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数列通项专题


高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

专题研究一 数列的通项

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

专题讲解

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

? 题型一 累加法 1 例1 (1)在数列{an}中,a1=3,an+1=an+ ,则通 n(n+1) 项公式an=________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

1 1 【解析】 原递推式可化为an+1=an+n- , n+1 1 1 1 1 则a2=a1+ - ,a3=a2+ - , 1 2 2 3 1 1 1 1 a4=a3+3-4,…,an=an-1+ - . n-1 n 1 1 逐项相加,得an=a1+1- .故an=4- . n n 1 【答案】 4-n

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

(2)如下图,它满足:①第n行首尾两数均为n;②表中的递 推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)第2个数是________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

【解析】 设第n行的第2个数为an,不难得出规律an+1=an n2-n+2 +n,累加得an=a2+2+3+…+(n-1)= . 2 n2-n+2 【答案】 2

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

探究 1

利用恒等式 an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)求通项

公式的方法称为累加法. 累加法是求形如 an+1=an+f(n)的递推数 列通项公式的基本方法,其中 f(n)可求前 n 项和.

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思考题 1 (1)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则 通项公式 an=________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

【解析】 ∵an+1=an+n+1,∴a2=a1+2,a3=a2+3,…, an=an-1+n,以上 n-1 个式子相加,得 an=a1+2+3+…+n= n(n+1) +1. 2 n2+n+2 【答案】 2

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(2)设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·22n-1,求数列{an}的 通项公式.

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【解析】 累加法:由已知得,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an) +(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n 1+22n 3+…+2)+2=22(n
- - +1)-1

.而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. 【答案】 an=22n
-1

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? 题型二 累乘法 例 2 设数列{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n+1)an+12-nan2 +an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是 an=________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

【解析】 原式可化为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0. an+1 n ∵an+1+an>0,∴ = . an n+1 a2 1 a3 2 a4 3 an n-1 则a =2,a =3,a =4,…, = n ,逐项相乘, an-1 1 2 3 an 1 1 得a =n,即 an=n. 1 1 【答案】 n

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探究 2

a2 a3 an 利用恒等式 an=a1· · … (a ≠0)求通项公式 a1 a2 an-1 n

的方法称为累乘法.累乘法是求形如 an+1=g(n)an 的递推数列通 项公式的基本方法,其中 g(n)可求前 n 项积.

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2 n 思考题 2 已知数列{an}满足 a1=3,an+1= a ,求通 n+2 n 项公式 an.

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【解析】

an+1 n 由已知得 a = ,分别令 n=1,2,3,…, n+2 n

a2 a3 a4 an (n-1),代入上式得 n-1 个等式累乘,即 · · ·…· = a1 a2 a3 an-1 n-2 n-1 1 2 3 4 an 2 3×4×5×6×…× n ×n+1,所以a1=n(n+1).即 n≥2 时, 4 an= . 3n(n+1) 2 4 又因为 a1=3也满足该式,所以 an= . 3n(n+1) 【答案】 4 an= 3n(n+1)
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? 题型三 换元法 例3 4 13 已知数列{an},其中 a1=3,a2= 9 ,且当 n≥3 时,an

1 -an-1=3(an-1-an-2),求通项公式 an.

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【解析】 设 bn-1=an-an-1,原递推式可化为 1 bn-1=3bn-2,{bn}是一个等比数列. 13 4 1 1 b1=a2-a1= - = ,公比为 ,故 9 3 9 3 1 n -2 1 1 n - 2 1 n bn-1=b1·(3) =9(3) =(3) . 1n 3 11n 故 an-an-1=(3) .由逐差法,可得 an=2-2(3) . 3 11n 【答案】 an= - ( ) 2 23

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探究3

通过换元构造等差或等比数列从而求得通项.

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思考题 3

(1)若数列{an}中,a1=3 且 an+1=an2(n 是正整

数),则它的通项公式 an=________.

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【解析】 由题意知 an>0,将 an+1=an2 两边取对数,得 lgan+1 lgan+1=2lgan,即 lga =2,所以数列{lgan}是以 lga1=lg3 为 n 首项,公比为 2 的等比数列. lgan=lga1·2n-1=2n-1·lg3,即 an=32n-1. 【答案】 32n
-1

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an-1 (2)已知数列{an}中, 其中 a1=1, 且当 n≥2 时, an= , 2an-1+1 求通项公式 an.

