其中 R = 1 ?
2

∑(y ? y ) ∑ ( y ? y)
i =1 i i =1 n i i

n

2


2

(3)在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟 合效果越好; (4)在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带 状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高. 以上结论中,正确的有( A.1 )个. B.2 C.3 D.4

7.设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, y = f ′( x ) 的图象如右图所示, 则 y = f ( x ) 的图象最有可能为下面的

荆州中学高二期中数学试卷(文科) ·第 2 页 共 11 页

8.双曲线 小值为 A.

x2 y2 π a2 + e ? 2 = 1(a, b > 0) 一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e ,则 的最 3 b a2 b
B.

2 6 3

2 3 3

C. 2 6

D. 2 3

9. f ( x ) 是定义在 (0, +∞ ) 上的可导函数,且满足 xf ′( x ) + f ( x ) < 0 ,对任意正数 a, b , 若 a < b ,则必有 A. af (b) < bf ( a ) C. af ( a ) < bf (b) B. bf ( a ) < af (b) D. bf (b) < af ( a )

10.n 个连续自然数按如下规律排成下表,根据规律,从 2009 到 2011 的箭头方向依次为 0 ↓ 1 3 → 4 7 → 8 11… ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ → 2 5 → 6 9 → 10 B.→ ↑ C.↑ → D.→ ↓

A.↓ →

填空题: 本大题共 5 小题, (本大题共 小题, 把答案填在答题卡中相应的横线上) 二、 填空题: ( 每小题 5 分, 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 共 11.若 A 与 B 是互斥事件,则 A、B 同时发生的概率为

12.下面的图是求实数 x 的绝对值的算法程序框图,则判断框①中可填

荆州中学高二期中数学试卷(文科) ·第 3 页 共 11 页

13. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生 , 并统计了他们的数学成绩 (成 绩 均 为 整 数 且 满 分 为 100 分 ), 把 其 中 不 低 于 50 分 的 分 成 五 段

[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]

然后画出如下图的部分频率分布直方图。 观 人;估计这次考试数学学科

察图形的信息,可知数学成绩低于 50 分的学生有 ; 的及格率(60 分及以上为及格)为

14.已知 f ( x) = x 2 ? xf ′(2) ,则 f ′(0) 等于 15. 给出 4 个命题: (1)设椭圆长轴长度为 2a ( a > 0) ,椭圆上的一点 P 到一个焦点的距离是 条准线的距离是 a, 则此椭圆的离心率为 .

2 a ,P 到一 3

8 3

1 4

(2)若椭圆

x2 y2 + = 1 ( a ≠ b ,且 a, b 为正的常数)的准线上任意一点到两焦点的 a2 b2

2 距离分别为 d1 , d 2 , 则 d12 ? d 2 为定值.

(3)如果平面内动点 M 到定直线 l 的距离与 M 到定点 F 的距离之比大于 1,那么动 点 M 的轨迹是双曲线. (4)过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在抛物线准线上的射 影分别为 A1、B1,则 FA1⊥FB1. 其中正确命题的序号依次是 .(把你认为正确的命题序号都填上)

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(本大题共 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: ( ) 16. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : “函数 f ( x) = ax ? 4 x ( a > 0) 在 (?∞,2] 上单调递减” ,
2

命题 q : ?x ∈ R , 16 x 2 ? 16( a ? 1) x + 1 ≠ 0 ” “ , 若命题“ p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 为了对高中新课程课堂教学的有效性进行课题研究,用分层抽样的方法从三所高中 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人) 高中学校 A B C (I)求 x,y; (II)若从高中 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高中 C 的概率。 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

18.(本小题满分 12 分) 有以下三个不等式:

(12 + 4 2 )(9 2 + 5 2 ) ≥ (1 × 9 + 4 × 5) 2 ; (6 2 + 8 2 )(2 2 + 12 2 ) ≥ (6 × 2 + 8 × 12) 2 ; (20 2 + 10 2 )(102 2 + 7 2 ) ≥ (20 × 102 + 10 × 7) 2 .
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论。

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19.(本小题满分 12 分) 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨) 之间的关系式为: p = 24200 ?

