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高中数学竞赛专题讲座——数列


高中数学竞赛专题试题讲座——数列 高中数学竞赛专题试题讲座——数列 试题讲座——
一,选择题部分 1. 2006 年江苏)已知数列 {an } 的通项公式 an = ( 年江苏)

2 ,则 {an } 的最大项是( B ) n 4n + 5
2

( A) a1

( B ) a2

( C ) a3

( D ) a4
( )

2 3 2 (2006 安徽初赛)正数列满足 a 1 = 1 , a2 = 10 , an an 2 = 10an t ( n ≥ 3) ,则 lg (a100 ) = 安徽初赛)

A,98

B,99

C,100

D,101

3. (2006 吉林预赛)对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,…,pn),P 的"蔡查罗和"定义 吉林预赛) 为 s1,s2,…sn,的算术平均值,其中 sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,…,p2006) 的 "蔡查罗和" 2007, 为 那么数列(1,1,2, p2006)的 p p …, "蔡查罗和" 为 A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 ( A )

4.(集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn.则满足不 (集训试题) 等式|Sn-n-6|< A.5

1 的最小整数 n 是 125
B.6 C.7

( D.8

)

解: 由递推式得: n+1-1)=-(an-1), 3(a 则{an-1}是以 8 为首项, 公比为-

1 的等比数列, 3

1 8[1 ( ) n ] 3 =6-6×(- 1 )n,∴|Sn-n-6|=6×( 1 )n< 1 , ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= 1 3 3 125 1+ 3
得:3 >250,∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C. 5. 集训试题)给定数列{xn}, 1=1, xn+1= (集训试题) x 且
n-1

3xn + 1 3 xn

2005

, 则

∑x
n =1

n

=

(

)

A.1

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

解:xn+1=

xn + 1

3 xn 3

3 3 ,令 xn=tanαn,∴xn+1=tan(αn+ π ), ∴xn+6=xn, x1=1,x2=2+ 3 ,

6

2005

x3=-2- 3 , x4=-1, x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有

∑x
n =1

n

= x1 = 1 .故选 A.

6 , 2006 陕 西 赛 区 预 赛 ) 已 知 数 列 {an }, n } 的 前 n 项 和 分 别 为 An , Bn 记 {b (

Cn = an Bn + bn An an bn (n > 1) 则数列{ Cn }的前 10 项和为
A . A10 + B10 B.

( C D.

)

A10 + B10 2

C. A10 B10

A10 B10

7. (2006 年浙江省预赛)设 f (n) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比 年浙江省预赛) 如 f (123) = 1 + 2 + 3 = 14 .记 f 1 ( n) = f ( n) , f k +1 ( n) = f ( f k ( n)) , k = 1,2,3, …, 则
2 2 2

f 2006 (2006) =
(A) ( D ) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.

解: 将 f ( 2006) = 40 记做 2006 → 40 ,于是有

2006 → 40 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 →
从 16 开 始 ,

fn









8











.



f 2006 (2006) = f 2004 (16) = f 4+ 250×8 (16) = f 4 (16) = 145.
二,填空题部分

正确答案为 D.

1. 数 列 {an } 的 各 项 为 正 数 , 其 前 n 项 和 S n 满 足 S n =

1 1 (a n + ) , 则 an 2

a n =___ n n 1 ___.
2. 200 6 天津)已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 < a < b < c < d ,d a = 90 ,若 a, b, c ( 天津) 成等差数列, b, c, d 成等比数列,则 a + b + c + d 的值等于 194 .
1 1 1 4 1 5 1 1 2 3 6 3 4 1 1 1

3. (2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 吉林预赛) 1,3,6,10,…,记这个数列前 n 项和为 S(n),则 lim

n3 =___________. n → +∞ S ( n )

1 10 10 5 1

4. 2006 年江苏)等比数列 {an } 的首项为 a1 = 2020 ,公比 q = ( 年江苏) 个数列的前 n 项的积,则当 n = 12 时, f ( n ) 有最大值.

