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上海市徐汇区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)

2016 年上海市徐汇区高考数学一模试卷(理科)

一.填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的标准方程是 2.方程 3.设 4.函数 y=cos2x+ 的解是 . . . .

,则数列{an}的各项和为 sinxcosx 的最小值为

5.若函数 f(x)的图象与对数函数 y=log4x 的图象关于直线 x+y=0 对称,则 f(x)的解析 式为 f(x)=
2

. .

6.函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 有四个零点,则 a 的取值范围是 7.设 x、y∈R+且 =1,则 x+y 的最小值为 .

8.若三条直线 ax+y+3=0,x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 相交于一点,则行列式

的值


3


2

9.(x +2x+1)(3x +4)展开后各项系数的和等于 10. 已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, 的外接球上的球面距离是
2

. , CD=2, 则 A、 B 两点在四面体 ABCD



11.已知函数 f(x)=x ﹣1 的定义域为 D,值域为{﹣1,0,1},试确定这样的集合 D 最多 有 个.

12.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露 在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率为 . 是实数,则

13.设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,若 x1 是虚数,

S=1+

=



14.已知 O 是锐角△ABC 的外心, m= .

.若

,则实数

1

二.选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.已知向量 与 不平行,且 A.向量 C.向量 与 垂直 B.向量 与 ,则下列结论中正确的是( 与 垂直 平行 ”的( ) )

与 垂直 D.向量

16.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

17.(文)设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0, 虚部不小于 0,则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )

A.

B.

C.

D.

18.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1、x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1)+f (x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x+sinπ x ﹣3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 的值为( A.﹣4031 B.4031 C.﹣8062 D.8062 )

三.解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC 且 AC=2,BC= (1)证明:SC⊥BC; (2)求三棱锥的体积 VS﹣ABC. ,SB= .

2

20.已知实数 x 满足( )

2x﹣4

﹣( ) ﹣( )

x

x﹣2

+ ≤0 且 f(x)=log2

(1)求实数 x 的取值范围; (2)求 f(x)的最大值和最小值,并求此时 x 的值. 21.节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地 有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,AB=30km,BC=15km, 为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与 A、B 等距离的一点 O 处, 建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO、BO、PO.设∠BAO=x(弧度),排污管道的 总长度为 ykm. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 O 点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精 确到 0.01km).

22.给定数列{an},记该数列前 i 项 a1,a2,?,ai 中的最大项为 Ai,即 Ai=max{a1,a2,?, ai};该数列后 n﹣i 项 ai+1,ai+2,?,an 中的最小项为 Bi,即 Bi=min{ai+1,ai+2,?,an};di=Ai ﹣Bi(i=1,2,3,?,n﹣1) (1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的 d1,d2,d3; (2)若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈N ,有 其中 λ 为实数,λ >0 且 ①设 . ,证明数列{bn}是等比数列;
*



②若数列{an}对应的 di 满足 di+1>di 对任意的正整数 i=1,2,3,?,n﹣2 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 23.已知直线 l1、l2 与曲线 W:mx2+ny2=1(m>0,n>0)分别相交于点 A、B 和 C、D,我们 将四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1)若直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 W:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,求 a2+b2 的值;

3

(2) 若直线 求证:四边形 ABCD 为正方形; (3)求证:椭圆

与圆 W: x +y =4 分别交于点 A、 B 和 C、 D,

2

2

的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积.

4

2016 年上海市徐汇区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析

一.填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的标准方程是 y =8x 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 先根据准线求出 p 的值, 然后可判断抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上进 而可设抛物线的标准形式,将 p 的值代入可得答案. 【解答】解:由题意可知: =2,∴p=4 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上
2



故可设抛物线的标准方程为:y2=2px 将 p 代入可得 y =8x. 故答案为:y =8x. 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.
2 2

2.方程 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】由方程 【解答】解:由方程 故答案为 x=2.

的解是 x=2 .

可得 3x﹣5=4,即 3x=32,由此求得方程的解. 可得 3x﹣5=4,即 3x=32,解得 x=2,

【点评】本题主要考查对数方程的解法,对数的运算性质应用,属于基础题.

3.设

,则数列{an}的各项和为



【考点】等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题.