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【解析】

an-1 1 1 将 an= 两边取倒数,得 - =2,这 a 2an-1+1 an-1 n

1 1 1 说明{a }是一个等差数列,首项是a =1,公差为 2,所以a =1+ n 1 n 1 (n-1)×2=2n-1,即 an= . 2n-1 1 【答案】 an= 2n-1

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? 题型四 例4 式 an.

待定系数法(构造新数列法)

(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求通项公

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【解析】 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an -t)即an+1=2an-t?t=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3),令 bn+1 an+1+3 bn=an+3,则b1=a1+3=4,且 = =2.所以{bn}是以b1 bn an+3 =4为首项,2为公比的等比数列,则bn=4×2n-1=2n+1,所以an =2n+1-3.

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(2)在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4· 3n-1,求通项公式 an.

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【解析】 方法一:原递推式可化为 an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1). 比较系数得 λ=-4,①式即是: an+1-4· 3n=2(an-4· 3n-1). 则数列{an-4· 3n 1}是一个等比数列,其首项 a1-4· 31 1 =
- -



-5,公比是 2. ∴an-4· 3n 1=-5· 2n 1.
- -

即 an=4· 3n-1-5· 2n-1.

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方法二:将 an+1=2an+4· 3n-1 的两边同除以 3n+1. an+1 2 an 4 an 得: n+1= · n+ 2,令 bn= n. 3 3 3 3 3 2 4 则 bn+1=3bn+9,以下略.

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(3)在数列{an}中,a1=-1,a2=2,当n∈N*,an+2=5an+1- 6an,求通项公式an.

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【解析】

an+2=5an+1-6an可化为

an+2+λan+1=(5+λ)(an+1+λan). 比较系数得λ=-3或λ=-2,不妨取λ=-2.代入可得 an+2-2an+1=3(an+1-2an). 则{an+1-2an}是一个等比数列,首项a2-2a1=2-2(-1)= 4,公比为3. ∴an+1-2an=4· 3n 1.利用上题结果有:


an=4· 3n-1-5· 2n-1.当λ=-3时结果相同.

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【答案】 (1)an=2n+1-3 (2)an=4· 3n 1-5· 2n
- -1

(3)an=4· 3n-1-5· 2n-1

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探究 4

形如 an+1=αan+β 的递推式可用构造法求通项, 构

造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质 的量,构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量,使之 成为等差或等比数列.

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思考题 4

(1)(2016· 山东济宁)已知数列{an}中,a1=2,

an+1=( 2-1)(an+2),则数列{an}的通项公式为________.

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【解析】 因为 an+1=( 2-1)(an+2), 所以 an+1- 2=( 2- bn+1 1)(an- 2).设 bn=an- 2,则 bn+1=( 2-1)bn,即 = 2-1, bn b1=a1- 2=2- 2,因此数列{bn}是以 2-1 为公比,以 2- 2 为首项的等比数列. 所以 bn=(2- 2)×( 2-1)n-1= 2×( 2-1)n,所以 an= 2 ( 2-1)n+ 2. 【答案】 an= 2( 2-1)n+ 2

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(2)(2016· 武汉市二中月考)已知正项数列{an}中,a1=2,an+1 =2an+3×5n,则数列{an}的通项 an=( A.-3×2n-1 C.5n+3×2n
-1

)

B.3×2n-1 D.5n-3×2n
-1

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【解析】 方法一:在递推公式 an+1=2an+3×5n 的两边同 时除以 5
n +1

an+1 2 an 3 , 得 n+1= × n+ , 5 5 5 5



an 2 3 2 令5n=bn,则①式变为 bn+1=5bn+5,即 bn+1-1=5(bn-1), a1 3 所以数列{bn-1}是等比数列, 其首项为 b1-1= -1=- , 5 5 2 公比为5,

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3 2 n-1 3 2 n-1 所以 bn-1=(-5)×(5) ,即 bn=1-5×(5) , 3×2n 1 an 3 2 n -1 所以5n=1-5×(5) =1- 5n ,


故 an=5n-3×2n 1.


方法二: 设 an+1+k· 5n 1=2(an+k×5n), 则 an+1=2an-3k×5n,


与题中递推公式比较得 k=-1, 即 an+1-5n+1=2(an-5n), 所以数 列{an-5n}是首项为 a1-5=-3,公比为 2 的等比数列,则 an- 5n=-3×2n-1,故 an=5n-3×2n-1.故选 D 项. 【答案】 D

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【讲评】 本题的递推公式是 an+1=αan+β 的推广 an+1=αan +β×γ ,两边同时除以 γ
n n+1

an+1 α an β 后得到 n+1= γ · n+ γ,转化为 γ γ

β α bn + 1 = kbn + γ 的 形 式 , 通 过 构 造 公 比 是 γ 的 等 比 数 列 {bn - β }求解. γ(1-k)

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? 题型五 公式法 例5 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=4,an+1=Sn+

3n,n∈N*.求数列{an}的通项公式.

