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湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

华中师大一附中 2017—2018 学年度第一学期期中检测 高一年级数学试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {2,3,4} , B ? {3,4,5} ,则 ? U ( A ? B) ? ( A. {1,2} 【答案】D 【解析】∵ A ? {2,3,4} , B ? {3,4,5} , ∴ A ? B ? {3,4} , ∴? U ( A ? B) ? {1,2,5,6} . 故选 D . 2.下列对应不是映射的是( B. {3,4} C. {1,2,3,4} ) . D. {1,2,5,6}

) .

A.

M 1 2 3

N a b c

B.

M 1 2 3

N a b c

C.

M 1 2 3

N a b c

D.

M 1 2 3

N a b c

【答案】D 【解析】映射的定义,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一确定的一个元素与之对 应.

D 选项中, 1 在 N 中有 a , b 两个元素与之对应.故不是映射.
故选 D .
? x +1, x ? 1 3.已知函数 f ( x) ? ? ,则 ?? x + 3, x ≥1

? ? 5 ?? f ? f ? ? ? 等于( ? ? 2 ??

) .

A.

1 2

B.

3 2

C.

5 2

D.

9 2

【答案】B
? x +1, x ? 1 【解析】∵ f ( x) ? ? , ?? x + 3, x ≥1
5 1 ?5? ∴ f ? ? ? ? +3 ? , 2 2 ?2?

? ? 5 ?? ∴ f ? f ? ?? ? ? ? 2 ??

3 ?1? 1 f ? ? ? +1 ? . 2 ?2? 2

故选 B .

4.函数 g ( x) ? 2 x + 5x 的零点 x0 所在一个区间是( A. (?2, ?1) 【答案】B 【解析】∵函数 g ( x) ? 2 x + 5x 单调递增, 且 g (?1) ? 2?1 ? 5 ? 0 , g (0) ? 1 ? 0 , ∴ g (?1) ? g (0) ? 0 , ∴函数 g ( x) 在 (?1,0) 内存在唯一的零点. 故选 B .
lg(2 + x ? x 2 ) 的定义域为( | x | ?x

) . C. (0,1) D. (1,2)

B. (?1,0)

5.函数 f ( x) ? A. (?2,0) 【答案】B

) . C. (?1,2) D. (?1,0) ? (0,2)

B. (?1,0)

【解析】∵ f ( x) ?

lg(2 + x ? x 2 ) | x | ?x

?2 + x ? x 2 ? 0 ∴? , ?| x | ? x ? 0
??1 ? x ? 2 ∴解得 ? , ?x ? 0

∴综上 x ? (?1,0) . 故选 B .

6.函数 y ?

| x| + x 的图象是( x

) .

y
A.

y
B. C.

y 1 O 1 x
D.

y 1 O1 x

1 1O

x

O 1 1

x

【答案】C 【解析】当 x ? 0 时, y ? 1 + x . 当 x ? 0 时, y ? ?1 + x .

∴图像如图所示:

y

O

x

故选 C . 7.若关于 x 的不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? a 无解,则实数 a 的取值范围是( A. a ≤ ? 1 【答案】A 【解析】关于 x 的不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? a 无解,而 a 需要不超过 | x ? 3| ? | x ? 4 | 的最小值.
| x ? 3| 表示到数轴上 3 的距离. | x ? 4 | 表示 x 到 4 的距离.

) . D. a ? ?1

B. a ? ?1

C. a ≥ ? 1

3

4

∴ | x ? 3| ? | x ? 4 | 的最小值为 ?1 . ∴ a ≤ ?1 . 故选 A .
? log3 0.3

8.已知 a ? 5

log 2 3.4

,b ?5

log 4 3.6

?1? ,c ?? ? ?5?

,则(

) . C. a ? c ? b D. c ? a ? b

A. a ? b ? c 【答案】A

B. b ? a ? c

?1? 【解析】 a ? 5log2 3.4 , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? ?5?

? log3 0.3

? 5log3 0.3 .

∵ log2 3.4 ? log2 3.6 ? log2 3.6 ? 0 ,
log3 0.3 ? 0 ,

∴a ?b?c . 故选 A .

