新课程人教A版必修④
1.5 函数y=Asin(ωx＋φ)的图象
物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(?t＋?).
问题 对于函数y＝Asin(?x＋?)中的常数A，?，?在实际
问题中有什么样的意义？（其中A ﹥0， ? ﹥0 ）
y ? A sin(?x ? ? ), x ?[0,??)
A T＝
2?
振幅—物体振动时离开平衡位置的最大距离；
?
周期—物体往复振动一次所需的时间；
1 f＝ T
频率—单位时间内往复振动的次数；
?x＋?
相位
?
初相——x=0时的相位
口答 指出下列函数的振幅，周期，频率和初相：
（1） y＝2 sin(2 x－ 3 )
2? （2） y＝sin(2 x＋ )＋1 3
?
一、探索 ? 对
y ? sin( x ? ? ), x ? R
的图象的影响
引例1.作出函数y＝sin(x- )、y=sin(x+ )的图象， 并观察它们与函数y＝sinx的图像的关系. 11? 4? 7? ? 5? x 6 3 3 3 6
x?
? 3
? 4
?
sin(x ?
3 ?
3
0
)
? 2
?
3? 2
2?
0
?
4
1
y
0
y ? sin( x ?
-1
?
3 )
0
1
?
O ?1
?
3
2? ?
?
x
y ? sin(x ? ) 4
?
?
4
1
y
y ? sin( x ?
?
3
)
O
?1
?
3
2? ?
?
x
y ? sin(x ? ) 4
规律1.函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或 向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到.
二、探索
? (? ? 0)
对 y ? sin(? x ? ? )
的图象的影响
解: x
2x
0
0
? 4 ? 2
? 2
?
3? 4 ? 3? 2? 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0
? 2? 3? 4?
? 2
?
3? 2? 2
sin2x 0 y 1 o -1
? 4 ? 2
1
0 -1
0
0
1
0 -1
0
3? 4
?
3? 2
x
2?
5? 2
3?
7? 2
4?
y ? sin2x
1 y=sin x 2
1x 引例2.作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin 的图象。 2
y 1 O ?1 ?
1 y=sin 2
2?
x
3? 4? x
y=sin2x
y=sinx
规律2.一般地，函数y=sinωx(ω＞０且ω≠１) 的图象，可以看做将函数y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ? 而得到． 动画
三、探索 A( A ? 0) 对 y ? A sin(? x ? ? )
的图象的影响
(1) y=2sinx
解:
x
0
? 2
?
3? 2? 2
1 (2) y= sinx 2
y 2 1
1
sinx 0 2sinx 0
1 sin x 0 2
3? 2 ? 2
1 2
1 2
0 -1 0 -2 0 ?
1 2
0 0 0
y=2sinx
?2 ?
??
o1 -1 2 -2
2
x
2?
1 y= sinx 2
?
1 引例3.作出函数 y ? 2sin x和 y ? sin x的图 2 象,并观察它们与函数y=sinx的图像的关系.
y 2 1 O
y=2sinx y=sinx
2? ?
y= ?1
?2
1 sinx 2
x
规律3. 一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1)的 图象,可以看做将函数y=sinx的图象上所 有点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不 变)而得到． 动画
四、作
y ? A sin(? x ? ? ) 的图象
引例4 作函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象。 3 11? 2? 7? ? 5? x 12 3 6 6 12
2x ?
?
?
sin(2 x ? ) 3 y 1
O
?1
3 ?
0
0
? 2
1
?
0
3? 2
-1
y ? sin(2 x ? ) 3
2?
0
?
?
? 2
6
? x
y=sin2x
y 1 O ?1
?
? 2
6
? x
y=sin2x
y ? sin(2 x ? ) 3
?
规律4.一般地，函数y=sin(ωx+φ)(ω＞０， φ≠０)的图象，可以看做将函数y=sinωx的 图象上所有的点向左(当φ＞０时)或向右 ? (当φ＜０时)平移 个单位长度而得到．
?
小结：三角函数图象变化过程:
（1）平移变换→周期变换→振幅变换
（2）周期变换→平移变换→振幅变换
下列函数如何得到:
1 ? y ? 2sin( x ? ) y ? sin x 平移变换 3 6
????? ?
y = sinx
? 向右平移 个单位 6 周期变换
? y=sin(x- ) 6
?????? ? 伸长为原来的3倍 振幅变换
?????? ? 伸长为原来的2倍
1 ? y=sin ( x ? ) 3 6
1 ? y=2sin ( x ? ) 3 6
平移变换 ? y = sinx ?? ? ? ? ? y=sin(x+?) 平移 ? 个单位
周期变换 ?? ? ? ? ? ? y=sin(wx+?) ? 1 伸长或缩短 倍 ?
振幅变换 ?? ? ? ??? y = Asin(wx+?) 伸长或缩短 A倍
下列函数如何得到:
y ? sin x
1 ? y ? 2sin( x ? ) 3 6 周期变换
1 y=sin x 3
y = sinx
平移变换 ????? ?
?????? ? 伸长为原来的3倍
? 向右平移 个单位 2 振幅变换
1 ? 1 ? y=sin [ ( x ? )] ? sin( x ? ) 3 2 3 6 1 ? y=2sin ( x ? ) 3 6
?????? ? 伸长为原来的2倍
周期变换 ? y = sinx ?? ? ? ? ? ? y =sinwx 1 伸长或缩短 倍 ? 平移变换 ?? ? ? ? ? y=sinw(x+?)=sin(wx+w?) ? 平移 ? 个单位
振幅变换 ?? ? ? ??? y = Asin(wx+w?) 伸长或缩短 A倍
一般公式：将平移变换单位改为： w 即可。
?
