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2003年全国各地高考数学模拟试题选析


2003 年全国各地高考数学模拟试题选析 三 角 函 数 (湖北省孝感高级中学试题研究小组 组长: 徐新斌 执笔: 代丽萍)

一、高考回顾 三角函数是高中数学的基础知识, 是高考考查的重点内容之一.高考主要考查三角函数的图象、性质,以及结合三角变换求三角函数值, 以此为载 体考查学生的灵活运用知识的能力和综合处理问题的能力, 涉及的数学思想方法主要有数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想.从近三年的 高考试题(新课程卷)看,三角函数的分值占总分的 11%左右.

理科 年 份 性质 象 题 200 3年 号 分 值 题 200 2年 号 分 值 题 200 1年 号 分 值 5,8 5,12 1, 22(1) 5, 12 5,17 2, 17(1) 17 (2) 用 图 应

文科 图 性质 象 4, 21 用 应

5, 12 5,14, 18 5,4, 12 1,4, 15 5,5,4

二、新题评析 1.基础题 注重考查三角函数的化简、求值,三角函数的图象、性质尤其是三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性和最值.作为基础题,有些题是只需稍 作变换即可作答的题,也有些题给出的函数式较为复杂,必须经过化简成基本函数之后才能解决有关的函数性质和图象变化情况. 例1(南京市高三第二次质量检测)函数

y ? 2 sin | x ?

?
2

| 的部分图象是(

) .

y

y

o A

x

o B

x

y

y

o C

x D

o

x

解:C.先考察函数

y ? 2 sin | x | ,它是偶函数,关于y轴对称,过点 (0,0) ,把它的图象向右平移
?

象,因此它的图象应该关于 x

?
2

对称,且经过点 (

?
2

? 2

个单位,即得到

y ? 2 sin | x ?

?
2

| 的图

,0) .符合这个条件的只有C.

评析:根据图象的基本特征进行分析、作出判断,是近几年高考命题的一个趋势,也是能力立意的命题要求,应引起重视.对于此题,熟悉基本函数

y ? sin x 的图象是解题的关键,其次就是掌握对称变换和平移变换的变换规律.

例2(天津市高中质量调查)函数 是 A.周期为 ? 的奇函数 B.周期为 ? 的偶函数 C.周期为 2? 的奇函数 D.周期为 2? 的偶函数 (

x ? x ? f ( x) ? cos 2 ( ? ) ? sin 2 ( ? ) ? 1 2 4 2 4


解:C.原函数可化为

1 ? cos(x ? ) 1 ? cos(x ? ) 2 ? 2 ?1 f ( x) ? 2 2

?

?

1 ? ? ? [cos( x ? ) ? cos( x ? )] 2 2 2

? sin x
故选C.

评析:本题考查了函数的奇偶性和周期性.利用降幂公式 cos

2

x?

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x 2 与 sin x ? 对原函数式进行化简是本题的关键问题.对 2 2

于这类问题,通常是通过变形、变换化为一个角的一个三角函数的形式后再来求解或判断.

例3(天津市高中质量调查)已知 cos( ?

?

?
12

)??

4 ? ?? ?? ,且 5 2

,求 cos( 2?

?

?
12

) 的值.

4 ? ) ? ? , ?? ?? 解:? cos(? ? 12 5 2

?

5? ? 11? ?? ? ? 12 12 12 , ? 3 ? sin(? ? ) ? 12 5 ?
) 3 4 24 ? 2 ? ? (? ) ? ? 5 5 25


? sin 2(? ?

?
12

) ? 2 sin(? ?

?
12

) cos(? ?

?
12

cos 2(? ?

?

12

) ? 2 cos 2 (? ?

? cos( 2? ?

?

) ?1 12 16 7 ? 2? ?1 ? . 25 25 ) ? cos[ 2(? ?

?

?

12

12

)?

?
4

]

? cos 2(? ? ?

?
12

) cos

?
4

? sin 2(? ?

?
12

) sin

?
4

7 2 24 2 ? ? (? ) ? 25 2 25 2 31 2 ? 50
评析:今年的模拟试题中,通过三角变换求值、化简、证明题较多.本题主要考查三角变换的角的变换,拆角与凑角是角的变换的常用手段.本题的 关键在于发现目标角与已知角之间的关系: 2? 值范围.