1 .设 f ( n ) 表示这 2

5. 在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 物线 y =
2

{A }, j = 1,2, ,以及在第一象限内的抛
j

3 x 上从左向右依次取点列 {Bk }, k = 1,2, ,使 Ak 1Bk Ak ( k = 1,2, )都是等 2

边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005. 则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 【解】 设第 n 个等边三角形的边长为 a n . : 的坐标为( a1 + a 2 + + a n 1 +

an , 2

a 3 . a1 + a 2 + + a n 1 + n ) 2 2

再从第 n 个等边三角形上,我们可得 Bn 的纵坐标为

3 1 2 an an = a n .从而有 2 2

2

3 an = 2

a 1 2 a 3 a1 + a 2 + + a n 1 + n ,即有 a n = a1 + a 2 + + a n 1 + n . 2 2 2 2 an 1 2 + an 2 2
( 1 ) , 以 及

由 此 可 得 a1 + a 2 + + a n =

a n 1 1 2 + a n 1 (2) 2 2 1 1 (1)-(2)即得 a n = (a n a n 1 ) + ( a n a n 1 )(a n + a n 1 ) . 2 2 a1 + a 2 + + a n 1 =
变形可得

(a n a n 1 1)(a n + a n 1 ) = 0 . 1 1 a1 = a12 , a1 ≠ 0 , 而 2 2

由于 a n + a n 1 ≠ 0 , 所以 a n a n 1 = 1 .(1) 在 式中取 n = 1, 可得 故 a1 = 1 . 因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 = 2005 .

年浙江) 6.(2005 年浙江)已知数列 xn ,满足 ( n + 1) xn +1 = xn + n , 且 x1 = 2 , 则 x2005 = 【解】 :由 (n + 1) x n +1 = x n + n ,推出 x n +1 1 =

2005!+1 . 2005!

xn 1 .因此有 n +1 x 1 x n 1 1 xn2 1 x1 1 1 x n +1 1 = n = = == = . n + 1 (n + 1)n (n + 1)n(n 1) (n + 1)n(n 1) 2 (n + 1)!

即有 x n +1 =

2005!+1 1 + 1 . 从而可得 x 2005 = . (n + 1)! 2005!
a1 a 2 a3 a 4 + + + | ai ∈ T , i = 1,2,3,4}, 将 M 中 7 72 73 7 4
) C .

7. (2005 全国)记集合 T = {0,1,2,3,4,5,6}, M = { 全国)

的元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是( A .

5 5 6 3 + 2 + 3 + 4 7 7 7 7

B .

5 5 6 2 + 2 + 3 + 4 7 7 7 7

1 1 0 4 + 2 + 3 + 4 7 7 7 7

D.

1 1 0 3 + 2 + 3 + 4 7 7 7 7
解:用 [ a1 a 2 … a k ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得
4

M ′ = {a1 73 + a2 7 2 + a3 7 + a4 | ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4} = {[a1a2 a3 a4 ]7 | ai ∈ T , i = 1, 2,3, 4}.
M ′ 中的最大数为 [6666]7 = [2400]10 .在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列
的第 2005 个数是 2400-2004=396.而 [396]10 = [1104]7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 1 0 4 + 2 + 3 + 4 . 故选 C. 7 7 7 7
8. . (2004 全国)已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 an +1 )(6 + an ) = 18, 且a0 = 3 , 全国) ( 则

∑a
i=o

n

1
i

的值是_________________________.

解:设 bn =

1 1 1 , n = 0,1, 2,..., 则(3 )(6 + ) = 18, an bn +1 bn



1 1 1 3bn +1 6bn 1 = 0. ∴ bn +1 = 2bn + , bn +1 + = 2(bn + ) 3 3 3
等比数列,

故数列 {bn + } 是公比为 2 的

1 3

bn +

1 1 1 1 1 1 = 2n (b0 + ) = 2n ( + ) = × 2 n +1 ∴ bn = (2n +1 1) . 3 3 a0 3 3 3
n n 1 1 1 1 2(2n +1 1) = ∑ bi = ∑ (2i +1 1) = (n + 1) = ( 2n + 2 n 3) . ∑ a i =0 i =0 3 3 2 1 i=o i 3 n

9. 2005 四川)设 r , s, t 为整数,集合 {a | a = 2 r + 2 s + 2 t ,0 ≤ t < s < r} 中的数由小到大 ( 四川) 组成数列 {a n } : 7,11,13,14, ,则 a 36 = 131 .