运用
例1. (1)
1 为了得到y=sin 2
x的图象, 只需将
y=sinx的图象上每个点 ( A )
A.横坐标扩大到原来的2倍
B.纵坐标扩大到原来的2倍 C.横坐标缩小到原来的
1 2 1 2
倍
D.纵坐标缩小到原来的
倍
运用
例1 (2)将y=f(x)的图象上所有点向左移个单 位得到y=sin(2x+π/3)的图象, 则f(x)=_____. sin2x
(3) 将y = sin2x的图象上所有点
___________________就得到y=cos2x的图象. 向左平移π/4个单位
? ?? ?? ?? ? y ? cos 2 x ? sin ? ? 2 x ? ? sin ?? ? ? ? 2 x ? ? ?2 ?? ?2 ? ?
?? ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 2? 4? ? ?
练习
1. 将y =2sinx的图象上每个点的纵坐标变为 3sinx 原来的3/2倍, 得到y =__________的图象. 2. 将y =f (x)的图象上每一点的横坐标变为 1 原来的1/3倍, 得到 y ? sin x 的图象, 则f 5 1 sin x (x)=_____________ . 15
练习
3. 将函数y=sinx的图象上各点向右平移π/6 个单位, 再把横坐标变为原来的一半, 然后 把纵坐标变为原来的5倍, 最后把整个图象 向下平移4个单位, 则所得图象的解析式为 ?? ? y ? 5sin ? 2 x ? ? __________________. ? 4 6? ?
练习
4. 最大值为1/2, 周期为
1 ?x ?? y ? sin ? ? ? 2 ?3 6? ?x ?? y ? 2sin ? ? ? ?2 6? 1 ?? ? y ? sin ? 3x ? ? 2 ? 6?
函数表达式可能是 ( C )
2 ? 3
, 初相是π/6的
A. B.
C. D.
1 ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 2 ? 6?
练习
5. 把函数y=sin(2x－π/4)的图象向左平移 π/8, 所得图象对应的函数是 ( ) A A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 6.函数y=Asin(ωx+φ) (A>0 , ω>0)的值域为 [－2 , 2] , 周期为
2 2 ,则A=____,ω=___ .3 ? 3
练习
7. 要得到函数y=sinx的图象, 需把函数
y=1/2sinx的图象上所有点的_____坐标变为 纵
原来的____倍, ____坐标不变. 2 横
? ______平移_____个单位长度, 可得到函 右 8
8. 把y=sin(x+π/4)的图象上所有的点向
数y=sin(x+π/8)的图象.
运用
例2.已知函数y=3sin(2x－π/3).
(1)利用“五点法”作出一个周期的图象;
(2)指出函数y=3sin(2x－π/3)的图象可由
y=sinx图象经过怎样变换得到. 解：（1）列表：
x
2x ?
y
?
3
? 6
0
0
5 ? 12 ? 2
2 ? 3
?
11 ? 12 3 ? 2
7 ? 6
2?
1
0
－1
0
描点连线：
(2) 指出函数y=3sin(2x－π/3)的图象可由 y=sinx图象经过怎样变换得到. (2) 法一：作出正弦曲线，并将曲线上每一 点的横坐标变为原来的1/2倍(纵坐标不变), 得到函数y=sin2x的图象； 再将函数y=sin2x的图象向右平移π/6个单位 长度，得到函数y=sin(2x-π/3)的图象； 再将函数y=sin(2x-π/3)的图象上每一点的纵 坐标变为原来的３倍（横坐标不变），即 可得函数y=3sin(2x-π/3)的图象．
(2) 指出函数y=3sin(2x－π/3)的图象可由 y=sinx图象经过怎样变换得到.
(2) 法二：作出正弦曲线,并将其向右平移π/3个 单位长度，得到函数y=sin(x－π/3)的图象； 再将函数y=sin(x－π/3)的图象上的每一点的横坐 标变为原来的1/2倍（纵坐标不变）,得到函数 y=sin(2x－π/3)的图象； 再将函数y=sin(2x－π/3)的图象上的每一个点的 纵坐标变为原来的３倍（横坐标不变），即可 得到函数y=3sin(2x－π/3)的图象．
小结1：五点法作图的关键是令 ωx+?=0,π/2,π,3π/2,2π.
小结2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图 象可以看作是用下面的方法得到的:
1. 先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0) 或右(φ<0)平行移动| φ|个单位; 2. 再把所得图象上各点的横坐标变为原来 的1/ ω倍(纵坐标不变); 3. 再把所得图象上各点的纵坐标变为原来 的A倍(横坐标不变).
怎样用变换法得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像？
画出y ? sin x在 ?0，? ? 上的简图 ? 2 ?
沿x轴平行移动 得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标伸长或缩短
得到y ? sin(? x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标伸长或缩短
得到y ? A sin(? x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴扩展
得到y ? A sin(? x ? ? )在R上的图象
运用
例3.函数f(x)的图像上各点的横坐标伸长到 原来的两倍, 再向左平移π/2个单位, 所得到 的曲线是y=1/2sinx的图象, 试求函数y=f(x) 的解析式.
解：函数y=1/2sinx的图象向右平移π/2个单位得到
1 ?? ? 函数 y ? 2 sin ? x ? 2 ? 的图像； ? ? 1 ?? ? 将函数 y ? sin ? x ? ? 的图像上各点的横坐标变为到 2 2? ? 1 ?? ? 原来的1/2倍得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像. 2 ? 2? 1 ?? ? 1
故 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ，即 f ? x ? ? ? 2 ? 2?
2
cos 2 x .
小结
1. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲 线的关系
2.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义; 3.掌握几种常见的图像变换规律.