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平面向量线性运算题库


平面向量复习
一、基础知识(理解去记) 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的 符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量 的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向 量【最近几年常考】 。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量) ,规定零向量与任意一个非零向量平行。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法则,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 λ ≠ 0,使得 a= λb. 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向 量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y)叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积, 若非零向量 a, b 的夹角为 θ , a, b 的数量积记作 a· 则 b=|a|· |b|cos θ =|a|· |b|cos<a, b>, 也称内积,其中|b|cos θ 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,

x1 x 2 + y1 y 2
3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=
2 2 x12 + y12 ? x 2 + y 2

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0.

(a, b ≠ 0),

定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实数 λ,使 P1 P = λ PP2 ,λ 叫 P 分 P1 P2 所

成的比,若 O 为平面内任意一点,则

OP =

OP1 + λ OP2 1+ λ 。由此可得若 P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x,

? x1 + λx 2 ?x = x ? x1 y ? y1 ? 1+ λ .λ = = . ? x2 ? x y2 ? y y1 + λy 2 ?y = ? 1+ λ y), (x2, y2),则 ?
定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形, F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向, 将 平移|a|= h + k 个单位
2 2

得到图形 F ' ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移到 F ' 上对应的点为 p ' ( x ' , y ' ) ,则

? x' = x + h ? ? y ' = y + k 称为平移公式。
定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.
2 2 2 2 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2= ( x1 + y1 )( x 2 + y 2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,

1

所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn),b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|, 化简即为柯西不等式:
2 2 2 2 ( x12 + x 2 + ? + x n )( y12 + y 2 + ? + y n ) ≥

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0,

|a|·|b|≥0,所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|, 化简即为柯西不等式:
2 2 2 2 ( x12 + x 2 + ? + x n )( y12 + y 2 + ? + y n ) ≥

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。

2)对于任意 n 个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。

平面向量线性运算题库
一、 历年高考真题汇总 2.( 全国卷 (8) V ABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平分 ∠ACB .若 CB = a , CA = b , a = 1 , 2.(2010 全国卷 2 理)

uur

uur

uuu r b = 2 ,则 CD =
(A) a +

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a+ b 3 3

(C) a +

3 5

4 b 5

(D)

4 3 a+ b 5 5

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 【解析】因为 CD 平分 ∠ACB ,由角平分线定理得

AD DB

=

CA CB

=

2 ,所以 D 为 AB 的三等分点,且 1

AD =

2 2 2 1 2 1 AB = (CB ? CA) ,所以 CD = CA+AD = CB + CA = a + b ,故选 B. 3 3 3 3 3 3

3.( 辽宁文) (8)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA = a, OB = b ,则 ?OAB 的面积等于 3.(2010 辽宁文) (A)

a b ? ( a ? b) 2 1 2 a b ? ( a ? b) 2
2 2

2

2

(B)

a b + ( a ? b) 2 1 2 a b + ( a ? b) 2
2 2

2

2

(C)

(D)

【答案】C 解析:

S?OAB =

1 1 1 1 ( a ? b) 2 | a || b | sin < a, b >= | a || b | 1 ? cos 2 < a, b > = | a || b | 1 ? 2 2 = 2 2 2 |a| |b| 2
2

a b ? (a ? b) 2

2

2

10.( 四川理) (5)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC = 16, AB + AC ? ?=?AB ? AC?, 则 10.(2010 四川理)

?AM?= (A)8
2

(B)4

(C) 2

(D)1

解析:由 BC =16,得|BC|=4 故?AM?= 2 【答案】C

?AB + AC?=?AB ? AC?=| BC | =4 而?AB + AC?= 2?AM?

