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【高考数学一本通】2014届高中数学(理)一轮复习(课前热身)课件:第15章 第78讲 圆中的有关定理及其应用

1.V ABC中,?C ? 90?,?A ? 30?,AC ? 2, 求V ABC的外接圆的半径.
解析:RtV ABC的斜边AB就是其外接圆的直径. AC AC 2 3 由 ? cos30?,得AB ? ? ? 4. AB cos30? 3 2 所以V ABC的外接圆的半径等于2.

2.如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延

长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.
已知BC=5,EC=4,求ED的长.

解析:由切割线定理得AE2= EC×EB=4× (4+5)=36, 所以AE=6. 因为AE为切线,所以∠EAC=∠B. 又∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠EDA=∠B+∠BAD.

且∠CAD=∠BAD,所以∠EAD=∠EDA,所以
DE=AE=6.

3.(2011· 江苏省扬州中学模拟)如图,设AB为⊙O
的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公

共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且
PC=PD.求证: (1)l是⊙O的切线;

(2)PB平分∠ABD.

解析: (1)连接OP,因为AC⊥l,BD⊥l,所以AC∥BD. 又OA=OB,PC=PD,所以OP∥BD,从而OP⊥l.

因为P在⊙O上,所以l是⊙O的切线.
(2)连接AP,因为l是⊙O的切线,所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°, 所以∠PBA=∠PBD,即PB平分∠ABD.

4.已知圆O的直径AB=13,C为圆上一点,过C作 CD⊥AB于D(AD>BD).若CD=6,求AD的长.

解析:如图,连接AC,CB. 因为AB是 e O的直径, 所以?ACB ? 90?. 设AD ? x. 因为CD ? AB, 所以由直角三角形射影定理得CD 2 ? AD ? DB, 即6 ? x ?13 ? x ?,所以x ? 13x ? 36 ? 0,
2 2

解得x1 ? 4,x2 ? 9. 因为AD ? BD,所以AD ? 9.

5.如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过 点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点.求证:

∠DPB=∠DCP.

解析:因为PA与圆相切于A,所以DA2 ? DB ? DC, 因为D为PA中点,所以DP ? DA, PD DB 所以DP ? DB ? DC,即 ? . DC PD 因为?BDP ? ?PDC,所以VBDP∽VPDC,
2

所以?DPB ? ?DCP.

圆的切线的判定
【例1】如图,AB是 ? O的直径,BP切 ? O于B, ? O的弦AC ? OP.求证:

?1? PC是 ? O的切线; ? 2 ? 若切线PC和BA的延长线交于点D,
PB AC 且DA等于 ? O的半径,则 ? . DP OP

【解析】 (1)连结OC. 因为AC∥OP, 所以∠ACO=∠COP, ∠CAO=∠POB. 由OA=OC,得 ∠OAC=∠OCA,所以 ∠COP=∠POB.
? PO ? PO ? 在△COP和△BOP中,??COP ? ?BOP , ?CO ? BO ?

所以△COP≌△BOP, 所以 ∠PBO=∠PCO=90°, 所以PC是⊙的切线. (2)由△COP≌△BOP,得
PB BO ∠DPO=∠OPB,所以 . ? PD OD 因为DA=OA=OB,所以 PB ? 1 PD 2

又因为AD等于⊙O的半径,AC∥OP,
PB AC AC DA 1 ? ? ? 所以 OP DO 2 , 所以 DP OP .

本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的 证明,考查平面几何的推理论证能力. 要证直 线PC是⊙O的切线,只要证OC⊥PC即可;要

求比例线段,可通过中间比来过渡,结合图
形,利用条件即可获证.

【变式练习 1】如图, AB 是 ⊙ O 的直径, C , F 为⊙ O 上的点, CA 是∠ BAF 的角 平分线,过点C作CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,作 CM⊥AB,垂足为点M. 求 证: (1)DC是⊙O的切线;

(2)AM · MB=DF · DA.

【解析】连结OC, 则∠OAC=∠OCA. 又因为CA是∠BAF 的角平分线, 所以∠OAC=∠FAC, 所以∠FAC=∠OCA, 所以OC∥AD. 因为CD⊥AD,所以CD⊥OC,即CD是 ⊙O的切线.

(2)连结BC. 在Rt△ACB中,CM2=AM · MB. 因为CD是⊙O的切线, 所以CD2=DF · DA. 又Rt△AMC≌Rt△ADC,所以 CM=CD, 所以AM · MB=DF · DA.

切割线定理及其应用
【例2】如图,已知AB是半圆的直径, D是AB上的一点,CD ? AB,CD交 半圆于点E,CT 是半圆的切线,T 是 切点,CB交半圆于F,求证: BE 2 ? CT 2 ? BC 2 .

【解析】连结AE,AF. 因为AB是圆O的直径, 所以∠AEB=∠AFB=90°. 又∠CDB=90°, ∠ABC=∠DBF, 所以△DBC∽△FBA,
AB BF 所以 CB ? BD ,

即AB · BD=BC · BF.

因为∠AEB=90°,CD⊥AB, 所以BE2=BD · AB(直角三角形射影定理). 因为CT是切线,CB是割线, 所以CT2=CF · CB. 所以BC2 - CT2=BC2 – CF · CB =BC · (BC - CF) =BC · BF, 所以 BE2=BC2 - CT2,即BE2+CT2=BC2.