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【解析】 方法一:由 an+1=Sn+3n,得 an=Sn-1+3n 1(n≥2).


两式相减,得 an+1-an=an+2×3n-1. ∴an+1=2an+2×3n-1(n≥2).
n-1 a 3 a + n 1 n 两边同除以 2n+1,得 n+1=2n+ 2n (n≥2). 2

an a2 a3 a2 a4 a3 an an-1 当 n≥2 时,2n=22+(23-22)+(24-23)+…+(2n- n-1) 2

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3 3 n -2 3n-2 7 4(1-(2) ) 1 3 n-1 a2 3 32 = 4 +22+23+…+ n-1=4+ =4+(2) , 3 2 1-2
- n-2 ? +2×3n 1(n≥2), ?2 ∴an=? ? ?4(n=1).

方法二:依题意,得 Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n. 由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),

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∴数列{Sn-3n}是首项为 S1-31=1,公比为 2 的等比数列. 因此 Sn-3n=2n 1,n∈N*.


∴Sn=3n+2n-1. 因此
- n -2 ? +2×3n 1(n≥2), ?2 ?Sn-Sn-1 ? an=? =? ? ? ?S1 ?4(n=1).

【答案】

n -2 ? +2×3n-1(n≥2), ?2 an=? ? ?4 (n=1)

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探究5

已知Sn与an的关系求通项:

(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an时,要注意运用an和Sn的
? ?S1,n=1, 关系,即an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

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(2)对于形如 Sn=f(an)求 an 常有两种处理方法: ①由 Sn=f(an), 得 Sn-1=f(an-1)两式作差,得 an=f(an)-f(an-1)(n≥2).②将 an 换 成 Sn-Sn-1,即 Sn=f(Sn-Sn-1),先求出 Sn,再求出 an.

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思考题 5

(1)已知{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1

=Sn,则通项公式 an=________.

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【解析】 方法一:∵Sn+1-Sn=Sn,∴Sn+1=2Sn. 因此{Sn}是以 S1=a1=1 为首项,2 为公比的等比数列.
n -2 ? 2 (n≥2), ? n-1 ∴Sn=2 ,∴an=? ? ?1(n=1).

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方法二:由 an+1=Sn,得 an=Sn-1(n≥2). 两式相减,得 an+1=2an(n≥2). 因此数列{an}从第二项起是以 2 为公比的等比数列.
? ?1(n=1), ∴an=? n-2 ? (n≥2). ?2

【答案】

? ?1 (n=1), ? n -2 ? (n≥2) ?2

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an+2 (2)若 an>0, 2 = 2Sn,则通项公式 an=________.

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an+2 (an+2)2 【解析】 公式法 由 = 2Sn,得Sn= . 2 8 (an+2)2 (an-1+2)2 n≥2时,an=Sn-Sn-1= - . 8 8 ∴8an=(an+an-1+4)(an-an-1). ∴(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

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∵an>0,∴an+an-1>0. ∴an-an-1-4=0,即an-an-1=4. ∴数列{an}为等差数列,且公差d=4. (a1+2)2 又a1=S1= ,∴a1=2. 8 ∴an=2+4(n-1)=4n-2. 【答案】 4n-2

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专题层级训练

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1.设数列{ an }的前 n 项和 Sn= n2 ,则 a8 的值为( A.15 C.49 B.16 D.64



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答案 A 解析 a1 = S1 = 1 , an = Sn - Sn - 1 = n2 - (n - 1)2 = 2n -

1(n≥2).a8=2×8-1=15.故选 A.

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2. 已知数列{an}满足 a1=0, an+1=an+2n, 则 a2 015 等于( A.2 015×2 016 C.2 013×2 014
答案 解析 B 累加法易知选 B.

)

B.2 014×2 015 D.2 015×2 015

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2 1 1 2 3.已知数列{xn}满足 x1=1,x2= ,且 + = (n≥2), 3 xn-1 xn+1 xn 则 xn 等于( 2 n-1 A.( ) 3 n+1 C. 2
答案 解析 D
? 1 1 1 ?1? ? ? ? 由关系式易知 x 为首项为 =1,d= 的等差数列, = x1 2 xn ? ? n? ?

