tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文章
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列求和重要知识点讲解Microsoft Word 文档 (3)

数列求和重要知识点讲解
类型一:公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式 S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

?na1 (q ? 1) ? 2、等比数列的前 n 项和公式 S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q ( q ? 1) ?

类型二:乘公比错项相减(等差 ? 等比)
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列

{a n ? bn } 的前 n 项和,其中 {a n } , {bn } 分别是等差数列和等比数列。
例 1:求数列 {nq
n ?1

} ( q 为常数)的前 n 项和。

解:Ⅰ、若 q =0, 则 S n =0Ⅱ、若 q =1,则 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? Ⅲ、若 q ≠0 且 q ≠1,则 S n ? 1 ? 2q ? 3q ? ? ? nq
2 n ?1

1 n(n ? 1) 2


2 3 n ?1

qSn ? q ? 2q 2 ?3q 3 ? ? ? nq n

( ①式—②式:1 ? q) S n ? 1 ? q ? q ? q ? ? ? q

? nq n

?

Sn ?

1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ? ? q n ?1 ? nq n ) 1? q
n n

?

Sn ?

1 1? qn ( ? nq n ) 1? q 1? q

?

Sn ?

1? q nq ? 2 1? q (1 ? q )

? ?0( q ? 0) ? 综上所述: ?1 S n ? ? n( n ? 1)( q ? 1) ?2 ? 1? qn nq n ? ( q ? 0且q ? 1) ? 2 1? q ? (1 ? q )

解析: 数列 {nq

n ?1

} 是由数列 ?n?与 ?q n ?1 ?对应项的积构成的, 此类型的才适应错位相减,

(课本中的的等比数列前 n 项和公式就是用这种方法推导出来的) ,但要注意应按以上三种 情况进行分类讨论,最后再综合成三种情况。

类型三:裂项相消法 。 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新
组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: 1、乘积形式,如: (1) a n ? 、

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(2) a n ? 、

2、根式形式,如:

an ?

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

例 2:求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n n( n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

解:∵

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? Sn ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? Sn ? 1 ? n( n ? 1) n n ? 1 n ?1 2 2 3 3 n n ?1
1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n n ( n ? 2) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5

例 3:求数列

解: 由于:

1 1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 = ( ? ) S n ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? 则: ) 2? 3 2 4 n n?2 ? n ( n ? 2) 2 n n ? 2 ?

? Sn ?

1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ) ? Sn ? ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2n ? 2 2n ? 4 类型四:倒序相加法这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个

数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? a n ) 。 例 4:若函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。 (1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 证明你的结论; (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {a n } 是等差数列吗?是 n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 a n ? a n ?1

解: 、 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (1)

1 2 n ?1 ) ? f (1) (倒序相加) n n n n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) ? a n ? f (1) ? f ( n n n 1 n ?1 2 n ? 2 1? 0 ? ? ? ? ???1 则 由 条 件 : 对 任 意 x?R 都 有 n n n n

2 ) f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 ? 2a n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? 1 ? an ? n ? 1 ? a n ?1 ? n ? 2

? a n?1 ? a n ? 1 从而:数列 {a n } 是 a1 ? 2, d ? 1 的等差数列。
(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? Tn = a n ? a n?1 (n ? 1)( n ? 2) n ? 1 n ? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1) (n ? 2) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n n 故: Tn = ? ? ? ? ? Tn = ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2n ? 4 2n ? 4

类型五:分组求和法有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数 列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
例 5:求数列{

1 n ?1 + n ? 2 }的前 n 项和 S n n( n ? 1)






an ?

1 n(n ? 1)

bn ? n ? 2 n ?1

S n ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ? ? (an ? bn )
? S n ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? (b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn )
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1 ) 2 2 3 3 n n ?1 1 ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n?1 ) ? S n ? (1 ? n ?1

? S n ? (1 ?