有切线有割线,考虑利用切割线定理; 有直径,莫忘直角;有平方形式,考虑直角

三角形射影定理.

【变式练习2】如图,AB是⊙O的直径,C, F是⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作 ⊙O的切线FD交AB的延长线于点D.连结 CF交AB于点E.求证:DE2=DB· DA.

【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F, 所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为OC=OF, 所以∠OCF=∠OFC.

【解析】因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+ ∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF= DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA. 所以DE2=DB· DA.

四点共圆及其应用
【例3】如图,已知△ABC 的两条角平分线AD和CE相 交于H,∠B=60°, F在AC上,且AE=AF. 证明:(1)B,D,H,E四点共圆; (2)CE平分∠DEF.

【解析】(1)在△ABC中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD、CE是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°,所以 ∠AHC=120°, 所以∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以B,D,H,E四点共圆.

(2)连结BH,则BH为 ∠ABC的平分线. 由(1)知,B,D,H, E四点共 圆,∠CED=∠HBD=30°. 又∠EBD=∠AHE=60°, 由已知可得EF⊥AD, ∠CEF=30°, 所以CE平分∠DEF.

本题是对考生几何推理论证能力的综合 考查,所用到的知识较多,证明的关键是根

据四点共圆的条件进行证明 . 在解题时要根
据已知条件,通过等量代换将角集中到一个 四边形中,达到使用条件的目的.

【变式练习3】如图, ? O1与 ? O2交于M 、N 两点,直线AE与这两个圆及MN 依次交于 A、B、C、D、E.求证:AB ? CD=BC DE

【证明】因为A,M ,D,N四点共圆, 所以AC ? CD ? MC ? CN .同理,有BC ? CE ? MC ? CN . 所以AC· CD=BC· CE,即( AB ? BC )? CD ? BC ?(CD ? DE ),所以AB? CD ? BC ?DE.

1.(2011? 南通期末卷)锐角三角形ABC内接于 e O, ?ABC ? 60?,?BAC ? 40?,作OE ? AB交劣弧于 点E,连接EC,求?OEC.

【解析】连接OC.因为?ABC ? 60?,?BAC ? 40?, 所以?ACB ? 80?. 因为OE ? AB,所以E为? AB的中点, ? 和BC ? 的度数均为80?. 所以BE 所以?EOC ? 80? ? 80? ? 160? .所以?OEC ? 10?.

2.(2011· 南通三模卷)如图,⊙O的直径AB的 延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为 ⊙ O 上 一 点 , AE=AC , 求 证 : ∠PDE=∠POC.

解析:因为AE=AC,AB为直径,
故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE,所以∠PDE=∠POC.

3.如图所示, e O的弦AB、CD相交于点P,PA ? 4 cm, PB ? 3 cm,PC ? 6 cm,EA切 e O于点A,AE与CD的 延长线交于点E.若AE ? 2 5cm,求PE的长.

解析:根据相交弦定理,得PD ? PC ? PA ? PB, 所以PD ? 6 ? 4 ? 3, 所以PD ? 2 ? cm ?. 因为EA是 e O的切线,所以EA2 ? ED ? EC, 所以20 ? ED ? ? ED ? 8 ?,所以ED ? 2 ? cm ?, 则PE ? 4 ? cm ?.

【解析】根据相交弦定理,得 PD · PC=PA · PB,所以PD · 6=4×3, 所以 PD=2(cm). 因为EA是⊙O的切线,所以EA2=ED · EC, 所以 20=ED · (ED+8),所以ED=2(cm), 则PE=4(cm).

4.已知⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的 直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D . 经过

点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.
求证:CE∥DF.

【解析】如图,连结AB. 因为四边形ABEC 是⊙O1的内接四边形, 所以∠BAD=∠E. 因为四边形ADFB 是⊙O2的内接四边形, 所以∠BAD+∠F=180°. 所以∠E+∠F=180°, 所以CE∥DF.

5.在△ABC中,已知CM 是?ACB的平分线, 1 △AMC的外接圆交BC于点N .若AC ? AB, 2 求证:BN ? 2 AM .

【证明】在△ABC中,因为CM 是?ACB的平分线, AC AM 所以 ? . BC BM 1 AB 2 AM 又已知AC ? AB,所以 ? . ① 2 BC BM 又因为BMA与BNC是圆O过同一点B的割线, BA BN 所以BM ? BA ? BN ? BC,即 ? . ② BC BM 2 AM BN 由①、②可知, ? ,所以BN ? 2 AM . BM BM

1.圆周角定理及其推论主要应用于证明弦 相等、弧相等、角相等和线垂直等. 2.圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、 割线定理、切割线定理在证明、计算和作图中 有着广泛的应用,是高考的必考内容,这几个 定理既有联系又有区别,在复习时,应放在一 起研究.

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法:

(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论;
(2) 找相似三角形,当证明有关线段的比例式或等

积式不能直接运用基本定理推导时,通常是由“三点
定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式 → 比例 式→中间比→相似三角形.

4.与圆有关的常用辅助线 (1)有弦,可作弦心距; (2)有直径,可作直径所对的圆周角; (3)有切点,可作过切点的半径; (4)两圆相交,可作公共弦; (5)两圆相切,可作公切线; (6)两半圆,可作整圆.


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