9.若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足,对任意的 x1 , x2 ? R ,都有 f ( x1 + x2 ) ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则( ) . B. f ( x) 是奇函数,且在 R 上是减函数 D.无法确定 f ( x) 的单调性和奇偶性

A. f ( x) 是奇函数,且在 R 上是增函数 C. f ( x) 是奇函数,但在 R 上不是单调函数 【答案】B 【解析】∵ f ( x1 + x2 ) ? f ( x1 ) + f ( x2 ) , ∴令 x1 ? x2 ? 0 ,可得 f (0) ? 0 , 令 x1 ? ? x2 ,则 f ( x1 ) + f (? x1 ) ? f (0) ? 0 , ∴ f ( x) 为奇函数. 令 x2 ? x1 ? 0 ,则 x2 ? x1 ? 0 .
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 + x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) + f ( x1 ) ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) ? 0 .

∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) , ∴ f ( x) 为减函数.

10. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f ( x +1) , 当 x ≥ 2 时,f ( x) 单调递减, 且 f (a) ≥ f (0) , 则实数 a 的取值范围是( A. [2, +?) 【答案】B 【解析】由 f (3 ? x) ? f ( x ? 1) 可知 f ( x) 关于 x ? 2 对称,则 f (0) ? f (4) . ∵ x ≥ 2 时, f ( x) 单调递减, ∴ x ? 2 时, f ( x) 单调递增. 又 f ( x) 定义域为 R , ∴ f (a) ≥ f (0) 可得 a ?[0,4] . 故选 B . ) . B. [0,4] C. (??,0) D. (??,0) ? [4, +?)

11.已知函数 f ( x) ? x2 +

4 ? 3 , g ( x) ? kx + 2 ,若对任意的 x1 ?[?1,2] ,总存在 x2 ?[1, 3] ,使得 x2
) .
?1 ? C. ? ,1 ? ?2 ?

g ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则实数 k 的取值范围是(
? 1 ? A. ? ? ,1 ? ? 2 ? ? 1 2? B. ? ? , ? ? 3 3?

D.以上都不对

【答案】A

【解析】∵ x ?[1, 3] ,∴ x2 ?[1,3] ,
2 ∴ f ( x) ? x +

4 ? 3?[1,2] . x2

当 k ? 0 时, g ( x) ?[?k + 2,2k + 2] ,
1 ? ? k + 2 ,得 k ? 1 .

当 k ? 0 时, g ( x) ? 2 .满足题意. 当 k ? 0 时, g ( x) ?[2k + 2, ?k + 2]
1 ? 2k + 2 得 k ? ? .

1 2

? 1 ? ∴ k ? ? ? ,1? . ? 2 ?

故选 A . 12.函数 f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意的 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ,则称函 数 f ( x) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数,且满足以下三个条件:① f (0) ? 0 ;
? x? 1 ② f ? ? ? f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 ?3? 2 ? 1 ? f? ? 等于( ? 2017 ?

) . D.

A.

1 16

B.

1 32

C.

1 64

1 128

【答案】D 【解析】由③得 f (1 ? 0) ? 1 ? f (0) ? 1
? 1? ?1? ?1? 1 f ?1 ? ? ? 1 ? f ? ? ,∴ f ? ? ? . ? 2? ?2? ?2? 2

?1? ∵由② f ? n ? ? ?3 ?

? 1 ? 1 f? ? n. n ?1 ? ? 2?3 ? 2



1 1 1 ? ? 37 2017 2 ? 36
? 1 ? 1 f? ?? ? 1458 ? 128

? 1 ? ? 且f? 6 ? ? 2?3 ?

1 ?1? ? 1 ? f ? 7 ?? f ? . ?? ?3 ? ? 2187 ? 128

又 f ( x) 在 [0,1] 上非减函数,
1 ? 1 ? ∴f? . ?? 2017 128 ? ?

故选 D .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y ? a x + 3 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过定点_____________. 【答案】 (0,4) 【解析】∵ y ? a x + 3 ,当 x ? 0 时, y ? 4 , ∴图像恒过定点 (0,4) . 故答案为 (0,4) .

? 2x ? + a ? (a ? R ) 是奇函数,则常数 a 的值为___________. 14.若 f ( x) ? lg ? 1 + x ? ?

【答案】 1
? 2x ? + a ? (a ? R ) 【解析】∵ f ( x) ? lg ? ? 1+ x ? ? 2x ? +a? , ∴ f (? x) ? lg ? 1 ? x ? ?

∵ f ( x) + f ( ? x) ? 0 ,
? 2x ?? ?2 x ? + a ?? +a? ?1 . ∴? ? 1+ x ?? 1 ? x ?