5

【分析】由已知可知

= ,从而可得数列{an}为公比的等比数列,要求等比

数列的各项和,即求前 n 项和的极限,由求和公式先求前 n 项和,然后代入求解极限即可 【解答】解:∵ = ,



= ,

则数列{an}是以 为首项以 为公比的等比数列



=

所以数列的各项和 S=

=

故答案为 【点评】本题所涉及的知识:等比数列定义在判断等比数列中的应用,等比 数列的求和公 式,等比数列的各项和与前 n 项和是不同的概念,要注意区别

4.函数 y=cos2x+

sinxcosx 的最小值为 ﹣



【考点】二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式为 y= +sin(2x+ 此求得函数 y 的最小值. 【解答】解:函数 y=cos2x+ 故当 2x+ =2kπ ﹣ sinxcosx= + sin2x= +sin(2x+ ), ),由

,k∈z 时,函数 y 取得最小值为 ﹣1=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值,属于中档题.
6

5.若函数 f(x)的图象与对数函数 y=log4x 的图象关于直线 x+y=0 对称,则 f(x)的解析 式为 f(x)= y=﹣4﹣x . 【考点】对数函数的图象与性质;函数的图象. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】先设 f(x)上一点(x,y),求这个点关于 x+y=0 的对称点,则根据题意该对称 点在函数 y=log4x 的图象上,满足函数 y=log4x 的解析式,从而可求出点(x,y)的轨迹方 程 【解答】解:设函数 f(x)的图象上一点(x,y),则点(x,y)关于 x+y=0 的对称点(x', y')在对数函数 y=log4x 的图象

由题意知

,解得 x'=﹣y,y'=﹣x

又∵点(x',y')在对数函数 y=log4x 的图象 ∴﹣x=log4(﹣y) ∴﹣y=4﹣x∴y=﹣4﹣x 故答案为:y=﹣4﹣x 【点评】本题考查函数的图象与性质,求函数的解析式.解题的关键是会求点个关于直线的 对称点.属简单题

6.函数 f(x)=|4x﹣x2|﹣a 有四个零点,则 a 的取值范围是 (0,4) . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由题意可得,直线 y=a 和函数 y=|4x﹣x2|的图象有 4 个交点,数形结合求得 a 的取 值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=|4x﹣x |﹣a 有四个零点,故直线 y=a 和函数 y=|4x﹣x |的图 象有 4 个交点,如图所示: 结合图象可得 0<a<4, 故答案为 (0,4).
2 2

7

【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用 数形结合的思想,属于中档题.

7.设 x、y∈R 且

+

=1,则 x+y 的最小值为 16 .

【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】将 x、y∈R+且 【解答】解:∵ ∴x+y=(x+y)?( =1,代入 x+y=(x+y)?( ),展开后应用基本不等式即可.

=1,x、y∈R+, )= =10+ ≥10+2 =16(当且仅当 ,

x=4,y=12 时取“=”). 故答案为:16. 【点评】本题考查基本不等式,着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力,属 于中档题.

8.若三条直线 ax+y+3=0,x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 相交于一点,则行列式

的值为

0 . 【考点】三阶矩阵;两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆. 【分析】先求 x+y+2=0 和 2x﹣y+1=0 的交点,代入直线 ax+y+3=0,即可得到 a 的值.再利 用行列式的计算法则,展开表达式,化简即可.
8

【解答】解:解方程组 代入 ax+y+3=0,得 a=2.

得交点坐标为(﹣1,﹣1),

行列式

=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0.

故答案为:0. 【点评】本题是基础题,考查直线交点的求法,三条直线相交于一点的解题策略,考查行列 式的运算法则,考查计算能力.

9.(x3+2x+1)(3x2+4)展开后各项系数的和等于 28 . 【考点】二项式系数的性质. 【专题】对应思想;转化法;二项式定理. 【分析】根据题意,令 x=1,代入多项式即可求出展开式中各项系数的和. 【解答】解:(x +2x+1)(3x +4)展开后含有字母 x, 令 x=1,则展开式中各项系数的和为: (1 +2×1+1)(3×1 +4)=28. 故答案为:28. 【点评】 本题考查了求多项式展开式的各项系数和的应用问题, 解题时应利用 x=1 进行计算, 是基础题.
3 2 3 2

10. 已知四面体 ABCD 的外接球球心 O 在棱 CD 上, 的外接球上的球面距离是 【考点】球面距离及相关计算. 【专题】计算题;方程思想;综合法;球. .

