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山东省济宁市微山县第二中学2015届高三第四次月考数学(理)试题

精品试卷

2015 届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考 数学(理)试题
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? x x ? x ? 2 ? 0 , N ? ? x 2x ?
2

?

?

? ?

1? ?, 则 M ? N ? 2?
D. (1, 2)

A. (?1,1)

B. (?2,1)

C. (?2, ?1)

2.已知 i 是虚数单位,设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在( z2
D.第四象限 ) D.4 2



C.第三象限

3.已知向量 a, b 的夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=( A. 2 B.2 2 C.3 2

4.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于

A.1

B.2

C.3

D.4

5.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,其中 a ? 5, b ? 3,sin B ? 定属于范围
·1·

2 ,则角 A 的取值一 2

精品试卷

A. (

? ? , ) 4 2 ? 3? ,? ) C. (0, ) ? ( 4 4

B. (

? 3?

D. (

? ?

2

,

6.为得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

? 3? , )?( , ) 4 2 2 4

4

)

) 的导函数图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有点的

A.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标向左平移

?

6 1 ? B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标向左平移 2 3 5? C.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标向左平移 12 1 5? D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标向左平移 2 6
7.在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是 A.BC∥平面 PDF C.平面 PDF⊥平面 ABC B.DF⊥平面 PAE D.平面 PAE⊥平面 ABC

2 8 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2 ? a ? 0 ? , 若 ?x1 ? [ ?1, 2] , ?x2 ? [?1, 2] , 使 得

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取值范围是
A. (0, ]

1 2

B. [ ,3]

1 2

C. (0,3]

D. [3, ??)

AC ? 7, AB ? AC ? 6 ,则 ?ABC 面积的最大值为 9.在 ?ABC 中,若 AB·
A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 3

10.正四面体 ABCD 的棱长为 1,G 是△ABC 的中心,M 在线段 DG 上,且∠AMB=90° ,则 GM 的 长为 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 6

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 11. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by ?a ? 0, b ? 0 ? 的值是最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?


2 3 ? 的最小值为 a b 25 A. 6

B.

8 3

C.
·2·

11 3

D.4

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12.已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b ,若 f ( x) ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为
x

A. e

B. e 2

C. e 第Ⅱ卷

D.

e 2

本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么 原平面图形的面积是___________. 14 . 已 知 a ?

?ln x , x ? 0 x f ( x ) ? ( e ? 2 x ) dx e ( 为 自 然 对 数 的 底 数 ) , 函 数 ,则 ? ?x ?0 2 , x ? 0 ?
1

f (a ) ? f (log 2 1 ) ? __________. 6
15.如图,在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M 是线段 DC1 上的动点, 则点 M 到直线 AD1 距离的最小值是________.

16 . 定 义 方 程 f ( x) ? f ?( x) 的 实 数 根 xo 叫 做 函 数 f ( x) 的 “ 新 驻 点 ” , 如 果 函 数 g ( x) ? x ,

? ?) )的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , ? , ? 的 h( x) ? ln( x ? 1) , ? ( x) ? cos x ( x ? ( , ?
大小关系是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( x ? (1)求常数 a 的值;
·3·

?

) cos( x ? ) ? sin 2 x ? a 的最大值为1 . 4 4

?

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(2)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (3) 若将 f ( x) 的图象向左平移 的最大值和最小值. 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,∠CBA=30° ,PA=AB=2,点 E 为 线段 PB 的中点,点 M 在 AB 上,且 OM∥AC.
?

?
6

个单位, 得到函数 g ( x) 的图象, 求函数 g ( x) 在区间 [0,

?
2

]上

(1)求证:平面 MOE∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB; (3)设二面角 M-BP-C 的大小为 θ,求 cosθ 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前项和 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设数列 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

?

1 ? 是否存在实数 M , 使得 Tn ? M 对一切正整数都成立? ? 的前项和为 Tn , ? an ? an?1 ?

若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B, 且 C1H= 5.

·4·

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(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ( e 为无理数, e ? 2.718 ) (1)求函数 f ( x) 在点 ? e, f (e) ? 处的切线方程; (2)设实数 a ?

1 ,求函数 f ( x) 在 ? a, 2a ? 上的最小值; 2e

(3)若 k 为正整数,且 f ( x) ? ? k ? 1? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写 题号. 22.(本小题满分 10 分)【选修 4—1:几何证明选讲】 如图,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD= 交于点 F。

1 2 AC, AE= AB,BD,CE 相 3 3

(1)求证:A,E,F,D 四点共圆; (2)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径. 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 在直角坐标系中,以原点为极点,错误!未找到引用源。轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线错
·5·

精品试卷

误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,已知过点错误!未找到引用源。的直线错误!未找到引 用源。的参数方程为错误!未找到引用源。 ( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若错误!未找到引用源。成等比数列,求错误!未找到引用源。的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 a ? b ? a ? b ? M ? a 恒成立,记实数 M 的最大值是 m . (1)求 m 的值; (2)解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m .