令 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 2

n ?1

① 2Tn ? 2 ? 2 ?2 ?3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3 n ?1

n



①式—②式: (1 ? 2)Tn ? 1 ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? 2
3

? n ? 2n

1 ? 2n Tn ? ?(1 ? 2 ? 2 2 ?2 3 ? ? ? 2 n?1 ? n ? 2 n ) ? Tn ? ?( ? n ? 2n ) ? 1? 2

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 故: S n ? (1 ?
例 6:求数列{ ( x ?
n

1 1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2 n n ?1 n ?1

1 2 ) }的前 n 项和 S n xn 1 2 n 分析: a n ? ( x ? n ) 用完全平方和公式展开, 将 再将其分为几个数列的和进行求解。 x 1 2 1 1 2 2n 1 1 2n n n 2 n 2n 解: a n ? ( x ? n ) = ( x ) ? 2 ? x ? n ? ( n ) = x ? 2 ? 2 n = x ? 2 ? ( ) x x x x x 1 2 1 4 1 2n S n ? [ x 2 ? 2 ? ( ) ] ? [ x 4 ? 2 ? ( ) ] ? ? ? [ x 2n ? 2 ? ( ) ] x x x 1 2 1 1 ? S n ? ( x 2 ? x 4 ? ? ? x 2 n ) ? (2 ? 2 ? ? ? 2) ? [( ) ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n ] x x x
Ⅰ、令 Tn ? x ? x ? ? ? x
2 4
2

2n

① x ? 1时, Tn ? x ? x ? ? ? x
2 4
2n

2n

=1 ? 1 ? ?? 1 ? n

② x ? 1 时, Tn ? x ? x ? ? ? x
4

=

x 2 ? x 2n ? x 2 x 2n?2 ? x 2 ? 1? x2 x2 ?1

Ⅱ、令 M n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2n Ⅲ、令 Gn ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( )
2 4

1 x

1 x

1 x

2n

① x ? 1时, Gn ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ② 时 ,

1 x

1 x x ?1

1 x

1 1 x 2n?2 ? x 2 1 1 1 ? 2n?2 ( ) 2 ? ( ) 2n ? ( ) 2 2 2n?2 1 1 1 x x = x2 x = x ?x Gn ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 n = x 1 x x x x2 ?1 x2 ?1 1 ? ( )2 x x2 x2
=

x 2 ? ( x 2 n ? 1) x 2n ? 1 x 2n?2 ? x 2 x2 = 2n 2 = 2n 2 ? 2 x 2 ? x 2 n ? 2 x ? 1 x ? x ? ( x 2 ? 1) x ( x ? 1)
综上所述:① x ? 1时, S n ? Tn ? M n ? Gn ? n ? 2n ? n ? 4n ② x ? 1 时, S n ? Tn ? M n ? G n ?

x 2n? 2 ? x 2 x 2n ? 1 ? 2n ? 2 n 2 x2 ?1 x ( x ? 1)

类型六:拆项求和法
在这类题中,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式求和。 例 7:求数列 9,99,999,… 的前 n 项和 S n 分析:此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式

a n ? 10 n ? 1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。
解:由于 a n ? 10 n ? 1 则 S n ? 9 ? 99 ? 99 ? ? ? S n ? (101 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)

? S n ? (101 ? 10 2 ? 10 3 ? ? ? 10 n ) ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? S n ?
例 8: S n = 1

10 ? 10 n ? 10 10 n ?1 ? 10 ? n ? Sn ? ?n 1 ? 10 9

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2 1 1 1 1 1 1 解:由于: a n ? n n ? n ? n 则: S n = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 2 2 1 1 n (1 ? ( ) ) 1 1 n 1 2 2 = n(n ? 1) ? = n(n ? 1) ? 1 ? ( ) 1 2 2 2 1? 2


推荐相关:

数列的递推关系重要知识点讲解Microsoft Word 文档 (2).doc

数列的递推关系重要知识点讲解Microsoft Word 文档 (2) - 递推数列重要知识点讲解 各种数列问题在很多情形下, 就是对数列通项公式的求解。 特别是在一些综合性...

等差等比数列重要知识点讲解Microsoft Word 文档.doc

等差等比数列重要知识点讲解Microsoft Word 文档_数学_高中教育_教育专区。等差等比数列重要知识点讲解 一、知识梳理 1、 等差数列的定义:如果数列 a n 从第二项...