, CD=2, 则 A、 B 两点在四面体 ABCD

【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出 O 为 CD 的中点,且 OA=OB=OC=OD,进而在 △A0B 中,利用余弦定理求得 cos∠AOB 的值,则∠AOB 可求,进而根据弧长的计算方法求得 答案. 【解答】解:球心到四个顶点距离相等,故球心 O 在 CD 中点,则 OA=OB=OC=OD=1,

9

再由 AB= 则∠AOB= 故答案为:

,在△A0B 中,利用余弦定理 cos∠AOB= ,则弧 AB= . ?1= .

=﹣ ,

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等,考查了学生观察分析和 基本的运算能力.

11.已知函数 f(x)=x2﹣1 的定义域为 D,值域为{﹣1,0,1},试确定这样的集合 D 最多 有 9 个. 【考点】进行简单的合情推理. 【专题】计算题;综合题. 【分析】根据值域中的几个函数值,结合函数表达式推断出定义域中可能出现的几个 x 值, 再加以组合即可得到定义域 D 的各种情况. 【解答】解:∵f(x)=x2﹣1 ∴f(0)=﹣1,f(±1)=0,f(± 因此,定义域 D 有:{0,1, {0,﹣1,1, {0,1, ,﹣ )=1 },{0,﹣1, },{0,1,﹣ },

},{0,﹣1,﹣ },

},{0,﹣1,1,﹣ },{0,﹣1, ,﹣

},{0,﹣1,1,

,﹣

}共 9 种情况

故答案为:9 【点评】本题给出二次函数的一个值域,要我们求函数的定义域最多有几个,着重考查了函 数的定义与进行简单合情推理等知识,属于基础题.

12.正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面上,则露 在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率为 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】称求出基本事件总数 n=4×4=16,再由列举法求出露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 包含的基本事件个数,由此能求出露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率.

10

【解答】解:正四面体的四个面上分别写有数字 0,1,2,3 把两个这样的四面体抛在桌面 上, 露在外面的 6 个数字之和包含的基本事件总数 n=4×4=16, 设两个正四面体中压在桌面的数字分别为 m,n, 则露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的基本情况有:(0,3),(3,0),(1,2),(2, 1),共包含 4 个基本事件, ∴露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率 p= 故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用. .

13.设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根,若 x1 是虚数,

是实数,则

S=1+ 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数.

=

﹣2 .

【分析】设 x1=s+ti(s,t∈R,t≠0).则 x2=s﹣ti.则 x1+x2=2s,x1x2=s +t .利用

2

2



实数, 可得 3s2=t2. 于是 x1+x2=2s, x1x2=s2+t2. ω =1.代入化简即可得出.
3

+1=0, 取

=ω , 则 ω 2+ω +1=0,

【解答】解:设 x1=s+ti(s,t∈R,t≠0).则 x2=s﹣ti. 则 x1+x2=2s,x1x2=s2+t2. ∵ = = + i 是实数,

∴3s2t﹣t3=0, ∴3s2=t2. ∴x1+x2=2s,x1x2=s2+t2. ∴4s2= = +2x1x2=x1x2,
11



+1=0,



=ω ,
2

则 ω +ω +1=0, ∴ω =1. 则 S=1+ =1+ω +ω 2+ω 4+ω 8+ω 16+ω 32 =0+ω +ω 2+ω +ω 2 =﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】 本题考查了复数的运算法则、 实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关 系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
3

14.已知 O 是锐角△ABC 的外心, .

.若

,则实数 m=

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【专题】计算题;三角函数的求值;解三角形;平面向量及应用. 【分析】设外接圆的半径为 R,从而化简可得 =2m ? ( ﹣ )? + ( ﹣ )?

,从而可得﹣2sinCcosB+(﹣2sinBcosC)=﹣2m,从而解得.