( 天津文) (9) 在ΔABC 中,AD ⊥ AB ,BC = 3 BD , 11. 2010 天津文) 如图,
2

AD = 1 ,则 AC ? AD =
(A) 2 3 (B)

3 2

(C)

3 3

(D) 3

【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题。

AC ? AD =| AC | ? | AD | cos∠DAC =| AC | ? cos∠DAC =| AC | sin ∠BAC = BC sin B = 3
(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么 PA ? PB (2010 全国卷 1 文) 的最小值为(A) ?4 + 2 (B) ?3 + 2 (C) ?4 + 2 2 (D) ?3 + 2 2

【答案】D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判 别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】 如图所示: PA=PB= x ( x > 0) ,∠APO= α ,则∠ 设 APB= 2α ,PO= 1 + x , sin α =
2

A

1 1 + x2



O

P

B

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 PA ? PB =| PA | ? | PB | cos 2α = x (1 ? 2sin α ) = = 2 ,令 PA ? PB = y ,则 y = 2 , x2 + 1 x +1 x +1
2 2

即 x 4 ? (1 + y ) x 2 ? y = 0 ,由 x 是实数,所以
2

? = [?(1 + y )]2 ? 4 × 1× (? y ) ≥ 0 , y 2 + 6 y + 1 ≥ 0 , 解 得 y ≤ ?3 ? 2 2 或 y ≥ ?3 + 2 2 . 故

( PA ? PB )min = ?3 + 2 2 .此时 x =

2 ?1 .
2

θ? ? PA ? PB = ( PA)( PB ) cos θ = ? 1/ tan ? cos θ 【解析 2】设 ∠APB = θ , 0 < θ < π , 2? ?
? 2 θ ?? 2θ ? ? 1 ? sin ??1 ? 2sin ? 2 ?? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 θ ? = ? = ? θ ? θ 2? ? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

θ







x = sin 2

θ
2

,0 < x ≤1



PA ? PB =

(1 ? x )(1 ? 2 x ) = 2 x + 1 ? 3 ≥ 2
x x

2 ?3

3

【解析 3】建系:圆的方程为 x + y = 1 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , ? y1 ), P ( x0 , 0) ,
2 2
2 PA ? PB = ( x1 ? x0 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , ? y1 ) = x12 ? 2 x1 x0 + x0 ? y12

AO ⊥ PA ? ( x1 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , y1 ) = 0 ? x12 ? x1 x0 + y12

2 2 2 PA ? PB = x12 ? 2 x1 x0 + x0 ? y12 = x12 ? 2 + x0 ? (1 ? x12 ) = 2 x12 + x0 ? 3 ≥ 2 2 ? 3

4.( 江西理) 4.(2010 江西理)13.已知向量 a , b 满足 a = 1 , b = 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b = 【答案】

3

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等知识,如图

a = OA, b = OB, a ? b = OA ? OB = BA ,由余弦定理得: a ? b = 3
6.(2010 浙江文) ( 浙江文) (13)已知平面向量 α , β , α = 1, 答案 : 10 7.( 天津理) (15)如图,在 △ ABC 中, AD ⊥ AB , BC = 3 BD , 7.(2010 天津理)

β = 2, α ⊥ (α ? 2β ), 则 2a + β 的值是

AD = 1 ,则 AC i AD =

.

【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识,属于难题。

AC ? AD =| AC | ? | AD | cos∠DAC =| AC | ? cos∠DAC =| AC | sin ∠BAC = BC sin B = 3
2.( 2009 广 东 卷 理 ) 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知

F1 , F2 成 600 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为(
A. 6 答案 B. 2 D 解析 C. 2 5 D. 2 7

)

F32 = F12 + F22 ? 2 F1 F2 cos(180 0 ? 60 0 ) = 28 ,所以 F3 = 2 7 ,选 D.