化解得 ?(a2 + 4a + 3) x2 ? 1 ? a ,

? a 2 + 4a + 3 ? 0 ∴? ,解得 a1 ? 1 , a2 ? 3 , ?1 ? a ? 0
解得 a ? 1 . ∴综上所述 a ? 1 . 故答案为 1 .
x ( x ? R ) 时,给出下面几个结论: 1+ | x |

15.某同学在研究函数 f ( x) ?

①等式 f (? x) + f ( x) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立; ②函数的值域为 ( ?1,1) ; ③若 x1 ? x2 ,则一定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确的结论的序号是___________(写出所有正确结论的序号) . 【答案】①②③ 【解析】①项, f (? x) + f ( x) ?
?x x + ? 0 ,故①正确. 1+ | x | 1+ | x |

②项,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? 当 x ? 0 时, f ( x) ?

x 1 ?1? ,则 0 ≤ f ( x) ? 1 , 1+ x 1+ x

x 1 ? ? 1 ,则 ?1 ? f ( x) ? 0 . 1? x 1? x

∴ f ( x) 值域为 ( ?1,1) ,故②正确. ③项,当 x ≥ 0 时, f ? ( x) ? 当 x ≤ 0 时, f ? ( x) ?
1 ?0. (1 + x) 2

1 ? 0 ,故 f ( x) 在 R 上严格单调递增. (1 ? x) 2

∴若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故③正确. ④项,当 x ≥ 0 时, g ? ( x) ? 当 x ≤ 0 时, g ? ( x) ?
1 ? 1≤ 0 . (1 + x) 2

1 ? 1 ≤ 0 ,故 g ( x) 在 R 上单调递减. (1 ? x) 2

g (0) ? f (0) ? 0 ? 0 .

∴函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上只有一个零点,故④错误.

?| lg x |, x ? 0 16.设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? 2 ,若关于 x 的函数 y ? 2 f 2 ( x) + 2bf ( x) +1 有 8 个不同 ? x ? 2 x , x ≤ 0 ?
的零点,则实数 b 的取值范围是____________.

3 【答案】 ? ? b ? ? 2 2
【解析】令 t ? f ( x) , y ? 2t 2 + 2bt + t ,作出 f ( x) 图像如图所示:

y

1 2 1O 1 2 3 4 x

如图可知:当 0 ? t ? 1 时, t ? f ( x) 有四个交点, 要使关于 x 的函数 y ? 2 f 2 ( x) + 2bf ( x) +1 有 8 个不同零点. 则 y ? 2t 2 + 2bt +1 有两个根 t1 , t 2 且 0 ? t1 ? 1 , 0 ? t2 ? 1 . 令 g (t ) ? 2t 2 + 2bt +1,由根的分布可得

?? ? 4b 2 ? 8 ? 0 ? g (0) ? 1 ? 0 ? ? ? g (1) ? 2b + 3 ? 0 , ? ?0 ? ? 2b ? 1 ? ? 2? 2

3 解得 ? ? b ? ? 2 . 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)计算:
1 ? ?1 ? ?1? ( 1 ) 3 (?4)3 ? ? ? + 0.25 2 ? ? ? ?2? ? 2? 0 ?4

1 ( 2 ) lg25 + lg2 ? lg 0.1 ? log3 9 ? log3 2 2
【答案】 ( 1 ) ?3 ; (2)?

1 2

【解析】 ( 1 )原式 ? ?4 ? 1 + 0.5 ? 4
? ?3 .
1 1 ( 2 )原式 ? lg 5 + lg 2 ? lg 10 ? log 39 2

1 ? 1+ ? 2 2
1 ?? . 2
18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2x ,函数 g ( x) ? ax + 5 ? 2a(a ? 0) . x2 +1 2x 的值域. x2 +1

( 1 )求函数 f ( x) ?

( 2 )若对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[0,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 ( 1 ) [?1,1] ; ( 2 ) [3,4] 【解析】 (1 )
f ( x) ? 2 1 x+ x ( x ? 0)



1 ∵ x + ? (??, ?2] ? [2, +?) , x
∴ f ( x) ?[?1,0) ? (0,1]( x ? 0) .