【解答】解:设外接圆的半径为 R, ∵ ∴ ( ﹣ )+ ( , ﹣ )=2m ,

∵∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B, ∴ 即 ( ﹣ )? + ( ﹣ )? =2m ? ,

?R2?(cos2C﹣1)+

?R2?(cos2B﹣1)=﹣2mR2,

12

即﹣2sinCcosB+(﹣2sinBcosC)=﹣2m, 故 sinCcosB+sinBcosC=m, 故 sin(B+C)=m, 故 m=sinA= 故答案为: , .

【点评】 本题考查了正弦定理的应用, 同时考查了平面向量数量积的应用及三角恒等变换的 应用,属于中档题.

二.选择题:(本题满分 20 分,每小题 5 分) 15.已知向量 与 不平行,且 A.向量 C.向量 与 垂直 B.向量 与 ,则下列结论中正确的是( 与 垂直 平行 )

与 垂直 D.向量

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】对应思想;分析法;平面向量及应用. 【分析】计算各向量的数量积判断数量积是否为 0 得出向量是否垂直. 【解答】解:设 ∴( ∵( ∵ 故选:A. 【点评】本题考查了平面向量的数量积与向量垂直的关系,属于基础题. )⊥( )? = = ﹣ 的夹角为 θ ,则 0<θ <π ,∵( ),故 A 正确;D 错误. = = ﹣ + cosθ ≠0,∴ cosθ ≠0,∴ 与 不垂直;故 B 错误; 与 不垂直,故 C 错误; )?( )= =0,

16.若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

”的(



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等式的基本性质. 【专题】简易逻辑.
13

【分析】根据不等式的性质,我们先判断“0<ab<1”? “ <1”的真假,然后结合充要条件的定义即可得到答案. 【解答】解:若“0<ab<1” 当 a,b 均小于 0 时, 即“0<ab<1”? “ 若“ ” ”为假命题

”与“

”? “0<ab

当 a<0 时,ab>1 即“ ”? “0<ab<1”为假命题 ”的既不充分也不必要条件

综上“0<ab<1”是“ 故选 D.

【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,及不等式的性质,其 中根据不等式的性质判断“0<ab<1”? “ 是解答本题的关键. ”与“ ”? “0<ab<1”的真假,

17.(文)设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0, 虚部不小于 0,则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】 由复数 (x﹣2y) + (5﹣2x﹣y) i 的实部大于 0, 虚部不小于 0, 可得 利用线性规划的知识可得可行域即可. 【解答】解:∵复数(x﹣2y)+(5﹣2x﹣y)i 的实部大于 0,虚部不小于 0, ∴ , ,

14

由线性规划的知识可得:可行域为直线 x=2y 的右下方和直线的左下方,因此为 A. 故选:A. 【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域,属于中档题.

18.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1、x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1)+f (x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x+sinπ x ﹣3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 的值为( A.﹣4031 B.4031 C.﹣8062 D.8062 )

【考点】函数的值;抽象函数及其应用. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用函数对称中心的性质得到当 x1+x2=2 时,恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4,能此能求 出结果. 【解答】解:∵f(x)=x+sinπ x﹣3, ∴当 x=1 时,f(1)=1+sinπ ﹣3=﹣2, ∴根据对称中心的定义,可得当 x1+x2=2 时,恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4, ∴ =2015[f( )+f( )]+f( )

=2015×(﹣4)﹣2 =﹣8062. 故选:C. 【点评】 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用.

三.解答题:(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥AB,SA⊥AC,AC⊥BC 且 AC=2,BC= (1)证明:SC⊥BC; (2)求三棱锥的体积 VS﹣ABC. ,SB= .

15

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】(1)因为 SA⊥面 ABC,AC 为 SC 在面 ABC 内的射影,由三垂线定理可直接得证. (2) 由题意可直接找出侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的平面角是∠SCA, 在直角三角形中 求解即可. 【解答】解:(1)∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A ∴SA⊥平面 ABC,∴AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影, 又∵BC⊥AC,由三垂线定理得:SC⊥BC (2)在△ABC 中,AC⊥BC,AC=2,BC= ∵SA⊥AB,∴△SAB 为 Rt△,SB= ∵SA⊥平面 ABC,∴SA 为棱锥的高, ∴VS﹣ABC= × ×AC×BC×SA= ×2× × = . ,∴AB= =2 = , ,

,∴SA=

【点评】本题考查了三垂线定理的应用,考查了棱锥的体积计算及学生的推理论证能力,计 算能力;三垂线定理也可看作是线线垂直的判定定理,是证明异面直线垂直的常用方法.