1 2 x ,且生产 x 吨的成本为 R = 50000 + 200 x(元) 问 . 5

该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? (利润=收入─成本)

20. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x ) =

1 2 ax + 2ax ? 3ln x (a ∈ R ) , 2

(Ⅰ)若 f (x ) 在 x = 1 处有极值,求 a ; (Ⅱ)若 f (x ) 在 [ 2,3] 上为增函数,求 a 的取值范围. (Ⅲ)当 a = ?1 时,函数 f (x ) 图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂 直?试证明你的结论;

21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 的四个顶点得到的菱形的面积为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程;

x2 y2 3 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率 e = ,连接椭圆 2 a b 2

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为 ( ?a, 0) .

(i)若|AB |=

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5
uuur uuu r

(ii)若点 Q (0,y0) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA QB=4 .求 y0 的值.

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荆中 2010/2011 学年度下学期 高二期中数学试卷(文科) 高二期中数学试卷(文科)答案
一、选择题: 选择题: 题号 答案 二、填空题: 填空题: 11、0 13、6, 12、 x > 0或x > 0 ? 或x ≥ 0或x ≥ 0 ? 75% 14、-2

1 A

2 D

3 D

4 B

5 B

6 C

7 C

8 A

9 D

10 B

15、 (2) (4)

三、解答题: 解答题: 16.解:P 为真: 当 a > 0 时,只需对称轴 x = ? ∴0 < a ≤1

?4 2 2 = 在区间 (?∞,2] 的右侧,即 ≥2 2a a a
--------------------5 分

q 为真:命题等价于:方程 16 x 2 ? 16(a ? 1) x + 1 = 0 无实根.

? = [16(a ? 1)]2 ? 4 × 16 < 0



1 3 <a< 2 2

-----------------10 分

∵ 命题“ p 且 q ”为真命题



?0 < a ≤ 1 ? ?1 3 ?2 < a < 2 ?



1 < a ≤ 1 . …12 分 2

17.解: (I)由题意可得,

x 2 y = = ,所以 x = 1, y = 3 ………………5 分 18 36 54

(II)记从高中 B 抽取的 2 人为 b1, b2 ,从高中 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高中 B,C 抽 取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有

(b1 , b2 ), 1 , c1 ), (b1 , c 2 ), (b1 , c3 ), (b2 , c1 ) (b2 , c 2 ), 2 , c3 ), (c1 , c 2 ), (c1 , c3 ), (c 2 , c3 ) 共 10 种 (b (b
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设选中的 2 人都来自高中 C 的事件为 X, X 包含的基本事件有 (c1 , c 2 ) , (c1 , c3 ) , (c 2 , c3 ) 则 共 3 种,因此 P(X)=

3 10 3 。 10
…………………………12 分

故选中的 2 人都来自高中 C 的概率为

2 2 2 2 2 18.解:结论为: ( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) .

…………………5 分

证明: ( a + b )(c + d ) ? ( ac + bd )
2 2 2 2

2

= a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 ? (a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2abcd )
2 2 2 2 2 = a d + b c ? 2abcd = (ad ? bc) ≥ 0 ,

所以 ( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) .
2 2 2 2 2

………………………………12 分

19.解:每月生产 x 吨时的利润为

1 f ( x) = (24200 ? x 2 ) x ? (50000 + 200 x) 5 1 = ? x 3 + 24000 x ? 50000 5 ( x ≥ 0)
………………6 分

3 由f ′( x) = ? x 2 + 24000 = 0解得x1 = 200, x2 = ?200(舍去) 5

因f ( x)在[0,+∞)内只有一个点x = 200使f ′( x) = 0 ,
故它就是最大值点,且最大值为:

1 f (200) = ? (200) 3 + 24000 × 200 ? 50000 = 3150000(元) 5

…………11 分

答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

……12 分

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20. 解: (Ⅰ)由已知可得 f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) ,