?

?
12

? 2(? ?

?
12

)?

?
4

.通过这种变角,要求出 sin(?

?

?
12

) 的值,因此还必须判断角 ? ?

?
12

的取

例4(苏州市高三教学情况调查)设函数 (1)写出函数 (2) x ? [ ? 解: (1)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;

? ?

, ] 时,函数 f ( x) 的最小值为2,求此时函数 f ( x) 的最大值,并指出 x 取何值时,函数 f ( x) 取到最大值. 6 3

f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?m 2 2

? sin( 2 x ?
?T ? ?
由 2k?

?
6

)?m?

1 2

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

故函数

f ( x) 的单调区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z ) .

(2)? ?

?
?
6

?x?

?
3



6 6 1 ? ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 当? sin( 2 x ? ) ? ? 时,原函数取最小值2,即 6 2 1 1 ? ?m? ?2 2 2 ?m ? 2 ? 5 ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? 6 2 ?当 sin( 2 x ? 2x ?

??

? 2x ?

?

?

5? 6

?

?
6

?

?
2

6

) ? 1,即

,x ? 7 2

?
6


时,

f ( x) 取到最大值

评析:本题综合考查了函数的周期性、单调性与最值等问题.解决这类问题的通常方法是:先将已知函数式变形为形如

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的

形式,然后分别利用 T

?

2? |? |

求出最小正周期、利用基本函数的单调性求单调区间、在求最值问题时,应注意其定义的制约.

例5 (北京东城区第一次模拟考试) 使函数 个单位,得到的曲线与 (1) (2) 求 求

y ? f ( x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的

1 2

, 然后再将其图象沿x轴向左平移

? 6

y ? sin 2 x 相同.

y ? f ( x) 的表达式; y ? f ( x) 的单调递减区间. y ? sin 2 x 的图象向右平移

解: (1)先将 再将 则

y ? sin( 2 x ?

?
3

? 6



y ? sin 2( x ? ) ,即 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 6 3

?

?

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标不变,得到 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象.

y ? sin( x ?

?
3

) 即为所求. ? x?

(2)由 2k?

?

?
2

?

3 ? 2k? ? ? 3 2

得 2k? 即

5 11 ? ? ? x ? 2k? ? ? 6 6

5 11 y ? f ( x) 的单调递减区间为 [2k? ? ? ,2k? ? ? ] (k ? Z ) . 6 6

评析:本题考查了图象的变换,以及

y ? A sin(?x ? ? ) 的单调区间的求法.解本题首先要弄清楚的是由哪个函数的图象变到哪个函数的图象,顺

序颠倒变换方式正好相反.这里已知的是变换后的解析式,要得到原来的解析式,必须倒过来变换.即
向右平移 ? ? 倍 6 ? ? ? ? ?2 ? ? y ? sin( x ? ) . y ? sin 2 x ??? ? ? y ? sin 2( x ? ) ?横坐标伸长为原来的 3 6

?

而单调区间由基本函数

y ? sin x 确定.

2.综合题 与近几年的高考题一样,模拟试题也很好地控制了试题的难度,通常是放在解答题的前两题的位置,属低、中档题.注重三角函数的图象和性质的灵 活运用,或以三角知识为背景,考查学生运用数学知识和思想方法去综合分析、解决问题的能力,如有关数列、三角形、向量等题型.难度明显呈下降趋 势.

例6对于函数

f ( x) ? cos x ? sin x ,给出下列四个命题:

①存在 a ? (0, ②存在 a ? (0,

? ?
2 2

) ,使 f (a) ? ) ,使

4 ; 3

f ( x ? a) ? f ( x ? 3a) 恒成立;
③存在 ? ? R ,使函数 ④函数

f ( x ? ? ) 的图象关于y轴对称;
3? ,0) 对称. 4


f ( x) 的图象关于点 (

其中正确命题的序号是 解:①③④. ①

f ( x) ? 2 sin( x ?

?
4

),

? 2 ? f ( x) ? 2 ,


4 ? [? 2 , 2 ] , 3

故存在 a ? (0, ②

?

2

) ,使 f (a) ?

f ( x) ? 2 sin( x ?