20.已知实数 x 满足( )2x﹣4﹣( )x﹣( )x﹣2+ ≤0 且 f(x)=log2 (1)求实数 x 的取值范围; (2)求 f(x)的最大值和最小值,并求此时 x 的值. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数的最值及其几何意义. 【专题】计算题;整体思想;函数的性质及应用.
16

【分析】(1)化简可得 81( ) ﹣10( ) + ≤0,从而解得 ≤9( ) ≤1,从而求得; (2)化简 f(x)=(log2x﹣1)(log2x﹣2)=(log2x﹣ )2﹣ ,从而求最值. 【解答】解:(1)∵( )2x﹣4﹣( )x﹣( )x﹣2+ ≤0, ∴81( )2x﹣10( )x+ ≤0, ∴ ≤9( )x≤1, ∴0≤x﹣2≤2, 故实数 x 的取值范围为[2,4]; (2)f(x)=log2 =(log2x﹣1)(log2x﹣2) =(log2x﹣ )2﹣ , ∵x∈[2,4],∴log2x∈[1,2], ∴﹣ ≤(log2x﹣ )2﹣ ≤0, ∴当 x=2 时,f(x)有最小值﹣ ,当 x=2 或 4 时,f(x)有最大值 0.

2x

x

x

【点评】 本题考查了幂运算的应用及对数运算的应用, 同时考查了整体思想的应用及配方法 的应用.

21.节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地 有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,AB=30km,BC=15km, 为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与 A、B 等距离的一点 O 处, 建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道 AO、BO、PO.设∠BAO=x(弧度),排污管道的 总长度为 ykm. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 O 点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精 确到 0.01km).

17

【考点】在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值. 【专题】应用题;方程思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】(1)直接由已知条件求出 AO、BO、OP 的长度,即可得到所求函数关系式; (2)记 ,则 sinx+pcosx=2,求出 p 的范围,即可得出结论. , )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【解答】解:(1)由已知得 即 (其中

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)记 解得 或 ,则 sinx+pcosx=2,则有 ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由于 y>0,所以,当 取得最小值 ,即点 O 在 CD 中垂线上离点 P 距离为 km 处,y

(km).﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题主要考查解三角形的实际应用,考查学生的计算能力.解决这类问题的关键在 于把文字语言转换为数学符号,用数学知识解题.

22.给定数列{an},记该数列前 i 项 a1,a2,?,ai 中的最大项为 Ai,即 Ai=max{a1,a2,?, ai};该数列后 n﹣i 项 ai+1,ai+2,?,an 中的最小项为 Bi,即 Bi=min{ai+1,ai+2,?,an};di=Ai ﹣Bi(i=1,2,3,?,n﹣1) (1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的 d1,d2,d3; (2)若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且对任意 n∈N*,有 其中 λ 为实数,λ >0 且 ①设 . ,证明数列{bn}是等比数列; ,

18

②若数列{an}对应的 di 满足 di+1>di 对任意的正整数 i=1,2,3,?,n﹣2 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 【考点】数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式. 【专题】证明题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)由 Ai=max{a1,a2,?,ai},Bi=min{ai+1,ai+2,?,an},di=Ai﹣Bi,对于数列: 3,4,7,1,能求出 d1,d2,d3. (2)①推导出 a1=1, 为公比的等比数列. ②由 ,得 max{a1,a2,?,ai+1}=ai+1 对任意的正 ,由此能证明数列{bn}是以 为首项、λ

整数 i=1,2,3,?,n﹣2 恒成立,由此能求出实数 λ 的取值范围. 【解答】解:(1)∵给定数列{an},Ai=max{a1,a2,?,ai}, Bi=min{ai+1,ai+2,?,an},di=Ai﹣Bi(i=1,2,3,?,n﹣1) 对于数列:3,4,7,1,A1=3,B1=1,d1=3﹣1=2, A2=4,B2=1,d2=4﹣1=3, A3=7,B3=1,d3=7﹣1=6, ∴d1=2,d2=3,d3=6. 证明:(2)①当 n=1 时,(1﹣λ )a1=﹣λ a1+1,∴a1=1, 当 n≥2 时, 两式相减得 ∴ = 又 ∴数列{bn}是以 解:②由①知: 又 di=max{a1,a2,?,ai}﹣min{ai+1,ai+2,?,an}, di+1=max{a1,a2,?,ai+1}﹣min{ai+2,ai+3,?,an} 由于 min{ai+1,ai+2,?,an}≤min{ai+2,ai+3,?,an},
19