当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , ∴ f ( x) ?[?1,1] . ( 2 )∵ x1 ? R , f ( x1 ) ?[?1,1] , ∴ x2 ?[0,1] 时, [?1,1] ?{ y y ? g ( x2 )} , ∴ g (0) ≤ ?1 , g (1) ≥ 1 .
?5 ? 2a ≤ ?1 ∴? . ? a + 5 ? 2a ≥ 1

∴ a ?[3,4] .

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) . ( 1 )若 a ?

1 ,求 f ( x) 的单调区间. 2

( 2 )若 f ( x) 在区间 [2,4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】 ( 1 ) f ( x) 在 (??,0) 上单调递增,在 (2, +?) 上单调递减. ( 2 ) a ?1 . 【解析】 ( 1 )∵ a ?

1 , 2

1 2 ∴ x ?x?0, 2
∴ x ? (??,0) ? (2, +?) .

1 2 ∵ x ? x 的对称轴为 x ? 1 , 2
1 2 ∴ x ? x 在 (??,0) 上单调递减,在 (2, +?) 上单调递减. 2
( 2 )令 g ( x) ? ax 2 ? x 的对称轴为 x ? 又∵ f ( x) 在 [2,4] 上是增函数. ① a ?1 , ∴

1 . 2a

1 ≤2 , 2a

∴ a ?1 . 又∵ g ( x) 在 [2,4] 恒大于 0 , ∴ g (2) ≥ 0 , g (4) ≥ 0 ,
? 4a ? 2 ≥ 0 ∴? , ?16a ? 4 ≥ 0

∴ a ?1 . ② a ? (0,1) , ∴

1 ≥4 , 2a

1 ∴a≤ . 8
又∵ g ( x) 在 [2,4] 上恒大于 0 . ∴ g (2) ≥ 0 , g (4) ≥ 0 ,

1 ∴可得 a ≥ (舍) , 2
∴综上, a ? 1 . 20. (本小题满分 12 分)一片森林原面积为 a ,计划从某年开始,每年砍伐一些树林,且每年砍伐面 积的百分比相等,并计划砍伐到原面积的一半时,所用时间是 10 年.为保护生态环境,森林面积至 少要保留原面积的

1 2 .已知到今年为止,森林剩余面积为原面积的 . 4 2

( 1 )求每年砍伐面积的百分比. ( 2 )到今年为止,该森林已砍伐了多少年? ( 3 )为保护生态环境,今后最多还原砍伐所少年? 【答案】 ( 1 ) 1 ? 2?10 ; ( 2)5 ; ( 3 ) 15 【解析】 ( 1 )设每年砍伐的百分比为 a ,
10 ∴ (1 ? a) ?

1

1 2

1? a ? 2
a ?1? 2

?

1 10
1 10

?



( 2 )设砍伐了 x 年, ∴ (1 ? a ) x ?
2 2

2

1 ? x 10

? ?2 2 ,

1

∴?

1 1 x?? 10 2

x ?5.

( 3 )设共砍伐了 x 年,

? ?1 ? ∴ ? 2 10 ? ? 2?2 , ? ?
∴?

x

1 x ? ?2 10

x ? 20 .

∴最多还能砍伐 15 年.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

2 x2 + a ,且 f (1) ? 3 . x

( 1 )求函数 f ( x) 在 (??,0) 上的单调区间,并给出证明. ( 2 )设关于 x 的方程 f ( x) ? x + b 的两根为 x1 , x 2 ,试问是否存在实数 m ,使得不等式
m2 + tm +1≥| x1 ? x2 | 对任意的 b ?[2, 13] 及 t ?[?1,1] 恒成立?若存在, 求出 m 的取值范围; 若不存在,

说明理由. 【答案】 ( 1 )见解析; ( 2 ) m ≥ 2 或 m ≤ ?2 【解析】 ( 1 ) f (1) ? ∴ a ?1 , ∴ f ( x) ? 令 2x ?

2+a ? 3, 1

2 x 2 +1 , x

1 , x
2 , 2

解得 x ? ?

在 (??,0) 上任取 x1 , x 2 且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?
2 2 x12 +1 2 x2 +1 ? x1 x2

(2 x1 x2 ? 1)( x1 ? x2 ) . x1 x2

∵ x2 ? x1 ? 0 , ∴ x1 x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 . 当?
2 ? x2 ? x1 ? 0 时, 2 x1 x2 ? 1 ? 0 , 2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

? 2 ? f ( x) 在 ? ? ? 2 ,0 ? ? 上单调递减, ? ?

