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数列求和重要知识点讲解Microsoft Word 文档 (3)

数列求和重要知识点讲解
类型一:公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式 S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

?na1 (q ? 1) ? 2、等比数列的前 n 项和公式 S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q ( q ? 1) ?

类型二:乘公比错项相减(等差 ? 等比)
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列

{a n ? bn } 的前 n 项和,其中 {a n } , {bn } 分别是等差数列和等比数列。
例 1:求数列 {nq
n ?1

} ( q 为常数)的前 n 项和。

解:Ⅰ、若 q =0, 则 S n =0Ⅱ、若 q =1,则 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Ⅲ、若 q ≠0 且 q ≠1,则 S n ? 1 ? 2q ? 3q ? ? ? nq
2 n ?1

1 n(n ? 1) 2


2 3 n ?1

qSn ? q ? 2q 2 ?3q 3 ? ? ? nq n

( ①式—②式:1 ? q) S n ? 1 ? q ? q ? q ? ? ? q

? nq n

?

Sn ?

1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ? ? q n ?1 ? nq n ) 1? q
n n

?

Sn ?

1 1? qn ( ? nq n ) 1? q 1? q

?

Sn ?

1? q nq ? 2 1? q (1 ? q )

? ?0( q ? 0) ? 综上所述: ?1 S n ? ? n( n ? 1)( q ? 1) ?2 ? 1? qn nq n ? ( q ? 0且q ? 1) ? 2 1? q ? (1 ? q )

解析: 数列 {nq

n ?1

} 是由数列 ?n?与 ?q n ?1 ?对应项的积构成的, 此类型的才适应错位相减,

(课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) ,但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论,最后再综合成三种情况。

类型三:裂项相消法 。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新
组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: 1、乘积形式,如: (1) a n ? 、

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(2) a n ? 、

2、根式形式,如:

an ?

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

例 2:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n n( n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

解:∵

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? Sn ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? Sn ? 1 ? n( n ? 1) n n ? 1 n ?1 2 2 3 3 n n ?1
1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

例 3:求数列

解: 由于:

1 1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 = ( ? ) S n ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? 则: ) 2? 3 2 4 n n?2 ? n ( n ? 2) 2 n n ? 2 ?

? Sn ?

1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ) ? Sn ? ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2n ? 2 2n ? 4 类型四:倒序相加法这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个

数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? a n ) 。 例 4:若函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。 (1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 证明你的结论; (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {a n } 是等差数列吗?是 n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 a n ? a n ?1

解: 、 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (1)

1 2 n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) n n n n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ? a n ? f (1) ? f ( n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 则 由 条 件 : 对 任 意 x?R 都 有 n n n n

2 ) f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 ? 2a n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? 1 ? an ? n ? 1 ? a n ?1 ? n ? 2

? a n?1 ? a n ? 1 从而:数列 {a n } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。
(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? Tn = a n ? a n?1 (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1) (n ? 2) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n n 故: Tn = ? ? ? ? ? Tn = ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4 2n ? 4

类型五:分组求和法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数 列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
例 5:求数列{

1 n ?1 + n ? 2 }的前 n 项和 S n n( n ? 1)






an ?

1 n(n ? 1)

bn ? n ? 2 n ?1

S n ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (an ? bn )
? S n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1 ) 2 2 3 3 n n ?1 1 ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1 ) ? S n ? (1 ? n ?1

? S n ? (1 ?

令 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 2

n ?1

① 2Tn ? 2 ? 2 ?2 ?3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3 n ?1

n



①式—②式: (1 ? 2)Tn ? 1 ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? 2
3

? n ? 2n

1 ? 2n Tn ? ?(1 ? 2 ? 2 2 ?2 3 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n ) ? Tn ? ?( ? n ? 2n ) ? 1? 2

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 故: S n ? (1 ?
例 6:求数列{ ( x ?
n

1 1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n n ?1 n ?1

1 2 ) }的前 n 项和 S n xn 1 2 n 分析: a n ? ( x ? n ) 用完全平方和公式展开, 将 再将其分为几个数列的和进行求解。 x 1 2 1 1 2 2n 1 1 2n n n 2 n 2n 解: a n ? ( x ? n ) = ( x ) ? 2 ? x ? n ? ( n ) = x ? 2 ? 2 n = x ? 2 ? ( ) x x x x x 1 2 1 4 1 2n S n ? [ x 2 ? 2 ? ( ) ] ? [ x 4 ? 2 ? ( ) ] ? ? ? [ x 2n ? 2 ? ( ) ] x x x 1 2 1 1 ? S n ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? (2 ? 2 ? ? ? 2) ? [( ) ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n ] x x x
Ⅰ、令 Tn ? x ? x ? ? ? x
2 4
2

2n

① x ? 1时, Tn ? x ? x ? ? ? x
2 4
2n

2n

=1 ? 1 ? ?? 1 ? n

② x ? 1 时, Tn ? x ? x ? ? ? x
4

=

x 2 ? x 2n ? x 2 x 2n?2 ? x 2 ? 1? x2 x2 ?1

Ⅱ、令 M n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2n Ⅲ、令 Gn ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( )
2 4

1 x

1 x

1 x

2n

① x ? 1时, Gn ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ② 时 ,

1 x

1 x x ?1

1 x

1 1 x 2n?2 ? x 2 1 1 1 ? 2n?2 ( ) 2 ? ( ) 2n ? ( ) 2 2 2n?2 1 1 1 x x = x2 x = x ?x Gn ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n = x 1 x x x x2 ?1 x2 ?1 1 ? ( )2 x x2 x2
=

x 2 ? ( x 2 n ? 1) x 2n ? 1 x 2n?2 ? x 2 x2 = 2n 2 = 2n 2 ? 2 x 2 ? x 2 n ? 2 x ? 1 x ? x ? ( x 2 ? 1) x ( x ? 1)
综上所述:① x ? 1时, S n ? Tn ? M n ? Gn ? n ? 2n ? n ? 4n ② x ? 1 时, S n ? Tn ? M n ? G n ?

x 2n? 2 ? x 2 x 2n ? 1 ? 2n ? 2 n 2 x2 ?1 x ( x ? 1)

类型六:拆项求和法
在这类题中,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式求和。 例 7:求数列 9,99,999,… 的前 n 项和 S n 分析:此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式

a n ? 10 n ? 1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解:由于 a n ? 10 n ? 1 则 S n ? 9 ? 99 ? 99 ? ? ? S n ? (101 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)

? S n ? (101 ? 10 2 ? 10 3 ? ? ? 10 n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? S n ?
例 8: S n = 1

10 ? 10 n ? 10 10 n ?1 ? 10 ? n ? Sn ? ?n 1 ? 10 9

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 解:由于: a n ? n n ? n ? n 则: S n = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 2 2 1 1 n (1 ? ( ) ) 1 1 n 1 2 2 = n(n ? 1) ? = n(n ? 1) ? 1 ? ( ) 1 2 2 2 1? 2


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