3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |= 3 , | b |= 4 , a ? b = 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三 角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 B.4 C. 5 ( ) w D. 6

答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 8.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2 BP ,则( A. PA + PB = 0 答案 B 解析 B. PC + PA = 0 C. PB + PC = 0 )

D. PA + PB + PC = 0

:因为 BC + BA = 2 BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。
0

13.(2009 辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a = (2, 0) , b = 1 则 a + 2b =

( )
4

A. 3 答案

B. 2 3
2 2

C. 4
2

D.2

B 解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12∴ a + 2b = 2 3

14.(2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0 , 且 PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 ( )

答案 C(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析由 OA = OB = OC 知, O为?ABC的外心; NA + NB + NC = 0知,O为?ABC的重心 由

∵ PA ? PB = PB ? PC, PA ? PC ? PB = 0, CA ? PB = 0,∴ CA ⊥ PB, ∴ ∴

(

)

同理,AP ⊥ BC ,∴ P为?ABC的垂心,选C.
16.(2009 湖南卷文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( A. AD + BE + CF = 0 B. BD ? CF + DF = 0 )

A D F

C. AD + CE ? CF = 0 D. BD ? BE ? FC = 0 答案 A

B E

C

解析 ∵ AD = DB,∴ AD + BE = DB + BE = DE = FC , 得 AD + BE + CF = 0 . 或 AD + BE + CF = AD + DF + CF = AF + CF = 0 . 17.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于 ( A. 3 答案 B.2 3
2 2

0



C.4
2

D.12

B 解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12

∴ a + 2b = 2 3 18.(2009 全国卷Ⅰ文)设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |=| b |=| c |, a + b = c ,则 < a, b >= ( A.150° 答案 B 解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。
5

)

B.120°

C.60°

D.30°



由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起点处的对角线长

等于菱形的边长,故选择 B。 19. 2009 陕西卷文) ?ABC 中,M 是 BC 的中点, ( 在 AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 PA = 2 PM ,则 PA ? ( PB + PC ) 等于 A. ( B. ) D. ?

4 9

4 3

C. ?

4 3

4 9

答案

A.解析 由 AP = 2 PM 知, p 为 ?ABC 的重心,根据向量的加法, PB + PC = 2 PM 则

2 1 4 AP ? ( PB + PC ) = 2AP? PM=2 AP PM cos0° = 2× × ×1= 3 3 9
22.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 a 与 b 不共线,
→ → → → → →

a⊥c



∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于
→ →









(


)

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 C. a , b 为两边的三角形面积
→ → → → →



B. 以 b , c 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积
→ → → → → → →

答案 A 解析 假设 a 与 b 的夹角为 θ ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣ =︱ b ︱·︱ a ︱?∣cos(90 0 ± θ )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin θ ,即为以 a , b 为邻边的平 行四边形的面积. 23.(2009 重庆卷理)已知 a = 1, b = 6, a i(b ? a ) = 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A. )
→ → → → → →

π
6

B.

π
4

C.

π
3

D.

π
2

答案 C 解析 因为由条件得 a ? b ? a 2 = 2, 所以a ? b = 2 + a 2 = 3 = a ? b cos α = 1× 6 × cos α ,

1 π 所以 cos α = ,所以α = 2 3
28.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC = xOA + yOB, 其中 x, y ∈ R ,则 x + y 的最大值是________. 答案 2 解析 设 ∠AOC = α
o

6

1 ? ?OC ? OA = xOA ? OA + yOB ? OA, ?cos α = x ? 2 y ? ? ,即 ? ? ?OC ? OB = xOA ? OB + yOB ? OB, ?cos(1200 ? α ) = ? 1 x + y ? ? ? 2
∴ x + y = 2[cos α + cos(120 ? α )] = cos α + 3 sin α = 2sin(α +
0

π
6

)≤2
= + ,

29.(2009 安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 其中 答案 , R ,则 + = _________.0.w.w.k.

4/3 解析 设 BC = b 、 BA = a 则 AF =

1 1 b ? a , AE = b ? a , AC = b ? a 2 2

代入条件得 λ = u =

2 4 ∴λ + u = 3 3

32.(2009 湖南卷文)如图 2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD = x AB + y AC , 则 x= ,y= .