2013数列真题重要讲解Microsoft Word 文档 (4).doc

2013数列真题重要讲解Microsoft Word 文档 (4)_数学...(当 n 为偶数时,分组求和: 1 - 2 ) ? (3 ...数列求和重要知识点讲解... 暂无评价 4页 1下载...

等比数列的前n项和 Microsoft Word 文档 (3).doc

等比数列的前n项和 Microsoft Word 文档 (3)_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。课题: §2.5 等比数列的前 n 项和授课人:杨华忠 一.教学目标 知识与技能...

数列一Microsoft Word 文档 (3).doc

数列Microsoft Word 文档 (3) - 数列(一) 知识归纳: 1.数列的定义 按照___排成的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的___排 ...

数列求和Microsoft Word 文档 (2).doc

数列求和Microsoft Word 文档 (2) - 第二讲 数列求和(一) 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一 项称为首项,最后...

学习方法Microsoft Word 文档 (3).doc

学习方法Microsoft Word 文档 (3)_其它课程_高中...图形数数、简便计算、定义新运算、数列求和、方程...行程和工程问题,在初中对应的知识点是变量、方程和...

通向数学的培训心得Microsoft Word 文档 (3).doc

通向数学的培训心得Microsoft Word 文档 (3)_数学_...忽视了幼儿学习 的主动性、 在获得数学知识的过程中...幼儿操作之后的总结一定要引导幼儿先总 结,然后教师...

九年级教学工作总结 Microsoft Word 文档 (3).doc

九年级教学工作总结 Microsoft Word 文档 (3) - 20132014学年第二学期 九年级英语教学工作总结 李海香 九年级是整个初中阶段的重要一年, 为使学生在英语这...

数列求和4 Microsoft Word 文档.doc

3? 2n? ? 5.已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,a5 =5,S5 =15,...数列求和Microsoft Word... 暂无评价 7页 1下载券 数列求和重要知识点讲解.....

...年级unit1topic3知识点总结 Microsoft Word 文档.doc

2018仁爱英语九年级unit1topic3知识点总结 Microsoft Word 文档_英语_初中教育_...help one another/help each other 13.the importance of ...的重要性 14. ...

常见数列求和教案(重点).doc

知识点 1.公式法 3.错位相减 5.裂项相消 适用...教学重点 几种重要数列求和方法的理解和掌握; ...这篇文档word格式吗?常见数列求和教案(重点) 2018...

小升初奥数知识点讲解 数列求和 Word版.doc

小升初奥数知识点讲解 数列求和 Word版_数学_小学教育_教育专区。小升初奥数知识点讲解 Word版 【小升初奥数知识点讲解数列求和 数列求和 等差数列:在一列数...

数列求和Word版含解析.doc

暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 数列求和Word版含解析_高二数学_

小组合作学习随感Microsoft Word 文档 (3).doc

小组合作学习随感Microsoft Word 文档 (3) - 学生在交流合作中学有所得,通过合作不仅学会了知识点,掌握了本节课的学习任务,最主要是在学习过程中体会了小组合作...

德育工作总结 Microsoft Word 文档 (3).doc

德育工作总结 Microsoft Word 文档 (3) - 加强德育工作 培养

初中物理知识点解析Microsoft Word 文档.doc

初中物理知识点解析Microsoft Word 文档_初三理化生_理化生_初中教育_教育专区。...(2)认真测量可以减小误差,误差是不可避免的; (3)多次测量求平均值可以减小...

考研新手须知 Microsoft Word 文档 (3)_图文.doc

考研新手须知 Microsoft Word 文档 (3) - 2011 考生看过来:考研数学早动手 数学基础知识,包括各个定理、公式、运算技巧。数学,最需要强调的是基础。在考试中,80...

论文Microsoft Word 文档 (3).doc

论文Microsoft Word 文档 (3)_其它_高等教育_教育...2. 钻 教师 要深钻教材,吃透知识点,明确重难点,...又如在讲解《皇帝的新装》一文时,我设计了这样的...

案例Microsoft Word 文档 (3).doc

案例Microsoft Word 文档 (3)_表格/模板_实用文档...它一反过去 教师先讲解、 示范、 然后学生学习、 ...整个教学民主宽松,不仅是让学生学到了知识,更重要的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com