当 x2 ? x1 ? ?

2 时, 2 x1 x2 ? 1 ? 0 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

? 2? ∴ f ( x) 在 ? ? ??, ? 2 ? ? 上单调递增. ? ?

2 x 2 +1 ( 2 ) f ( x) ? x + b ,则 ? x +b , x
整理得 x 2 ? bx +1 ? 0 .
? x1 + x2 ? b ∴? , ? x1 x2 ? 1

∴ | x1 ? x2 |? ( x1 + x2 )2 ? 4x1x2
? b2 ? 4 .

∵ b ?[2, 13] , ∴ | x1 ? x2 |?[0,3] . ∵对于任意的 b ?[2, 13] , t ?[?1,1] , m2 + tm +1≥| x1 ? x2 | 恒成立, ∴ m2 + tm +1≥ 3 对于任意的 t ?[?1,1] 恒成立. 即 mt + m2 ? 2 ≥ 0 对于任意的 t ?[?1,1] 恒成立.

??m + m2 ? 2 ≥ 0 ? ∴? , 2 ? ?m + m ? 2 ≥ 0
解得 m ≥ 2 或 m ≤ ?2 .

22. (本题满分 12 分)已知幂函数 f ( x) ? ( p 2 ? 3 p + 3) x p ( 1 )求函数 f ( x) 的解析式.

2

3 1 ? p? 2 2

,满足 f (2) ? f (4) .

( 2 )若函数 g ( x) ? f 2 ( x) + mf ( x) , x ? [1,9] ,是否存在实数 m 使得 g ( x) 的最小值为 0 ? 若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. ( 3 )若函数 h( x) ? n ? f ( x + 3) ,是否存在实数 a , b(a ? b) ,使函数 h( x) 在 [a, b] 上的值域为 [a, b] ? 若存在,求出实数 n 的取值范围;若不存在,说明理由.
? 9 ? 【答案】 ( 1 ) f ( x) ? x ; ( 2 ) m ? ?1 ; ( 3 ) n ? ? ? , ?2 ? ? 4 ?

【解析】 ( 1 )∵ f ( x) 为幂函数, ∴ p 2 ? 3 p + 3 ? 1, ∴ p ?1或 p ? 2 .

当 p ? 1 时, f ( x) ? x ?1 在 (0, +?) 上单调递减, 故 f (2) ? f (4) 不符合题意. 当 p ? 2 时, f ( x) ? x 2 ? x 在 (0, +?) 上单调递增, 故 f (2) ? f (4) ,符合题意. ∴ f ( x) ? x . ( 2 ) g ( x) ? x + m x , 令t ? x . ∵ x ? [1,9] , ∴ t ? [1,3] , ∴ g ( x) ? t 2 + mt , t ? [1,3] . ①当 ?
1

m ≤1 时, t ? 1 时, g ( x) 有最小值, 2

∴1+ m ? 0
m ? ?1 .

②当 1 ? ? ∴?

m m ? 3 时, t ? ? 时, g ( x) 有最小值. 2 2

m2 ?0 4

m ? 0 (舍) .

③当 ?

m ≥ 3 时, t ? 3 时, g ( x) 有最小值, 2

∴ 9 + 3m ? 0
m ? ?3 (舍) .

∴综上 m ? ?1 . ( 3 ) h( x) ? n ? x + 3 , 易知 h( x) 在定义域上单调递减,

∴?

? h( a ) ? b , ?h(b) ? a

即?

? ?n ? a + 3 ? b ? ?h ? b + 3 ? a



令 a +3 ? S , b +3 ? t , 则 a ? S 2 ? 3, b ? t2 ? 3 ,

2 ? ?n ? S ? t ? 3 ∴? , 2 ? ?n ? t ? S ? 3

∴ t2 + S ? S 2 +t , ∴ (t ? S )(t + S ? 1) ? 0 . ∵a ?b , ∴S ?t , ∴ t + S ? 1 ? 0 ,∴ t ? 1 ? S , ∴ a + 3 + b + 3 ? 1. ∵a ?b , ∴ ?3 ≤ a ? ?
? 1? ? ?

11 , 4

∴ S ? ? 0, ? , 2 ∴ n ? t + S2 ? 3
? S2 ? S ? 2

1? 9 ? ??S ? ? ? . 2? 4 ?
? ? ∴ n ? ? ? , ?2 ? . 9 ? 4 ?

2


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