图2 答案

x = 1+

3 3 , y= . 解析 2 2

作 DF ⊥ AB ,设 AB = AC = 1 ? BC = DE =

2,

∵ ∠DEB = 60 ,∴ BD = 3 3 , y= . 2 2

6 6 2 3 , 由 ∠DBF = 45 解得 DF = BF = × = ,故 2 2 2 2

x = 1+

38.(2009 湖南卷理) 解

在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC =

3 AB ? AC = 3BC 2 ,求角 A,B,C 的大小.

设 BC = a, AC = b, AB = c

由 2 AB ? AC =

3 AB ? AC 得 2bc cos A = 3bc ,所以 cos A =

3 π 又 A ∈ (0, π ), 因此 A = 2 6 3 4

由 3 AB ? AC = 3BC 得 bc = 3a ,于是 sin C ? sin B =
2 2

3 sin 2 A ?

7

所以 sin C ? sin(

5π 3 1 3 3 ? C) = , sin C ? ( cos C + sin C ) = ,因此 6 4 2 2 4

2 sin C ? cos C + 2 3 sin 2 C = 3,sin 2C ? 3 cos 2C = 0 ,既 sin(2C ? ) = 0 3 π 5π π π 4π 由 A= 知 0 < C < ,所以 ? , 2C ? < ,从而 6 6 3 3 3 π π π 2π 2C ? = 0, 或 2C ? = π , ,既 C = , 或 C = ,故 3 3 6 3 π 2π π π π 2π A= ,B = ,C = , 或 A = , B = ,C = 。 6 3 6 6 6 3
1.(2008 全国 I)在 △ ABC 中, AB = c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2 DC ,则 AD = ( A. )

π

2 1 b+ c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b +

1 3

2 c 3

答案 A 2.(2008 安徽)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB = (2, 4) , AC = (1, 3) ,则 BD = ( A. (-2,-4) 答案 B 4.(2008 湖南)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC = 2 BD, CE = 2 EA, AF = 2 FB, 则 AD + BE + CF 与 BC A.反向平行 C.互相垂直 答案 A 5.(2008 广东)在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 与 CD 交于点 F .若 AC = a , BD = b ,则 AF = A. ( ) D. a + 的延长线 ( ) B.同向平行 D.既不平行也不垂直 B. (-3,-5) C. (3,5) )

D. (2,4)

1 1 a+ b 4 2

B.

2 1 a+ b 3 3

C.

1 1 a+ b 2 4

1 3

2 b 3

答案 B 6.(2008 浙江)已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a ? c ) ? (b ? c) = 0 ,则 c 的最 大值是 A.1 答案 C
8

( B.2

) C. 2 D.

2 2

7.(2007 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA + OB + OC = 0 ,那么 ( )A. AO = OD B. AO = 2OD D. 2AO = OD

C. AO = 3OD 答案 A

9.(2007 湖北)设 a = (4, , a 在 b 上的投影为 3)

5 2 , b 在 x 轴上的投影为 2,且 | b |≤ 14 ,则 b 为 2 2? ? 7?
C. ? ?2, ?

( 答案 B

)A. (2, 14)

B. ? 2, ?

? ?

? ?

2? 7?

D. (2, 8)

10.(2007 湖南)设 a,b 是非零向量,若函数 f ( x ) = ( xa + b)i(a ? xb) 的图象是一条直线,则必有 ( 答案 A 13.(2006四川)如图,已知正六边形 P P2 P3 P4 P5 P6 ,下列向量的数量积中最大的是( 1 A. ) )A. a ⊥ b B. a ∥ b C. | a |=| b | D. | a |≠| b |

P P2 , P P3 1 1

B.

P P2 , P P4 1 1

C.

P P2 , P P5 1 1

D.

P P2 , P P6 1 1

答案 A 16.(2008 上海)若向量 a , b 满足 a = 1, = 2 且 a 与 b 的夹角为 b 答案

π ,则 a + b = 3



7

18.(2008 北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a = b = 4 ,那么 bi(2a + b) 的值为 答案 0 .

