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初等数论定理


初等数论

1.

整除性质 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 若 a|b,a|c,则 a|(b± c)。 若 a|b,则对任意 c,a|bc。 对任意非零整数 a,± 1|a,± a|a。 若 a|b,b|a,则|a|=|b|。 如果 a 能被 b 整除,c 是任意整数,那么积 ac 也能被 b 整除。 如果 a 同时被 b 与 c 整除,并且 b 与 c 互质,那么 a 一定能被积 bc 整除,反 过来也成立。 如果 a?b 且 b?c,则 a?c。 如果 c?a 且 c?b,则 c?ua+vb,其中 u,v 是整数。 对任意整数 a,b,b>0,存在唯一的数对 q,r,使 a=bq+r,其中 0≤r<b,这 个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。 若 c|a,c|b,则称 c 是 a,b 的公因数。若 d 是 a,b 的公因数,d≥0,且 d 可 被 a,b 的任意公因数整除,则 d 是 a,b 的最大公因数。若 a,b 的最大公因 数等于 1,则称 a,b 互素,也称互质。累次利用带余除法可以求出 a,b 的最 大公因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

2.

带余除法 a) 对于 a,b 两个整数,其中 b?0,则存在唯一 q,r 使得: a = bq+r,0 ≤ r< |b|.r 称为 a 被 b 除得到的余数.显然当 r = 0 时,b?a.

3.

最大公约数 设 a,b 是两个整数,如果整数 c?a 且 c?b,则 c 称为 a,b 的公因子.设 c?0 是 两个不全为零的整数 a,b 的公因子,如果 a,b 的任何公因子都整除 c,则 c 称为 a,b 的最大公因子,记为 c= (a,b). a) b) c) (a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b) (0,a)=a 设 a,b 是两个不全为零的整数,则存在两个整数 u,v,使 (a,b)= ua+vb.

4.

欧几里德除法(辗转相除法): 已知整数 a,b,记 r0=a,r1=b, r0=q1r1+r2,0 ≤r2<r1=b; r1=q2r2+r3, 0 ≤r3<r2; … rn-2=qn-1rn-1+rn, 0 ≤rn<rn-1; rn-1=qnrn

rn=(a,b) 5. 互素 设 a,b 是两个不全为 0 的整数,如果(a,b) = 1,则称 a,b 互素. 推论:a,b 互素的充分必要条件是:存在 u,v,使 ua+vb = 1. a) b) c) 6. 如果 c?ab 且(c,a) = 1,则 c?b 如果 a?c,b?c,且(a,b) = 1,则 ab?c 如果(a,c) = 1,(b,c) = 1,则(ab,c) = 1

最小公倍数 设 a,b 是两个不等于零的整数.如果 a?d,b?d,则称 d 是 a 和 b 的公倍数.a 和 b 的正公倍数中最小的称为 a 和 b 的最小公倍数,记为[a,b]. a) b) [a,b] = [–a,b] = [a,–b] = [–a,–b]. 设 d 是 a,b 的任意公倍数,则[a,b] ?d.

? a,b? ?
7. 素数

ab (a,b) ,特别地,如果(a,b) = 1,[a,b] = |ab|.

如果一个大于 1 的整数 p 除?1 和?p 外无其他因子,则 p 称为一个素数,否则称为 合数.设 p 是一个素数,则 a) b) c) 8. 对任意整数 a,如果 p 不整除 a,则 (p,a) = 1. 如果 p?ab,则 p?a,或 p?b. 素数有无穷多个

算术基本定理 每个大于 1 的整数 a 都可以分解为有限个素数的乘积: a = p1p2…pr. 该分解除素数因子的排列外是唯一的. a) 设 a 是任意大于 1 的整数,则 a 的除 1 外最小正因子 q 是一素数,并且当 a 是一合数时, q ?

a

9.

同余 给定一个称为模的正整数 m.如果 m 除整数 a,b 得相同的余数,即 a = q1m+r,b = q2m+r,0?r?m,则称 a 和 b 关于模 m 同余,记为 a?b (mod m). 整数 a,b 对模 m 同余的充分必要条件是:m?(a?b),即 a = b+mt,t 是整数 a) b) c) d) e) 反身性 a≡a (mod m) 对称性若 a≡b(mod m),则 b≡a (mod m) 传递性若 a≡b (mod m),b≡c (mod m),则 a≡c (mod m) 同余式相加若 a≡b (mod m),c≡d(mod m),则 a+-c≡b+-d (mod m) 同余式相乘若 a≡b (mod m),c≡d(mod m),则 ac≡bd (mod m)

f) g) h) i) j)

除法若 ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中 gcd(c,m)表示 c,m 的最大公约数,特殊地 ,gcd(c,m)=1 则 a ≡ b (mod m) 幂运算如果 a ≡ b (mod m),那么 a^n ≡ b^n (mod m) 如果 a ? b (mod m),且 d?m,d 是正整数,则 a ? b (mod d) 若 a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中 [m1,m2,...mn]表示 m1,m2,...mn 的最小公倍数 推论 如果 a1?b1 (mod m),a2?b2 (mod m),则 a1x+ a2y?b1x+ b2y (mod m),其中 x,y 是任意整数. a1n=b1n(mod m),其中 n 是正整数. f(a1) ?f(b1) (mod m),其中 f(x)是任一给定的整系数多项式: f(x) = c0+ c1x+…+ckxk.

10. 威尔逊定理 若 p 为质数,则 p 可整除(p-1)!+1。 11. 欧拉定理 若 n,a 为正整数,且 n,a 互素,即 gcd(a,n) = 1,则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 12. 孙子定理 中国剩余定理说明: 假设整数 m1,m2, ... ,mn 两两互质, 则对任意的整数: a1,a2, ... ,an, 方程组 有解,并且通解可以用如下方式构造得到:



是整数 m1,m2, ... ,mn 的乘积,并设 是除了 mi 以外的 n- 1 个整数的乘积。







的数论倒数



方程组

的通解形式为



在模

的意义下,方程组

只有一个解:

13. 费马小定理 假如 p 是质数, 若 p 不能整除 a, 则 a^(p-1) ≡1 (mod p) , 若 p 能整除 a, 则 a^(p-1) ≡0(mod p)。 若 p 是质数,且 a,p 互质,那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。

14.


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