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上海市宝山区2015届高三上学期期末质量监测数学试题

上海市宝山区 2015 届高三上学期期末质量监测数学试题
一、填空题(本大题满分 36 分,每小题 3 分) 1.函数 y ? 3 tan x 的周期是 . 2.计算
2 4 ? 1 3

.

3.计算 lim
n ??

1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n2
10

. .

4.二项式 ? x ? 1? 展开式中, x 8 的系数为

? 2 4? ? 2 ?2 ? ?2 4? 5.设矩阵 A ? ? ?, B ? ? ? ,若 BA ? ? ? ,则 x ? ?1 x? ? ?1 1 ? ? ?1 ?2 ?

. 种.

6.现有 6 位同学排成一排照相,其中甲,乙二人相邻的排法有
1 3? 7.若 cos ?? ? ? ? ? ? , ? ? ? 2? ,则 sin ? ? 2 2

.

8.若一个球体的体积为 4 3? ,则它的表面积为__________. 9.若函数 y ? sin ? 2 x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是_________. 10.正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长均相等, E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成 P 的角的余弦值等于______.

E

D
A
11.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6x ? 2 y ? 15 ? 0 所截得的弦长等于_________.
2 2

C

B

12.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示,则 y ? f ( x) 的 y 解析式是 f ? x ? ? ________.
?

? 8?
?2

3? ?8

x

三、选择题(本大题满分 36 分,每小题 3 分) 13.已知点 P ? tan ? ,cos ? ? 在第三象限,则角 ? 的终边在( A. 第一象限 B. 第二象限 ) D. 第四象限

C. 第三象限 )

14.已知函数 y ? xa ? b, x ? ? 0, ?? ? ,是增函数,则( A. a ? 0 , b 是任意实数 B. a ? 0 , b 是任意实数

C. b ? 0 , a 是任意实数 D. b ? 0 , a 是任意实数 15.在 ?ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则这个三角形中角 A 的值是( A. 30 或 60 B. 45 或 60 ) C. a ? b ? 1 ) C.
3

) D. 30 或 150

C. 60 或 120

16 若 log a 3 ? logb 3 ? 0 ,则( A. 0 ? a ? b ? 1
2 2

B. 0 ? b ? a ? 1

D. b ? a ? 1

17.双曲线

x y ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
B. 2

A. 2 3

D. 1

18.用数学归纳法证明等式 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ? 1) ? n2 (n ? N * ) 的过程中, 第二步假设 n ? k 时等 式成立,则当 n ? k ? 1 时应得到( A. 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2k ? 1) ? k 2 C. 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2k ? 1) ? (k ? 2)2 ) B. 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2k ? 1) ? (k ? 1)2 D. 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2k ? 1) ? (k ? 3)2
2 ? z 2 对应的点位于( z

19.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则复数 (A)第一象限 (B)第二象限



(C)第三象限

(D)第四象限 )

20.圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 4 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0 D. x ? 3 y ? 2 ? 0

21.“ tan x ? ?1 ”是“ x ? ? A.充分非必要条件 C.充要条件

?
4

? 2k? (k ? Z ) ”的(



B.必要非充分 D.既不充分也不必要 )

22.在四边形 ABCD , AC ? ?1,2? , BD ? ? ?4,2? ,则四边形的面积( A. 5 B. 2 5 C.5 ) D.10

23.函数 y ? x2 ? 1 ? 1( x ? 0) 的反函数是( A. y ? x2 ? 2 x ( x ? 0) C. y ? x2 ? 2x ( x ? 2) 24.曲线 y 2 ? x ? 1 的部分图像是(

B. y ? ? x2 ? 2x ( x ? 0) D. y ? ? x 2 ? 2x (x ? 2) )

A.

B.

C.

D.

三、解答题(本大题 48 分)
25.(本题满分 8 分)
? x ?1 ? 3 ? 解不等式组 ? 2 ?1 ? ?x ?3

26.(本题满分 8 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 ,若异面直线 A1 A 与 B1C 所成的角的大 小为 arctan
1 ,求四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积. 2
D1 A1 B1 C1

D
A B

C

27.(本题满分 10 分,本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分) 已知点 F 为抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点, 点 P 时准线 l 上的动点, 直线 PF 交抛物线 C 于 A, B 两 点,若点 P 的纵坐标为 m ? m ? 0 ? .点 D 为准线 l 与 x 轴的交点. (1)求直线 PF 的方程; (2)求 ?DAB 面积 S 的取值范围

y
P A

D O
l

F
B

x

28. (本题满分 10 分,本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ? x ? ?

x?a ? x ? R? . x2 ? 2

(1)写出函数 y ? f ? x ? 的奇偶性; (2) 当 x ? 0 时, 是否存在实数 a , 使 y ?f x ? 求 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

? 的图像在函数 g ? x ? ?

2 图像的下方, 若存在, x

29. (本题满分 12 分,本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 4 分, 第 3 小题满分 5 分) 已知抛物线 x 2 ? 4 y , 过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 , 又过点 P1

1 1 的直线交抛物线于点 P2 ,再过点 P2 作斜率为 的直线交抛物线于点 P3 , 2 4 1 如此继续. 一般地,过点 Pn 作斜率为 n 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 Pn ? xn , yn ? . 2
作斜率为 (1)求 x3 ? x1 的值; (2)令 bn ? x2n ?1 ? x2n ?1 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3)记 P 为点列 P1 , P3 , 奇 ? x奇 , y奇 ? , P2n?1 , 的极限点,求点 P 奇 的坐标.
y



O

x

四、附加题(本大题满分 30 分)本大题共有 3 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 30.(本题满分 8 分) 有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为 1 : 2 ,问怎样利 用木料,才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计). x

2x

31.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 在平面直角坐标系中,点 P 到两点 0, ? 3 、 0, 3 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . (1)写出轨迹 C 的方程; (2)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点,问 k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多少?

?

? ?

?

32.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 设数列 ?an ? 的首项 a1 为常数,且 an?1 =3n ? 2an n ? N*
? 3n ? (1)证明: ? an ? ? 是等比数列; 5? ?

?

?

(2)若 a1 ? 说明理由.

3 , ?an ? 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在, 2

(3)若 ?an ? 是递增数列,求 a1 的取值范围.


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