20.(2008 江苏) a , b 的夹角为 120° , a = 1 , b = 3 则 5a ? b = 答案 7

21. 2007 安徽) ( 在四面体 O ? ABC 中, = a, = b, = c,D 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, OE = OA OB OC E 则 (用 a,b,c 表示) .

答案

1 1 1 a+ b+ c 2 4 4
9

23.(2007 广东)若向量 a 、 b 满足 a = b = 1, a与b 的夹角为 120°,则 a· b + a· b = 答案

.

1 2

24.(2005 上海)直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P ( x, y ) 满足 OP ? OA = 4 ,则点 P 的轨迹方程是 __________. 答案 x+2y-4=0 25.(2005 江苏)在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB + OC ) 的最小值是________。 答案 -2 1.(池州市七校元旦调研)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ( a ? c ) ? ( b ? c ) 的最小值为 ( ) (A) ?2 答案 D 解: (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

∵ a, b, c 是单位向量∴ a ? c ? b ? c = aib ? (a + b)ic + c

(

) (

)

2

= 1? | a + b |i| c |= 1 ? 2 cos < a + b, c >≥ 1 ? 2 故选 D.
4. (肥城市第二次联考) (肥城市第二次联考)自圆 x +y -2x-4y+4=0 外一点 P(0,4)向圆引两条切线, 切点分别为 A、B,则 PA ? PB 等于( (A) )
2 2

12 5

(B)

6 5

(C)

8 5 5

(D)

4 5 5 0 2 + 42 ? 42 + 4 = 2 ,结合圆的对称性,

答案 A 解析:设 PA 、 PB 的夹角为 2θ ,则切线长 | PA |=| PB |=

cos θ =

2 5 3 12 , cos 2θ = ,所以 PA ? PB = 。 5 5 5
?? → → ??→ →

5. (马鞍山学业水平测试)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B1 = a , A1 D1 = b ,
??→

A1 A = c ,



则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 B.
1→ 1→ → a+ b+ c 2 2

??→

A. ?

1→ 1→ → a? b+ c 2 2

C.

1→ 1→ → a? b+ c 2 2

D. ?

1→ 1→ → a+ b+ c 2 2

答案 D 6.(祥云一中月考理)若向量 a 、 b 满足 a + b = ( 2,?1), a = (1,2), 则向量a与b 的夹角等于 ( A.45° 答案:D B.60° C.120° D.135° )

10

7. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知 | a |= 6 ,| b |= 3 , a ? b = ?12 ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( 答案 A )A. ? 4 B. 4 C. ? 2 D. 2

8. (三明市三校联考) e1 , e2 是夹角为 若 A.1 答案 C B. ?4

π
3

的单位向量, a = 2e1 + e2 , b = ?3e1 + 2e2 , a ? b = 且 则





C. ?

7 2

D.

7 2

1、(2009 杭州二中第六次月考)已知 C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点,满足 PA ? PB = 2 ,

PA ? PB = 2 5 , AC AC

PA ? PC PA AP AP

=

PB ? PC PB

, I 为 PC 上一点,且

BI = BA + λ (

+

)(λ > 0) ,则

BI ? BA BA

的值为


P



A. 5 B. 2
I

C. D. 0 答案 C

5 ?1
A C B

4、 (2009 东莞一模)已知 a, b是不共线的向量, 若 AB = λ1 a + b, AC = a + λ2 b(λ1 , λ2 ∈ R) ,则 A、B、C 三点共线的充要条件为 A. λ1 =λ 2 = ?1 B 答案 C 11、 (2009 广州一模)已知平面内不共线的四点 0,A,B,C 满足 OB = A.1:3 答案 D 13、 (2009 韶关一模理)若 OA =a, OB =b, 则∠AOB 平分线上的向量 OM 为 A. B.3:1 C. 1:2

λ1 =λ 2 = 1 C. λ1λ 2 ?1 = 0

D. λ1 ?λ 2 +1 = 1

1 2 OA + OC ,则 | AB |:| BC |= 3 3

D. 2:1

a b + |a| |b| a+b |a+b|

B. λ (

a b + ), λ 由 OM 确定 |a| |b|

C.

