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常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语
一、命题
1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题. 2、四种命题及其关系 (1)、四种命题
命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若?p 则?q 若?q 则?p

(2)、四种命题间的逆否关系

(3)、四种命题的真假关系 **两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; *两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

二、充分条件与必要条件
1、定义 1.如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 2、四种条件的判断

? q. 1.如果“若 p 则 q ”为真,记为 p ? q ,如果“若 p 则 q ”为假,记为 p ?
2.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件

3.判断充要条件方法: (1)定义法:①p 是 q 的充分不必要条件 ? ? p ? ? ? q

?p ? q

②p 是 q 的必要不充分条件 ? ? p ? q ?

?p ? ? q

?p ? q ? ? ③p 是 q 的充要条件 ?q ? p
(2)集合法:设 P={p},Q={q}, ①若 P

?p ? ? q ? ? ④ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? q ?p ?

Q,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件.

②若 P=Q,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件). ③若 P Q 且 Q P,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

(3)逆否命题法: ① ? q 是 ? p 的充分不必要条件 ? p 是 q 的充分不必要条件 ② ? q 是 ? p 的必要不充分条件 ? p 是 q 的充分不必要条件 ③ ? q 是 ? p 的充分要条件 ? p 是 q 的充要条件 ④ ? q 是 ? p 的既不充分又不必要条件 ? p 是 q 的既不充分又不必要条件

三、简单的逻辑联结词
(1) 命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词. ①用联结词“且”联结命题 p 和命题 q,记作 p∧q,读作“p 且 q”. ②用联结词“或”联结命题 p 和命题 q,记作 p∨q,读作“p 或 q”. ③对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作? p,读作“非 p”或“p 的否定”. (2)简单复合命题的真值表:
p 真 假 真 假 q 真 真 假 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 ? p 假 真 假 真

*p∧q: p、q 有一假为假,

*p∨q:一真为真,

*p 与? p:真假相对即一真一假.

四、量词
1、全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等. (3)全称量词用符号“?”表示;存在量词用符号“?”表示. 2 全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x),读作“对 任意 x 属于 M,有 p(x)成立”. (2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在 M 中的一个 x0, 使 p(x0)成立”可用符号简记为?x0∈M, P(x0), 读作“存 在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”. 3 命题的否定 (1) 含有量词命题的否定 全称命题 p: ?x ? M , p( x) 的否定 ? p: ?x ? M , ?p ? x ? ;全称命题的否定为存在命题 存在命题 p: ?x ? M , p ? x ? 的否定 ? p: ?x ? M , ?p ? x ? ;存在命题的否定为全称命题 其中 p ? x ? p(x)是一个关于 x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或 q ”的否定: “ ? p 且 ? q” ; “p 且 q ”的否定: “ ? p 或 ? q” (3) “若 p 则 q“命题的否定:只否定结论 特别提醒:命题的“否定”与“否命题”是不同的概念,命题的否定:只否定结论;否命题:全否 对命题 p 的否定(即非 p)是否定命题 p 所作的判断,而“否命题”是 “若 ? p 则 ? q ”


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