, ,



, , 为首项、λ 为公比的等比数列. ;

∴由 di+1>di 推得 max{a1,a2,?,ai}<max{a1,a2,?,ai+1}. ∴max{a1,a2,?,ai+1}=ai+1 对任意的正整数 i=1,2,3,?,n﹣2 恒成立. ∵di=ai﹣ai+1,di+1=ai+1﹣ai+2, ∴

. 由 di﹣di+1<0,得 但 λ >0 且 λ ≠1,∴ ∴ . ,解得 , ,

【点评】本题考查等比数列的证明,考查实数的取值范围的求法,综合性强,难度大,对数 学思维要求较高,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理运用.

23.已知直线 l1、l2 与曲线 W:mx +ny =1(m>0,n>0)分别相交于点 A、B 和 C、D,我们 将四边形 ABCD 称为曲线 W 的内接四边形. (1)若直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 W:x +y =1 分成长度相等的四段弧,求 a +b 的值; (2) 若直线 求证:四边形 ABCD 为正方形; (3)求证:椭圆 的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积. 与圆 W: x2+y2=4 分别交于点 A、 B 和 C、 D,
2 2 2 2

2

2

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】方程思想;消元法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)根据直线分圆分成长度相等的四段弧,得到 的距离公式进行求解即可. (2)根据直线与圆相交的位置关系,利用消元法转化为一元二次方程,根据根与系数之间 的关系进行证明即可, (3)根据椭圆内接正方形的关系,转化为一元二次方程,根据根与系数之间的关系进行证 明即可, ,利用点到直线

20

【解答】解:(1)由于直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 W:x +y =成长度相等的四段 弧, 所以 , ,

2

2

在等腰直角△OAB 中,圆心 O(0,0)到直线 l1:y=x+a 的距离为

同理|b|=1,∴a2+b2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由题知,直线 l1,l2 关于原点对称,因为圆 W:x2+y2=4 的圆心为原点 O, 所以 联立 ,故四边形 ABCD 为平行四边形.易知,O 点在对角线 AC,BD 上. 解得 ,由

得 = 所以 于是 , ,因为 ,所以四边形 ABCD 为正方形.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (3)证明:假设椭圆 存在内接正方形,其四个顶点为 A,B,C,D.

当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB、CD 的方程为 x=m,x=n,因为 A,B,C,D 在椭圆上, 所以

, 由四边形 ABCD 为正方形, 易知, 正方形 ABCD 的面积 , 直线 AB、 CD 的方程为 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB、 CD 的方程分别为 lAB: y=kx+m, lCD: y=kx+n (k≠0, m≠0) , 显然 m≠n.设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),

联立

得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,所以

21

代人

,得



同理可得



因为 ABCD 为正方形,所以|AB|2=|CD|2 解得 m2=n2 因为 m≠n,所以 m=﹣n, 因此,直线 AB 与直线 CD 关于原点 O 对称, 所以原点 O 为正方形的中心(由 m=﹣n 知 由 ABCD 为正方形知 即 , ,四边形 ABCD 为平行四边形)

代人得

,解得

(注:此时四边形 ABCD 为菱形)

由 ABCD 为正方形知|AB|=|AD|, 因为直线 AB 与直线 CD 的距离为 ,故







得 4k +5k +1=4k +4k +1,

4

2

4

2

∴k2=0 即 k=0,与 k≠0 矛盾. 所以|AD| ≠|AB| ,这与|AD|=|AB|矛盾. 即当直线 AB 的斜率 k≠0 存在时,椭圆内不存在正方形. 综上所述,椭圆 的内接正方形有且只有一个,且其面积为 .﹣﹣
2 2

22

【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用,将直线方程代入椭圆方程,利用 消元法转化为一元二次方程形式, 根据根与系数之间的关系是解决本题的关键. 综合性较强, 难度较大.

23


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