D.

| b | a+ | a | b |a|+|b|

答案 B

11

17、 (2009 玉溪一中期中)设 O (0, 0) , A(1, 0) , B (0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP = λ AB ,若

OP ? AB ≥ PA ?PB ,则实数 λ 的取值范围是
1 2 ≤ λ ≤1 1? ≤ λ ≤1 2 A. 2 B.
答案 B

(

)

1 2 ≤ λ ≤ 1+ 2 C. 2

D.

1?

2 2 ≤ λ ≤ 1+ 2 2

1、 (2009 上海普陀区)设 e1 、 e2 是平面内一组基向量,且 a = e1 + 2e2 、 b = ?e1 + e2 ,则向量 e1 + e2 可以表 示为另一组基向量 a 、 b 的线性组合,即 e1 + e2 = 答案

a+

b.

2 1 ,? ; 3 3

3、 (2009 上海卢湾区 4 月模考)在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A 、 B 、 C 三点在同一直线上 的充要条件为存在惟一的实数 λ ,使得 OC = λ ? OA + (1 ? λ ) ? OB 成立,此时称实数 λ 为“向量 OC 关 .若已知 P (3,1) 、 P2 ( ?1, 3) ,且向量 OP 是直线 l : x ? y + 10 = 0 的 于 OA 和 OB 的终点共线分解系数” 1 3 法向量,则“向量 OP 关于 OP 和 OP2 的终点共线分解系数”为 3 1 答案 -1 4、 (2009 上海九校联考)若向量 a, b 满足 a = 答案 .

2, b = 2, (a ? b) ⊥ a ,则向量 a与b 的夹角等于

π
4

2.(2009 昆明市期末)在△ABC 中, AR = 2 RB, CP = 2 PR, 若 AP = m AB + n AC , 则m + n = ( )A. 3 答案 B 5.(湖北省八校 2009 届高三第二次联考文)已知 a 、 b 是不共线的 AB = λ a + b AC = a + ? b (λ , ? ∈ R ) , 则 A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是: () A. λ + ? = 1 答案 D 8.(2009 云南师大附中)设向量 AB = 2, AC = 3, AB + AC = 19, 则∠CAB = _________ 答案 B. λ ? ? = 1 C. λ? = ?1 D. λ? = 1

2

B

7 9

C.

8 9

D.1

60°

9.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)若向量 a 与 b 的夹角为 60 , a = b = 1 ,则 a ? a ? b = _________.

(

)

12

答案

1 2
2, b = 2, (a ? b) ⊥ a ,则向量 a与b 的夹角等于

10.(2009 上海九校联考)若向量 a, b 满足 a = 答案

π
4

11.(天门市 2009 届高三三月联考数学试题文)给出下列命题 ① 非零向量 a 、 b 满足| a |=| b |=| a - b |,则 a 与 a + b 的夹角为 30°; ② a · b >0 是 a 、 b 的夹角为锐角的充要条件; ③ 将函数 y=|x-1|的图象按向量 a =(-1,0)平移,得到的图像对应的函数为 y=|x|; ④若( AB + AC )( AB ? AC )=0,则△ABC 为等腰三角形 · 以上命题正确的是 答案 ①③④ 12.(2009 扬州大学附中 3 月月考)在直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若直 角三角形 ABC 中, AB = i + j , AC = 2i + m j ,则实数 m= 答案 -2 或 0
2 2

。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上)



13.(2009 丹阳高级中学一模)已知平面上的向量 PA 、 PB 满足 PA + PB = 4 , AB = 2 ,设向量

PC = 2 PA + PB ,则 PC 的最小值是
答案 2 19.(黄山市 2009 届高中毕业班第一次质量检测)已知△ABC 的面积 S 满足

3 ≤ S ≤ 3 3, 且AB ? BC = 6, AB与BC的夹角为θ
(1)求 θ 的取值范围; (2)求函数 f (θ ) = sin 2 θ + 2sin θ ? cos θ + 3cos 2 θ 的最大值 解 (1)由题意知 AB ? BC =| AB | ? | BC |cos θ = 6 .