?
4

4 . 3
.若存在 a ? (0,

) 的周期为 T ? 2?

?
2

) ,使

f ( x ? a) ? f ( x ? 3a) 恒成立,则 T ? 2a 是它的周期,? a ? (0, ) , 2 T ? 2a ? (0, ? ) ,这与 T ? 2?
③取 ? 相矛盾.

?

?

?
4

,则

f ( x ? ? ) ? 2 sin( x ?
④点 (

?
4

?

?
4

) ? 2 cos x

这是一个偶函数,它关于y轴对称.

3? ? ,0) 是 f ( x) ? 2 sin( x ? ) 与x轴的交点, 4 4



函数

f ( x) 的图象关于点 (

3? ,0) 对称. 4

评析:本题考查了函数

f ( x) ? cos x ? sin x 的值域、周期、奇偶性、点对称和轴对称等多种情况,是一个简单的探索性问题,只有熟练掌握了函

数的图象特征及性质,才能作出正确的解答.

例7(湖北省黄冈市高三模拟考试一)关于 x 的方程

x 2 ? x ? si n2? ? si n? c o t ? ? 0 的两根为 ?



?

,且

0 ? ? ? 2?

.若数列

1, (

1

?

?

1

?

), (

1

?
?

? 1

1

?

) 2 ,? ,的前 100 项和为 0,求 ?

的值.

解:? (

1

?

?

)?

??? ??

? sin 2? ? sin ? cot? ? 2 sin ? . ?
? q ? 2 sin ? ,
而数列的首项为1,由等比数列的前n项和公式得

S100

1 ? (2 sin ? )100 ? ?0 1 ? 2 sin ?

? (2 sin? )100 ? 1 2 sin ? ? ?1, (当2 sin ? ? 1时, S100 ? 0) 又
1 ? sin 2 ? cos? ? 0 ? cos? ? 0 ?? ? 11 ? 6

? ? (sin 2? ) 2 ? 4 sin ? cot? ? 4 cos? (1 ? sin 2 ? cos? ) ? 0

评析:本题以数列为载体,考查三角函数知识的综合运用能力,既有三角函数的化简,又有三角函数的求值.

b、 例8(广州市普通高中毕业班综合测试二)在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a 、 c .若 ?ABC 的外接圆的半径 R
分别求出 B 和 b 的大小. 解:由正弦定理

? 3 ,且

cos C 2a ? c ? cos B b

,

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C . cos C 2a ? c ? 代入 得 cos B b cos C 2 sin A ? sin C ? . cos B sin B
整理得



a ? 2 R sin A ,

sin B cos C ? cos B sin C ? 2 sin A cos B


sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B

? A ? B ? C ? 1800

? sin(B ? C ) ? sin A

? sin A ? 2 sin A cos B ? sin A ? 0,? cos B ?
? B ? 600
又? R

1 2

? 3

? b ? 2 R sin B

? 2 3 sin 600 ?3
评析:本题主要考查解斜三角形和三角恒等变换等基础知识, 考查运算能力和逻辑推理能力.其实有关三角形中的三角函数问题,就是在所附设条件 下的三角函数的求值、化简和证明.这是一种既常见又典型的问题.解决这类问题,不仅要用到三角变换的基本方法和常用技巧,还要用到三角形的相关 知识,如正弦定理、余弦定理、面积公式以及 同时涉及. 3.应用题与探索题 注重考查数学建模思想,结合三角函数知识,把实际问题转化为数学问题,用数学方法解决实际问题的能力,对信息进行收集、加工、分析、整理等 分析问题和解决问题的能力.从今年模拟试题来看,三角函数与数列、向量的结合是命题趋势. 例9(北京崇文区第二次模拟考试)已知如图, 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线, 位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救, 救生员尚有直接从 A 处游向 B 处, 而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处, 然后游向 B 处,若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒,在海中的行进速度为 2 米/秒. (I) 分析救生员的选择是否正确; (II) 有 AD 上找一点 C, 使救生员从 A 到 B 的时间为最短,并求出最短时间. B

A ? B ? C ? 1800 等.这类问题是近年来,高考的热点和难点,有的题目只涉及角,但更多的是边、角

300 米

A

C

D

解: (I)由 A 直接游向 B 处的时间为

300 0 t1 ? sin 45 ? 150 2 (秒) 2
由 A 经 D 到 B 的时间为

t2 ?
而 150

300 300 ? ? 200 (秒) 6 2

2 ? 200, ? 300cot?

