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基本不等式应用练习题(6)


基本不等式应用练习题
一、选择题

1.若 A.

满足约束条件

, 则 B.

的最小值是 C.

( A ).

D. 解析: 约束条件对应的可行域为 ∴ . 内部(包括边界), 其中 , , ,

[变式思考]设不等式组 在 区 域 上 ( A ). A.(1, 3] ]





表示的平面区域为 , 若指数函数 , 则 的 取 值 C.(1, 2]



的图象上存 围 是 D.[ 3,

B.[2, 3]

解析:题中不等式组表示的平面区域是如图所示的向上的“开阔性”区域(包括边界), 由题意可知,指数函数 的图象经过该区域. 可求得 点的坐标为(2,9).当指数函数

的图象经过 点时, ,根据指数函数的性质及“指数爆炸”的特性可知,当 ,其图象必经过该区域,故选 A. 2.若 A. D. 3. ( 解析:选项 A 在 时不成立,选项 B、C 在 下 列 结 论 B ). A.当 且 时, ; 正 时不成立. 确 的 是 ,且 ,则下列不等式中,恒成立的是 B. C. ( D ).

B.当

时,



C.当 值为 2

时,

的最小值为 2;

D.当

时,

的最小

解析:A 选择项中 可能为负,不适合基本不等式;C,D 选择项中适合基本不等 式,但取最小值等号取不到.只有 B 正确. 4.设 A.8 . 解析:∵ 且仅当 即 ,∴ ,则 ,当 , 若 是 与 的等比中项, 则 B.4 的最小值为 C.1 ( C ). D

时取“=”号,故选择 C. 满足 ,则 B. D.6 的最小值是 C.5 ( C ).

[变式思考]若正数 A.



















,当且仅当 “=”号. 5.已知 , 是 A. D. 解析: ∵ , 成等差数列, B. , , 成等差数列, 成等比数列,则 C. 成等比数列, ∴

时取

的最小值 ( D )



,则 二、填空题 6.设 解析: 号. 7. 若对任意 , ,则

,当且仅当

时取等号.

的最小值为

9 ,当且仅当

. 时取“=”

,则实数 的取值范围是 , 所 以 ( 当 且 仅 当

. 时 取 等 号 ) , 则

解 析 : 因 为

,即

的最大值为 ,故

.

[变式思考]已知



,则 ,代入

的最小值是 得,

3

. ,当

解析:由 得 且仅当 时取“=”号. 8.在平面直角坐标系 点,则线段

中,过坐标原点的一条直线与函数 4 是奇函数,所以 .

的图象交于



长的最小值是

解析:因为函数

两点关于原点对称,可设



,则 号. 三、解答题

,当且仅当

,即

时取等

9.围建一个面积为 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修), 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 的进出口,如图所示. 已 知旧墙的维修费用为 元/ ,新墙的造价为 元/ ,设利用的旧墙的长度为 (单位: ),修建此矩形场地围墙的总费用为 (单位:元).

⑴将 表示为 的函数: ⑵试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 考查目的: 考查函数和不等式等基础知识, 考查用基本不等式求最值和运用数学知识解 决实际问题的能力. 答案:⑴ ;⑵ 时, 元,建新墙的费用为 . ,∴ ,∴ ,当 元. 元,

解析:⑴根据题意,旧墙的维修费用为 所以 ⑵∵ 且仅当 答:当 10.已知直角 解析:设直角

,即 时,等号成立,此时 取得最小值 . 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 元. 中,周长为 ,面积为 ,求证: 的两直角边长为 ,则斜边长为 , ∴ ,即 . . ,面积 ,∴周长 , ∴

[变式思考]已知 上,且 将





是等边

的顶点,点 .

分别在边

的面积二等分,记

的横坐标为 ,

⑴写出 的表达式;⑵求 的最小值. 考查目的: 考查余弦定理、 函数的解析式、 基本不等式等基础知识, 以及运算求解能力. 答案:⑴ 解析:⑴∵ 解得 ⑵∵ 号. ,∴ ,∴ ;⑵当 ,又∵ . , 时取等 时, . ,

基本不等式应用练习题
一、选择题

1.若 A.

满足约束条件

, 则 B.

的最小值是 C.

(

).

D.

[变式思考]设不等式组 在 区 域 ( ). A.(1, 3] ] 2.若 A. D. 3. ( , 且



表示的平面区域为 的 点 , 则

, 若指数函数 的 取 值 C.(1, 2]

的图象上存 范 围 是 D.[ 3, ( ).

B.[2, 3]

, 则下列不等式中, 恒成立的是 B. C.

下 ). A.当 C.当 且 时,















时,



B.当 D.当

时, 时,

; 的最小

的最小值为 2;

值为 2 4. 设 ( A.8 . ( [ 变 式 思 考 ] 若 正 数 ). 满 足 , 则 的 最 小 值 是 , 若 ). B.4 C.1 D 是 与 的 等 比 中 项 , 则 的 最 小 值 为

A. D.6 5.已知 , 是 A. D. 二、填空题 6.设 7. 若对任意 [变式思考]已知 8.在平面直角坐标系 点,则线段 ,则 , , ,

B.

C.5

成等差数列, B.

成等比数列,则 C.

的最小值 ( )

的最小值为 ,则实数 的取值范围是 ,则 的最小值是

. . . 的图象交于 两

中,过坐标原点的一条直线与函数 .

长的最小值是

三、解答题 9.围建一个面积为 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修), 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 的进出口,如图所示. 已 知旧墙的维修费用为 元/ ,新墙的造价为 元/ ,设利用的旧墙的长度为 (单位: ),修建此矩形场地围墙的总费用为 (单位:元).

⑴将 表示为 的函数: ⑵试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.

10.已知直角

中,周长为 ,面积为 ,求证:

.

[变式思考]已知 上,且 ⑴写出 将





是等边

的顶点,点 .

分别在边

的面积二等分,记

的横坐标为 ,

的表达式;⑵求

的最小值.


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