2 解:∵ r , s, t 为整数且 0 ≤ t < s < r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C 2 = 1

r = 3 , s, t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C 32 = 3
2 同理, r = 4 时,符合条件有的数有 C 4 = 6

r = 5 时,符合条件有的数有 C 52 = 10 r = 6 时,符合条件有的数有 C 62 = 15

2 r = 7 时,符合条件有的数有 C 7 = 21

因此, a 36 是 r = 7 中的最小值,即 a 36 = 2 + 2 + 2 = 131
0 1 7

三,解答题部分 1. 200 6 天津) . (200 天津) ( 已知数列 {a n } 满足 a1 = p ,a 2 = p + 1 ,a n + 2 2a n +1 + a n = n 20 , 其中 p 是给定的实数, n 是正整数,试求 n 的值,使得 a n 的值最小. 【 解 】 令 bn = a n +1 a n , n = 1,2, 由 题 设 a n + 2 2a n +1 + a n = n 20 , 有

bn+1 bn = n 20 , 且 b1 = 1 … … … 5 分 bn b1 = [1 + 2 + + (n 1)] 2n(n 1) .
∴ bn =

于是


i =1

n 1

(bi +1 bi ) =

∑ (i 20) , 即
i =1

n 1

(n 1)(n 40) + 1. 2

(※) …………………10 分

又 a1 = p , a 2 = p + 1 ,则 a 3 = 2a 2 a1 + 1 20 = p 17 < a1 < a 2 . ∴当 a n 的值最小时,应有 n ≥ 3 , a n ≤ a n +1 ,且 a n ≤ a n 1 . 即 bn = a n +1 a n ≥ 0 , bn 1 = a n a n 1 ≤ 0 . …………………… 15 分

(n 1)(n 40) ≥ 2 由(※)式,得 (n 2)(n 41) ≤ 2
∴当 n = 40 时, a 40 的值最小.

n ≥ 40 * 由于 n ≥ 3 ,且 n ∈ N ,解得 , n ≤ 40

…………………………………………… 20 分

2. 2006 陕西赛区预赛)(20 分)已知 sin(2α + β ) = 3sin β ,设 tan α = x, tan β = y , ( 陕西赛区预赛) 记 y = f ( x) . (1)求 f ( x ) 的表达式;

f ( x) =

x 1 + 2x 2

(2)定义正数数列 {an }; a1 =

1 2 , an +1 = 2an f (an )(n ∈ N * ) .试求数列 {an } 的通项公式. 2

an =

2 n2 . 2 n 1 + 1

3 . 2006 安 徽 初 赛 ) 已 知 数 列 {an } ( n ≥ 0 ) 满 足 a0 = 0 , 对 于 所 有 n ∈ N + , 有 (
an +1 = 2 30an ( an + 1) + 11an + 5 ,求 an 的通项公式.

4. (2006 吉林预赛)设{an}为一个实数数列,a1=t,an+1=4an(1-an).求有多少个不同 吉林预赛) 的实数 t 使得 a2006=0. ( 2
2004

+1)

5. 2006 年南昌市)将等差数列{ a n }: an = 4n 1 ( n ∈ N ) 中所有能被 3 或 5 整除的 ( 年南昌市)
*

数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{ bn },求 b2006 的值. 解:由于 a n +15 a n = 60 ,故若 a n 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 a n +15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+∞)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180] ∪ … , 注 意 第 一 个 区 间 段 中 含 有 { an } 的 项 15 个 , 即 8 个 ,