因此, 救生员的选择是正确的. (II)设 ?BCD ? ? , 则CD

BC ?

300 , AC ? 300 ? 300 cot ? sin ?

于是从 A 经 C 到 B 的时间为

t?

300 ? 300 cot ? 300 ? 6 2 sin ?

50 cos? 150 ? sin ? sin ? 3 co? s ? 50(1 ? ? ) sin ? sin ? ? 50 ?

3? ? 50(1 ?

1 ? tan2 1 ? tan 2 tan

?
2 2)

2 ?

?
2

1 ? tan2
? 50(1 ? 1

?
2

? 2 tan ) ? 2 tan 2 ? 50(1 ? 2 2 ) ? 50 ? 1 0 0 2
当且仅当

?

2 , tan? ? 2 2时, 2 tan ? , 2 2 ? 2 tan 上式等号成立 . 2 300 ? 75 2 (米)时, t 取得最小值为 50 ? 100 2 秒. 此时, CD ? tan ?

?

1

即 tan

?

?

因此,点 C 应选在沿岸边 AD, 距 D 点 75

2 米处,

才能使救生员从 A 到 C 再到 B 所用时间最短. 最短时间为 50 ? 100

2 秒.

评析: 本题考查的是运用三角函数知识解决实际问题的能力,解题时,首先要注意阅读理解,弄清题意,特别是各个量之间的关系,根据示意图,分 析与解决问题有关的三角形,然后利用有关公式(更多的时候是利用正弦、余弦定理)求解.

例10(太原市高三年级模拟考试)已知函数

f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos2 x 的图象经过点A(0,1) ,B ( ,1) ,且当 x ? [0, ] 时, 4 4

?

?

f ( x) 取最大值 2 2 ? 1 .
(1)求

f ( x) 的解析式;
? ? ? f ( x) 的图象按向量 m 平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,求出满足条件的一个 m ,若不存在,说明理由.

(2)是否存在向量 m ,使得将

解:由题意知

?a ? c ? 1 ? ?a ? b ? 1

?b ? c ? 1? a ? f ( x) ? a ? 2 (1 ? a) sin(2 x ?

?
4

)

? ? ? 3 ? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ? ] 4 4 4 4 当 1 ? a ? 0 时,
由a?

2 (1 ? a) ? 2 2 ? 1 解得 a ? ?1

1 ? a ? 0 时,

a ? 2 (1 ? a) ?
当1 ? a

2 ? 2 2 ? 1,无解; 2

? 0 时, a ? 2 2 ? 1 ,相矛盾. a ? ?1 .

综上可知

? f ( x) ? ?1 ? 2 2 sin( 2 x ?
(2)? g ( x) 因此,将 故m

?
4

).

? 2 2 sin 2x 是奇函数,将 g ( x) 的图象向左平移

f ( x) 的图象向右平移

?

? ( ,1) 是满足条件的一个平移向量. 8

?

? 8

? 8

个单位,再向下平移1个单位就可得到

f ( x) 的图象.

个单位,再向上平移1个单位就可得到奇函数 g ( x)

? 2 2 sin 2x 的图象.

评析:作为探索性问题,本题的关键在于用待定系数法确定a、b,从而求出

f ( x) 的解析式,然后比较 f ( x) ? ?1 ? 2 2 sin( 2 x ?

?
4

)和

? ? g ( x) ? 2 2 sin 2x ,确定存在这样的平移向量 m ? ( ,1) . 8
三、命题趋向

近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,而对本章内容的考查有逐步加强的趋势,主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.考题 主要以选择题、填空题的形式出现,难度不大,从近些年考查的内容来看,大致可分为这样一些问题:与三角函数单调性有关的问题;与三角函数图象有 关的问题;应用同角变换及诱导公式,求三角函数值、化简和证明;与三角函数周期有关的问题.在新课改中,向量一种重要的工具在解题中发挥着重要 的作用,近几年的考高实践足以说明这一点,在各地的模拟试题中也得到了很好的体现. 例11(北京西城区第一次模拟试题)函数

f ( x) 是定义在 [?2? ,2? ] 上的偶函数,当 x ? [0, ? ] 时, y ? f ( x) ? cos x ;当 x ? [? ,2? ] 时,

y ? f ( x) 的图象是斜率为
(1) (2) 求

2

?

