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专题限时集训(十二) 圆锥曲线的定义、方程、几何性质 (对应学生用书第 101 页) (限时:40 分钟) 题型 1 圆锥曲线的定义、标准方程 题型 2 圆锥曲线的几何性质 一、选择题 x2 y2 2 1.(2017·福州五校联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线 y =8x 的焦 a b 3 点重合,且其离心率 e= ,则该双曲线的方程为( 2 A. - =1 4 5 C. - =1 4 5 A 2 ) x2 y2 y2 x2 B. - =1 5 4 D. - =1 5 4 x 2 y2 y 2 x2 [易知抛物线 y =8x 的焦点为(2,0),所以双曲线的右顶点是(2,0),所以 a=2. 2 2 3 x y 2 2 2 又双曲线的离心率 e= ,所以 c=3,b =c -a =5,所以双曲线的方程为 - =1, 2 4 5 选 A.] 2.(2017·上海崇明一模)如图 12?1,椭圆 C 的中心为原点 O,F(-2 5,0)为 C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆 C 的方程为( ) 图 12?1 A. C. C x 2 25 + =1 5 y 2 B. + =1 30 10 D. + =1 45 25 x2 x2 y2 y2 + =1 36 16 x2 y2 [如图,设椭圆 C 的右焦点为 F′.由|OP|=|OF|=|OF′|,知 PF⊥PF′. 2 2 在 Rt△PFF′中, |PF′|= |FF′| -|PF| = 5 2 2 -4 = 8. 由 |PF| + |PF′| 2 2 2 2 2 =2a=4+8=12,得 a=6.由题意,得 c=2 5,所以 b =a -c =6 -(2 5) =16. 所以椭圆 C 的方程为 + =1.故选 C.] 36 16 3.(2017·福建龙岩二模)已知离心率为 5 x y 的双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦 2 a b 2 2 x2 y2 点分别为 F1, F2, M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点, 且 OM⊥MF2, O 为坐标原点, 若 S△OMF2 =16,则双曲线的实轴长是( A.32 ) B.16 C.84 B D.4 [由题意知 F2(c,0), 不妨令点 M 在渐近线 y= x 上, 由题意可知|F2M|= 1 2 b a bc = a2+b2 b,所以|OM|= c2-b2=a.由 S△OMF2=16,可得 ab=16,即 ab=32,又 a2+b2=c2, c 5 = ,所以 a=8,b=4,c=4 5,所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B.] a 2 4.(2017·湖北四校联考)已知 F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦 点,G 是双曲线 C 上一点,且满足|GF1|-7|GF2|=0,则 C 经过第一象限的渐近线的斜率 的取值范围是( A.?0, ) B.?0, x2 y2 a b ? ? 7? ? 3? ? ? ? ? 5? ? 2? 13? ? 3 ? 5? ? C.? 2, ? 3? ? A D.? 2, [因为|GF1|-7|GF2|=0,所以|GF1|=7|GF2|,由双曲线的定义得|GF1|-|GF2|= 7a |GF |= ? ? 3 ,得? a |GF |= ? ? 3 1 2 ?|GF1|=7|GF2| ? 2a,联立得? ?|GF1|-|GF2|=2a ? . 又|GF1|+|GF2|≥|F1F2|,即 7a a 4 4 + ≥2c,即离心率 e≤ ,因为 e>1,所以 1<e≤ . 3 3 3 3 又 C 经过第一象限的渐近线为 y= x, 所以双曲线 C 经过第一象限的渐近线的斜率 = b a b a c2-a2 7? ? 2 = e -1∈?0, ?.] a2 3? ? 5. (2017·太原二模)已知双曲线 -y =1 的右焦点是抛物线 y =2px(p>0)的焦点, 直线 y 3 =kx+m 与该抛物线相交于 A,B 两个不同的点,点 M(2,2)是 AB 的中点,则△AOB(O 为 坐标原点)的面积是 ( A.4 3 C. 14 D 2 x2 2 2 ) B.3 13 D.2 3 [如图,记抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,因为双曲线 -y =1 的右焦点的坐 3 2 x2 2 标为(2,0), 所以 F(2,0), 所以抛物线的方程为 y =8x.设 A(x1, y1), B(x2, y2), x1≠x2, 则 y1=8x1,y2=8x2,所以 y2-y1=8(x2-x1),所以 k= 2 2 2 2 y2-y1 8 = ,因为 M(2,2) x2-x1 y2+y1 为 AB 的中点,所以 y1+y2=4,k=2,所以直线 AB 的方程为 y=2x+m,因为直线过 点 M(2,2), 所以 m=-2, 所以直线 AB 的方程为 y=2x-2, 其与 x 轴的交点为 C(1,0). 由 ?y=2x-2 ? ? 2 ? ?y =8x , 得 y - 4y - 8 = 0 , 所 以 ? 2 ?y1+y2=4 ? ? ?y1y2=-8 , 所 以 |y1 - y2| = y1+y2 2 1 -4y1y2=4 3,所以△AOB 的面积为 ×1×|y1-y2|=2 3,故选 D.] 2 2 6.(2017·福建八校最后一模)已知抛物线 C:x =2py(p>0),直线 2x-y+2=0 交抛物线 C 于 A、B 两点,过线段 AB 的中点作 x 轴的垂线,交抛物线 C 于点 Q.若|2QA+QB|=|2QA → -QB|,则 p=( A. C. B 1 2 1 6 2 → → → ) 1 B. 4

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