3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59. 其 中 属 于 { bn } 的 项

为: b1 = 7 , b2 = 11 , b3 = 19 , b4 = 23 , b5 = 31 , b6 = 43 , b7 = 47 , b8 = 59 ,于是每个区 间段中恰有 15 个{ a n }的项,8 个{ bn }的项,且有 b8 k + r br = 60k ,k∈N,1≤r≤8. 由 于 2006 = 8 × 250+6, 而

b6 = 43

,





b2006 = 60 × 250 + b6 = 60 × 250 + 43 = 15043 .
6 . ( 2004 湖 南 ) 设 数 列 {a n } 满 足 条 件 : a1 = 1, a 2 = 2 , 且

a n+ 2 = a n +1 + a n (n = 1, 2, 3, )
求证:对于任何正整数 n,都有
n

a n +1 ≥ 1 +

1
n

an
1= ak a + k 1 (k = 1, 2, ) , 于是 a k +1 a k +1

证明:令 a 0 = 1 ,则有 a k +1 = a k + a k 1 ,且
n n

n=



ak + k =1 a k +1

∑a
k =1

a k 1
k +1

由算术-几何平均值不等式,可得

1≥ n

a a a a a1 a 2 n + n 0 1 n 1 a 2 a3 a n +1 a 2 a3 a n +1

注意到

a 0 = a1 = 1 ,可知 1 ≥

1
n

a n+1

+

1
n

,即

n

a n a n+1

a n +1 ≥ 1 +

1
n

an

7 .( 2006 年 上 海 )

数 列 {an } 定 义 如 下 : a1 = 1 , 且 当 n ≥ 2 时 ,

a n + 1, 当 n 为偶数时, 2 an = 1 , 当 n 为奇数时. an 1
已知 an =

30 ,求正整数 n. 19

解 由题设易知, an > 0, n =1, 2, .又由 a1 = 1 ,可得,当 n 为偶数时, an > 1 ; 当 n ( > 1) 是奇数时, an =

1 <1. an 1

………………(4 分)

由 an =

30 30 11 n > 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n = 1 = < 1 ,所以, 是奇数. 19 19 19 2 2
= 19 n 19 8 n2 > 1 , 1 是偶数,a n 2 = 1 = < 1 , 是奇数, 11 2 11 11 4 4

于是依次可得:a n
2

1

an2 =
4 1

11 n6 11 3 n6 >1, 是偶数, a n 6 = 1 = < 1, 是奇数, 8 4 8 8 8 8 8 n 14 8 5 n 14 > 1, 是偶数, a n 14 = 1 = > 1 , 是偶数, 3 8 3 3 16 16

a n 6 =
8 1

a n 14 =
32

5 2 n 14 1 = < 1, 是奇数, ……………(9 分) 3 3 32 3 n 46 3 1 n 46 >1, 是偶数, a n 46 = 1 = < 1 , 是奇数, 2 32 2 2 64 64

a n 14 =
32 1

a n 46 = 2 > 1 ,
64

1

n 110 是偶数, a n 110 = 2 1 = 1 , 64 128
……………… (14 分)

所以,

n 110 = 1 ,解得,n=238. 128

13. (2005 全国)数列 {a n } 满足: a 0 = 1, a n +1 = 全国)

2 7 a n + 45a n 36

2

, n ∈ N.

证明: (1)对任意 n ∈ N , a n 为正整数;(2)对任意 n ∈ N , a n a n +1 1 为完全平方数. 证 明 :( 1 ) 由 题 设 得 a1 = 5, 且 {a n } 严 格 单 调 递 增 . 将 条 件 式 变 形 得
2 2 2 2a n +1 7a n = 45a n 36 , 两边平方整理得 a n+1 7 a n a n +1 + a n + 9 = 0
2 2 ∴ a n 7 a n 1 a n + a n 1 + 9 = 0





①-②得 ( an +1 an 1 )( an +1 + an 1 7 an ) = 0,∵ an +1 > an ,∴ an +1 + an =1 7 an = 0

a n+1 = 7 a n ab 1 .



由③式及 a 0 = 1, a1 = 5 可知,对任意 n ∈ N , a n 为正整数.…………………………10 分 (2)将①两边配方,得 ( a n +1 + a n ) 2 = 9( a n a n +1 1),∴ a n a n +1 1 = ( 由③ an +1 + an = 9an ( an 1 + an ) ≡ ( an + an 1 ) ( mod 3) ∴ an +1 + an ≡ (1)
n

a n +1 a n 2 ) .④ 3

( a1 + a0 ) ≡0(mod3)∴

an +1 + an 为正整数 3

④式成立.∴ a n a n +1 1 是完全平方数.……………………………………20 分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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