,在

y 轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分.

f ( ?2? ), f ( ? ) 的值; 3

?

写出函数

y ? f ( x) 的表达式,作出

其图象并根据图象写出函数的单调区间. 解: (1)依题意知 当 x ? [? ,2? ] 时,

y ? f ( x) ?
又? y

2

?

x?2

? f ( x) 是定义在 [?2? ,2? ] 上的偶函数,

? f (?2? ) ? f (2? ) ? 2
又当 x ? [0, ? ] 时, (2)? y

? ? ? 1 y ? f ( x) ? cos x ,? f (? ) ? f ( ) ? cos ? . 3 3 3 2

? f ( x) 是偶函数,

?当x ? [?? ,0] 时, ? x ? [0, ? ] ,此时 y ? f ( x) ? f (? x) ? cos(? x) ? cos x
当 x ? [?2? ,?? ] 时, ?

x ? [? ,2? ] ,此时 y ? f ( x) ? f (? x) ? ?

2

?

x?2.

? 2 ?? ? x ? 2, x ? [?2? , ? ] ? ? y ? f ( x) ? ?cos x, x ? [?? , ? ] ?2 ? x ? 2, x ? [? ,2? ] ??



??
? 2?


?
2?

x

由图象可知,函数的递增区间为

[?? ,0],[? ,2? ] ;
递减区间为 [?2? ,?? ],[0, ? ] .

评析:本题是一个分段函数,求分段函数的解析式,作分段函数的图象,一直是各地模拟试题的热点.解本题时,首先应搞清

y ? f ( x) 在 [0,2? ] 的

解析式,然后,根据偶函数的性质易求出 性质求解.只要作出了 单调区间.

f ( ?2? ), f ( ? ) 的值;求 y ? f ( x) 在 [?2? ,0] 上的解析式,主要运用了区间转化的办法,结合偶函数的 3

?

y ? f ( x) 在 [0,2? ] 上的图象,利用偶函数的对称性,容易画出 y ? f ( x) 在 [?2? ,2? ] 上的图象;最后从图象上观察出函数的

例12(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一次联合考试)已知向量 a (1) (2)若 解: (1 ) 求 a ? b及 | a ? b | ;

?

? (cos

? 3 3 x x ? x, sin x) , b ? (cos ,? sin ) 且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

? ?

?

?

3 ? ? ? ? f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? ,求 ? 的值. 2

? ? 3 x 3 x a ?b ? c o s x ?c o s ? s i n x ?s i n 2 2 2 2 ? cos 2 x . ? ? |a ?b |

? 2 ? 2 cos 2 x 3 x 2 3 x 2 ? (cos x ? cos ) ? (sin x ? sin ) ? 2 cos2 x 2 2 2 2

?

x ? [0, ] ,? cos x ? 0 , 2 ? ? ? | a ? b |? 2 cos x .

?

(2)

f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x ,即

f ( x) ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 .

? ? x ? [0, ] ,? 0 ? cos x ? 1 , 2
①当 ? ②当 0

? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾;

? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2?2 ,由已知得

? 1 ? 2?2 ? ?
③当 ?

3 1 ,解得 ? ? ; 2 2
,由已知得

? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4?

3 5 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8 1 综上所述, ? ? 即为所求. 2 1 ? 4? ? ?
评析:向量作为一种重要的解题工具出现的新教材中,由于解题方便、快捷而倍受亲睐.利用向量知识解决三角函数、解析几何、立体几何、不等式 等问题是新课改的一个亮点,也是各地模拟试题命题的一个热点,本题以向量为载体,考查了三角函数的最值.这是一种可化为二次函数在给定区间上的 最值问题的题型,解题时,将问题转化为 讨论.

f ( x) ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 在[0,1]上的最值问题,由于 ? 的取值未定,求 ? 时,必须进行分类


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