·6·

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2015 届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考 数学(理)试题参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 C 7 C 8 D 9 C 10 D 11 A 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 2 ? 2 三、解答题: 17. (1)? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? 14.7 15. 3 a 3 16. ? > ? > ?

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ?
? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1
(2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得

?

5? ? ? k? ? x ? ? k? , 12 12

所以函数的单调递增区间 ??

? ? 5? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z 12 ? 12 ?
?
6
个单位,得到函数 g ? x ? 的图象,

(3)? 将 f ? x ? 的图象向左平移

? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ?
2? ? 2? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3 ? ?
?当 2x ?

2? ? 3 2? 2? ? 时, sin ? 2 x ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 ? ?? 3 3 3 ? 2 ?

当 2x ?

2? 3? 2? ? ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3. 3 2 3 ? ?
·7·

精品试卷

18.[解析] (1)因为点 E 为线段 PB 的中点,点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE∥PA. 因为 PA ? 平面 PAC, OE∥平面 PAC, 所以 OE∥平面 PAC. 因为 OM∥AC, 又 AC ? 平面 PAC,OM∥平面 PAC, 所以 OM∥平面 PAC. 因为 OE ? 平面 MOE,OM ? 平面 MOE,OE∩OM=O, 所以平面 MOE∥平面 PAC. (2)因为点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上, 所以∠ACB=90° ,即 BC⊥AC. 因为 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, 所以 PA⊥BC. 因为 AC ? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC ? 平面 PBC,所以平面 PAC⊥平面 PBC. (3)如图,以 C 为原点,CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系 C- xyz.

因为∠CBA=30° ,PA=AB=2, 所以 CB=2cos30° = 3,AC=1. 延长 MO 交 CB 于点 D. 因为 OM∥AC,
·8·

精品试卷

1 3 1 3 所以 MD⊥CB,MD=1+ = ,CD= CB= . 2 2 2 2 3 3 所以 P(1,0,2) ,C(0,0,0) ,B(0, 3,0) ,M( , ,0) . 2 2 → → 所以CP=(1,0,2) ,CB=(0, 3,0) . 设平面 PCB 的法向量 m=(x,y,z) . → ? CP=0, ?m· 因为? → ? CB=0. ?m· ,0,2?=0, ??x,y,z? ·? 1 ?x+2z=0, 所以? 即? , 3,0?=0. ??x,y,z? ·? 0 ? 3y=0. 令 z=1,则 x=-2,y=0. 所以 m=(-2,0,1) . 同理可求平面 PMB 的一个法向量 n=(1, 3,1) . 所以 cos〈m,n〉= m· n 1 1 =- .所以 cosθ= . |m|· |n| 5 5

19.解: (1) (解法一)∵ S n ? ∴ S n ?1 ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

1 (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2

∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 ∴ (n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1 两式相减得 (n ? 1)an ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)an ?1 ? (n ? 1)an 即 (n ? 1)an ? 2 ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴ an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 0 , 即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ∴ 数列 ?an ? 是等差数列
·9·

精品试卷

且 a1 ? 3 ,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 (解法二) ∵ Sn ?

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴ S n ?1 ? (n ? 2)( an ?1 ? 1) ? 1 2
∴ an ?1 ? S n ?1 ? S n

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan ?1 ? (n ? 1)an ? 1 等式两边同时除以 n(n ? 1) 得

an ?1 an 1 , ? ? n ? 1 n n(n ? 1)



an ?1 an 1 1 1 ? ?? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n
累加得

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 1 ? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1 ? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ?2 n
得 an ? 2n ? 1 (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
Tn ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 ? 6
·10·



精品试卷

则要使得 Tn ? M 对一切正整数都成立,只要 (Tn ) max ? M ,所以只要 M ? ∴ 存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数都成立, 且 M 的最小值为

1 6

1 6

20. [解析] 如图所示 , 建立空间直角坐标系, 点 B 为坐标原点. 依题意得 A (2 2, 0,0) , B (0,0,0) , C( 2,- 2, 5) ,A1(2 2,2 2,0) ,B1(0,2 2,0) ,C1( 2, 2, 5) . → → AC· A1B1 4 → → → → (1) 易得AC= (- 2, - 2, 5) , A1B1= (-2 2, 0,0) , 于是 cos 〈AC, A1B1〉 = = → → 2 2 |AC|· |A1B1| 3× = 2 . 3

所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为

2 . 3

→ → (2)易知AA1=(0,2 2,0) ,A1C1=(- 2,- 2, 5) . 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z) ,则 → ? A1C1=0, ?m· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?2 2y=0. ? ?m、AA1=0. 不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2) . 同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z) ,则 → ?n· A1C1=0, ? ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?-2 2x=0. ? n· ? A1B1=0. 不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2) . 于是 cos〈m,n〉= m· n 2 2 = = , |m|· |n| 7· 7 7
·11·

精品试卷

3 5 从而 sin〈m,n〉= . 7 3 5 所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为 . 7 (3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N? 2 3 2 5? . ?2, 2 ,2?