3 ax 2 + 2ax ? 3 = , x x 由已知 f ′ (1) = 3a ? 3 = 0,∴ a = 1 .经验证得 a = 1 符合题意----4 分
又 f ′ ( x ) = ax + 2a ? (Ⅱ) f ′ ( x ) =

ax 2 + 2ax ? 3 ≥ 0 对 x ∈ [ 2,3] 恒成立, x

∴a ≥

3 , 对 x ∈ [ 2,3] 恒成立, x + 2x
2

因为 x ∈ [ 2,3] ,所以

3 3 3 的最大值为 ,所以 a ≥ ;-----------------9 分 x + 2x 8 8
2

(Ⅲ)当 a = ?1 时,假设图象上存在两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ( x1 < 1, x2 < 1, x1 ≠ x2 ) 使 得过此两点处的切线互相垂直,则由 f ′ ( x ) = ?

x2 + 2 x + 3 知两点处的切线斜率分别 x

为 k1 = ?

x12 + 2 x1 + 3 x 2 + 2 x2 + 3 , k2 = ? 2 ,则 k1 ? k2 = ?1 < 0 (?) x1 x2 x2 + 2 x + 3 <0 x

Q 当 x > 0 时, f ′ ( x ) = ?

故 k1 ? k2 > 0 与 (?) 式矛盾,故假设不成立, ∴当 a = ?1 时,图象上不存在这样的两点使结论成立; ………13 分

21、 (Ⅰ)解:由 e= 由题意可知

c 3 2 2 2 2 2 = ,得 3a = 4c .再由 c = a ? b ,解得 a=2b. a 2 1 × 2a × 2b = 4 ,即 ab=2. 2

?a = 2b, x2 解方程组 ? 得 a=2,b=1. 所以椭圆的方程为 + y 2 = 1 .………4 分 4 ?ab = 2,
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点 A 的坐标是(-2,0). 设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

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? y = k ( x + 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 + y 2 = 1. ? ?4

(1 + 4k 2 ) x 2 + 16k 2 x + (16k 2 ? 4) = 0 . 由 ?2 x1 =
2

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 , 得 x1 = .从而 1 + 4k 2 1 + 4k 2
2

? 4k 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1+ k 2 +? = y1 = .所以 | AB |= ? ?2 ? . ? ? 1 + 4k 2 1 + 4k 2 ? ? 1 + 4 k 2 ? 1 + 4k 2 ?
由 | AB |=

4 2 4 1+ k 2 4 2 ,得 = . 5 1 + 4k 2 5
4 2

整理得 32k ? 9k ? 23 = 0 ,即 (k 2 ? 1)(32k 2 + 23) = 0 ,解得 k= ±1 . 所以直线 l 的倾斜角为

π
4



3π .………………………………8 分 4

? 8k 2 2k ? (ii)解:设线段 AB 的中点为 M,由(i)得到 M 的坐标为 ? ? , . 2 2 ? ? 1 + 4k 1 + 4k ?
以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0) ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

uuu r uuu r uuu uuu r r QA = ( ?2, ? y0 ) , QB = ( 2, ? y0 ) . 由 QA ? QB = 4 ,得 y0 = ±2 2 。…………10 分
(2)当 k ≠ 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 令 x = 0 ,解得 y0 = ?

uuu uuu r r ?2 ( 2 ? 8k 2 ) 6k ? 4k 6k ? QA ? QB = ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0 ) = + + ? 2 2 ? 2 1 + 4k 1 + 4 k ? 1 + 4 k 1 + 4k 2 ?
= 4 (16k 4 + 15k 2 ? 1)

6k 1 + 4k 2

2k 1? 8k 2 ? = ? ?x+ ?。 1 + 4k 2 k? 1 + 4k 2 ? uuu r uuu r 。由 QA = ( ?2, ? y0 ) , QB = ( x1 , y1 ? y0 ) ,

(1 + 4k )

2 2

= 4 ,整理得 7 k 2 = 2 。故 k = ± 2 14 5

14 2 14 。所以 y0 = ± 。 7 5

综上, y0 = ±2 2 或 y0 = ±

…………………………14 分

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