) 2n B.( ) 3 2 D. n+1

n+1 2 ,所以 xn= . 2 n+1

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1 4.已知数列{an}中 a1=1,an= an-1+1(n≥2),则 an=( 2 1 - A.2-(2)n 1 C.2-2n
答案 解析
n -1
-1

)

1 - B.(2)n 1-2 D.2n-1

A 1 1 设 an+c= (an-1+c), 易得 c=-2, 所以 an-2=(a1-2)( ) 2 2

1 - =-(2)n 1,所以选 A.

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3 5.若数列{an}的前 n 项和为 Sn=2an-3,则这个数列的通项 公式 an=( ) B.2· 3n D.3n+1

A.2(n2+n+1) C.3·2n
答案 解析 B an=Sn-Sn-1,可知选 B.

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6.(2016· 衡水调研)运行如图的程序框图,则输出的结果是 ( )

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A.2 016 1 C.2 016

B.2 015 1 D.2 015

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答案 解析

D 如果把第 n 个 a 值记作 an,第 1 次运行后得到 a2=

a1 a2 ,第 2 次运行后得到 a3= ,…,第 n 次运行后得到 an a1+1 a2+1
+1 =

an ,则这个程序框图的功能是计算数列 {an} 的第 2 015 an+1

an 1 1 1 项.将 an+1= 变形为 = +1,故数列{ }是首项为 1, an an+1 an+1 an 1 1 1 公差为 1 的等差数列,故a =n,即 an=n,所以输出结果是2 015. n 故选 D.

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1 7. 在数列{an}中, a1=2, an+1=an+ln(1+n), 则 an=________.

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答案 lnn+2 1 解析 方法一:∵an+1=an+ln(1+n), n+1 n ∴an+1-an=ln ,∴an-an-1=ln , n n-1 n-1 2 an-1-an-2=ln ,…,a2-a1=ln1. n-2 n-1 n 2 ∴an-a1=ln +ln +…+ln1=lnn. n-1 n-2 又 a1=2,∴an=lnn+2.

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1 方法二:∵an+1=an+ln(1+n), n+1 ∴an+1-an=ln .又 a1=2, n ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 n-1 n 2 =ln +ln +…+ln +2=lnn+2. 1 n-1 n-2 即 an=lnn+2.

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1 8.已知数列{an}的首项a1= ,其前n项和Sn=n2an(n≥1), 2 则数列{an}的通项公式为________.

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答案 解析

1 an= n(n+1) 1 由 a1=2,Sn=n2an, ① ②

∴Sn-1=(n-1)2an-1.

①-②,得 an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1, an n-1 即 an=n an-(n-1) an-1,亦即 = (n≥2). an-1 n+1
2 2

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an an an-1 a3 a2 ∴a = · ·…·a ·a a a 1 2 1 n-1 n -2 n-1 n-2 n-3 2 1 2 = · · ·…· · = . n 4 3 n+1 n-1 n(n+1) 1 ∴an= . n(n+1)

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9.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,有 an=3an-1+2,则 an=________.

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答案 解析

2· 3n-1-1 设 an+t=3(an-1+t),则 an=3an-1+2t.

∴t=1,于是 an+1=3(an-1+1).∴{an+1}是以 a1+1=2 为 首项,以 3 为公比的等比数列. ∴an=2· 3n-1-1.

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10.在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2),则an= ________.

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答案 解析

(2n-1)· 2n ∵a1=2,an=2an-1+2n 1(n≥2),


an an-1 an ∴2n= n-1+2.令 bn=2n,则 bn-bn-1=2(n≥2),b1=1. 2 ∴bn=1+(n-1)· 2=2n-1,则 an=(2n-1)· 2n .

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11.若数列{an}满足 a1=1,an+1=2nan,则数列{an}的通项公 式 an=________.

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答案 解析

n(n-1) 2 2 an+1 a2 a3 an n 1 2 由于 =2 ,故 =2 , =2 ,…, =2n-1,将 an a1 a2 an-1

n(n-1) an 1+2+…+(n-1) 这n-1个等式叠乘,得 =2 =2 , 2 a1 n(n-1) 故an=2 . 2

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

an 12. 已知{an}满足 a1=1, 且 an+1= (n∈N*), 则数列{an} 3an+1 的通项公式为________.

