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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件2 北师大版选修11_图文

§2.1 椭圆及其标准方程

复习提问:
1.圆的定义是什么? 2.圆的标准方程是什么? 3. 怎么画圆?

探索新知: 1. 能不能利用现有的工具画出椭圆?
2. 在作图的过程中,有哪些是固定 不变的,哪些是在变化?
3.如何定义椭圆?

归纳:椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
探究:为什么常数要大于|F1F2| ?
不大于会如何?
|PF1|+ |PF2|>|F1F2| 椭圆 |PF1|+ |PF2|=|F1F2| 线段 |PF1|+ |PF2|<|F1F2| 不存在

探究:如何建立椭圆的方程?

方案1:以F1、F2 所在直线为 x 轴,线段F1F2

建系

的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标

系.

y

F1?-c , 0?O F2?c , 0? x

方案2:

y

以F1、F2 所在直线为y轴, 线段F1F2的垂直平分线为

F1

x 轴建立直角坐标系.

O

x

F2

探究:如何建立椭圆的方程?

化 列设建简式点系

椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值,设为2a,则2a>2c
y
则: ? x + c?2 + y2 + ? x - cP?(2x+, yy)2 = 2a

F1?-c , 0?O F2?c , 0? x

y

? ? ? ? ? a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a2 - c2
设设a2P- (c2x=,b2y?b)是> 0椭? 得圆上任意一点

F2
O

P
x

设b|2Fx21+Fa22y|2==2ac2b,2 则有F1(-c,0)、F2(c,F01 )
即: x2 + y2 = 1 ?a > b > 0?
a2 b2

2.椭圆的标准方程
y

y

F1 O

F2

x

F1

O

x

F2

x2

y2

a2 ? b2 ? 1

y2 a2

?

x2 b2

?1

方 (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1;



(2)在椭圆两种标准方程中,总有a>b>0; (3)哪一项分母大,焦点就在哪个轴上;

特 (4)a、b、c都有特定的意义,

a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半;c—半焦距.
点 有关系式a2 ? b2 ? c2成立。

例题
? 例1:判断焦点位置并求其坐标:
(1) x2 ? y2 ? 1 9 16
(2) y2 ? x2 ? 1 74
(3) 3x2 ? 4 y2 ? 5

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点坐标为 F(1 - 3,0),F(2 3,0),且椭圆上任一点到

F1 , F2 的距离之和为8 ;

(2)焦点坐标为

F(1 0,- 2),F(2 0,2),且椭圆经过点(-
.

3 ,,5 ) 22

例3 已知椭圆经过两点(? 3 , 5)与( 3, 5) ,求椭圆

22

的标准方程
解:设椭圆的标准方程

x2 ? y2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)

mn

则有 ? ? ?

(?

3)2 2

(5)2 ?2

?1

?m

n

,解得 m ? 6, n ? 10

?( 3)2 ( 5)2

新疆 王新敞
奎屯

?

?

?1

?m

n

所以,所求椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 6 10

变式题组一

1.已知椭圆方程为

x2 23

+

y2 =
32

1,则这个椭圆的焦距为(



(A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5

2.F1、F2是定点,且 F1F2 = 6,动点M 满足 MF1 + MF2 = 6, 则点M的轨迹是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

3.已知椭圆 x2 + y2 = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16
为3,则P到另一焦点的距离为( ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)7

变式题组二

1.如果方程x2 +ky2 =1表示焦点在y轴上的椭圆,

那么实数k的取值范围是( )

(A)(0,+? ) (B)(0,2)

(C)(1,+? ) (D)(0,1)

2.椭圆

x2 m

+

y2 4

=1的焦距是2,则实数m的值是(



(A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3

3.已知F1、F2是椭圆

x2 25

+

y2 49

=

1的两个焦点,过

F1的直线与椭圆交于A、B两点,则D ABF2的

周长为( )

(A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28

标准方程





图形



焦点坐标

定义 共 同 a、b、c的关系 点
焦点位置的判定

小结

反思总结 提高素质

标准方程





图形



x2 y2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
y

o

x

y2 x2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
y
ox

焦点坐标

F1(-c,0)、F2(c,0)

F1(0,-c)、F2(0,c)



定义

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.

同 a、b、c的关系

b2 = a2 –c2



椭圆的两种标准方程中,总是 a>b>0. 所以哪个

焦点位置的判定 项的分母大,焦点就在那个轴上;反过来,焦点在哪

个轴上,相应的那个项的分母就越大.


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