S=

1 1 1 6 | AB | | BC | sin(π ? θ ) = | AB | ? | BC | sin θ = ? = 3 tan θ ; 2 2 2 cos θ

∵ 3 ≤ S ≤ 3 3, 即3 ≤ 3tanθ ≤ 3 3 , ∴1 ≤ tan θ ≤ 3, 又 ∵θ ∈ [0, π ]∴θ ∈ [ ? ] 4 3
(2) f (θ ) = sin 2 θ + 2sin θ cos θ + 3cos 2 θ = 1 + sin 2θ +2 cos θ = 2 + sin 2θ + cos 2θ
2

π π

π π π π 3π 11π = 2 + 2 sin(2θ + ) ∵θ ∈ [ , ],∴ 2θ + ∈ [ ? ] 4 4 3 4 4 12
13

∴当2θ +

π
4

=

3π π , 即θ = 时,f (θ )最大,其最大值为3 . 4 4 2π ,∠ 3

22.(山东临沂 2009 年模拟)如图,已知△ABC 中,|AC|=1,∠ABC= BAC=θ,记 f (θ ) = AB i BC 。 (1) 求 f (θ ) 关于θ的表达式;求 f (θ ) 的值域。

| BC | 1 | AB | = = sin θ sin 2π sin( 2π ? θ ) 3 3 2π sin( ? θ ) π sin θ 2 3 2 3 3 ∴| BC |= = sin θ ,| AB |= = sin( ? θ ) 2π 2π 3 3 3 sin sin 3 3 π 4 π 1 ∴ f (θ ) = AB i BC =| AB |i| BC | cos = sin θ isin( ? θ )i 3 3 3 2
解: (1)由正弦定理,得

=

2 3 1 3 1 1 1 π 1 π ( cos θ ? sin θ )sin θ = sin 2θ + cos 2θ ? = sin(2θ + ) ? .(0 < θ < ) 3 2 2 6 6 6 3 6 6 3

(2)由 0 < θ < ∴0 <

π
3

,得

π
6

< 2θ +

π
6

<

5π , 6

1 π ∴ < sin(2θ + ) ≤ 1, 2 6

1 π 1 1 1 sin(2θ + ) ? ≤ ,即 f (θ ) 的值域为 (0 , ] 3 6 6 6 6 .

25. 安徽省江南十校 2009 年高三高考冲刺) ?ABC 中, AB = 1, AC = 2, BC ∈ [ 3, 5] , AB与 AC ( 在 记 的夹角为 θ .(Ⅰ)求 θ 的取值范围; (Ⅱ)求函数 f (θ ) = 2 sin (
2

π
4

+ θ ) ? 3 cos 2θ 的最大值和最小值.



(1)由余弦定理知: cos θ =

12 + 22 ? a 2 5 ? a 2 = ,又 a ∈ [ 3, 5] , 2 ×1× 2 4

所以 0 ≤ cos θ ≤

1 π π ,又 θ ∈ 0,π) θ ∈ [ , ] 即为 θ 的取值范围; ( ? 2 3 2
2

(Ⅱ) f (θ ) = 2 sin (

π

4

+ θ ) ? 3 cos 2θ = 2sin(2θ ?