2 3 2 5? → 设 M(a,b,0) ,则MN=? -a, , -b, 2 2? ?2 → → ? A1B1=0, ?MN· 由 MN⊥平面 A1B1C1,得? → → ? A1C1=0. ?MN·

? 2 ? ?-2 2?=0, ? ?? 2 -a?· 即? 2 ? 3 2 ? ?- 2?+? · ?- -a · ?? ? 2 ? ? ? 2 -b?

2?+

5 · 5=0. 2

?a= 22, 解得? 2 ?b= 4 .

故 M?

2 2 ? 2 2 → ,因此BM=? , ,0?, 4 ? 2 , 4 ,0? ?2 ?

10 → 所以线段 BM 的长|BM|= . 4 21. (1)∵ f ( x)定义域为(0, ??) f ?( x) ? ln x ? 1 , f (e) ? e又f ?(e) ? 2

?函数y ? f ( x)在点(e,f(e))处的切线方程为 : y ? 2( x ? e) ? e, 即y ? 2 x ? e ------3 分
(2)∵ f ?( x) ? ln x ? 1 令f ?( x) ? 0 得x ?

1 e

? 1? 当x ? ? 0, ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ? e?
当 x ? ? , ?? ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 当a ?

?1 ?e

? ?

1 时, f ( x)在[a, 2a]单调递增,[ f ( x)]min ? f (a) ? a ln a, e



1 1 1 1 ?1? ? a ? 时,得a ? ? 2a,[ f ( x)]min ? f ? ? ? ? 2e e e e ?e?

(3) f ( x) ? (k ? 1) x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,
·12·

精品试卷

即 x ln x ? x ? k ( x ? 1) 对任意 x ? 1 恒成立, 即 令 g ( x) ?

x ln x ? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立 x ?1

x ln x ? x x ? ln x ? 2 ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2
x ?1 ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 x

令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ?

∵ h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0, ∴所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。 当 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; ∴ g ( x) 在 x ? (1, x0 ) 时单调递减;在 x ? ( x0 , ??) 时,单调递增; ∴ [ g ( x)]min ? g ( x0 ) ?

x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1

由题意 k ? [ g ( x)]min ? x0 ,又因为 k ? Z ,所以 k 的最大值是 3 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 (1)证明:? AE ?

2 1 AB ,? BE ? AB . 3 3

1 ? 在正△ ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE , 3
又? AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,

? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,
即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. (2)解:如图,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 AG ? GE ?

1 AE . 2

·13·

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? AE ?

2 1 2 AB ,? AG ? GE ? AB ? , 3 3 3

1 2 ? AD ? AC ? , ?DAE ? 60? , 3 3
? △AGD 为正三角形, ? GD ? AG ? AD ?

2 2 ,即 GA ? GE ? GD ? , 3 3
2 . 3 2 .…(10 分) 3

所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 23.解: (1)C: y 2 ? 2ax, l : x ? y ? 2 ? 0 (2)将直线的参数表达式代入抛物线得

1 2 t ? (4 2 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 2 ? t1 ? t 2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t 2 ? 32 ? 8a
因为 | PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 | 由题意知,

| t1 ? t 2 |2 ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 5t1t 2 代入得 a ? 1
24.解: (1)不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立, 即M ?

|a ?b|?|a ?b| 对于任意的实数 a ( a ? 0 )和 b 恒成立, |a|

只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a | , 当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立,即 | a |?| b | 时,

|a ?b|?|a ?b| |a ? b|?|a ?b| ? 2 成立,也就是 的最小值是 2. |a| |a|
(2) | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 . 解法 1:利用绝对值的意义得:

1 5 ?x? 2 2 1 ,所以 x 的取值范围是 2

解 法 2: 当 x ? 1 时 , 原 不 等 式 化 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 解 得 x ?

·14·

精品试卷

1 ? x ? 1. 当 1 ? x ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,得 x 的取值范围是 1 ? x ? 2 . 当x ? 2 2 5 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,解得 x ? , 2 5 1 5 所以 x 的取值范围是 2 ? x ? .综上所述: x 的取值范围是 ? x ? . 2 2 2
解法 3:构造函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?2 作

?? 2 x ? 1, ( x ? 1) 1 5 ? y ? ? ? 1, (1 ? x ? 2) 的图象,利用图象有 y ? 0 得: ? x ? . 2 2 ? 2 x ? 5, ( x ? 2) ?

·15·


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