第73页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

答案 解析

1 an= 3n-2 an 由已知,可得当 n≥1 时,an+1= . 3an+1 1 3an+1 1 = a =a +3.
n n

两边取倒数,得 an+1 1

1 1 1 即 - =3,所以{ }是一个首项为 =1,公差为 3 的等 an a1 an+1 an 差数列.

第74页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

1 1 则其通项公式为 = +(n-1)×d=1+(n-1)×3=3n-2. an a1 1 所以数列{an}的通项公式为 an= . 3n-2

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

13 . (2016· 太原二模 ) 已知数列 {an} 满足 a1 = 1 , an - an + 1 = 2anan+1 (n∈N*),则 an=________. n(n+1)

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

答案 解析

n 3n-2 2anan+1 1 1 2 由 an - an + 1 = 得 - = = n(n+1) an+1 an n(n+1)

1 1 1 1 1 2×( - ),则由累加法得 - =2(1- ),又因为 a1=1,所 n n+1 an a1 n 3n-2 1 1 n 以a =2(1-n)+1= n ,所以 an= . 3n - 2 n

第77页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

14.(2016· 南京一模)已知数列{an}满足 a1=-1,a2>a1,|an+1 -an|=2n(n∈N*),若数列{a2n-1}单调递减,数列{a2n}单调递增, 则数列{an}的通项公式为 an=________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

答案 解析

(-2)n-1 3 由题意得 a2-a1=21,a3-a2=-22,a4-a3=23,…,

an-an-1=(-1)n2n-1,则利用累加法得 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2) +…+(an-an-1)=-1+2-22+…+(-1)n2n (-1)[1-(-2)n] (-2)n-1 = = . 3 1-(-2)
-1

第79页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

15.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n(n+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; b1 b2 b3 bn (2)若数列{bn}满足:an= + + +…+ n , 3+1 32+1 33+1 3 +1 求数列{bn}的通项公式.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

答案 解析

(1)an=2n

(2)bn=2(3n+1)

(1)当 n=1 时,a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

=n(n+1)-(n-1)n=2n,知 a1=2 满足该式, ∴数列{an}的通项公式为 an=2n.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

b1 b2 b3 bn (2)∵an= + + +…+ n (n≥1), 3+1 32+1 33+1 3 +1 bn+1 b1 b2 b3 bn ∴an+1= + + +…+ n + n+1 . 3+1 32+1 33+1 3 +1 3 +1 bn+1 ②-①,得 n+1 =an+1-an=2,bn+1=2(3n+1+1). 3 +1 故bn=2(3n+1)(n∈N*).

① ②

第82页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=a,Sn+1=2Sn+n+1,n ∈N*,求数列{an}的通项公式.

第83页

高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

答案 解析

? ?a, an=? ? 2n-2-1, ?(a+3)·

n=1, n≥2 ① ②

由 Sn+1=2Sn+n+1,

得 Sn=2Sn-1+(n-1)+1(n≥2). ①-②,得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+n-(n-1). 故 an+1=2an+1.(n≥2)

an+1+1 又 an+1+1=2(an+1),所以 =2(n≥2). an+1

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

故数列{an+1}是从第2项起,以a2+1为首项,公比为2的等 比数列.又S2=2S1+1+1,a1=a,所以a2=a+2. 故an=(a+3)· 2n 2-1(n≥2).


又a1=a不满足an=(a+3)· 2n-2-1,
? ?a, 所以an=? ? 2n-2-1, ?(a+3)·

n=1, n≥2.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

1 3(1+an+1) 2(1+an) 2.已知数列{an}满足a1= 2 , = , 1-an 1-an+1 anan+1<0,求数列{an}的通项公式.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

答案 解析

an=(-1)

n -1

3 2 n -1 1-4· (3)

3(1+an+1) 2(1+an) ∵ = ,∴3an+12=2an2+1. 1-an 1-an+1

2 1 2 即 an+12=3an2+3.∴an+12-1=3(an2-1). 令 又 2 2 bn=an-1 -1,∴bn+1= bn. 3 3 2 b1=a1 -1=- , 4

3 2 ∴数列{bn}是首项为-4,公比为3的等比数列.
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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (文)

3 2 n-1 ∴bn=-4·(3) . 3 2 n-1 ∴an -1=- ·( ) . 4 3
2

3 2 n-1 ∴an =1-4·(3) .
2

1 又a1=2>0,an·an+1<0, ∴an=(-1)
n-1

3 2 n -1 1-4· (3) .

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