π

3

) + 1 ,因为

π π π 2π 3 π θ ∈ [ , ] ? ≤ 2θ ≤ ,所以 ≤ 2sin(2θ ? ) ≤ 1 ,因此 f (θ )max = 3 , f (θ )min = 3 + 1 .
3 2 3 3 2 3
1.(江苏省启东中学高三综合测试四)在 ?OAB 中, OA =a, OB =b,M 为 OB 的中点,N 为 AB 的中点,ON, a b

AM 交于点 P,则 AP =

( )

14

A.

2 1 a- b 3 3

B.-

2 1 a+ b 3 3

C.

1 2 a- b 3 3


D.-

1 2 a+ b 3 3
→ → → →

答案 B 2.(安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知向量 a = ( 2,3) , = (?1,2) , m a + n b 与 a ? 2 b 共线, b 若 则


m 等于( n

)A. ?

1 ; 2

B.

1 ; 2

C. ? 2 ;

D. 2 ;

答案 A 3.(江西省五校 2008 届高三开学联考)已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |, 则 ( )A. a ⊥ e B. e ⊥( a - e ) C. a ⊥( a - e ) D.( a + e )⊥( a - e )

答案:B 5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量 p = 是 A. [0, 2] 答案 B 6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知 A,B,C 是平面上不共线上三点,动点 P 满足
→ → → → 1? ? OP = ?(1 ? λ ) OA+ (1 ? λ ) OB + (1 + 2λ ) OC ? (λ ∈ R且λ ≠ 0) ,则 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的 3? ?

a b + ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围 |a| |b|
( )

B. [0,1]

C. (0, 2]

D. [0, 2]

A.内心 答案 C

B. 垂心

C.重心

D.AB 边的中点

7.(四川省成都市高 2008 届毕业班摸底测试)下列式子中(其中的 a、b、c 为平面向量) ,正确的是 c ( A. AB ? AC = BC C. λ ( ? a ) = (λ? )a (λ , ? ∈ R ) 答案 C 8.(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知单位向量 a,b 的夹角为 A. 2 3 答案 B 9.(东北三校 2008 年高三第一次联考)已知向量 a = (1, n ), b = ( ? 1, n ), 若 a 与 b 垂直 , 则 a 等于 ( )
15

) B.a(b·c)= (a·b)c c c D. 0 ? AB = 0

π
3

,那么 a + 2b =

(

)

B. 7

C.2 7

D. 4 3

A.1 答案 B

B. 2

C.2

D.4

10.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知平面上三点 A、B、C 满足

| AB |= 3, | BC |= 4, | CA |= 5, 则 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的值等于 (
A 25 答案 C 11.(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)如图, 平面内的两条相交 B 24 C.-25 D -24



直线

OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包含边界) ,设
OP = mOP1 + nOP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数 m、n 满足(



A.m>0, n>0 C.m<0, n>0 答案 B

B.m>0, n<0 D.m<0, n<0

12.(湖北省荆门市 2008 届上期末)如图,在△ABC 中, BD = ( A. a + b )

1 DC , AE = 3ED, 若 AB = a, AC = b, 则BE = 2

1 1 3 3 1 1 C. a + b 2 4

1 1 a+ b 2 4 1 1 D. ? a + b 3 3
B. ?

13.(江苏省省阜中 2008 届高三第三次调研) O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三 若( OB ?OC )·( OB +OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状是 答案 等腰三角形 14. 江苏省滨海县 2008 高三第三次联考数学试卷) ( 不共线的向量 m1 ,m 2 的模都为 2, a = 3m1 ? 2m2 , 若 .

b = 2m1 ? 3m2 ,则两向量 a + b 与 a ? b 的夹角为
答案 90° 16.(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知 OA = a , OB = b ,且 | a |= | b |= 2 ,∠AOB=60°,则

uur

uur u

| a + b | =____; a + b 与 b 的夹角为_____.
答案 2 3, π 6

17.(北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知 Rt△ABC 的斜边 BC=5,则 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的 值等于 答案 -25
16

.


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